专训11.1.2-3 三角形的重要线段与稳定性八年级上册考点专训（人教版） 试卷

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专训11.1.2-3 三角形的重要线段与稳定性一、单选题1．如图所示，具有稳定性的有（   ）A．只有（1），（2） B．只有（3），（4） C．只有（2），（3） D．（1），（2），（3）【答案】C【分析】根据三角形具有稳定性而四边形不具有稳定性判断即可．【详解】由于四边形不具有稳定性，故（1）不具有稳定性；根据三角形的稳定性，图中具有稳定性的有（2），（3），而（4）虽然含有三角形，但右侧的四边形不具稳定性，所以整体也就不具稳定性．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的稳定性性质，四边形的不稳定性，无论是三角形的稳定性还是四边形的不稳定性，它们在生产生活中都有着广泛的应用．2．如图，在直角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，DEBC，若点A到DE的距离是1，则DE与BC之间的距离是（　　）A．2 B．1.4 C．3 D．2.4【答案】B【分析】根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可．【详解】解：∵在直角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴点A到BC的距离＝＝，∵DE∥BC，∴DE与BC的距离是﹣1＝＝1.4．故选：B．【点睛】此题主要考查了点到直线的距离，关键是掌握三角形的面积公式．3．如图，木工师傅做窗框时，常常像图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（    ）A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短C．长方形的轴对称性 D．两直线平行，同位角相等【答案】A【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【详解】解：这样做的数学原理是三角形的稳定性．故选：A．【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．4．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则S△ABC的面积为（　　）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】利用割补法求△ABC面积等于大正方形面积-三个三角形面积即可．【详解】解：在网格中添加字母如图，S△AEB=，S△AFC=，S△BGC=，S正方形=，∴S△ABC= S正方形- S△AEB- S△AFC- S△BGC=9-1-3-．故选择C．【点睛】本题考查网格三角形面积，掌握用割补法求网格三角形面积的方法是解题关键．5．已知是的中线，，，且的周长为11，则的周长是（    ）A．14 B．9 C．16 D．不能确定【答案】B【分析】根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．【详解】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∵△ABD的周长为11，AB=5，BC=3，∴△BCD的周长是11-（5-3）=9，故选：B．【点睛】本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．6．如图，的角平分线与中线相交于点，有下列两个结论：①是的角平分线；②是的中线，其中，（    ）A．只有①正确 B．只有②正确C．①和②都正确 D．①和②都不正确【答案】C【分析】由AD是的角平分线，可以得到AD平分∠BAE，是的中线，得到点E是AC的中点，得到结论．【详解】解：∵AD是的角平分线，∴AD平分∠BAE，∴是的角平分线，说法正确；∵是的中线，∴点E是AC的中点，∴DE是AC边上的中线，∴是的中线，说法正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、中线的定义，关键在于理解角平分线的定义和中线的定义．7．三角形的角平分线、中线、高线（       ）A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段C．高线是直线，其余为线段 D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段【答案】A【分析】根据三角形的角平分线、中线、高线的定义进行判断．【详解】由三角形的角平分线、中线、高线的定义可得，三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段；A选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段都是线段，故正确；B选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；C选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；D选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；故选：A．【点睛】考查了三角形的角平分线、中线、高线，三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．8．下列说法正确的是（    ）A．三角形的角平分线是射线B．过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线C．锐角三角形的三条高交于一点D．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部【答案】C【分析】根据三角形角平分线，中线，高线的概念，对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A. 三角形的角平分线是线段，故本选项不符合题意；B. 过三角形的顶点，且过对边中点的线段是三角形的一条中线，故本选项不符合题意；C. 锐角三角形的三条高交于一点，正确，故此选项符合题意；D. 三角形的内部三角形的中线、角平分线一定在三角形的内部，高线不一定在三角形的内部，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．9．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据三角形中线的性质得，则两个三角形的周长之差就是AB和AC长度的差．【详解】解：∵AD是中线，∴，∵，，∴．故选：B．【点睛】本题考查中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．10．如图，点，分别是边，上一点，，，连接，交于点，若的面积为18，则与的面积之差等于（    ）A．3 B． C． D．6【答案】A【分析】由的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．【详解】解：，，，，，，即①，同理：，，，，，即②，①②得：，故选：A．【点睛】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．二、填空题11．下图是跪姿射击的情形．我们可以看到，跪姿射击的动作构成了三个三角形∶一是由右脚尖、右膝、左脚构成的三角形支撑面；二是由左手、左肘、左肩构成的托枪三角形；三是由左手、左肩、右肩所构成的近乎水平的三角形．这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定．其中，蕴含的数学道理是___．【答案】三角形的稳定性【分析】直接根据题意进行解答即可．【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性；故答案为三角形的稳定性．【点睛】本题主要考查三角形稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．12．如图，中，点，分别在，上，与交于点，若，，，则的面积______．【答案】7.5．【分析】观察三角形之间的关系，利用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比，利用已知比例关系进行转化求解．【详解】如下图所示，连接，∵，，，∴ ,∴,,∴,,设，，∴ ，，由，可得， ，解得 ，∴，， ．故答案为：7.5．【点睛】本题考查的是等高同高三角形，应用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比进行求解是本题的关键．13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为____________．【答案】【分析】由题意得：BF⊥AC，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案．【详解】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，∴BF⊥AC，∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，∴，∴，∴CE：AD：BF=，故答案是：．【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．14．是的边上的中线，若的周长比周长大5，则与的差为________．【答案】5【分析】依据三角形中线的定义，即可得到BD=CD，再根据△ABD的周长比△ACD的周长大5，即可得出AB与AC的差为5．【详解】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD=CD，又∵△ABD的周长比△ACD的周长大5，∴(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=5，即AB-AC=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．15．如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多______．【答案】2【分析】由是的中线，可得 再利用，可得答案．【详解】解： 是的中线， 故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键．16．如图，在中，点D为边上一点，且，E、F分别为、的中点，且的面积为a，则的面积为________．【答案】【分析】根据中点的定义和三角形面积关系逐步推出S△ACD=2S△CDE=4a，再根据BD：CD=2：3，得到S△ACD=S△ABC，再计算即可．【详解】解：∵F为CE中点，S△DEF=a，∴S△CDE=2S△DEF=2a，∵E为AD中点，∴S△ACD=2S△CDE=4a，∵BD：CD=2：3，∴S△ABD：S△ACD=2：3，∴S△ACD=S△ABC，∴S△ABC=，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．17．下列是利用了三角形的稳定性的有_______个．①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条【答案】3【分析】只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性．【详解】解：①自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性；②校门口的自动伸缩栅栏门，利用了四边形的不稳定性；③照相机的三脚架，利用了三角形的稳定性；④长方形门框的斜拉条，利用了三角形的稳定性．故利用了三角形稳定性的有3个．故答案为：3．【点睛】此题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在实际生活中的应用．三、解答题18．如图，ADBC，，求三角形ABC与三角形ACD的面积之比．【答案】【分析】求两个三角形的面积之比，当两个三角形的高相等，面积之比等于底边长度之比．【详解】解：因为（已知）所以三角形ABC与三角形ACD的高相等（平行线间的距离处处相等）所以（两三角形高相等，面积比等于底之比）故答案是：．【点睛】本题考查两个三角形的面积之比，解题的关键是：确定高相同，面积之比就等于底之比．19．如图所示，AD、CE分别是△ABC的高，BC=12，AB=10，AD=6，求CE的长．【答案】CE=7.2．【分析】根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．【详解】解：∵AD、CE分别是△ABC的高，
 ∴S△ABC=BC•AD=AB•CE，∴×12×6=×10×CE，解得CE=7.2．【点睛】本题考查了三角形的面积，比较简单，根据同一个三角形的面积相等列出方程是解题的关键．20．如图，中，．（1）画出边上的中线；（2）画出边上的高；（3）中，所对的角是______，边上的高是________；（4）若时，则________．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）∠BAH，BH；（4）．【分析】（1）根据中线的定义画图即可；（2）根据高线的定义画图即可；（3）根据边角关系和高的定义即可得出答案；（4）根据等面积法计算即可．【详解】解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）中，所对的角是∠BAH，边上的高是BH，故答案为：∠BAH，BH；（4）若时，，即，解得故答案为：．【点睛】本题考查作高线和中线，三角形中边角关系．掌握相关定义和等面积法是解题关键．21．如图每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．（1）画出的AB边上的中线CD；（2）画出向右平移4个单位后得到的；（3）图中AC与的关系是：_________；（4）图中的面积是_________；（5）在现有的网格中，与的面积相等的格点Q共有_________一个．（点Q异于C）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）且；（4）8；（5）5【分析】（1）结合格点的特点和三角形中线的定义作图；（2）根据平移的性质先描点然后连线作图；（3）根据平移的性质求解；（4）利用割补法求三角形面积；（5）根据同底等高的三角形面积相等求解．【详解】解：（1）CD即为所求；（2）即为所求；（3）由平移性质可得：且故答案为：且（4）故答案为：8（5）根据同底等高的三角形面积相等，在现有的网格中，与的面积相等的格点Q共有5个故答案为：5．
【点睛】本题考查三角形中线的定义及三角形面积的计算，掌握概念并利用格点的特点作图是解题关键．22．已知的周长为，是边上的中线，．（1）如图，当时，求的长．（2）若，能否求出的长？为什么？【答案】（1）6cm；（2）不能求出的长，理由见解析【分析】（1）根据，及的周长为，可求得BC，再根据三角形中线的性质解答即可；（2）利用（1）中的方法，求得BC的长度，然后根据构成三角形的条件，可判断出△ABC不存在，进而可知没法求DC的长．【详解】解：（1）∵，，∴，又∵的周长为，∴，∴，又∵是边上的中线，∴；（2）不能，理由如下：∵，，∴，又∵的周长为，∴，∴，∴BC+AC=16<AB=21，∴不能构成三角形，故不能求出DC的长．【点睛】此题考查三角形的中线、三角形的周长、构成三角形的条件，关键是根据三角形中线的性质解答