2026年 吉林省长春市榆树市部分学校中考第二次模拟考试数学试题（含解析）中考模拟

这是一份2026年 吉林省长春市榆树市部分学校中考第二次模拟考试数学试题（含解析）中考模拟，共49页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在0、-1.5、-2、这四个数中，属于负分数的是( )
A. 0B. C. -1.5D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】根据负数和分数的概念，即可.
【详解】∵0是整数，∴A错误；
∵是正分数，∴B错误；
∵-1.5是负数也是分数，∴C正确；
∵-2是负整数，∴D错误.
故选C.
准确理解分数和负数的概念，是解题关键.
2. 善于学习，就是善于进步．“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习，将5450000这个数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的形式为，其中，为整数，确定和的值即可．
【详解】把5450000的小数点向左移动6位，得到，即，
∴．
3. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，下面四幅作品分别代表“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义可知，四个选项中只有D选项中的图形是轴对称图形．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意．
故选：A．
此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出每个不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来即可.
【详解】解：，
由①式得，x≥1，
由②式得，x>-1,
将解集在数轴上可表示为：
，
∴原不等式组的解集为x≥1.
故选A.
本题考查了利用数轴确定不等式组的解集，正确在数轴上表示各不等式的解集是解题关键.
6. 我国古代名著九章算术中有一题：“今有凫起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞到到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，多少天相遇？设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为( )
A. 9x+7x=1B. 9x-7x=1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】由题意可得，，
故选：D．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，则∠CDE等于（ ）
A. 8°B. 10°C. 15°D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得MN垂直平分AB，得到AD=BD，∠ADE=90°，证得CD=AD=BD，求出∠ADC=2∠B＝80°，即可得到∠CDE的度数．
【详解】解：由题意得MN垂直平分AB，
∴AD=BD，∠ADE=90°，
∵∠ACB＝90°，
∴CD=AD=BD，
∴∠BCD=∠B＝40°，
∴∠ADC=2∠B＝80°，
∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=10°，
故选：B．
此题考查了线段垂直平分线的作图方法，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，正确理解线段垂直平分线的作图是解题的关键．
8. 如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论．
【详解】解：如图，
设OD=m，
∵
∴OC=
∵轴于点，轴于点，
∴四边形BEOD是矩形
∴BD=OE=1
∴B(m，1)
设反比例函数解析式为，
∴k=m×1=m
设AC=n
∵轴
∴A（，n）
∴，解得，n=，即AC=
∵AC=AE
∴AE=
在Rt△AEF中，，
由勾股定理得，
解得，（负值舍去）
∴
故选：B
此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，原式提取公因式3后再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
答案为：．
10. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程的系数结合得关于的一元一次方程即可求解．
【详解】∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
故答案为．
本题考查了根的判别式，牢记“时，方程有两个相等的实数根”是解题关键．
11. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的面积为2，则的面积为_____
【答案】18
【解析】
【分析】由，可知，证明，则，与的位似比为，则与的面积比为，然后求面积即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵与是位似图形，点是位似中心，
∴，
∴，
∴，
∴与的位似比为，
∴与的面积比为，
∴的面积为2，
∴的面积为．
12. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 ____．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键，根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，点F在AD上运动，沿直线EF折叠四边形CDFE，得到四边形GHFE，其中点C落在点G处，连接AG，AH，则AG的最小值是__．
【答案】2
【解析】
【分析】如图，当A、G、E共线时，AG最小，先求出AE，根据AG＝AE﹣EG即可解决问题．
【详解】解：如图，依题意：点G在以点E为圆心，长为半径的圆上运动，当A、G、E共线时，AG最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，BE＝EC＝3，AB＝4，
∴AE＝＝＝5．
此时AG＝AE﹣EG＝5﹣3＝2．
故答案为2．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，点到圆的距离，明确点和圆的位置关系是解决本题的关键．
14. 如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于轴对称．其中半圆与轴相交于点，两支抛物线的顶点分别为，，与轴分别相交于点，． 已知，，，则图案中这段抛物线的函数表达式为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据轴对称图形的性质得出点E坐标及熟练运用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
记与y轴的交点为F，根据图像关于y轴对称且直径，得出点，再根据对称性求得点A坐标，将点A坐标代入抛物线解析式，求出a的值即可即可解答．
【详解】解：记与y轴的交点为F，
∵且半圆关于y轴对称，
∴，
∵，
∴，
∴左侧抛物线的顶点E坐标为，
∵且关于y轴对称，
∴,
设，则有，解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴图案中这段抛物线的函数表达式为
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去小括号，再合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
16. 如图，某一时刻停车场内有序号为1，2，3的三个空车位顺次排成一排，现有甲、乙两车需要随机停放到其中一个车位，求甲、乙两车停放在不相邻的位置的概率．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，画出树状图，进行求解即可.
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
共6种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在不相邻的位置有2种结果，
（甲、乙两车停放在不相邻的位置）.
17. 为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是20千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的4倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小红骑自行车的速度．
【答案】小红骑自行车的速度是每小时20千米.
【解析】
【分析】设骑自行车的速度为x千米/时，则驾车的速度为4x千米/时．依据“小王每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟”列出方程并解答．
【详解】解：设小红骑自行车的速度是每小时千米，则驾车的速度是每小时千米.根据题意得：
解得x＝20
经检验x＝20是分式方程的解，并符合实际意义
答：小红骑自行车的速度是每小时20千米.
本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．
【答案】（1）见解析；
（2）18．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得≌，即可得到AB=DF，从而证明四边形ABDF是平行四边形，再根据∠BDF=90°即可证明四边形ABDF是矩形；
（2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB=DF=3，AF=4，由平行四边形性质求得CF=6，最后利用梯形的面积公式计算即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即AB∥CF，
∴∠BAE=∠FDE，
∵E为线段AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠AEB=∠DEF，
∴≌（ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF=90°，
∴四边形ABDF是矩形；
【小问2详解】
解：由（1）知，四边形ABDF是矩形，
∴AB=DF=3，∠AFD=90°，
∴在中，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，
∴CF=CD+DF=3+3=6，
∴．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键．
19. 为增强学生的社会实践能力，某校拟实施每周半天计划，并同步建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小聪、小颖的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图：
（1）在摄影测试中，七位评委给小颖打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分；
（2）请你计算小颖的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔10名小记者，试分析小聪、小颖能否入选，并说明理由．
【答案】（1）69，69，70
（2）小颖的总评成绩是82分
（3）小颖能入选，小聪不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、（加权）平均数，解题的关键是熟悉相关概念．
（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，再计算平均数；
（2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可；
（3）小聪、小颖的总评成绩分别是78分，82分，学校要选拔10名小记者，小颖的成绩在前10名，因此小颖一定能入选；小聪的成绩不在前10名，因此小聪不能入选．
【小问1详解】
解：七位评委给小颖打出的分数从小到大排列为：67，68，69，69，71，72，74，
所以这组数据的中位数是69分，众数是69分，
平均数是：（分）；
故答案为：69，69，70；
【小问2详解】
解：（分），
答：小颖的总评成绩是82分．
【小问3详解】
解：小颖能入选，小聪不能，理由如下：
从这20名学生的总评成绩频数分布直方图可以看出，恰好有10名同学总评成绩低于80分，因为小聪总评成绩78分，小颖总评成绩82分，又所以小颖能入选，小聪不能．
20. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点P、A、B均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图．不要求写出画法，但要保留必要的痕迹．
（1）在图①中，过点 P画直线．
（2）在图②中，过点 P画直线 ．
（3）在图③中，画线段的垂直平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可；
（2）利用数形结合的思想画出图形即可；
（3）取格点Q，连接，取的中点M，故的中点N，M作直线即可．
【小问1详解】
如图①中，直线即为所求；
【小问2详解】
如图②中，直线即为所求；
【小问3详解】
如图③中，直线即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21. 某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这天内累计需水量与天数之间的关系如图所示，其中，线段，分别表示抽穗期、灌浆期的与之间的函数关系．
（1）求这天内，与之间的函数关系式；
（2）求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依据题意，分和两段通过待定系数法可以得解；
（2）依据题意，令时求出需水总量，再减去前天的需水量，即可得解．
【小问1详解】
解：由题意，当时，设，
∴，
，
∴，
当时，设关系式为，
∴，
解得：，
∴，
综上，所求函数关系式为．
【小问2详解】
解：由题意，令，
∴，
又当时，，
每公顷小麦在整个灌浆期的需水量为：．
本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，根据函数图象获取信息，求一次函数值，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出函数解析．
22. [模型建立]
如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离．
[问题解决]
请就图①中为何最长进行证明．
[初步应用]
（1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______．
（2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______．
[拓展延伸]
如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______．
【答案】[问题解决]证明见解析；[初步应用]（1）2或5；（2）；[拓展延伸]
【解析】
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质等，掌握题意中的模型是解题的关键．
[初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解；
（2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解；
连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答；
[拓展延伸]取点，连接，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．连接，并延长交于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答．
【详解】解：[问题解决]
如图，点C为上任意一点，连接，，
当点C与点B不重合时，
∵在中，，
又，
∴，即，
当点C与点B重合时，，
∴综上可得，，
∵点C为上任意一点，
∴的长是点P到上的点的最长距离．
[初步应用]
（1）若点P在外，如图①，
则，，
∴，
∴的半径为2；
若点P在内，如图②，
则，，
∴，
∴的半径为5；
综上所述，的半径为2或5．
故答案为：2或5
（2）连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离，
∴的最小值是的长
∵在中，，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
[拓展延伸]
取点，连接，
∵，，
∴点A是线段的中点，
∵点C是线段的中点，
∴，
∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值，
连接，并延长交于点，
∴当点B位于点时，线段有最大值，
∵，，
∴，
∵的半径为，即，
∴，
∴线段有最大值为，
∴线段的最大值为．
故答案为：
23. 如图，已知在中，，，．动点以每秒2个单位的速度，从点出发，沿着的方向运动，当点到达点时，运动停止．点是点的关于点的对称点，过点作于点，以，为边作，设点的运动时间为秒．
（1）求的长；
（2）分别求当和时，线段的长；
（3）是否存在这样的值，使得为菱形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）作点关于直线的对称点，当点落在内部时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）8；（2）8；（3）存在，或（4）或
【解析】
【分析】（1）直接运用三角函数求解即可；
（2）时，点还在上，可直接计算出，然后根据对称求出结果即可；时，点在上，此时求出，然后根据对称求出结果即可；
（3）分别考虑点在边上时，和点在边上时两种情况，利用相似三角形的判定与性质进行线段表示，然后建立方程求解即可；
（4）同样考虑点在边上时，和点在边上时两种情况，分别根据平行四边形和菱形的判定与性质进行求解即可．
【详解】解：（1）在中，，，．
∴；
（2）当时，，，
∵、关于点对称，
∴，
当时，，，，
∴；
（3）情况一，当点在边上时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，，，
当时，即，
∴；
情况二，当点在边上时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，即，
∴；
综上，当或时，四边形为菱形；
（4）情况一，当点在边上，点关于直线的对称点落在边上时，如图：
由题意可知，，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由对称可知，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即四边形为菱形，
∴，
即：，
解得：，
∴当时，刚好满足点关于直线的对称点落在边上，
当点从此时继续向点移动时，可满足对称点落在内部，
∴此时的范围是：；
情况二，当点在边上，点关于直线的对称点落在边上时，如图：
同理可证四边形为菱形，四边形为平行四边形，
则可得，，
此时，，，
∴，
由，
即：，
解得：，
当点从点移动到此时位置时，可满足对称点落在内部，
∴此时的范围是：；
综上，当或时，点落在内部．
本题考查相似三角形的动点问题，锐角三角函数等知识点，理解基本定义，灵活运用相似三角形的性质是解题关键．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，抛物线上点的坐标分别为．
（1）求抛物线的表达式．
（2）当时，求的取值范围．
（3）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，直线交点为，连接．
①求；
②线段与轴相交于点，过点作直线交线段于点，当直线将的面积分为两部分时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得抛物线与轴的交点坐标为和，再分①当时，；②当时，，两种情况讨论，据此求解即可；
（3）①当点在第一象限，点在第四象限时，求得，，据此求解即可；当点在第四象限，点在第一象限时，同理可解；
②根据直线将的面积分为两部分时，分类讨论，当点在第一象限，点在第四象限时，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，列式计算即可求解；当点在第四象限，点在第一象限时，同理求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标为和，
∴当时，；
当或时，；
①∵，，，
∴当时，，此时，
∴，
∵，
∴点在第四象限，即，
∴，
∴；
②当时，，
当点在第三象限，，
∴，
∴此时点在第四象限，即，
∴，不符合题意，舍去；
当点在第四象限，，
∴，
∵，
∴点在第一象限，即，
解得，
∴；
综上，或；
【小问3详解】
解：①∵点，在抛物线上，
∴，，
如图，当点在第一象限，点在第四象限时，
，，
∴；
如图，当点在第四象限，点在第一象限时，
，，
∴；
②中，，
设，，
∴，
∴，
如图，当点在第一象限，点在第四象限时，
，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线将的面积分为两部分时，
当时
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去）；
如图，当点在第四象限，点在第一象限时，
同理可得，，
此时，
∴，
解得（舍去），．
综上，m的值为或．选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小聪
83
72
80
78
小颖
86
84