初二数学上册秋季班培优讲义 第1讲 三角形的初步认识

模块一  三角形中的基本概念定  义示例剖析三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性.表示法及读法：三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”．的三边有时也用a，b，c表示．顶点A的对边a（BC）顶点B的对边b（AC）顶点C的对边c（AB）三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.，，是的内角三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.如图，，，是的外角.三角形的分类：注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）．   锐角三角形  直角三角形   锐角三角形  不等边三角形  等腰三角形  等边三角形
模块二  三角形的边和角1．三角形的边三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边．即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段．注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．      2．三角形的角定  义示例剖析三角形内角和定理：三角形三个内角和等于.如图，在中，．三角形内角和定理的三个推论：①推论1：直角三角形的两个锐角互余．②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角．如：外角，，．，，，三角形的外角和：每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和．三角形的外角和等于．注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的．∠1+∠2+∠3=360°
模块三  三角形中三条重要的线段定  义示例剖析三角形的角平分线：①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．②性质：三角形的三条角平分线交于一点．线段AD为的一条角平分线三角形的中线：①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．②性质：三角形的三条中线交于一点．线段AD为BC边上的中线三角形的高：①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点．总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点．线段AD为BC边上的高（1）木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB和CD），这样做的根据是（　　）A．矩形的对称性      B．矩形的四个角都是直角C．三角形的稳定性     D．两点之间线段最短 （2）试通过画图来判定，下列说法正确的是（　　）A．一个直角三角形一定不是等腰三角形  B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形  D．一个等边三角形一定不是钝角三角形（1）C；（2）D．【教师备课提示】这道题主要考查三角形的基本概念．
（1）两根木棒的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是a cm，则a的取值范围是___________． （2）下列不能构成三角形三边长的数组是（    ）A．、、         B．、、  C．、、        D．、、 （3）（七中育才半期）有3cm、6cm、8cm、9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（    ）A．1    B．2     C．3     D．4（1）；（2）D；（3）C．（1）已知三角形中两边长为2和7，若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为_____． （2）a、b、c为三角形的三边长，化简       ．（1）第三边长x的取值范围是，由周长为奇数，可知x为偶数，所以第三边的长为6或8．（2）．（1）若三角形的周长为60，求最大边的范围． （2）设m、n、p均为自然数，足，，试问以m、n、p为边长的三角形有多少个?（1）设最大边为a，另外两边为b和c，则，，，∴．∴．．
（2）∵三角形三边关系定理，知，即，∴∵，，∴，∴∵p为自然数，∴p可取5、6、7当时，，；，；，；，；当时，，；，；当时，，．综上所述，以m、n、p为三边长的三角形共有7个．【教师备课提示】例2—例4主要考查三角形三边关系．（1）（青羊区期末）如图5-1，一个角的三角形纸片，剪去这个角后，得到一个四边形，则的度数为（    ）A．              B．              C．               D． （2）如图5-2，中，D为BC上点，，，，则的度数          ．            图5-1                               图5-2 （3）若一个三角形的三个外角的度数之比为，那么这个三角形是（    ）A．锐角三角形       B．直角三角形       C．钝角三角形       D．不能确定（1）A；（2）100°；（3）C．已知：如图，中，，，于D，CE是的平分线，BD与CE交于点F，求、的度数．∵（三角形内角和定理），∴．
∵，∴．  ∴（直角三角形的两个锐角互余）． ∴．  ∵CE是的平分线，∴,∴（三角形外角性质）．如图，由图7-1的沿折叠得到图7-2，图7-3，图7-4.（1）如图7-2，猜想与的关系，并说明理由；（2）如图7-3，猜想和与的关系，并说明理由；（3）如图7-4，猜想和与的关系，无需说明理由．         图7-1             图7-2              图7-3            图7-4（1）；证明：∵（三角形内角和），，（平角度数）；∴（等量代换）；∴．（2），证明略．（3）．【教师备课提示】例5—例7主要考查三角形内外角的关系．（1）（嘉祥半期）如图，在中，，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上的一点，于H．下列判断正确的有（    ）A．AD是的角平分线　　　　　　B．BE是边AD上的中线C．CH为边AD上的高　　　　　D．AH为的角平分线
（2）下列说法正确的是（　　）A．三角形的角平分线、中线和高都是线段  B．直角三角形只有一条高线C．三角形的中线可能在三角形的外部   D．三角形的高的交点在三角形内部（1）C；（2）A．【教师备课提示】这道题主要考查三角形三条重要线段的概念．（1）如图，CH、AD分别为的高与中线，若的面积为2，，则_________． （2）已知的高为AD，，，则的度数为______． （3）在中，，AC边上的中线BD把的周长分成12cm和15cm两部分，则三角形的各边的长为_____________．（1）；（2）或；（3）8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm．【教师备课提示】这道题主要考查三角形中高和中线的计算．（1）如图10-1，BO、CO分别是中和的平分线，则与的关系是____________________（直接写出结论）； （2）如图10-2，BO、CO分别是两个外角和的平分线，则与的关系是____________________，请证明你的结论． （3）如图10-3，BO、CO分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是____________________，请证明你的结论．图10-1                   图10-2                   图10-3
（1）；（2）；证明：∵BD平分  ∴同理可证：∴ ∵，∴∴  （3）  证明：∵CO平分，BO平分∴，∵是的外角，∴ ∵是的外角，∴，∴．【教师备课提示】这道题主要考查三角形中角平分线的角度关系，希望孩子们可以自己推导出以后会经常应用．不等边三角形ABC的两条高长度为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．设第三边c边上高为h，三角形面积为S，高为4，12的两边为a，b，则有，，，．据三角形三边关系定理及推论，得，．为整数，所以或5．又三角形为不等边三角形，．
（1）如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是（    ）A．三角形的稳定性             B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线           D．垂线段最短 （2）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ）．A．1cm，2cm，5cm        B．4cm，5cm，9cmC．5cm，8cm，15cm 　    D．6cm，8cm，9cm （3）下列线不能组成三角形的是（    ）
A．2，2，3，         B．2，3，4C．32，42，52         D．（1）A；（2）D；（3）C．（1）若三角形的三边长为3，4，，则偶数的值有           ． （2）已知三角形的两边为8、10，则周长l的范围为           ． （3）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是3和2011，则三角形的第三边是             ． （4）已知、、为三角形的三边长，化简       ．（1）2，4，6；（2）；（3）设第三边边长为a，且，又周长为偶数，故或2012.（4）∵三角形任意两边之和大于第三边∴，， ∴原式．
周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？设三角形的三边长为、、，且，则有故，；又，，即当时，有5组解：，；，；，；，；，；当时，有组解：，；，；，；，；当时，有2组解：，；，； 当时，有1组解：，；故周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个．（1）中，，则________． （2）在中，若，，则   　　　   ．（3）如图，的高CD、BE相交于O，如果，那么的度数为（　　）A．        B．  C．       D．  （1）；（2）105°；（3）C．（1）下列命题错误的是（　　）A．三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形B．三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角C．三角形的中线、高线和角平分线都在三角形内部D．三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性
（2）如图，BD和CE是的高，BD和CE交于H，已知，，则        ．（1）C；（2）.（1）如图6-1，中，，，BP平分，CP平分．则的度数______________． （2）如图6-2，点M是两个内角平分线的交点，点N是两个外角平分线的交点，如果，则的度数为（　　）A．     B．    C．    　  D． （3）如图6-3所示，，的内角平分线交于点O，的内角平分线与的外角平分线交于点D，与的相邻外角平分线交于点E，且，则______，_______，_______． 图6-1　　　　　　　　图6-2　　　　　　　  　　　图6-3（1）；（2）A；（3），，．