北京市海淀区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题+Word版含解析

这是一份北京市海淀区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题+Word版含解析，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分．）
1．若角α的终边经过点P（﹣2，3），则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量＝（1，2），则||＝（　　）
A．3 B． C．5 D．
3．＝（　　）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，A为钝角，则点P（cosA，tanB）（　　）
A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限
5．下列函数中，周期为π且在区间（，π）上单调递增的是（　　）
A．y＝cos2x B．y＝sin2x C． D．
6．对函数y＝sinx的图象分别作以下变换：
①向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）；
②向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）
③将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位
④将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位
其中能得到函数的图象的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
7．如图，已知向量，，，，的起点相同，则+﹣＝（　　）

A．﹣ B． C．﹣6+ D．6﹣
8．已知函数的图象如图所示，则ω的值为（　　）

A．2 B．1 C． D．
9．“sinα＝cosβ”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知函数f（x）＝（x﹣1）3．Q是f（x）的图象上一点，若在f（x），N，使得成立，则这样的点Q（　　）
A．有且仅有1个 B．有且仅有2个
C．有且仅有3个 D．可以有无数个
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上。
11．已知向量＝（1，﹣2），＝（3，1），则+2＝　 　．
12．已知，则tanα＝　 　．
13．在△ABC中，点D满足，若，则x﹣y＝　 　．
14．已知函数在区间上单调成立，则φ＝　 　．
15．声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．
（1）若甲声波的数学模型为f1（t）＝sin200πt，乙声波的数学模型为f2（t）＝sin（200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f（t）＝f1（t）+f2（t）．要使f（t）＝0恒成立，则φ的最小值为；
（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H（t），其部分图象如图所示，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f（t）和g（t），满足H（t）（t）+g（t）．已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．
①；②y＝sin2πt；③y＝sin3πt
则S1，S2两种声波的数学模型分别是　 　．（填写序号）

三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）若，且，求tan（π﹣θ）的值．
17．已知点A（5，﹣2），B（﹣1，4），C（3，3），M是线段AB的中点．
（Ⅰ）求点M和的坐标；
（Ⅱ）若D是x轴上一点，且满足，求点D的坐标．
18．已知函数．
（Ⅰ）某同学利用五点法画函数f（x）在区间上的图象．他列出表格，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；
x






0

π

2π
f（x）
0
2
0

0
（Ⅱ）已知函数g（x）＝f（ωx）（ω＞0）．
（ⅰ）若函数g（x）的最小正周期为，求g（x）；
（ⅱ）若函数g（x）在上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．

19．若定义域R的函数f（x）满足：
①∀x1，x2∈R，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，②∃T＞0，∀x∈R，f（x+T）（x）+1．则称函数f（x）满足性质P（T）．
（Ⅰ）判断函数f（x）＝2x与g（x）＝sinx是否满足性质P（T），求出T的值；
（Ⅱ）若函数f（x）满足性质P（2），判断是否存在实数a，都有f（x+a）﹣f（x），并说明理由；
（Ⅲ）若函数f（x）满足性质P（4），且f（﹣2）（﹣2，2），都有f（﹣x）＝﹣f（x）的值域．


参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若角α的终边经过点P（﹣2，3），则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵角α的终边经过点P（﹣2，3），
∴tanα＝＝﹣，
故选：C．
2．已知向量＝（1，2），则||＝（　　）
A．3 B． C．5 D．
解：根据题意，向量，2）|＝＝，
即||＝，
故选：D．
3．＝（　　）
A． B． C． D．
解：因为：＝++﹣＝，
故选：A．
4．在△ABC中，A为钝角，则点P（cosA，tanB）（　　）
A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限
解：△ABC中，A为钝角，
所以cosA＜0，tanB＞0，
所以点P（cosA，tanB）在第二象限内．
故选：B．
5．下列函数中，周期为π且在区间（，π）上单调递增的是（　　）
A．y＝cos2x B．y＝sin2x C． D．
解：对于A，y＝cos2x的周期为π，π）单调递增函数；
对于B，y＝sin4x的周期为π，π）不是单调函数；
对于C，y＝cos＝4π；
对于D，y＝sin＝4π；
故选：A．
6．对函数y＝sinx的图象分别作以下变换：
①向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）；
②向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）
③将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位
④将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位
其中能得到函数的图象的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
解：①y＝sinx→→；
②y＝sinx→→；
③y＝sinx→y＝sin3x→；
④y＝sinx→y＝sin3x→．
故选：C．
7．如图，已知向量，，，，的起点相同，则+﹣＝（　　）

A．﹣ B． C．﹣6+ D．6﹣
解：如图，已知向量，，，，，则+﹣＝+（2）＝8﹣．
故选：D．
8．已知函数的图象如图所示，则ω的值为（　　）

A．2 B．1 C． D．
解：∵点（0，）在函数的图象上，
∴sinφ＝，
∵|φ|＜，
∴可得：φ＝，
又∵点（2π，﹣）在函数的图象上）＝﹣，
∴sin（6πω+）＝﹣＝2kπ﹣，k∈Z，
∴解得ω＝k﹣，或ω＝k﹣，
则当k＝1时，ω的值为．
故选：C．
9．“sinα＝cosβ”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：sinα＝cosβ⇒cos（﹣α）＝cosβ，
∴β＝2kπ±（﹣α）．
化为：α+β＝+2kπ，或β﹣α＝﹣，k∈Z，
∴“sinα＝cosβ“是“α+β＝+2kπ．
故选：B．
10．已知函数f（x）＝（x﹣1）3．Q是f（x）的图象上一点，若在f（x），N，使得成立，则这样的点Q（　　）
A．有且仅有1个 B．有且仅有2个
C．有且仅有3个 D．可以有无数个
解：因为，则，所以Q为MN的中点，
因为函数f（x）＝（x﹣6）3关于点（1，6）成中心对称，
所以当Q的坐标为（1，0）时，N符合题意，
M，N在（4，中点也要在函数f（x）上，0），
M，N在（1，相当于M，Q，不可能成立，
故满足条件的Q只有一个，
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上。
11．已知向量＝（1，﹣2），＝（3，1），则+2＝　（7，0）　．
解：∵＝（1，＝（3，
∴+4，﹣2）+2（7，0），
故答案为：（7，5）．
12．已知，则tanα＝　2　．
解：∵，
∴，
∴4tanα﹣2＝5，
∴tanα＝2，
故答案为：2．
13．在△ABC中，点D满足，若，则x﹣y＝　﹣　．
解：在△ABC中，点D满足，若，
如图，可知＝，
所以x＝，y＝，
则x﹣y＝﹣．
故答案为：﹣．

14．已知函数在区间上单调成立，则φ＝　　．
解：∵函数 在区间，且对任意实数x均有，
∴•＝﹣，∴ω＝3．
且是f（x）的最大值点，，
由五点法作图可得1×+φ＝，
故答案为：．
15．声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．
（1）若甲声波的数学模型为f1（t）＝sin200πt，乙声波的数学模型为f2（t）＝sin（200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f（t）＝f1（t）+f2（t）．要使f（t）＝0恒成立，则φ的最小值为；
（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H（t），其部分图象如图所示，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f（t）和g（t），满足H（t）（t）+g（t）．已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．
①；②y＝sin2πt；③y＝sin3πt
则S1，S2两种声波的数学模型分别是　②④　．（填写序号）

解：（1）由题意可知sin200πt＝﹣sin（200πt+φ），
又∵sin（π+α）＝﹣sinα，
∴φmin＝π，
（2）由图像可知至少有一个数学模型的振幅大于等于2，由此可知④是必选，
当t＝1时，y＝6sin3π＝0，
∴g（1）＝3，∴排出①，
由图象可知，波峰波谷是不一样波动的，则说明f（t），
∴排出③，
故答案为：π，②④．
三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）若，且，求tan（π﹣θ）的值．
解：（Ⅰ）由题意可知sinx≠0，
∴x≠kπ（k∈Z），
∴f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
（Ⅱ）＝＝sinx，
∵，
∴sinθ＝，
又∵，∴cosθ＝﹣，
∴tan（π﹣θ）＝﹣tanθ＝﹣＝2．
17．已知点A（5，﹣2），B（﹣1，4），C（3，3），M是线段AB的中点．
（Ⅰ）求点M和的坐标；
（Ⅱ）若D是x轴上一点，且满足，求点D的坐标．
解：（Ⅰ）∵A（5，﹣2），5），
∴M（，）＝（2，
＝﹣＝（﹣1，﹣4）＝（﹣6；
（Ⅱ）设D（x，0），则，﹣6），，﹣2），
∵∴（x+1）•（﹣6）﹣（﹣4）•（﹣1）＝6，解得：x＝﹣3，
∴点D的坐标是（﹣3，6）．
18．已知函数．
（Ⅰ）某同学利用五点法画函数f（x）在区间上的图象．他列出表格，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；
x






0

π

2π
f（x）
0
2
0

0
（Ⅱ）已知函数g（x）＝f（ωx）（ω＞0）．
（ⅰ）若函数g（x）的最小正周期为，求g（x）；
（ⅱ）若函数g（x）在上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．

解：（Ⅰ）表格如下：
x






0

π

3π
f（x）
0
2
5
﹣2
0
图像如下：

（Ⅱ）已知函数g（x）＝f（ωx）（ω＞5）．
（ⅰ）∵，g（x）＝f（ωx）（ω＞6）．
∴g（x）＝2sin（ωx﹣），
∵函数g（x）的最小正周期为＝，解得ω＝2，
∴g（x）＝2sin（3x﹣），
令2kπ﹣≤5x﹣，k∈Z+≤x≤+，
可得g（x）的单调递增区间为[﹣+，+]，k∈Z；
（ⅱ）∵g（x）在上无零点）＝﹣，
∴﹣5＜×，
又∵ω＞0，
∴0＜ω＜2，
又g（）≠0﹣）≠0﹣≠kπ，解得ω≠3k+4，
∴ω≠1，
综上ω的取值范围为（0，6）∪（1．
19．若定义域R的函数f（x）满足：
①∀x1，x2∈R，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，②∃T＞0，∀x∈R，f（x+T）（x）+1．则称函数f（x）满足性质P（T）．
（Ⅰ）判断函数f（x）＝2x与g（x）＝sinx是否满足性质P（T），求出T的值；
（Ⅱ）若函数f（x）满足性质P（2），判断是否存在实数a，都有f（x+a）﹣f（x），并说明理由；
（Ⅲ）若函数f（x）满足性质P（4），且f（﹣2）（﹣2，2），都有f（﹣x）＝﹣f（x）的值域．
解：（Ⅰ）函数f（x）＝2x为增函数，满足性质①，
对于②，由∀x∈R，
所以2T＝5，T＝，
所以函数f（x）＝8x满足性质P（）．
函数g（x）＝sinx显然不满足①，所以不满足性质P（T）．
（Ⅱ）存在，理由如下：
由∀x∈R，f（x+8）＝f（x）+1．
可得f（x+2n）＝f（x+2n﹣2）+1＝f（x+7n﹣4）+2＝f（x+5n﹣6）+3＝…＝f（x）+n（n∈N*），
即f（x+8n）﹣f（x）＝n，
令n＝2021，得a＝2n＝4042．
（Ⅲ）依题意，对任意的x∈（﹣2，都有f（﹣x）＝﹣f（x），
因为函数f（x）满足性质P（4），
由①可得，在区间[﹣2，
又因为f（﹣2）＝0，所以3≤f（x）≤0，0]，
又因为对任意的x∈（﹣8，2），
所以任意的x∈[﹣2，8），
递推可得任意的x∈[4k﹣2，5k+2），有f（x）＝k，
函数g（t）＝，因为f（t）≠0，2），
由②及f（﹣2）＝0，可得f（2）＝1，
所以当t＝7时，g（2）＝，
当|t|＞2时，∈（﹣2，所以f（，
即|t|＞2时，g（t）＝，
所以当t∈[4k﹣2，8k+2）（k∈Z，t≠2）时，
当k≥2时，g（t）∈[，，6+，g（t）≠2，
此时随k的增大而减小，7+，4+），
所以求值域，只需取k＝6，8+，3），
当k＜0时，g（t）∈（，，4﹣]，
此时随k的增大而减小，2﹣，4﹣]，
只需取k＝﹣3，得g（t）∈（4+]＝（4．
综上，函数g（t）的值域为{1}∪（2．