2025-2026学年七年级（北师大版）数学下学期期末模拟卷（含答案）

这是一份2025-2026学年七年级（北师大版）数学下学期期末模拟卷（含答案），共12页。试卷主要包含了如图，把一张长方形纸条沿着，小丽与爸妈在公园里荡秋千等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，下面四幅作品分别代表“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义可知，四个选项中只有D选项中的图形是轴对称图形．
2．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》，苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示0.0000084为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵ 对于，第一个非零数字为，其前面共有个，且满足，
∴ ．
3．下列运算中结果正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用合并同类项，完全平方公式，幂的运算法则，逐一计算每个选项即可判断．
【详解】对于选项A ，，A错误，
对于选项B ，，B错误，
对于选项C ，，
，C错误，
对于选项D， ，
，D正确．
4．要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（ ）
A．常量为；变量为x，yB．常量为，y；变量为x
C．常量为，x；变量为yD．常量为x，y；变量为
【答案】A
【分析】本题主要考查了常量与变量的概念，熟练掌握在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量是解题的关键．先根据长方形面积公式确定等式，再依据常量与变量的定义，判断在变化过程中数值不变的量和数值变化的量．
【详解】解：∵长方形面积为，
∴是固定不变的量，
∵长为，宽为，
∴，是可以变化的量，
∴常量为；变量为，，
故选：A．
5．如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据邻补角的性质求出的度数，利用对顶角相等求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可．
【详解】解：，
．
平分，
，
．
6．下列选项中的事件，属于必然事件的是（）
A．在一个只装有红球的袋中，摸出黄球
B．购买一张彩票，中奖100万元
C．是有理数，
D．打开电视机，任选一个频道，正在播放电视剧
【答案】C
【分析】本题考查必然事件的概念，必然事件是一定发生的事件，只需根据概念判断各选项即可得出结果．
【详解】解：A．袋中只装有红球，一定摸不出黄球，该事件是不可能事件，不符合要求．
B．购买一张彩票中奖100万元，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求．
C．根据绝对值的性质，任意有理数都满足，该事件一定发生，该事件是必然事件，符合要求．
D．打开电视机任选一个频道，不一定正在播放电视剧，该事件可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求．
7．如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上点处，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平行线的性质解答即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
又由题意可知，，
∴．
8．已知的展开式中不含的一次项，且的系数为4，则的值为（ ）
A．-1B．1C．D．
【答案】B
【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，根据不含x的一次项，则一次项系数为0，的系数为4列方程，求出m和n的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：
，
∵展开式中不含x的一次项，且的系数为，
∴，
解得， ，
∴．
9．如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：由作图可知，
∵，
∴，
∵，
∴．
10．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先证明，根据全等三角形的性质可得，再求出的长，然后根据求解即可得．
【详解】解：由题意可知，，
，与底面垂直，B处距地面高，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算：______．
【答案】
【分析】先算积的乘方，再算单项式的乘法，最后计算单项式除以单项式即可．
【详解】解：．
12．中国古代四大发明（造纸术、印刷术、指南针、火药）对世界文明的发展具有深远的影响．某校历史社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，小圣从这四项发明中随机抽取一项开展活动，则他恰好抽到指南针的概率是_____．
【答案】/
【详解】解：小圣从这四项发明中随机抽取一项开展活动，则他恰好抽到指南针的概率是．
13．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】构造全等三角形和，可得，由三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，可得的取值范围，也就是的取值范围．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
∵为边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的取值范围是：．
14．“跳皮筋”是我们小时候常玩的游戏，如图，执皮筋的两个小朋友分别用，表示，皮筋用折线表示，若，，，则____．
【答案】
【分析】过E作，根据平行线的性质求出，则，根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：过E作，
∴，
又，
，
∵，，
∴，
∴．
15．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价(元)，日销售量(件)发生相应变化，关系如下表所示：
根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件；若设该商品的售价为元，日销售量为y件，则y与x之间的关系式是___________．
【答案】
【分析】由表中可知，每降价5元，日销售量增加30件，即可解答．
【详解】解：由表中可知，每降价5元，日销售量增加30件，
则当售价为260元时，该商品日销售量为（件）；
y与x之间的关系式是．
16．如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等．
【答案】
2
【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件．
【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，．
，
与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：
情况一：且，
解得，
此时，点超出边界，舍去．
情况二：且，
解得，．
此时，，符合运动范围，有效．
综上，唯一符合条件的解为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题6分）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据单项式乘单项式法则计算即可；
（2）根据幂的乘方与积的乘方法则， 单项式乘多项式法则计算， 再合并同类项得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（本题6分）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【详解】解：
，
当，时，原式．
19．（本题6分）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的某文具店，买到文具后加快速度骑车去学校，已知小明家、文具店、学校在同一直线上，如图折线段是他本次上学所用的时间与离家的距离之间的图象，根据图中信息回答下列问题：

(1)小明家到学校的距离是 米，折线中有一条平行于x轴的线段，它的实际意义是 ；
(2)本次上学途中，小明一共行驶了 米；
(3)如果小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费多长时间？
【答案】(1)1500，小明在文具店停留了4分钟
(2)2700
(3)需要花费7.5分钟
【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；根据函数图象的横坐标，可得到达文具店时间，离开文具店时间，根据有理数的减法，可得答案；
（2）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
（3）根据路程、速度，即可得到时间．
【详解】（1）由题意可知，小明家到学校的距离是1500米，
折线中有一条平行于x轴的线段，它的实际意义是小明在文具店停留了（分钟）；
（2）（米）．
故本次上学途中，小明一共行驶了2700米；
（3）小明往常的速度为（米分），
去学校需要花费的时间为（分钟）．
答：小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费7.5分钟．
20．（本题8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点都是格点．
(1)作关于直线对称的；
(2)求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据轴对称的性质找到A、B、C的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积为：
；
21．（本题8分）如图，与相交于点O，于点O，且，，求的度数．
【答案】
【分析】先证明，运用两直线平行，内错角相等得，结合，则，根据，故，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵于点O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．（本题9分）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
(1)填空：___________，___________，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为___________．（精确到0.01）
(2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是___________．
A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5；
B．某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯；
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”．
(3)若盒子中一共有100个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏，
①根据试验结果，盒子中最有可能有___________个白球：
②由①的结果，约定游戏规则：拿出17个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)A
(3)①67；
②不公平，理由如下：
拿出个白球后，盒子里一共有黑球个，盒子里一共有白球个，
则小红胜的概率为，则小亮胜的概率为，
，
∴不公平．
【分析】（1）根据频率频数总数可得、的值，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值；
（2）求出、、三个选项中事件发生的概率即可得到答案；
（3）①利用总数乘以频率即可解答；
②分别计算小红胜和小亮胜的概率，再对比即可．
【详解】（1）解：；
；
由表格可知，随着试验次数的增加，摸到白球频率逐步稳定在附近，
故从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为；
（2）解：掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5的概率为；
某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯的概率为．
在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为；
故符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是A；
（3）解：①根据试验结果，盒子中最有可能有个白球；
②略
23．（本题9分）如图，在和中，点、、、在同一直线上，已知，，若__________，则．
请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（填写序号），使结论成立，并说明理由．
【答案】选择①
理由：，
，
．
在与中，
．
或选择②
理由：，
．
在与中，
．
若选择③，此时已知两边及其中一边的对角，不能判定全等，
不能选择③．
【分析】根据全等三角形的判定定理，若添加条件① ，可用 判定全等，若添加条件② ，可用 SAS 判定全等，若添加条件③ ，不能判定全等，故③不能作为条件。
【详解】略．
24．（本题10分）在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：．
(1)现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）；
(2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若，，则的值为________；
②若满足，求的值为________．
(3)如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长；
(4)如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________．
【答案】(1)
(2)①62；②5
(3)16
(4)40
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
（1）根据图形得到阴影部分的边长为，大正方形的边长为，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去四个小长方形的面积进行求解即可；
（2）利用完全平方公式变形求解即可；
（3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为，根据题意易得到、，利用完全平方公式变形求出正方形的边长即可；
（4）设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为，则、，，利用完全平方公式变形求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：阴影部分的边长为，大正方形的边长为，
则阴影部分的面积为：；
（2）解：①；
②；
（3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为，
四边形是正方形，
，
，
，
，
长方形面积为60，
，
，
，
，
，
正方形的边长为16；
（4）解：设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为，
、，
长方形面积为，
，
，
，
，
阴影部分面积为．
25．（本题10分）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系．
问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，，连接，．
实践探究：
(1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：①________，②________；
(2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；
(3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点在射线上运动的过程中，如果，，请直接写出线段的长．
【答案】(1)①；②
(2)成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）通过证明，可推出，再根据和推出；
（2）当点在延长线上时，通过证明，传递边与角的等量关系，可验证（1）的结论依然成立；
（3）分点在线段上和延长线上两种情况，结合前两题的全等三角形结论，分别计算出．
【详解】（1）解：，即，，即，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，即．
（2）解：成立，理由如下：
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，即．
（3）解：当点在上时，
由（1）可知，
，，
，
；
当点在延长线上时，
由（2）可知，
，，
，
，
综上，或．
降价/元
5
10
15
20
日销售量/件
480
510
540
570
摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数
71
129
334
537
670
2010
摸到白球的频率
0.645
0.69
0.668
0.671
0.670
0.670