天津市2026学年中考模拟数学冲刺模拟练习试卷含答案01

这是一份天津市2026学年中考模拟数学冲刺模拟练习试卷含答案01，共9页。试卷主要包含了本卷共12题，共36分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. 1D.
2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八针锁，如图是鲁班锁中的一个部件，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 估计的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
5. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，航天员汤洪波、唐胜杰、江新林与神舟十六号航天员会师太空．空间站距离地球约为，将423000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A. B. C. D.
7. 计算的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
9. 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则可列分式方程为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，以点为圆心，5为半径作弧，分别交射线，于点、，再分别以、为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，连接并延长，若，则、两点之间的距离为（ ）
A. 3B. 5C. D. 6
11. 如图， 在中， ， 以点为中心逆时针旋转得到， 点， 的对应点分别是点， ， 且平分， 交于点， 则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
12. 如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（水平地面为轴，单位：），有下列结论：①出球点离点的距离是；②羽毛球最高达到；③羽毛球横向飞出的最远距离是；其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 不透明袋子中装有9个球，其中有3个黄球、6个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率为______．
14. 计算的结果是_______．
15.计算的结果为______．
16.将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为________．
17. 如图， 正方形的边长为，作以为底的等腰三角形，

(1)的面积为___________；
(2)若，分别为，的中点，为的中点，射线，相交于点， 则的长为_________．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点A，B，C均是格点．
（Ⅰ）线段的长等于________；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在线段上画出点S，使，并简要说明点S的位置是如何找到的（不要求证明）__________________________________________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 已知，是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求一元二次方程的根；
（3）若，则的值为______．
20. 某学校为了培养学生锻炼身体好习惯，随机调查了一部分七年级学生最近一周的体育锻炼时间，并进行了统计，绘制出如下的统计图①和图②．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 ，图①中的值为 ；
（2）求本次抽测的这组数据的平均数、众数、中位数．
21. 已知点在上．
（1）如图①，过点作的切线，交延长线于点是弧的中点，连接并延长，交于点，交于点，交切线于点，连接．若，求的大小；
（2）如图②，若，的半径为5，，求的长．
22. “桥园公园”简称桥园，是天津市最大的人造生态湿地公园，也是中国城市公园在世界建筑节上第一次获“全球最佳景观奖”的生态创意型公园．为了生态可持续发展，某园林设计公司为桥园一处湿地提供了一份景观提升设计．如图，距A地东北方向处是亲水平台（B地），距亲水平台（B地）北偏东方向处是观景台（C地），从观景台（C地）沿长廊向正南方向走可以到达凉亭（E地），从亲水平台（B地）向正东方向走可以到达长廊（F地）．
（1）请求出的长度；
（2）从A地出发后，先沿正东方向走可到达凉亭（E地），再沿北偏东方向走可到达小广场（D地），小广场（D地）在观景台（C地）的南偏东方向．请求出的长度．（结果取整数，参考数据）
23. 甲，乙两人骑自行车从地到地．甲先出发骑行时，乙才出发：开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变：乙出发后，甲到达地．下面图中表示乙骑行时间，表示骑行的距离．图象反映了甲，乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系．

（1）乙比甲提前______到达地，乙的骑行速度为______，值为______；
（2）求甲骑行过程中，关于的函数解析式；
（3）乙到达地，此时甲离地的路程为______；
（4）在甲到达地前，当______时，甲乙两人相距．
24. 将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上， ，点在边上点不与点， 重合，过点作的平行线交轴于点．
（1）填空：如图①，点的坐标为 ；若，则点的坐标为 ；
（2）以为折痕折叠该纸片，点的对应点为 ，设 和重叠部分的面积为．
①如图②， 当和重叠部分为四边形时，交于点 ， 交于点，试用含有的式子表示和重叠部分的面积，并直接写出的取值范围；
②填空：当 时，的最大值为 ，的最小值为 ．
25. 已知抛物线（为常数），与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为．
（1）若．
①求点和点的坐标；
②连接并延长交的延长线于点，求的度数；
（2）若点的坐标为，且，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．且，当时，求的值．
天津市2026学年中考数学冲刺模拟练习试卷01
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数的乘法计算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：C．
2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的定义，中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．熟练掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、是中心对称图形，故选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：A．
3. 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八针锁，如图是鲁班锁中的一个部件，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的主面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在主视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】解：从正面看，是矩形中间有一个凹槽，
故选：D．
4. 估计的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】找到与接近的两个连续的有理数，进而分析得出答案．
【详解】解：∵，即：，
∴的值在4和5之间，
故选C．
5. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，航天员汤洪波、唐胜杰、江新林与神舟十六号航天员会师太空．空间站距离地球约为，将423000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：423000；
故选D．
6. 如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、，，
，
故A不符合题意；
B、，，
，
故B不符合题意；
C、由图形可知，，
，
，，
，
又，
，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明与相似，
故D符合题意，
故选：D．
7. 计算的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减，归纳提炼：分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．根据同分母分式加减运算法则计算即可，最后要注意将结果化为最简分式．
【详解】解：
，
故选：C．
8. 若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据，得出反比例函数的图像在二、四象限，结合点、、的纵坐标得出各点所在象限，根据反比例函数的性质即可得答案．正确判断反比例函数图象所在象限是解题关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，
∵，
∴点在第四象限，，点、在第二象限，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
9. 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则可列分式方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据顺流速度等于船速加水速，逆流速度等于船速减水速，结合以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，列出分式方程即可．
【详解】解：由题意，可列方程为：；
故选A．
10. 如图，在中，以点为圆心，5为半径作弧，分别交射线，于点、，再分别以、为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，连接并延长，若，则、两点之间的距离为（ ）
A. 3B. 5C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，菱形的判定及性质，勾股定理；连接， ，连接交于，由作法得四边形是菱形，由菱形的性质得，，由勾股定理得，即可求解；能根据作法作出辅助线，判断出四边形是菱形是关键．
【详解】解：如图，连接， ，连接交于，
由作法得：
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
；
故选：D．
11. 如图， 在中， ， 以点为中心逆时针旋转得到， 点， 的对应点分别是点， ， 且平分， 交于点， 则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的外角的性质；根据旋转的性质得出，根据角平分线的定义可得，设，根据等边对等角可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵以点为中心逆时针旋转得到， 点， 的对应点分别是点， ，
∴，
∵平分，
∴
设
∴
∵，
∴
∴ ，故C正确
已知条件中不能得出，，
故选：C．
12. 如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（水平地面为轴，单位：），有下列结论：①出球点离点的距离是；②羽毛球最高达到；③羽毛球横向飞出的最远距离是；其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．令，可得点，可判断①；把函数解析式化为顶点式可得判断②；再令，可判断③．
【详解】解：当时，，
∴点，
∴出球点离点的距离是，故①正确；
∵，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
∴羽毛球最高达到，故②正确；
当时，，
解得：，
∴点，
∴羽毛球横向飞出的最远距离是，故③错误；
故选：C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 不透明袋子中装有9个球，其中有3个黄球、6个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：由题意得：摸出一个黄球的概率为：，
故答案为：．
14. 计算的结果是_______．
【答案】7
【解析】
【分析】利用平方差公式计算．
【详解】解：
=（）2-22
=11-4
=7．
故答案为：7．
15.计算的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方及幂的乘方，每个因式分别乘方，再根据幂的乘方法则计算即可作答．
【详解】解：
故答案为：
16.将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．由函数平移的规律，直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：∵是正比例函数，
∴，
∴，
∴正比例函数是，
由“上加下减”的原则可知，将正比例函数的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：，
故答案为：．
17. 如图， 正方形的边长为，作以为底的等腰三角形，

(1)的面积为___________；
(2)若，分别为，的中点，为的中点，射线，相交于点， 则的长为_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；
（1）过作于，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）连接，由为的中点，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，由（1）知，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）过作于，

，
，
，
的面积为，
故答案为：；
（2）连接，
为的中点，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，，
为的中点，
，
，
，
由（1）知，，
，
为的中点，
，
，
，
；
故答案为：．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点A，B，C均是格点．
（Ⅰ）线段的长等于________；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在线段上画出点S，使，并简要说明点S的位置是如何找到的（不要求证明）__________________________________________．
【答案】 ①. ②. 画图见解析，如图，取圆与网格线交点D，连接交网格线于E，取与网格线交点F，连接交圆于点G；取格点H，K，连接交网格线于点I，连接并延长交网格线于点L；取圆与网格线交点M，P，连接，交于点N，连接并延长交圆于点Q，连接交于点S．
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，熟练的画图是解本题的关键.
（Ⅰ）利用勾股定理计算，结合图形可得，即可得到答案；
（Ⅱ）如图，取圆与网格线交点D，连接交网格线于E，取与网格线交点F，连接交圆于点G；取格点H，K，连接交网格线于点I，连接并延长交网格线于点L；取圆与网格线交点M，P，连接，交于点N，连接并延长交圆于点Q，连接交于点S，则即为所求．
【详解】解：（Ⅰ）由勾股定理可得：，而，
∴；
（Ⅱ）如图，取圆与网格线交点D，连接交网格线于E，取与网格线交点F，连接交圆于点G；取格点H，K，连接交网格线于点I，连接并延长交网格线于点L；取圆与网格线交点M，P，连接，交于点N，连接并延长交圆于点Q，连接交于点S，则即为所求．
理由如下：∵，
∴为直径，
而格线是弦的垂直平分线，
∴为圆心，
由网格特点可得为弦的中点，
∴，
由网格特点可得：四边形为矩形，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
标注格点，
∵，，
∴，
∴，
∴等于，
∴之间距离，
∴，
∴，
∴，即即为所求.
故答案为：（Ⅰ）（Ⅱ）如图，取圆与网格线交点D，连接交网格线于E，取与网格线交点F，连接交圆于点G；取格点H，K，连接交网格线于点I，连接并延长交网格线于点L；取圆与网格线交点M，P，连接，交于点N，连接并延长交圆于点Q，连接交于点S．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 已知，是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求一元二次方程的根；
（3）若，则的值为______．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由一元二次方程根的判别式，解不等式即可得到答案；
（2）将代入原方程得到，因式分解法解一元二次方程即可得到答案；
（3）根据题意，由一元二次方程根与系数的关系直接求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵有两个不相等的实数根，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，因式分解得，
或，解得，；
【小问3详解】
解：，是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根，
，
故答案为：．
20. 某学校为了培养学生锻炼身体好习惯，随机调查了一部分七年级学生最近一周的体育锻炼时间，并进行了统计，绘制出如下的统计图①和图②．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 ，图①中的值为 ；
（2）求本次抽测的这组数据的平均数、众数、中位数．
【答案】（1），
（2）平均数为，众数为，中位数是
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数、众数、中位数．
（1）根据锻炼身体小时的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，再根据小时的人数，即可计算出的值；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出平均数，写出相应的众数和中位数．
【小问1详解】
解：本次接受调查的学生人数为：（人），
%%%，
即图①中的的值是，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：观察条形统计图，
这组数据的平均数为，
在这组数据中，出现了次，出现次数最多，
这组数据的众数为，
将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是和，
中位数为：，
这组数据的中位数是．
21. 已知点在上．
（1）如图①，过点作的切线，交延长线于点是弧的中点，连接并延长，交于点，交于点，交切线于点，连接．若，求的大小；
（2）如图②，若，的半径为5，，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）连接，根据圆的切线的性质，得到，再根据圆周角定理，得到，进而得到，然后结合垂径定理求解即可；
（2）连接，过作，垂足为，根据圆周角定理，推出，是等腰直角三角形，进而得到，，再利用勾股定理，求出，即可得到的长．
【小问1详解】
解：如图，连接，
为的切线，为切点，
，．
，
，
，
是弧的中点，
，．
在中，．
【小问2详解】
解：如图，连接，过作，垂足为，
，，
，
，．
，是等腰直角三角形，
，，
，，
在中，，
．
22. “桥园公园”简称桥园，是天津市最大的人造生态湿地公园，也是中国城市公园在世界建筑节上第一次获“全球最佳景观奖”的生态创意型公园．为了生态可持续发展，某园林设计公司为桥园一处湿地提供了一份景观提升设计．如图，距A地东北方向处是亲水平台（B地），距亲水平台（B地）北偏东方向处是观景台（C地），从观景台（C地）沿长廊向正南方向走可以到达凉亭（E地），从亲水平台（B地）向正东方向走可以到达长廊（F地）．
（1）请求出的长度；
（2）从A地出发后，先沿正东方向走可到达凉亭（E地），再沿北偏东方向走可到达小广场（D地），小广场（D地）在观景台（C地）的南偏东方向．请求出的长度．（结果取整数，参考数据）
【答案】（1）
（2）50米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等角对等边，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键：
（1）过点B作于H，分别解，，求出的长，根据线段的和差关系求出的长即可；
（2）过点D作于G，在上取点，使得，连接，得，设，解，求出，根据，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，，，
过点B作于H，由题意，可得：，，
在中，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
又，
∴的长为；
【小问2详解】
过点D作于G，在上取点，使得，连接，
由题意得，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
在中，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
答：的长约为50米．
23. 甲，乙两人骑自行车从地到地．甲先出发骑行时，乙才出发：开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变：乙出发后，甲到达地．下面图中表示乙骑行时间，表示骑行的距离．图象反映了甲，乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系．

（1）乙比甲提前______到达地，乙的骑行速度为______，值为______；
（2）求甲骑行过程中，关于的函数解析式；
（3）乙到达地，此时甲离地的路程为______；
（4）在甲到达地前，当______时，甲乙两人相距．
【答案】（1），，；
（2）当时，，
当时，；
（3）；
（4），或．
【解析】
【分析】本题考查的知识点是从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)、行程问题(一元一次方程的应用)，解题关键是善于从函数图像中获取信息并运用．
（1）根据从函数图像中获得的信息，结合速度路程时间公式求解即可；
（2）观察函数图像，分段对甲骑行过程中关于的函数解析式进行求解，需要注意表示的是乙骑行的时间，而甲先出发；
（3）根据图象得甲还需到达，根据路程时间速度即可求解；
（4）先求出不同时间段内能表示乙骑行过程的函数解析式，再分段进行讨论：、、．
【小问1详解】
解：依图得：乙比甲提前到达地，
、两地间距离为，
乙的骑行速度为，
第一阶段两人骑行速度相同，
甲在第一阶段的骑行速度也为，
又甲先出发骑行，
则当骑行距离为时，
骑行时间．
故答案为：；；．
【小问2详解】
解：由可得，当时，甲的骑行速度为，
且甲先出发骑行，
；
当时，设，
将和代入可得，
，
解得，
．
综上，当时，；
当时，．
【小问3详解】
解：依题得，乙到达时，甲还需到达，
且甲在第二阶段的骑行速度为，
甲离地的路程为．
故答案为：．
【小问4详解】
解：依题得：乙骑行过程中，关于的函数解析式为
当时，，
当时，，
①当时，在相同骑行速度下，由于甲先出发，
甲始终领先于乙，
该情况不成立；
②当时，甲乙两人相距，
即，
解得或；
③当时，乙不再运动，
此时甲乙两人相距，
即，
解得．
综上，在甲到达地前，当，或时，甲乙两人相距．
故答案为：，或．
24. 将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上， ，点在边上点不与点， 重合，过点作的平行线交轴于点．
（1）填空：如图①，点的坐标为 ；若，则点的坐标为 ；
（2）以为折痕折叠该纸片，点的对应点为 ，设 和重叠部分的面积为．
①如图②， 当和重叠部分为四边形时，交于点 ， 交于点，试用含有的式子表示和重叠部分的面积，并直接写出的取值范围；
②填空：当 时，的最大值为 ，的最小值为 ．
【答案】（1）
（2）①
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形，二次函数的性质；
（1）根据题意得出，解，，即可求解；
（2）①根据题意得出，，，得出，是等边三角形，在等边三角形中，，，进而根据得出的关系式，根据当时，在边上，当与点重合时，，得出的范围，即可求解；
②根据题意分，两种情况，分别求得的最值，即可求解．
小问1详解】
解：∵点，点在轴正半轴上， ，
∴，
∴，则；
∵，
∴，
∵，
∴，则；
【小问2详解】
解：①在中，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，是等边三角形，
在等边三角形中，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
当时，在边上，
此时，即，解得：
当与点重合时，，
∴当和重叠部分为四边形时，，
∴；
②当时，重叠部分为，
由①可得，
∴当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为；
当时，，
当时，取得最大值，最大值为，
∵，
∴时，取得最小值，最小值为，
∵，，
∴最大值为,最小值为．
25. 已知抛物线（为常数），与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为．
（1）若．
①求点和点的坐标；
②连接并延长交的延长线于点，求的度数；
（2）若点的坐标为，且，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．且，当时，求的值．
【答案】（1）①；；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①把代入函数解析式，再求解A，D的坐标即可；②先求解点的坐标为，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，求解，结合，可得，再利用锐角三角函数可得答案；
（2）先求解，可得抛物线的解析式为，设，其中．可得顶点的坐标为．过点作于点，连接，证明，求解， 可得，过点作轴于点，与直线交于点，可得点，点，结合，再建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：①，，
抛物线的解析式为，
，
当时，，
解得，
点在点的左侧，
，；
②∵，
∴，
，设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
同理，由点，可得直线的解析式为，
令，解得，
点的坐标为，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
∵，
∴，
∴
∴．
【小问2详解】
点在抛物线上，其中，
，得，
抛物线的解析式为，
，其中．
对称轴为直线，顶点的坐标为．
过点作于点，连接，
则，，
∵，，
∴，
，
，
，
，
解得，（不符合题意的根舍去）
，
过点作轴于点，与直线交于点，
同理可得：直线为：，
则点，点，
∴，，
同理可得：，
，
，
解得．（不符合题意的根舍去）