江苏省泰州市2026届高三四模考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份江苏省泰州市2026届高三四模考试数学试卷含解析（word版+pdf版），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设集合 ，则
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】.
2. 已知复数 满足 ，则
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】.
3.正六棱柱的底面边长为 6 , 高为 4 . 若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点, 正六棱柱下底面为底面的正六棱锥, 则剩余部分几何体的体积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】正六边形底面积 . 正六棱柱体积
. 挖去正六棱锥体积 .
.
4.将函数 的图象向右平移 个单位长度后所得图象的解析式为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】向右平移 个单位长度,得 .
5." " 是 "数列 为等差数列" 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若 为等差数列,则 .
反之,取 ,但
不一定为等差数列,故为必要不充分条件.
6.已知向量 均为单位向量，若 ，则 与 的夹角为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
. 设 与 的夹角为 ,则 .
7.若圆 上存在两个不同的点 ,直线 上存在一点 ,使得 ,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】圆心 ,半径 . 设 ,当 时,最大张角对应两条切线, . 要存在 ,
则 .
当 时,也成立,故只需直线 与圆心 的距离不大于 2,
8.已知函数 的定义域均为 ,函数 是奇函数,函数 是偶函数. 若 ,则
A. 100 B. 225 C. 400 D. 2026
【答案】A
【解析】令 为奇函数,
,令 ,则 ①
又 为偶函数, ,令 ,则
由 ,得 ,
②
在①式中令 变成 ,结合②式,得
③
于是 ,所以 的周期为 4 .
又由③式，
.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列命题正确的是
A. 若数据 的方差为 3,则数据 的方差为 9
B. 若随机变量 ,则
C. 若一组样本数据 的所有点都在直线 上, 则这组数据的样本相关系数 0.5
D. 已知 ,则
【答案】BD
【解析】设原数据方差为 ,则新数据方差 , A 错误;
关于 对称,且正态分布连续,
正确;
所有点都在 上,且斜率 错误;
由全概率公式, 正确.
10.已知正项数列 满足 ,则
A. B. 存在等差数列 满足条件
C. D.
【答案】ACD
【解析】 ,所以 , A 对;
由
对;
若为等差数列,设公差为 ,则
,左边随 变化,不恒为 1,矛盾, 错;
由 C 得
又 ,所以 , D 对.
11.已知函数 存在极小值点 ,则
A.
B. 函数 有唯一的极小值点
C.
D. 函数 有且只有 3 条斜率为 4 的切线
【答案】BCD
【解析】方法一:
当 时,
在 上单调递增, 在 上无极值
当 时, 在 上单调递增注意到 ,
唯一的 使
且当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增, 为 唯一的极小值点,由 错, 正确.
对于 ,由 ,
,
, 正确.
对于 ,当 时,令 ,令 ,
令 在 上单调递减; 上单调递增, 且 时, ; 时, 在 和 上各有一个零点 ,此时 的两根为 ,当 时,令 在 上单调递增注意到 且 时, 时, , 唯一的 使 函数 有且只有 3 条,斜率为 4 的切线, D 正确.
方法二: ,定义域为 ,
. 令 .
当 时, .
所以 在 上有唯一实根 ,且 ,所以 为极小值点.
当 时, ,
所以 时, ,无导函数零点. 故函数 有唯一极小值点 正确又 ,所以 错误.
由 得 ,所以 .
又 ,
所以 正确.
斜率为 4 的切线满足 ,即 .
当 时, 递增,且 ,
所以正半轴有唯一切点. 当 时,令
即 ,
所以 有两个正根,对应 上两个切点.
因此 共有 3 个斜率为 4 的切点. 设切点横坐标为 ,切线为 .
当 时, .
正根 时, . 负根 时, .
两个负根分别为 ,且 ,所以 .
又 ,所以 .
. 故三条切线互不相同, D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知 的展开式中的第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为________.
【答案】45
【解析】由题知 , . 设通项为 令 ,得 ,所以常数项为 .
13.已知双曲线 的右焦点为 ,直线 与双曲线的渐近线相交于点 ,点 在第二象限. 直线 与抛物线 的一个交点为 , 若 ,则双曲线的离心率为_______.
【答案】
【解析】双曲线渐近线为 在第二象限,
代入 .
又 .
14.一个盒子中装有 2 个黑球和 8 个红球. 随机地从盒子中取一个球, 观察其颜色后放回，若出现连续两次取到红球，则停止取球，那么取球总次数的数学期望为________.
【答案】
【解析】方法一: 设取球总次数为 ,
.
方法二: 设取到红球概率 ,取到黑球概率 .
设从无连续红球状态开始，到停止还需取球次数的期望为 ；设已经取到一次红球后，到停止还需取球次数的期望为 .
取球总次数的数学期望为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 在 处有极大值，求 的值 .
【解析】(1) 时， ,
,切点 , 切线方程为: ,即
(2) ,
或 6，当 时, ,
在 上单调递减; 上单调递增
在 处有极小值,与条件矛盾,舍 !
当 时, ,
在 上单调递增; 上单调递减
在 处有极大值,符合条件
综上: .
16.某趣味闯关游戏规则如下:选手每轮独立进行一次挑战，每轮挑战成功的概率为 ,失败的概率为 ,各轮挑战相互独立. 规定: 若选手某轮挑战成功得 1 分,挑战失败得 0 分. 设选手进行 轮挑战后,总得分恰好为 分的概率为 .
(1)求 ；
(2)若 .
(i) 求 的最大值;
(ii) 是否存在正整数 ,使得 成等差数列. 如果存在,求 的值; 如果不存在, 请说明理由.
【解析】(1) 表示选手 2 轮挑战后恰好得 1 分的概率，
(2)(i)选手 轮挑战后总得分恰好为 分说明选手 轮中有一轮挑战失败， 轮挑战成功
(当且仅当 时取 “=”)， 或
(ii) 假设 3 正整数 使 成等差数列,则
当 时, 这与 式矛盾,
当 或 2 时,
当 时, 时,
时, ,此时无正整数解
综上: 存在 或 符合条件 .
17.在 中,角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ；
(2)若 为 的中点， 相交于点 .
(i) 若 ，求 面积的最大值；
(ii) 若 ,求 的余弦值.
【解析】
(1)由条件得 ,
.
(2)(i)过 作 交 于点 ， 为 中点

,又
为 中点，
而
，当且仅当 时取 “ ”
(ii)
而 当且仅当 时取 “ ”,
为等边三角形
处理方式一: 设
,
处理方式二: 在等边 中, ,设 ,
为 中点, ,
.
18.已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 2 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设直线 与椭圆 交于 两点，原点 到直线 的距离为 ，记直线 的斜率分别为 .
(i) 求证: 为定值;
(ii) 求 的面积的最大值及此时直线 的方程.
【解析】方法一:(1)由题意知 的标准方程为: .
(2)(i)①当 斜率不为 0 时，设直线 的方程为 ，
到 的距离为
② 当 斜率为 0 时，设 ， ， ，
综上: 为定值.
(ii) ① 当 斜率为 0 时，
② 当 斜率不为 0 时，
,要求 考察
当且仅当 时取 “ ”,
当 时, ,当 时,
直线 的方程为 或 .
方法二: (1) 由椭圆的离心率为 ,短轴长为 2 得 ,所以 . .
所以椭圆 的标准方程为 .
(2) (i)当直线 的斜率不存在时,
因为原点 到直线 的距离为 ,
所以直线 的方程为 或 ,
当 时,由 得 ,
所以 .
同理可得,当 时, .
当直线斜率存在时,设直线 的方程为 .
因为原点 到直线 的距离为 ,所以 ,即 .
设 ,由 得 ,
所以 ,
又 ,
所以
所以 .
综上所述， 为定值.
(ii) 当直线 的斜率不存在时, ,
所以 的面积为 .
当直线 的斜率存在时,
由 (i) 得
令 ,即 ,
则 ,
当且仅当 时, ,
所以 的面积的最大值为 .
此时 ,即 ,所以 ,
所以直线的方程为 或 .
方法三:(1)感觉题面还是不够严谨！ 按椭圆标准方程默认 ， 由短轴长为 2,得 .
.
(2)(i)若 ，则
若 不竖直,设 ,
联立
当 均存在时, ,于是 .
为定值 -1 .
(ii) 若 ,则
若 ,由上面方程得
令 ,则
.
当 时取等号,即 .
,此时直线 的方程为 .
即 .
19.如图，在三棱柱 中，侧面 底面 ， 是 的中点,
(1)证明: ；
(2)求四面体 外接球的表面积 ；
(3)动点 在平面 内， 和 均为锐角， . 设平面 与平面 的夹角为 ,求 的最小值.
【解析】方法一:(1)证明: ， ， 为等边三角形 ，又 侧面 底面 ，侧面 底面
平面 且 ,又
平面
而
平面 .
(2)由 平面 ，而 ，
二面角 的平面角为
而
记 的外心为 , 的外心为 , 为 中点, 为 中点,
到 的距离分别为
记四面体 的外接球半径为
.
(3)取 中点 ，连接 ，则由 为等边三角形， ，
底面 ,如图建系,
在椭圆 上运动,设
设平面 与平面 的一个法向量分别为
EMBEDEquatin.DSMT4
−x2+3z2=0x0x2+y0y2−3z2=0⇒n2=3y0,31−x0,y0
∴csθ=n1⋅n2n1n2=3y02−31−x02−y024y02+3x0+12⋅4y02+31−x02
=3x02+2y02−315+6x0⋅15−6x0
令 ,而
(当且仅当 时取 “ ”)
方法二: (1)连结 ，在平行四边形 中，
因为 为 中点.
所以 ,由 得 .
又平面 底面 ,
平面 底面 面 ，所以 底面 ， 因为 面 ,所以 .
又 面 ,
所以 平面 . 又 面 ,所以 .
因为 ,所以 ,
所以 . 所以 .
所以 ,
所以四面体 外接球的半径为 ,
所以外接球的表面积 .
(3) .
由 知点 的轨迹方程为 ,
设 ,则 ,
因为 和 均为锐角,所以 .
又 ,
设平面 的一个法向量为 ,
由 得
取 ,则 .
又 ,
设平面 的一个法向量为 ,
由 得
取 ,则 .
因为平面 与平面 的夹角为 ,
所以
,令 ,则 .
所以 . 因为 在 上单调递减,
所以 ,即 的最小值为 .
方法三:(1)证明:建系，取底面 为 平面，侧面 为 平面，
设 ,则 .
由
由
不妨取
。
(2)由(1)知
设四面体 外接球球心为 ,半径为 .
代入
.
(3)设 .
均为锐角,
又 ，所以 在以 为焦点的椭圆上，
平面 中,
取法向量
平面 中,
取法向量
令 ，则 ，
令 ,则
令 在 上单调递增,
当 时取到 .