2021学年第二十三章 旋转综合与测试同步达标检测题

单元评价检测(三)

第二十三章

(45分钟　100分)

一、选择题(每小题4分,共28分)

1.(2013·河北中考)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

【解析】选C.选项B、选项C和选项D是轴对称图形;选项A、选项C是中心对称图形,所以既是轴对称图形又是中心对称图形的是选项C.

2.已知m<0,则点P(m2,-m+3)关于原点的对称点Q所在的象限为(　　)

A.第一象限      B.第二象限

C.第三象限      D.第四象限

【解析】选C.∵m<0,∴m2>0,-m+3>0,即点P在第一象限,所以点Q在第三象限.

【变式训练】若点P(m,-m+3)关于原点的对称点Q在第三象限,那么m的取值范围是(　　)

A.0<m<3       B.m<0

C.m>0        D.m≥0

【解析】选A.∵点Q在第三象限,

∴点P在第一象限,

即解得0<m<3.

3.△ABC绕点A按顺时针方向旋转了60°,得到△AEF,则下列结论一定正确的是

                    (　　)

A.∠BAE=60°     B.EF=BC

C.AC=AF       D.∠EAF=60°

【解析】选B.如果点B和点E是对应点,则选项A、选项B和选项C是正确的;如果点B和点F是对应点,则选项B是正确的,所以,无论是哪一种情况,选项B一定正确.

【特别提醒】利用分类讨论思想,分析点B的对应点,点B可能和点E对应,还有可能和点F对应,做题时,常常忽略了其中的一种情况.

4.已知点A(x,y-4)与点B(1-y,2x)关于原点对称,则yx的值是(　　)

A.2   B.1    C.4    D.8

【解析】选A.根据题意,列方程组,得[来源:Z&xx&k.Com]

解得则yx=21=2.

5.如图所示,已知△ABC与△CDA关于点O对称,过O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,下面的结论:

 (1)点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点.

(2)直线BD必经过点O.

(3)四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等.

(4)△AOE与△COF成中心对称,其中正确的个数为(　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

【解析】选D.△ABC与△CDA关于点O对称,则AB=CD,AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形,因此点O就是▱ABCD的对称中心,则有:(1)点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点,正确;(2)直线BD必经过点O,正确;(3)四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等,正确;(4)△AOE与△COF成中心对称,正确.所以正确的个数为4.

6.在如图4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是(　　)

A.点A 　　　　     B.点B

C.点C 　　　　     D.点D[来源:学#科#网]

【解析】选B.根据对应点到旋转中心的距离相等,可知旋转中心在对应点连线的垂直平分线上,作图可以得到对应点连线的交点为点B.

7.(2014·日照模拟)在△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=1,将△ABC绕点A旋转180°,点C落在C′处,则C,C′两点之间的距离是(　　)

A.2   B.4   C.2    D.无法计算

【解题指南】本题涉及的两个知识点

1.两个图形关于某一点成中心对称,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分.

2.在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半.

【解析】选B.在△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=1,∴AC=2AB=2;又∵点C和点C′关于点A对称,即点C,A,C′在同一直线上,且CC′=2AC=4.

二、填空题(每小题5分,共25分)

8.一个正方形绕它的中心旋转后如果能和原来的图形重合,那么它至少要旋转　　　　.

【解析】正方形绕它的中心旋转90n°(n为正整数)后都能够与原来的图形重合,所以它至少要旋转90°.

答案:90°

9.如图所示,将△ABC绕点A按逆时针旋转30°后,得到△ADC′,则∠ABD的度数是　　　　.

【解析】根据旋转的性质,

得∠BAD=30°,且AB=AD,

所以∠ABD=(180°-∠BAD)÷2

=(180°-30°)÷2=75°.

答案:75°

【互动探究】题中条件不变,则∠ACC′的度数是　　　　.[来源:学科网]

【解析】根据旋转的性质,[来源:学§科§网Z§X§X§K]

得∠CAC′=30°,且AC′=AC,

所以∠ACC′=(180°-∠CAC′)÷2

=(180°-30°)÷2=75°.

答案:75°

10.如图,点A在射线OX上,OA的长等于2cm.如果OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OA′,那么点A′的位置可以用(2,30°)表示.如果将OA′再沿逆时针方向继续旋转45°,到OA″,那么点A″的位置可以用　　　　表示.

【解析】第一个坐标为原点到此点的距离,旋转前后线段长度不变,所以OA″=OA=2,第二个坐标为与射线OX的夹角,为∠A″OA′+∠A′OA=45°+30°=75°,那么点A″的位置可以用(2,75°)表示.

答案:(2,75°)

11.(2014·聊城模拟)已知点A与点A′关于原点对称,且点A的坐标为(-5,y),点A到原点的距离为13,则点A′的坐标为　　　　.

【解析】点A到原点的距离为13,即(-5)2+y2=132,解得y=±12,即点A的坐标为(-5,12)或(-5,-12),那么点A′的坐标为(5,-12)或(5,12).

答案:(5,-12)或(5,12)

12.若m,n是实数,且m,n是方程x2+3x+2=0的两根,则点P(m,n)关于原点的对称点Q的坐标是　　　　.

【解析】解方程x2+3x+2=0,得x1=-1,x2=-2,

所以点P的坐标为(-1,-2)或(-2,-1),

那么对称点Q的坐标是(1,2)或(2,1).

答案:(1,2)或(2,1)

三、解答题(共47分)

13.(10分)(2013·安徽中考)如图,已知A(-3,-3),B(-2,-1),C(-1,-2)是直角坐标平面上三点.[来源:学*科*网]

(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.

(2)请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标.若将点B2向上平移h个单位,使其落在△A1B1C1的内部,指出h的取值范围.

【解析】(1)根据中心对称画图如下:

(2)点B2的坐标是(2,-1),2<h<3.5.

14.(12分)如图,已知∠BAC=30°,把△ABC绕着点A顺时针旋转,使得点B与CA的延长线上的点D重合.

(1)△ABC旋转了多少度?

(2)连接CE,试判断△AEC的形状.

(3)求∠AEC的度数.

【解析】(1)因为∠BAD=180°-∠BAC=180°-30°=150°,所以△ABC旋转了

150°

(2)根据旋转的性质,可知AC=AE,

所以△AEC是等腰三角形.

(3)在△AEC中,∠CAE=∠BAD=150°,

所以∠AEC=(180°-∠CAE)÷2

=(180°-150°)÷2=15°.

15.(12分)如图,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC分别交于M,H.

(1)求证:CF=CH.

(2)△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论.

【解题指南】解答本题的两个关键

1.读懂图,通过旋转的性质找出三角形全等的条件.

2.熟定理,根据旋转角找出判定菱形所需要的条件.

【解析】(1)在△ACB和△ECD中,

∵∠ACB=∠ECD=90°,

∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,

∴∠1=∠2;

又∵AC=CE=CB=CD,

∴∠A=∠D=45°;

在△CFA和△CHD中,

∴△CFA≌△CHD,∴CF=CH.

(2)四边形ACDM是菱形.

证明:∵∠ACB=∠ECD=90°,∠BCE=45°,

∴∠1=45°,∠2=45°.

又∵∠E=∠B=45°,

∴∠1=∠E,∠2=∠B,

∴AC∥MD,CD∥AM,

∴四边形ACDM是平行四边形,

又∵AC=CD,

∴平行四边形ACDM是菱形.

16.(13分)把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角边均为4)叠放在一起(如图1),且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合,现将三角板EFG绕点O按顺时针方向旋转(旋转角α满足条件:0°<α<90°),四边形CHGK是旋转过程中两三角形的重叠部分(如图2).

在上述旋转过程中,BH与CK有怎样的数量关系?四边形CHGK的面积有何变化?请证明你的发现.

【解析】BH=CK.四边形CHGK的面积没有变化.

∵△ABC是等腰直角三角形,O为斜边中点,

∴CG=BG,CG⊥AB,

∴∠ACG=∠B=45°,

∵∠BGH与∠CGK均为旋转角,

∴∠BGH=∠CGK,

因此△CGK可以看作是由△BGH绕点O顺时针旋转而得,

故BH=CK,S△CGK=S△BGH,

∴S四边形CHGK=S△CGK+S△CGH=S△BGH+S△CGH=S△BCG

=S△ABC=××4×4=4.

即四边形CHGK的面积在旋转过程中没有变化,始终为4.