2025-2026学年八年级（北师大版 ）数学下学期期末模拟卷（含答案）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解： A、 是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
2．下列计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：A．，原计算错误；
B．，原计算错误；
C．，原计算错误；
D．，原计算正确．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
．
4．如图1是两个小朋友玩跷跷板的实物图，图2是其示意图，支柱垂直于地面，点，分别是，的中点，，那么小朋友在游戏中，点离地面的最大高度是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】因为垂直于地面，B点到地面的垂线也垂直于地面，所以，因为点，分别是，的中点，所以是的三角形中位线，即可建立与所求高度的数量关系．
【详解】解：由题意得，地面，地面，点A、C重合，
∴；
又点，分别是，的中点，
∴是的三角形中位线；
∴．
因此点离地面的最大高度是．
5．如图，将沿方向平移个单位长度得到，点的对应点在边上，连接，若四边形的周长为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平移的性质可得、，再根据四边形的周长公式即可求解．
【详解】解：将沿方向平移个单位长度得到，
、
四边形的周长为，
即的周长为11．
6．的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：A、∵，即，符合勾股定理逆定理，∴是直角三角形，故不符合题意；
B、∵，∴，∴是直角三角形，故不符合题意；
C、∵，∴，∵，∴，即，∴是直角三角形，故不符合题意；
D、由可设，∵，
∴，解得：，∴，∴不是直角三角形，故符合题意．
7．下列命题中，逆命题是真命题的为（ ）
A．全等三角形的对应边相等
B．若，则
C．对顶角相等
D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
【答案】A
【分析】先分别写出每个选项的逆命题，再逐项判断真假即可．
【详解】解：A．原命题的逆命题为“如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等”，根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的三角形全等，∴该逆命题是真命题，符合题意；
B．原命题的逆命题为“若，则”，反例：当，时，，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意；
C．原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，∴该逆命题是假命题，不符合题意；
D．原命题的逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，反例：∵和的绝对值相等，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意．
8．若不等式组的解集为，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．2025
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集，根据“不等式组的解集为”求出a、b的值，进而代入计算即可．
【详解】解：解，得，
解，得．
不等式组的解集为，
∵不等式组的解集为，
，，
解得，
．
9．如图所示的是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和对角相等的四边形拼成的无缝隙、不重叠的平面图形的一部分，其中四边形的最小内角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面镶嵌，正五边形的性质，解题的关键是能够理解题意，将实际问题转化为平面镶嵌问题来求解．
先求出正五边形每个内角的度数，设对角相等的四边形的最小内角为，根据题意，列出关系式，求解即可．
【详解】解：正五边形的内角和为，
则每个内角为，
设对角相等的四边形的最小内角为，则
因为正五边形与四边形拼成的无缝隙、不重叠的平面图形的一部分，
则，为正整数，
当时，，舍去，
当时，，
当时，，
当时，，舍去，
则对角相等的四边形的最小内角为，A选项符合．
10．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（ ）秒．
A．2或B．C．或D．
【答案】C
【分析】分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动，
∴运动时间为（秒），，
∴，
∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，
到达的时间为（秒），
∴当在点以及点的左边时，即时，
则，
当在的右边时，即时，
则，
以点为顶点的四边形是平行四边形时，
①当四边形为平行四边形时，，，
∴，
解得：；
②当四边形为平行四边形时，，，
∴，
解得，
综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若关于x的方程有增根，则a的值是______．
【答案】4
【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义得到增根的值，再代入整式方程计算即可求出的值．
【详解】解：将方程两边同乘以得：，
∵分式方程有增根．
∴最简公分母，
解得，
将代入得：．
12．在日常生活中经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．例如：将因式分解的结果为，取个人年龄作为x的值，当时，，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是______．
【答案】
151416（任意排列组成的六位数都正确）
【分析】先对多项式因式分解，再根据新定义的密码生成规则代入计算即可得到结果；
【详解】解：，
∵，
分别计算得： ，，，
∴他设置的密码可能是：151416．
13．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是__________．
【答案】
【分析】根据两直线交点横坐标，找出直线在上方时对应的的取值范围即可．
【详解】解：已知两直线交于点，结合图象可知，在交点右侧（即时），直线位于直线的上方，因此不等式的解集为 ．
14．如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】24
【分析】证明，可得，则可推出，由勾股定理求出的长，再根据平行四边形面积计算公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
15．如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点；再以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若，则的度数为______．
【答案】
【分析】利用是线段的垂直平分线，是的角平分线，是一外角，推导出，即可得到的度数．
【详解】解：由题意可知，是线段的垂直平分线，是的角平分线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
16．已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为____．
【答案】
【分析】先求出方程组的解，根据解为整数得出为，，，，，，根据不等式组有个整数解得出关于的不等式组，然后根据题意得到整数为，，，再求其和即可．
【详解】解：解方程组，
由得，代入得：，
解得，
方程组的解为整数，
是的整数约数，即可取，，，
则为，，，，，，
解不等式组，
解不等式①得，
解不等式②得，
因此不等式组的解集为，
不等式组有且仅有个整数解，其整数解为，，，，，
，
解得，
结合的所有可能取值，符合条件的整数为，，，它们的和为 ，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题6分）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据提公因式法和公式法分解因式即可；
（2）根据提公因式法和公式法分解因式即可．
【详解】（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
，
．
18．（本题6分）先化简：，再从，2，3中选择一个适当的数x，代入求值．
【答案】，
【分析】先计算括号内分式的加减运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，结合分式有意义的条件确定，最后代入计算即可．
【详解】解：，
．
∵，，
当时，原式．
19．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是点，点，点．
(1)画出绕原点逆时针旋转所得的，其中点，，分别对应点，，；
(2)画出向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度的，并直接写出点的对应点的坐标为________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）先利用旋转的定义确定点、、的对应点、、，然后顺次连接即可；
（2）先利用平移的性质确定点、、的对应点、、，然后顺次连接完成作图，再根据作图确定点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求，．
20．（本题8分）按要求完成下列各题：
(1)解不等式，并把解集表示在所给的数轴上；
(2)求不等式组的整数解．
【答案】(1)，
，
，
解得，，
解集表示在数轴上如图所示，
(2)，
解①得，，
解②得，，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为：．
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，根据不等式的性质系数化为1，把解集表示在数轴上即可；
（2）根据不等式的性质分别求出不等式①，②的解集，再结合不等式组解集的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，最后找出整数解即可．
【详解】（1）略
（2）略
21．（本题8分）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点P，于点D，于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：连接，
∵点在的垂直平分线上，
，
∵是的角平分线，，
，
∵在和中，
，
，
．
(2)2
【分析】（1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证；
（2）根据（1）可知，结合已知条件得到，进而得到．
【详解】（1）略
（2）解：根据（1）可知，
，
∴，
∴．
22．（本题9分）“才人相见都相赏，天下风流是此花”，月季被称为“花中皇后”，为常绿、半常绿低矮灌木，四季开花．某苗圃培育了两个品种月季花，已知每棵A品种月季花的售价比每棵B品种月季花的售价多10元，用6000元购买A品种月季花与用4800元购买B品种月季花的数量相等．
(1)每棵A品种月季花和B品种月季花的售价分别是多少元？
(2)5月份该苗圃共售卖月季花300棵，A品种月季花的销售量不高于B品种月季花的2倍，且销售收入不低于13900元，则一共有多少种售卖方案？（不需要写出具体方案）
【答案】(1)每棵A品种月季花的售价是50元，每棵B品种月季花的售价是40元
(2)11种
【分析】（1）设每棵A品种月季花的售价是x元，则每棵B品种月季花的售价是元，因为两种购买方式对应的花卉数量相等，所以可依据“数量=总价÷单价”的公式列分式方程求解．
（2）设5月份该苗圃售卖a棵A品种月季花，则售卖棵B品种月季花，结合“A品种销量不高于B品种的2倍”，“销售收入不低于13900元”两个条件，列出一元一次不等式组，求解得到未知数的取值范围，根据未知数为正整数的属性确定取值个数，即可得到售卖方案的数量．
【详解】（1）解：设每棵A品种月季花的售价是x元，则每棵B品种月季花的售价是元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：每棵A品种月季花的售价是50元，每棵B品种月季花的售价是40元．
（2）解：设5月份该苗圃售卖a棵A品种月季花，则售卖棵B品种月季花，
根据题意得，
解得，
又为整数，（种），
答：一共有11种售卖方案．
23．（本题9分）如图，△中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明：，
，
是中点，
，
在和中，
，
则，
，
四边形是平行四边形；
(2)
【分析】（1）由平行线的性质、中点定义得到角及边的相等关系，再由两个三角形全等的判定与性质证得，最后由平行四边形的判定定理求证即可；
（2）先由三角形内角和定理求出，过点作，由含直角三角形性质及勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质求出相关线段长度即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：过点作，如图所示：

在中，，，则，
在中，，则，
，
，则由勾股定理可得，
在中，，则，
，
则
24．（本题10分）材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：；
(1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________
材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母，可设
则，
∵对于任意x上述等式成立，
，解得：，
，
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
(2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________；
(3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值；
(4)当时，分式的最小值为____________．
【答案】(1)
(2)
(3)满足条件的整数或2或16或
(4)
【分析】（1）根据题意，即可获得答案；
（2）由分母，可设，进而可得，求解即可获得答案；
（3）对于分式，由分母，可设，进而可得，求解可得，若整数x使分式的值为整数，则为整数，即或，进一步求解即可；
（4）对于分式，由分母，可设，进而的，求解可得；令，则，当时，可知，当取最小值时，取最小值，据此进一步求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：由分母，可设，
则，
∵对于任意x上述等式成立，
∴，解得：，
∴；
（3）解：对于分式，
由分母，可设，
则，
∵对于任意x上述等式成立，
∴，解得：，
∴，
∵整数x使分式的值为整数，
∴为整数，即或，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
∴满足条件的整数或2或16或；
（4）解：对于分式，
由分母，可设，
则，
∵对于任意x上述等式成立，
∴，解得：，
∴，
令，则，
当时，，
∴，
当取最小值时，取最大值，则取最小值，
此时取最小值，
∴当时，取最小值，此时，
即分式的最小值为．
25．（本题10分）按要求解答问题：
(1)观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，求证：；
(2)理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 ；
(3)类比探究：
①如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为 ；
②如图4，在，，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为10，求与的面积之和．
(4)模型拓展：
①如图5，等边中，，点在上，且，动点从点出发沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，设点P运动的时间为t秒．当 秒时，点F恰好落在射线上；
②如图6，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰，连接，则的面积为 ．
【答案】(1)证明：，，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
；
(2)50
(3)①18；；
(4)①；②21或9．
【分析】（1）利用证明即可；
（2）同（1）法可得：，，利用分割法求面积即可；
（3）①过作于，证明，得到，再利用面积公式进行求解即可；
②证明三角形全等将面积和转化为的面积，再根据线段比例求解；
（4）①证明，可得，据此计算即可解决问题．
②分两种情况讨论：以A为直角顶点时，先根据题意作出图形，过A作于E，过D作于F，先证明，得出，然后根据三线合一的性质求出，根据三角形的面积公式求出，最后根据三角形的面积公式求解即可；以C为直角顶点时，先根据题意作出图形，过A作于E，过D作于F，同理可证，得出，然后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：，，，，
同（1）法可得：，，
，，，，
；
（3）解：①如下图，过作于，
由旋转得：，，
，
，
，
又，，
，
，
；
②，，
，；
，；
在和中，，
；
，
；
的面积为10，，
的面积是：；
与的面积之和等于；
（4）解：①当恰好落在射线上时，如下图所示，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴在与中
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②以A为直角顶点时，如图，过A作于E，过D作于F，
则，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为；
以C为直角顶点时，如图，过A作于E，过D作于F，
同理可证，
∴，
∴的面积为；
综上，的面积为21或9．