湖北省新八校协作体2025-2026学年高二下学期5月考试数学试卷（含解析）含答案

这是一份湖北省新八校协作体2025-2026学年高二下学期5月考试数学试卷（含解析）含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知随机变量且，则（ ）
A．B．C．D．
2．等差数列的前项和为，若且，则（ ）
A．B．2026C．D．1
3．从1~10这10个数中任取4个数，记为取得的素数个数，则（ ）
A．3B．2.4C．2D．1.6
4．有两个不同零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．甲同学准备去A、B两地游玩，去A地的概率为，去B地的概率为，在A地去爬山的概率为，在B地去爬山的概率为，则甲同学爬山的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．随机事件发生的概率分别为且，若，则（ ）
A．可能互斥B．可能相互独立
C．D．
7．椭圆的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，下列表述正确的个数为（ ）
①从中任取4个数，这4个数中奇数个数为，则时概率最大
②从中有放回取4次，这4次取得的数中奇数个数为，则时概率最大
③从中任取3个数，这3个数能作为三角形三边的概率为
④从中有放回取3次，这3次取得的数能作为三角形三边的概率为
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的范围为
B．时，该双曲线的离心率为
C．时，该双曲线的渐近线方程为
D．使该双曲线的焦距最小
10．数列中，且．若的前项和为，则（ ）
A．是等比数列B．是递增数列
C．D．存在使
11．下列说法正确的是（ ）
A．精确到0.01的近似值为1.17
B．的展开式中系数绝对值最大的项为第三项
C．的展开式中含项的系数为
D．若，则
三、填空题
12．已知等比数列的前项和，则________．
13．现有件不同的玩具，本不同的漫画分给甲、乙两个小孩，玩具每人个，漫画其中一人本，一人本．则不同的分配方案有________种．（用数字作答）
14．时对恒有，则实数的取值范围为________．
四、解答题
15．已知．
(1)若在处取得极值，求在上的最值；
(2)若在时单调递增，求实数的取值范围．
16．袋中有大小，外形，质量完全一样的2个红球，1个白球，每次摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记，若是的前项和．
(1)求的概率；
(2)求的分布列及数学期望．
17．已知数列的前项和为，且，记．
(1)求的通项公式；
(2)若的前项和为，证明：．
18．已知动点到定点的距离比到轴距离大1，记动点的轨迹为曲线.
(1)求轨迹的方程；
(2)过的直线交曲线于，曲线在点处的切线相交于点.
①证明：；
②时，求的面积.
19．已知在处的切线方程为.
(1)求和；
(2)证明：时，；
(3)对，证明：.
参考答案
1．C
【详解】随机变量，则，
因为，所以.
2．A
【详解】记等差数列的公差为，则
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，解得，
故.
3．D
【详解】1~10这10个数中素数有2,3,5,7共4个，
∴的可取值为：0,1,2,3,4，
，
，
，
，
，
∴
.
4．B
【详解】函数的定义域为，
函数的导数，
当时，恒成立，即函数在单调递减，
此时函数至多有一个零点；
当时，令，则，
∵，所以方程必存在两个不同实根，
又∵，不妨令，
则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
∴函数存在最小值，
∵时，时，∴，
∴，又因为， 即，
∵函数在单调递减，且，
∴，即，∴，
当时，，不等式恒成立；
当时，，两边同时平方得，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
5．B
【详解】设事件 ：甲同学去 A 地游玩，设事件 ：甲同学去 B 地游玩，
设事件 ：甲同学去爬山,
根据题意：，，，，
根据全概率公式得,
因此，甲同学爬山的概率为 .
6．C
【详解】，,
又，，，即.
又，代入上式可得，整理得.
对于A选项，若互斥，则，此时，又，，与矛盾，故不可能互斥，A选项错误.
对于B选项，若相互独立，则，与矛盾，故不可能相互独立，B选项错误.
对于C，D选项，，，，即，故C选项正确，D选项错误.
7．B
【详解】因为是内心，所以是的角平分线，
在中，由正弦定理可得，即，
在中，由正弦定理可得，即，
因为，所以，
因为，，
所以，即，
因为，所以，
在中，由余弦定理可得，
化简可得，所以.
8．C
【详解】①服从超几何分布，
可知时，和都最大，因此＝2时概率最大，正确；
②服从二项分布，，
当时，最大，则＝2时，概率最大，正确；
③符合三角形三边关系的组合总共有22种，
234，245，256，267，278，345，346，356，357，367，368，378，
456，457，458，467，468，478，567，568，578，678
概率为，正确；
④有放回取三次数，要区分顺序.
三角形三边互不相等的排列有；
等边三角形一共有8种情况；
等腰且不等边三角形的组合有40种；
221，223，331，332，334，335，441，442，443，445，446，447，551，552，553，554，556，557，558，661，662，663，664，665，667，668，771，772，773，774，775，776，778，881，882，883，884，885，886，887，
每种组合对应3种排列，有40×3＝120种；
综上，符合条件的排列共有132＋8＋120＝260种；
故概率为，错误.
因此表述正确的个数为3个.
9．ABD
【详解】方程表示双曲线，需满足与项系数异号，即.
解得,因此，选项A正确.
将代入原方程得，整理为标准形式.
此时焦点在轴上，实半轴长，虚半轴长.
半焦距，离心率.
因此，选项B正确.
由双曲线标准方程可知，渐近线方程为，即.
这与选项C中的不符.
因此，选项C错误.
当时，方程可化为.
此时.
设，对求导得.
令，即，因，开方得，解得.
当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.
故在处取得最小值，即有最小值，焦距也有最小值.
因此，选项D正确.
10．AC
【详解】当时，，
所以，又，
所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
所以，
当时，，
所以，所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，
又，，所以，
所以不是递增数列，故B错误；
，故C正确；
若，则有解，
令，求导得，
当时，，函数单调递减，又，
所以当时，无解，又，
所以无正整数解，
所以不存在使，故D错误.
11．ACD
【详解】A选项，，
精确到0.01的近似值为1.17，故A正确；
B选项，第项的系数绝对值为，
令且，
解得，∴，即第4项的系数绝对值最大，故B错误；
C．将作为整体，第项为，
再将继续展开得，其第项为，
令，即，则，或，，
的系数为，故C正确；
D．令，则，原式转化为，
令，得，
等式两边同时乘以，得，
即，故D正确.
12．4
【详解】由，得，
当时，，
因为是等比数列，则，经检验符合题意.
13．
【详解】从件玩具中选件给甲的方案有种， 剩下的件给乙，因此玩具的分配方案有种；
从本漫画中选本给甲的方案有种， 剩下的本给乙，
或者从本漫画中选本给甲，剩下的本给乙，方案同样有种，因此漫画的分配方案有种；
因此不同的分配方案有种.
14．
【详解】若，不等式恒成立，
若时，两边同乘以，可得，
两边同构，令，则，
由，所以在单调递增，所以，
所以，所以
令，求导得，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
所以＝1，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
15．(1)，
(2)
【详解】（1），
由题意知，，即，解得，
此时，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，符合题意，所以.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，
又，，，
所以，.
（2）依题意在时恒成立，即恒成立.
令 ，，易知，
要使 恒成立，只需 即可.
所以实数的取值范围为.
16．(1)
(2)分布列：
【详解】（1）依题意，，即为7次摸球中有5次摸出白球，2次摸出红球，
故的概率.
（2）的可能取值为.
表示次摸球中有0次摸出白球，次摸出红球，
表示次摸球中有1次摸出白球，次摸出红球，
表示次摸球中有2次摸出白球，次摸出红球，
表示次摸球中有3次摸出白球，次摸出红球，
表示次摸球中有4次摸出白球，次摸出红球，
表示次摸球中有5次摸出白球，次摸出红球，
则：
所以分布列为：
所以.
17．(1)
(2)由（1）可知，.则，
所以，
所以，
因此．
【详解】（1）依题意，当时，，解得；
当时，，化简得，即，
所以，即是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以.
（2）略.
18．(1)或.
(2)证明：①根据题意，设，所以，
因为三点共线，所以，可得，
又因为曲线在处的切线方程分别为，
所以，
所以，可得，所以，所以.
②
【详解】（1）解：设是曲线的任意一点，
因为动点到定点的距离比到轴距离大1，可得，
整理得或，
所以曲线的轨迹方程为或.
（2）解：②设，
因为，可得，所以，
设直线的方程，联立方程组，整理得，
则，且，
因为，解得，
则，
由，可得，则且，
所以曲线在处的切线方程为，即，
可得，同理可得，
联立方程组，两式相减得，
解得，则，
所以，可得，
因为，所以.
19．(1)，
(2)证明：令，
可得，
所以在上单调递增，所以，
所以，即，
又因为，可得，所以，
则，即.
(3)证明：由（2）知：当时，，
所以，
同理可得：，，
所以，
所以.
【详解】（1）解：因为在处的切线方程为，
可得，即，可得，则，
又由，可得.
（2）略
（3）略
P
1
3
5
P
P