甘肃酒泉市第二教育集团2025-2026学年八年级下学期期中质量检测 数学试题（含解析）

这是一份甘肃酒泉市第二教育集团2025-2026学年八年级下学期期中质量检测 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，中，，，延长到点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
3. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，下列不等式变形中正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若用反证法来证明命题“若，则”，第一步应假设（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
8. 某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，答错或不答扣3分．要使总得分不少于70分，则应该至少答对几道题？若设答对x道题，可列式子为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，是的角平分线，，，那么与的面积之比是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
10. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到 以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共6题，每题3分，共18分）
11. 命题“如果，那么与互为补角”的逆命题为______．
12. 已知点．
（1）将其向左平移2个单位长度，得到的点的坐标为_______；
（2）将其向上平移4个单位长度，得到的点的坐标为__________．
13. 若一个多边形的内角和与外角和之比为，则该多边形的边数为_______．
14. 已知点在第二象限，则的取值范围是___________．
15. 如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______．
16. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为________．
三、解答题（本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 解下列不等式（组），并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）；
（2）；
（3）．
18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点的中心对称图形；
（3）求的面积．
19. 如图，，，，垂足分别为，分别交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
20. 如图，于E，交的延长线于点F．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长．
21. 某学校为打造“书香校园”，准备购买一批图书．甲书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书总价可打八折．乙书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书总价可打七折．
（1）请直接写出甲、乙两家书店付款金额y(元)与购买金额x(元)之间的关系式；
（2）如果只能在甲、乙两种付款方式中选择一种，选择哪个书店更合算？
22. 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：
（1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
（2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
23. 如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求的面积；
（2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
数学
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解．
解答过程：解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意．
故选：D．
2. 如图，中，，，延长到点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：解：∵，
∴，
∴．
3. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，依次判断各选项中的三角形是否为直角三角形，即可得到答案．
解答过程：解：A：，，，则，由勾股定理逆定理得是直角三角形，不符合要求；
B：设三边长为，，（），则，由勾股定理逆定理得是直角三角形，不符合要求；
C：，且，是直角三角形，不符合要求；
D：设三个内角为，，，则，解得，
三个内角分别为，，，没有直角，不是直角三角形，符合要求．
4. 已知，下列不等式变形中正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：解：A、∵，不等式两边同时减2，不等号方向不变，∴，A变形错误；
B、∵，当时，，此时，B变形错误；
C、∵，不等式两边同时乘，不等号方向改变，∴，C变形正确；
D、∵，不等式两边同时乘5，再加2，不等号方向不变，∴，D变形错误．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了一元一次不等式组解集的求解，在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式①②的值，得到不等式组的解集，再将其解集表示在数轴上即可．
解答过程：解：
，解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为：，
将解集在数轴上表示如下图：
，
故选：C．
6. 若用反证法来证明命题“若，则”，第一步应假设（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
解答过程：解：用反证法来证明命题“若，则”，
第一步假设，
故选：C．
方法提示：本题考查反证法，解题度关键是懂得反证法的意义及步骤．
7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
答案：C
解析：
思路：本题考查垂直平分线的知识，掌握垂直平分线的尺规作图和性质是解题的关键．根据垂直平分线的尺规作图和性质，得，根据，即可．
解答过程：解：由题意得，是的垂直平分线，
，
，
，
，，
，
．
故选：C．
8. 某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，答错或不答扣3分．要使总得分不少于70分，则应该至少答对几道题？若设答对x道题，可列式子为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：根据总得分不少于70分，列出不等式即可．
解答过程：解：答对x道题，则答错或不答的题共道，由题意，得：
；
故选D．
方法提示：本题考查一元一次不等式的应用．理清等量关系，正确的列出不等式，是解题的关键．
9. 如图，是的角平分线，，，那么与的面积之比是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
答案：B
解析：
思路：本题考查角平分线的性质等．过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得答案．
解答过程：解：过点D作交延长线于点E，于点F，
∵为的角平分线，
，
．
故选：B．
10. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到 以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先根据初始点和绕原点顺时针转的坐标变换规律，算出前次旋转后的坐标，发现周期为；再用除以，余数为，故第次旋转后坐标与第次相同，为．
解答过程：解：由图可得，初始点的坐标为，
绕原点顺时针旋转的坐标，旋转后的对应点坐标：
第次旋转后：；
第次旋转后：；
第次旋转后：；
第次旋转后：，回到初始坐标，
∴每旋转次，坐标会循环一次（旋转，回到原位置），周期为，
∴，余数为，
说明第次旋转后坐标和第次旋转后坐标相同，为．
二、填空题（共6题，每题3分，共18分）
11. 命题“如果，那么与互为补角”的逆命题为______．
答案：如果与互为补角，那么
解析：
思路：本题主要考查了求一个命题的逆命题，把原命题的结论与条件互换作为命题的条件和结论即可得到答案．
解答过程：解：命题“如果，那么与互为补角”的逆命题为如果与互为补角，那么．
故答案为：如果与互为补角，那么．
12. 已知点．
（1）将其向左平移2个单位长度，得到的点的坐标为_______；
（2）将其向上平移4个单位长度，得到的点的坐标为__________．
答案： ①. ②.
解析：
思路：根据点的平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可解答．
解答过程：解：点将其向左平移2个单位长度，横坐标减，得到的点的坐标为；
点将其向上平移4个单位长度，纵坐标加，得到的点的坐标为．
13. 若一个多边形的内角和与外角和之比为，则该多边形的边数为_______．
答案：9
解析：
思路：本题考查多边形的内角和和外角和的综合，根据n多边形的内角和公式和外角和为列方程求解即可．
解答过程：解：设该多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得，即该多边形的边数为9，
故答案为：9．
14. 已知点在第二象限，则的取值范围是___________．
答案：
解析：
思路：根据第二象限内点的坐标特征，横坐标小于0，纵坐标大于0，列出不等式求解即可得到的取值范围．
解答过程：解：因为点在第二象限，
∴
解得：
15. 如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______．
答案：
解析：
思路：根据函数图象，得到当 时，的图象在的图象下方，即可得到答案．
解答过程：解：根据函数图象，直线与直线 的交点的横坐标为，
当 时，的图象在的图象下方，
所以不等式的解集为．
16. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为________．
答案：56
解析：
思路：本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．
根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．
解答过程：解：由平移的性质知，，，
，
∵平移，
，
，
故答案为：56．
三、解答题（本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 解下列不等式（组），并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）；
（2）；
（3）．
答案：（1），数轴表示见解析
（2），数轴表示见解析
（3），数轴表示见解析
解析：
思路：（）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可；
（）把一元一次不等式转化为不等式组，求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可；
（）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可；
（1）解：去分母，得，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得，
系数化为，得，
不等式的解集在数轴上表示为：
；
（2）解：不等式可化为，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式的解集为 ，
不等式的解集在数轴上表示为：
；
（3）解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点的中心对称图形；
（3）求的面积．
答案：（1）画图见解析
（2）画图见解析 （3）
解析：
思路：（）根据平移的性质画出图形即可；
（）根据中心对称图形的性质画出图形即可；
（）利用割补法计算即可；
本题考查了平移作图，作中心对称图形，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：．
19. 如图，，，，垂足分别为，分别交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
思路：本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键．
（1）根据题意，运用“斜边直角边”即可求解；
（2）根据题意，运用三角形的外角和性质得到，即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 如图，于E，交的延长线于点F．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析 （2）6
解析：
思路：此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，证明是解题的关键．
（1），则，根据角平分线的判定即可得到结论；
（2）由（1）可得，证明，则，即可得到的长．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
又，
∴平分；
（2）解：由（1）可得，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
21. 某学校为打造“书香校园”，准备购买一批图书．甲书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书总价可打八折．乙书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书总价可打七折．
（1）请直接写出甲、乙两家书店付款金额y(元)与购买金额x(元)之间的关系式；
（2）如果只能在甲、乙两种付款方式中选择一种，选择哪个书店更合算？
答案：（1）；
（2）当购买图书总价不足1800元选甲书店，等于1800元两家一样，超过1800元选乙书店
解析：
思路：（1）根据题意列出甲和乙的函数关系式，即可求解；
（2）分情况讨论，列出不等式和方程，即可求解．
（1）解：甲书店：办卡费元，图书总价打八折，因此付款金额为： ．
乙书店：办卡费元，图书总价打七折，因此付款金额为： ．
（2）当​时：
解得，此时两家付款相同，一样合算．
当时：，
解得，此时选择甲书店更合算．
当时：，
解得，此时选择乙书店更合算．
综上所述，当购买图书总价不足1800元选甲书店，等于1800元两家一样，超过1800元选乙书店
22. 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：
（1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
（2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
答案：（1）每个篮球60元，每个足球50元
（2）当购买篮球4个的时候，所花费用最少
解析：
思路：本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键：
（1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可．
（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得：
或或，（三个方程组任选一个即可）
解得：；
答：每个篮球60元，每个足球50元．
（2）设蓝球有个，则足球有个
，
解得：，
设购买的总费用是元，
，
，
随着的减小而减小；
∵且为整数，
当最小值为4时，最小值为540元；
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少．
23. 如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求的面积；
（2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
答案：（1）
（2）出发秒后，能形成等腰三角形；
（3）当t为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形．
解析：
思路：（1）先求出和的长，则可求得的长，然后利用勾股定理计算即可；
（2）用t分别表示出和，根据为等腰三角形可得到，则可得关于t的方程，解方程即可；
（3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分、和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
（1）解：当时，则，，
∵，
∴，
∴的面积；
（2）解：由题意可知，，
∵，
∴，
当为等腰三角形时，则有，
即，
解得，
即出发秒后，能形成等腰三角形；
（3）解：①当时，如图1所示，
则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴秒；
②当时，如图2所示，
则，
∴秒；
③当时，如图3所示，
过B点作于点E，
则，
∴，
∴，
∴，
∴秒，
综上所述：当t为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形．
方法提示：本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同