类型三 新解题方法型-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型三新解题方法型

【典例1】求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数．

例如：求91与56的最大公约数

　91－56＝35

56－35＝21

35－21＝14

21－14＝7

14－7＝7

所以，91与56的最大公约数是7.

请用以上方法解决下列问题：

(1)求108与45的最大公约数；

(2)求三个数78、104、143的最大公约数．

【典例2】数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究：求不等式|x－1|< 2的解集

(1)探究|x－1|的几何意义

 (2)求方程|x－1|＝2的解

(3)求不等式|x－1|<2的解集

因为|x－1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围．

请在图②的数轴上表示|x－1|<2的解集，并写出这个解集．

【典例3】古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则AD的长就是所求方程的解．

(1)请用含字母a、b的代数式表示AD的长．

(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．

第3题图

【典例4】请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二的解答．

引例：设a，b，c为非负实数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)，

分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a＋b＋c的正方形来研究．

解：如图①，设正方形的边长为a＋b＋c，

则AB＝，BC＝，CD＝，

显然AB＋BC＋CD≥AD，

∴＋＋≥(a＋b＋c)．

探究一：已知两个正数x，y，满足x＋y＝12，求＋的最小值(图②仅供参考)；

探究二：若a，b为正数，求以，，为边的三角形的面积．

第4题图