吉林长春市公主岭市2025-2026学年九年级下学期数学中考第三学情自测试卷

这是一份吉林长春市公主岭市2025-2026学年九年级下学期数学中考第三学情自测试卷，共95页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．19的算术平方根为（ ）
A．±13B．13C．±33D．33
2．据统计，2026年春节假期，某市全市重点景区、星级酒店、乡村民宿等累计接待全域游客超7225000人次.数据7225000用科学记数法表示为（ ）
A．0.7225×107B．7.225×106C．7.225×105D．72.25×105
3．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线表达式是（ ）
A．y=x−22+3B．y=x−22−3C．y=x+22+3D．y=x+22−3
4．不等式-3x+2≥5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知关于x、y的方程组2x+3y=2a,2y+x=1的解满足、x+y=3，则a的值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若∠AOB=60°，BD=8，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．43D．5
7．如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B.若坡角为α，则甲、乙两人的水平距离BD可以表示为（ ）
A．（m-n）csα米B．（m-n）sinα米
C．m−ncsα米D．m−nsinα米
8．跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏.如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形ABCDEF以及六个等边三角形组成.以点C为坐标原点，CD所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系.若点P的横坐标为1，则点E的坐标为（ ）
A．（2，23）B．（3，3）C．（4，3）D．（3，23）
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．分解因式：2x2y−16xy+32y= .
10．如图，l是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄A，B，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点M，则小聪设计的理由是 ．
11．如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且CM=2，则⊙O的直径等于 .
12．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD=2：3，△DEF的周长等于15，则△ABC的周长为 .
13．如图，将正方形ABCD沿对角线AC方向平移得到正方形EFGH，如果平移距离为3，且AE=13AC,那么点A到点G的距离是 .
14．如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC，点A的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于点D，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC的延长线于点E，且OB·AC=160，有下列四个结论：
①反比例函数的关系式为y=32x（x＞0）；②点C的坐标是（6，8）；③sin∠COA=45；④AC+OB=65，其中正确的结论有 .（填序号）.
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．先化简：2x−1−1÷x2−6x+9x−1,再从1，2，3三个数中选择一个合适的数代入求值.
16．剪纸窗花是我国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱.手工制作课上，小轩剪了4张窗花，然后将其粘在大小相同的正面是白色的卡片（背面完全相同）上，然后将这些卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上.
（1）若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的窗花图案是“中心对称图形”的概率是 ；
（2）若小轩从中随机抽取一张卡片，记录下窗花的图案，放回洗匀，再从中随机抽取一张，记录下窗花的图案.请用列表或画树状图的方法，求两次记录的窗花图案均是“轴对称图形”的概率.
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=BC,∠A=90∘,点E在CD边上，点F是AD边的中点，且AB∥CF,FE⟂CD于点E，延长FE交BC的延长线于点G，连结BF.
（1）求证：四边形ABCF是正方形；
（2）若BF=4，求BG的长.
18． 2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队.为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看.已知矩形大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序.如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米?
19．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F均在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画轴对称图形，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法.
（1）在图①中，四边形ABMN的面积为4；
（2）在图②中，四边形CDPQ的面积为10；
（3）在图③中，四边形EFGH的面积为12.
20．教师群体的心理健康状况值得特别关注.某区为了解教师心理健康现状，从本区随机抽取a名教师进行心理健康测评，测评标准如下：
【数据处理】
将收集到的数据整理成以下两幅统计图：
【数据应用】
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）补全条形统计图；
（3）在抽取的教师中，得分为中位数的教师心理健康等级处于 ；
（4）调查发现，心理健康等级为E的教师中，通过单次专业心理干预，约有80%的教师心理获得正向改善，恢复了健康.若该区共有教师2900名，问心理健康等级为E的教师都经过单次专业心理干预后，约有多少名教师获得正向改善，恢复了健康?
21．为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工.开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长.设铺设光缆时间为x（单位：天），工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示.
（1）完成这个光缆铺设工程用了 天；
（2）求乙队y关于x的函数关系式；
（3）甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天?
22．综合与实践
【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一动点，过点D作DE的垂线，过点C作AC的垂线，两垂线相交于点F，作射线FE，分别交边AB，CD于点G，H.试探究线段EG与FH的数量关系.
小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下.
（1）【观察猜想】
小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究.
如图①，若E是对角线AC的中点，则线段EG与FH的数量关系为 ；
（2）【推理验证】
小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图②的情形判断他的说法是否正确，并说明理由；
（3）【拓展应用】
已知正方形ABCD的边长为3，当AE=23AC时，请直接写出线段GF的长.
23．如图，在平行四边形ABCD中，AB⟂AC,AB=CD=6,∠ACB=30∘,点P在边AD上运动，以点P为圆心，PA长为半径的⊙P与对角线AC交于A、E两点，交AD于A、F两点.
（1）当E为AC中点时，求AP的长；
（2）①连结ED，当⊙P与ED相切于点E时，求AP的长；
②当AP=2时，通过计算比较弦AE和EF的大小关系；
（3）当⊙P与平行四边形ABCD的边BC恰好有一个公共点时，直接写出AP的值或取值范围.
24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c经过（0，-3）、（-1，0）.已知点A在抛物线上，横坐标为m，将A向右平移两个单位长度得到点P，点M坐标为（1，1），作点A关于点M对称点为点B，点P关于点M对称点为点C，当点A、B、C不在同一条直线上时，以AB、BC为边作▱ABCD.
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求证：AD=2；
（3）若线段AB被y轴分成1：2的两部分，求m的值；
（4）点N的坐标为（1，0），连结NA、ND，当∠DNA=∠NDC+∠NAB,直接写出m的取值范围（这里.∠DNA、∠NDC、∠NAB均是大于0∘且小于180∘的角）.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】2y（x-4）2
10．【答案】两点之间线段最短
11．【答案】10
12．【答案】6
13．【答案】12
14．【答案】①②③
15．【答案】解：原式=13−x,∵x≠1且x≠3，∴x取2.当x=2时，原式=1.
16．【答案】（1）14
（2）画树状图如图.
观察4张卡片上的窗花图案，是轴对称图形的有A和D两张卡片，共有16种等可能的结果，其中两次记录的窗花图案恰好都是轴对称图形的结果有4种，∴两次记录的窗花图案均是“轴对称图形”的概率为416=14.
17．【答案】（1）证明：∵AB∥CF，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，
∵∠A=90∘,∴四边形ABCF是矩形，
∵AB=BC，∴四边形ABCF是正方形.
（2）解：42
18．【答案】解：设过道的宽为x米，
根据题意，得（50-2x）（40-x）=1872，
解得x1=1,x2=64（不符合题意，舍去）.
答：过道的宽应该设计为1米.
19．【答案】（1）如图①，四边形ABMN即为所求
（2）如图②，四边形CDPQ即为所求
（3）如图③，四边形EFGH即为所求
20．【答案】（1）200；16；38
（2）补全条形统计图如图所示，
（3）C
（4）2900×5%×80%=116（名）.
答：约有116名教师获得正向改善，恢复了健康.
21．【答案】（1）14
（2）设乙队y关于x的函数关系式为y=kx+b，
由题意，得b=6000,14k+b=3200,
解得b=6000,k=−200,
∴y=−200x+6000(0≤x≤14)
（3）甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天.
22．【答案】（1）EG=FH
（2）正确.理由如下：过点E作EM⊥AB于点M，过点F作FP⊥CD于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD=CD，∠ADC=90°，∠DAC=∠ACD=∠BAC=45°，∴∠ADE+∠EDC=90°.
∵DE⊥DF，∴∠EDC+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，
∵AC⊥CF，∴∠ACF=90°，∴∠DCF=∠ACF-∠ACD=90°-45°=45°，
∴∠DCF=∠ACD=∠DAC，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，
∵∠BAC=∠DCF=45°，ME⊥AB，PF⊥CD，∴∠EMG=∠FPH=90∘,ME=22AE,PF=22CF,
∵AE=CF,∴ME=PF,
∵AB∥CD，∴∠MGE=∠EHC=∠PHF，∴△MEG≌△PFH（AAS），∴EG=FH.
（3）GF的长为5103.
23．【答案】（1）AP=3.
（2）①AP=4.
②连结PE、EF，∵AP=PE=PF=2，∠CAD=∠ACB=30°，∴∠PAE=∠PEA=30∘,
∴∠APE=120∘,∠FPE=60∘,∴AE=AF⋅cs∠CAD=4×32=23,EF=60⋅π⋅2180=2π3,
∵3>π3,∴AE>EF.
（3）6