类型三 其他规律-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型三 其他规律

观察、归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程.相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到.

    考查知识分为两类：①是数字或字母规律探索型问题；②是几何图形中规律探索型问题．

1．数式归纳

题型特点：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后观察猜想其中蕴含的规律，归纳出用某一字母表示的能揭示其规律的代数式或按某些规律写出后面某一项的数或式子．

解题策略：一般是先写出数或式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式．

2．图形变化归纳

题型特点：观察给定图形的摆放特点或变化规律，归纳出下一个图形的摆放特点或变化规律，或者能用某一字母的代数式揭示出图形变化的个数、面积、周长等规律特点．

解题策略：多方面、多角度进行观察比较得出图形个数、面积、周长等的通项，再分别取n＝1，2，3…代入验证，都符合时即为正确结论．

由于猜想归纳本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点.

1．在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是　    　；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=　         　（用含n的代数式表示）．

【答案】3或4，6n-3

【点拨】

根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案．

【解析】

解：如图：

当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1）（1，2）（2，1），共三个点，所以当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；

因为△AOB内部（不包括边界）的整点个数=[（点B的横坐标-1）×（点A的纵坐标-1）-3]÷2，

所以当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=[（4n-1）×（4-1）-3]÷2=6n-3；

故答案为：3或4，6n-3．

【总结】此题考查了点的坐标，关键是根据题意画出图形，找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系，考查数形结合的数学思想方法．

2我们常常用火柴棒搭几何图形探究其中的数学规律，如图是用火柴棒搭几何图形的学习实践活动，请根据几何图形思考并完成下列问题：

（1）填表：

（2）搭第n个这样的图形需要　      　根火柴棒；

（3）如果小红现有123根火柴棒，用它可搭出　    　个图1大小的梯形．

【答案】

（1）图1有5根火柴棒，图2有9根火柴棒，图3有13根火柴棒；

（2）搭第n个这样的图形需要5n﹣（n﹣1）=1+4n根火柴棒，故答案为：1+4n；

（3）设小红现有123根火柴棒可搭出n个图1大小的梯形，则1+4n=123，解得：n=30，

即小红现有123根火柴棒可搭出30个图1大小的梯形，故答案为：30．

3．在一平直河岸同侧有A，B两个村庄，A，B到的距离分别是3 km和2 km，AB＝a km(a＞1)．现计划在河岸上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．

    方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：如图①所示是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1 (km)，且(km)(其中BP⊥l于点P)；如图②所示是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且(km)(其中点A′与点A关于对称，A′B与交于点P)．

    观察计算

    (1)在方案一中，d1＝________km(用含a的式子表示)；

    (2)在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图③所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝________km(用含a的式子表示)．

    探索归纳

(1)①当a＝4时，比较大小：d1________d2(填“＞”、“＝”或“＜”)；

②当a＝6时，比较大小：d1________d2(填“＞”、“＝”或“＜”)；

(2)请你参考方框中的方法指导，就a(当a＞1时)的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二?

【点拨】

观察计算：

（1）由题意可以得知管道长度为d1=PB+BA（km），根据BP⊥于点P得出PB=2，故可以得出d1的值为a+2．
（2）由条件根据勾股定理可以求出KB的值，由轴对称可以求出′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值就是管道长度．
探索归纳：

（1）①把a=4代入d1=a+2和d2=就可以比较其大小；
②把a=6代入d1=a+2和d2=就可以比较其大小；

（2）分类进行讨论当d1＞d2，d1=d2，d1＜d2时就可以分别求出a的范围，从而确定选择方案．

【解析】

解：观察计算

    (1)a+2；(2)．

探索归纳

(1)①＜；②＞．

(2)．

①当4a-20＞0，即a＞5时，，

∴．∴；

②当4a-20＝0，即a＝5时，，

∴．∴d1＝d2；

③当，即a＜5时，，

∴．∴．

综上可知：当a＞5时，选方案二；

当a＝5时，选方案一或方案二；

当l＜a＜5时，选方案一．

【总结】

本题根据课本中所熟知的背景，打破原有的条条框框，开展探究性学习，最后通过科学的计算，推导出新的结论，即当1＜a＜5时选方案一，体现了平时教学中，学生开展课题学习，培养质疑精神的可贵．

4．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0），B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2015到x轴的距离是　      　．

【点拨】

根据勾股定理可得正方形A1B1C1D1的边长为，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第2015个正方形和第2015个正方形的边长，进一步得到点A2015到x轴的距离．

【解析】

如图，∵点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，B1C1∥B2C2∥B3C3，

∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△C1E1D1，…，

∴B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=…，

∴B2015E4017=，

作A1E⊥x轴，延长A1D1交x轴于F，

则△C1D1F∽△C1D1E1，

∴，

在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1，

正方形A1B1C1D1的边长为，

∴D1F=，

∴A1F=，

∵A1E∥D1E1，

∴，

∴A1E=3，

∴，

∴点A2015到x轴的距离是，

故答案为

【总结】

此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各边长是解题关键．

5．如图，从原点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第6个半圆的面积为　   　（结果保留π）．

【点拨】

根据已知图形得出第5个半圆的半径，进而得出第5个半圆的面积，得出第n个半圆的半径，进而得出答案．

【解析】

∵以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；

以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；

以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；

以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，

∴第5个半圆的直径为16，

根据已知可得出第n个半圆的直径为：2n﹣1，

则第n个半圆的半径为：=2n﹣2，

第n个半圆的面积为：=22n﹣5π．

所以第6个半圆的面积为：128π．

故答案为：128π．

【总结升华】

此题主要考查了图形的变化规律，注意数字之间变化规律，根据已知得出第n个半圆的直径为：

2n﹣1是解题关键．