2024-2025学年湖北省新八校协作体高二下学期5月联考数学试卷(B卷)（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省新八校协作体高二下学期5月联考数学试卷(B卷)（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知X的分布列为：
若随机变量ξ=X2，则P(ξ=1)等于( )
A. 16B. 23C. 12D. 13
2.记Sn为递减等差数列{an}的前n项和，若a5+a9=20，a4a10=64，则Snn=( )．
A. 23−nB. n−23C. 23−2nD. 2n−23
3.黄石二中杰出校友何小鹏的小鹏汽车生产的2025款小鹏X9加速度表现出众，其中四驱高性能Max版的0−100km/ℎ加速时间仅需3.5秒.若某款车的速度v关于时间t的函数为v=2.6t−1(0≤t≤3.5)，则t=2秒时的加速度为( )．
A. 5.2B. 2.62−1C. 2.62ln2.6D. 2.62ln2.6
4.某班组织同学到社区志愿服务，某小组共有4名男生和5名女生，该小组需要选出3名同学参加，若选出的同学中既有男生又有女生，则不同的安排方法有( )种．
A. 35B. 84C. 70D. 140
5.已知F是抛物线y=14x2的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是( )．
A. x2=2y−18B. x2=2y−116C. x2=2y−1D. x2=2y−2
6.共有20张彩票，其中有2张中奖彩票，从中任取n张，要使这n张彩票中至少有一张中奖的概率大于12，n至少为( )．
A. 6B. 7C. 8D. 9
7.连续型随机变量X∼N(14,14)，令函数f(x)=P(X≥x)，则下列选项正确的是( )．
A. f(14)=14B. f(x)是增函数
C. f(x)的图象关于x=14轴对称D. f(x)的图象关于点(14,12)中心对称
8.若对于任意的x∈[1e,e]，总存在唯一的y∈[−1,1]使得lnx−x+a=(y2−y+1)ey成立(e≈2.718)，则实数a取值范围是( )．
A. [e+3e−1,e+1]B. (e+3e−1,e+1]
C. [e,e+1]D. (e,e+1]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，现从中逐个摸取3个小球。方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为X;方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为Y.下列说法中，正确的有( )
A. P(X=k)=C3k(58)k(38)3−k，k=0，1，2，3
B. E(X)=E(Y)
C. P(X=k)D(Y)
10.已知数列{an}满足a1=−1，an=1+anan+1，其前n项和为Sn，其前n项积为Tn，则下列选项正确的是( )．
A. a2025=−1B. T6nT6n−2=1
C. S3n+2−S3n=1D. T2025S2025=−20252
11.在平面直角坐标系xOy中，P为曲线E:(x2+y2)3=x2y2(xy>0)上任意一点，则( )．
A. 曲线E关于原点中心对称B. E与曲线xy=1有4个公共点
C. P点不可能在圆O:x2+y2=14外D. P到y轴的最大距离为2 39
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若C15m=C153m−5，则m= ．
13.已知圆O:x2+y2=1和点A(3,4)，由圆外一点P向圆O引切线，切点分别为M、N，若|AP|=|PM|=|PN|，则|OP|的最小值是 ．
14.已知不等式x+2≤aex+2xaex对任意x≥1恒成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(x−2x)n的展开式的二项式系数和为64．
(1)求展开式中含x2的项的系数;(结果用数字作答)
(2)求展开式中系数绝对值最大的项．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=−x2+x−mlnx.
(1)当m=1时，求f(x)≥0的解集;
(2)当m∈R时，求f(x)的单调区间．
17.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=−n2+2n+1，在数列{bn}中，b1=a2−a3a1，满足2bn+1+bn=(12)n+1．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明：数列{bn−(12)n+2}为等比数列;
(3)求数列{bn}的前n项和Tn，并证明58≤Tn≤1.
18.(本小题17分)
甲和乙一起玩游戏，在不透明的盒子内放若干白球和黑球，每次摸一个球，每个球被摸到的概率相同，当每次从盒子中随机摸到一个球后，将球放回盒子里，并添加同样颜色的球a(a∈N)个一起放回盒子里，设事件Ak=“第k次摸到白球”．
(1)现在甲、乙分别从A、B两个盒子中摸球，A盒中有10个白球和30个黑球，B盒中有5个白球和20个黑球，a=3，请计算甲和乙第二次摸到白球的概率分别为多少，并比较大小;
(2)甲和乙经过多次游戏，猜测不论初始时盒子里的白球黑球个数为多少，每次摸到白球的概率都相同.请通过计算验证他们的猜测是否正确;
(3)若初始有m个白球和n个黑球，求第r次摸球后，累计摸到白球个数的期望.(用m，n，r表示)．
(附：若随机变量Yi服从两点分布，且P(Yi=1)=1−P(Yi=0)=qi，i=1，2，⋯n，E(i=1nYi)=i=1nqi)
19.(本小题17分)
已知A(− 2,0)、B( 2,0)分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点，K为椭圆E上异于A、B的动点，且直线AK和直线BK的斜率之积为−12．
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线l:x=2，直线AK交l于点P，直线BK与l交于点Q，椭圆E在点K处的切线l′与l交于R，求证：KP⋅KQ=KR2−14PQ2;
(3)求△KPQ面积S取最小值时K点的横坐标．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.C
5.C
6.A
7.D
8.B
9.ABD
10.BCD
11.ACD
12.5
13.135
14.a∈{2e2}∪[2e,+∞)
15.解：(1)由题意知二项式系数和为2n=64，解得n=6。
展开式通项为：Tr+1=C6rx6−r(−2)rx−r=C6r(−2)rx6−2r ，令指数6−2r=2，解得r=2。
此时系数为：C62−22=60;
(2)由通项公式可得， r=0,1,2,⋯,6 ，
展开式中各项系数的绝对值分别为
r=0:a0=1×1=1r=1:a1=6×2=12r=2:a2=15×4=60r=3:a3=20×8=160r=4:a4=15×16=240r=5:a5=6×32=192r=6:a6=1×64=64
故展开式中系数绝对值最大的项为 240x−2 ．
16.解：(1) 当m=1时，函数为f(x) = −x2+ x −lnx，x∈0,+∞，
则f′(x) = −2x + 1 −1x=−2x2+x−1x=−2x2−x+1x，
2x2−x+1，判别式Δ=(−1)2−4×2×1=−7