吉林长春市榆树市2026年中考第三次学情自测数学试题（含解析）中考模拟

这是一份吉林长春市榆树市2026年中考第三次学情自测数学试题（含解析）中考模拟，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：轴对称图形的定义为：沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，
选项A：存在一条竖直对称轴，沿对称轴对折后两边完全重合，是轴对称图形，
选项B：无法找到这样的直线，不是轴对称图形，
选项C：无法找到这样的直线，不是轴对称图形，
选项D：无法找到这样的直线，不是轴对称图形．
2. 钢城区是济南市东南门户，地处鲁中腹地、泰山东麓、汶水源头，为原莱芜钢铁基地核心区，其中一处工业园区的面积为5070000平方米，若将数字5070000用科学记数法表示，下列结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值．
【详解】解：．
3. 如图，用五个相同的小正方体搭成几何体，其主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：用五个相同的小正方体搭成几何体，其主视图为．
4. 若将抛物线向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移规律上加下减，进行平移即可．
【详解】解：向下平移3个单位长度可得：．
5. 如图，在中，弦，交于点E，连接，．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∴.
6. 如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：由题意得，在中，，
∴．
7. 如图，在中，，点D为线段上一点，将沿直线折叠后，点B落在点E处，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，折叠问题，由平行线的性质和折叠的性质可得，再利用角的和差即可求出．掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠得： ，
∵，
∴．
故选：C．
8. 如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线过点F，交AB于点E，连接EF．若，S△BEF＝4，则k的值为（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】由于，可以设F（m，n）则OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，则BE=，然后即可求出E（3m，n-），依据mn=3m（n-）可求mn=6，即求出k的值．
【详解】如图，过F作FC⊥OA于C，
∵，
∴OA=3OC，BF=2OC
∴若设F（m，n）
则OA=3m，BF=2m
∵S△BEF=4
∴BE=
则E（3m，n-）
∵E在双曲线y=上
∴mn=3m（n-）
∴mn=6
即k=6．
故选A．
此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E点坐标是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【详解】解：
10. 如图所示，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是_____．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段的性质，可得答案．
【详解】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线：垂线段最短．
11. 命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】
【分析】根据绝对值的性质判断真假即可．
【详解】解：∵3 ＞－5，但|3|＜|－5|，
∴命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题．
故答案为：假．
本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12. 如图，数轴上点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为__________．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴的点是解题的关键．由勾股定理得，求出，由即可求解．
【详解】解：由题意得，在中，，
，
设原点为，
，
表示的实数为．
故答案为：．
13. 如图，直线交于点O，．若，，．则的值为______．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在中，，于点，于点，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③线段与互相平分；④；⑤．其中正确的结论有________（填序号）．
【答案】①②⑤
【解析】
【分析】证明为等腰直角三角形再结合勾股定理即可判断①；利用平行四边形对角相等，直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②；连接，通过判断四边形是否为平行四边形即可判断③；根据和所满足的条件来判断④；利用平行四边形对边相等，以及等腰直角三角形的性质即可判断⑤．
【详解】解：∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，故②正确；
如图，连接，
根据题目条件无法得出四边形是平行四边形，无法推出线段与互相平分，故③错误；
和仅满足两个角对应相等，没有对应边相等的条件，故无法证明二者全等，故④错误；
∵四边形是平行四边形，
∴，
又，，
∴，故⑤正确；
综上，正确的有①②⑤．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
，
【解析】
【详解】解：

当时，原式．
16. 学校招募博物馆义务讲解员，将义务讲解员随机分配到“A（苏州博物馆）”“B（苏州丝绸博物馆）”“C（苏州评弹博物馆）”“D（苏州革命博物馆）”四个博物馆．甲、乙两位同学报名参加了此项活动．
（1）甲分配在“A（苏州博物馆）”的概率是________；
（2）求甲、乙两位同学分配在相同博物馆的概率（用画树状图或列表的方法求解）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率的定义进行计算即可；
（2）用树状图表示甲、乙随机从“A（苏州博物馆）”“B（苏州丝绸博物馆）”“C（苏州评弹博物馆）”“D（苏州革命博物馆）”四个博物馆所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【小问1详解】
解：甲讲解员随机分配到“A（苏州博物馆）”“B（苏州丝绸博物馆）”“C（苏州评弹博物馆）”“D（苏州革命博物馆）”四个博物馆，被分配在“A（苏州博物馆）”的概率是．
【小问2详解】
解：用树状图表示甲、乙随机从“A（苏州博物馆）”“B（苏州丝绸博物馆）”“C（苏州评弹博物馆）”“D（苏州革命博物馆）”四个博物馆所有等可能出现的结果如下：
共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙不在同一个馆的有12种，
所以甲、乙分配在同博物馆的概率为．
17. 如图，平行四边形中，对角线平分．求证：平行四边形是菱形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据题意可得：，从而，即可解答．
【详解】解：证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，平行四边形的性质定理，并能灵活运用相关知识进行证明．
18. 2026年农历马年伊始，一只产自浙江义乌、因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马哭哭马意外走红．某店铺以每件15元的价格购进哭哭马，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为尽快减少库存，商家决定降价促销．为使日销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？
【答案】每件应降价5元
【解析】
【分析】设每件应降价元，用含的代数式表示出每件利润和日销量，再根据总利润=每件利润×日销量列一元二次方程求解，结合尽快减少库存的条件选择合适的解．
【详解】解：设每件应降价元．则
，
解得：，．
∵要尽快减少库存，
∴．
答：每件应降价元．
19. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（只保留作图痕迹）
（1）在图1中作锐角，使点在格点上；
（2）在图2中的线段上作点，使最短；
（3）在图3中的线段上画出点，使的值最小．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）根据锐角三角形的定义画出图形（答案不唯一）；
（2）取格点，连接，延长交一点，线段即为所求；
（3）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求．
【小问1详解】
解：如图1中，即为所求（答案不唯一），
【小问2详解】
解∶ 如图2中，线段即为所求，
【小问3详解】
解：如图3中，点即为所求，
20. 某校为了解学生一分钟跳绳成绩，随机抽取部分学生进行测试，将成绩按从高到低依次划分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并绘制成尚不完整的条形统计图（图①）和扇形统计图（图②）．
根据以上信息，回答下列问题．
（1）补全条形统计图；
（2）图②中圆心角________°；本次测试成绩的中位数所在的等级为________（填“优秀”、“良好”、“合格”或“不合格”）；
（3）若该校九年级共有600名学生，根据测试结果估计该校九年级跳绳成绩达到合格及以上的学生人数．
【答案】（1）图见解析
（2）；良好
（3）人
【解析】
【分析】（1）根据成绩优秀的有人，占抽查总数的，求出总人数，再利用良好人数的占比求出良好的人数，即可作出图象；
（2）利用合格人数的占比，即可得出；寻找第和第个人的成绩所在区域，即可解答；
（3）利用总人数合格及以上的占比，即可得出结果．
【小问1详解】
解：由统计图可得：成绩优秀的有人，占抽查总数的，
∴总人数（人），
∴良好的人数（人），
∴如图所示即为所求：
【小问2详解】
解：；
∵一共有人，
∴中位数落在了第和第个人的成绩上，第和第个人的成绩均在良好，
∴本次测试成绩的中位数所在的等级为：良好；
【小问3详解】
解：（人），
答：该校九年级跳绳成绩达到合格及以上的学生人数为人．
21. 小王开车从A地出发，以的平均速度驶向B地，小张在小王出发后，沿同一条公路开车从B地出发，以的平均速度驶向A地，两人与A地距离，关于小王行驶时间的函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）小张比小王晚出发_____；
（2）求小张与A地的距离与小王行驶时间之间的函数关系式；
（3）小张出发多久与小王相遇？
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象可得答案；
（2）当时，小张没有出发，当时，用A、B两地的距离减去小张行驶的距离可得答案；
（3）两人相遇时，二者的路程之和为200千米，据此建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：由函数图象可知，小张比小王晚出发；
【小问2详解】
解：由题意得，时，，
当时，；
综上所述，；
【小问3详解】
解：由题意得，，
解得，
，
答：小张出发与小王相遇．
22. 定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边．
（1）如图①，在中，，°，点O在边上，以为半径的恰好经过点B，求证：是的切圆；
（2）如图②，在中，，，若是的切圆，当圆心O在边上，且另外两条边都是的切边时，求的半径；
（3）如图③，在中，以为直径的恰好是的切圆，是的切边，与交于点F，取的中点D，连结交于点E，过点E作于点H，若，，直接写出和的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵是圆的半径，
∴与相切，
∵圆心O在边上，
∴是的切圆．
（2）的半径为
（3），
【解析】
【分析】（1）通过证明圆心到三角形一边的距离等于半径来证明圆是三角形的切圆；
（2）连接，，，通过证明求解即可；
（3）连接，由求出，再求出，，然后证明，再根据求出的长．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解：如图，连接，，，
∵，是的切线，
∴，，又，
∴平分，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为；
【小问3详解】
解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵是的切圆，是的切边，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴（舍负），
∴，，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
解得．
23. 如图①，在中，，，，动点和分别从点和点同时出发，点沿方向以每秒的速度运动，点沿的路线以每秒的速度运动，设点的运动时间为，连接，在的右侧（下方）以为斜边构造等腰直角三角形．
（1）的长为________；
（2）当点和点重合时，求的长；
（3）①在图②中尺规作图，作的平分线且与边相交于点（保留作图痕迹，不写作图过程）；
②当点在的平分线上时，求的值；
（4）当点在内部时（不包括的顶点），直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）①作图见解析；②
（4）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理运算即可；
（2）由题意可得，，再由，结合等腰三角形的性质列式运算即可；
（3）①根据角平分线的作法直接作图即可；
②过点作于点，于点，证明和，由全等的性质证明，用含的式子表达和，再代入运算即可；
（4）利用相似三角形的比值关系，求出点在上和点在上时的值，即可得到点在内部时，的取值范围．
【小问1详解】
∵， ，，
∴在中，；
【小问2详解】
解：当点和点重合时，如图所示：
∵为等腰直角三角形，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
【小问3详解】
①由题意作图可得：
②当点在射线上时，过点作于点，于点，如图所示：
∵为的平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴点在射线上时，的值为．
【小问4详解】
解：当点在上时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（3）可得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：；
当点在上时，如图所示：
由题意得：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
∴当点在内部时，的取值范围为：．
24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点和，点在抛物线上，点的横坐标为，作轴于点，将线段绕点旋转得到线段，作四边形．
（1）求该抛物线的函数表达式：
（2）当、两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标；
（3）当时，抛物线在四边形内部的图象包括边界记为，若图象上的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大，且图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值；
（4）当线段与该抛物线只有一个交点时，则的值或取值范围是 ．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）或或
【解析】
【分析】（1）将已知点、代入抛物线解析式，通过解二元一次方程组求出、的值，进而得到抛物线表达式．
（2）先由（1）的结果确定抛物线的对称轴，再用表示出、的坐标；根据旋转的性质，得到、的坐标；最后利用、关于对称轴对称的条件列方程求解，进而得到点坐标．
（3）先确定抛物线的顶点坐标，根据图象的增减性可知其最低点为抛物线顶点；再结合最高点与最低点纵坐标差为，求出最高点纵坐标，该纵坐标等于点纵坐标，列方程求解，并根据的条件取舍结果．
（4）先由（2）得到、、、的坐标表达式，分和两种情况，分别讨论过抛物线顶点、在抛物线上、在抛物线上时对应的值，结合数形结合思想确定的取值范围．
【小问1详解】
解：抛物线经过点和，
，
，
抛物线的函数表达式为：．
【小问2详解】
解：，
抛物线的对称轴为直线，
点在抛物线上，横坐标为，轴于点，
，
线段绕点旋转得到线段
与、与分别关于原点对称
，
、两点关于抛物线的对称轴对称，且在轴上
在对称轴左侧，
，
解得，
，
；
【小问3详解】
解：，
抛物线的顶点坐标为，
图象上的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大，
图象的最低点为抛物线的顶点，纵坐标为，
图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，
最高点的纵坐标为，
，图象的最高点为点，
点的纵坐标为，
，
，
解得，
，
；
【小问4详解】
解：由（）可知：，，，，
①当时，当经过抛物线顶点时，如图，
，
，
解得：，
，
（舍去），，
当在抛物线上时，如图，
，
，
，
，
，
，
当在抛物线上时，如图，
，
，
，
解得，
，
（舍去），，
结合数形结合，当时，与抛物线只有一个交点的范围为：或或，
②当时，当在抛物线上时，如图，
，
，
，
，
，
，
当在抛物线上时，如图，
，
，
，
解得：，
，
，
结合数形结合，当时，与抛物线只有一个交点的范围为：
，
综上，的取值范围是：或或．
本题主要考查了二次函数的解析式求解、二次函数的图象与性质、中心对称的性质、图形的旋转、一元二次方程的求解以及数形结合思想的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质、中心对称的性质，运用分类讨论和数形结合的思想方法是解题的关键．