江苏省苏州市2026届高三三模考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份江苏省苏州市2026届高三三模考试数学试卷含解析（word版+pdf版），共100页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 时不一定有 ,如 ,不充分 时, 一定有 ,必要.
2. 已知单位向量 满足 ，则 在 上的投影向量为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 在 上的投影向量 .
3.已知函数 的最小正周期为 ,则下列选项中不是 图象的对称中心的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
则 是一个对称中心;
是一个对称中心; 是一个对称中心 .
4. 的展开式中的常数项为
A. 60 B. 120 C. 160 D. 240
【答案】A
【解析】 展开式第 项 .
5.在平面直角坐标系 中,已知圆 和圆 交于 两点,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】公共弦 即 到 距离 中点 ,则 .
6.已知钝角三角形 的三边分别为 ，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】三角形为钝角三角形,则 .
7.已知 ，若 有两个零点，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令 ,则 或 -1 共 1 个根,排除B.
或 1,没有根,排除D.
或 4 共 4 个根,排除 .
8.已知在 5 次独立重复试验中，每次试验成功的概率为 ，设事件 表示第一次试验成功，事件 表示 5 次试验中成功 3 次，若事件 与事件 相互独立，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一: ,
独立,
.
方法二:
: 第一次成功,后 4 次中成功 2 次. 与 相互独立, .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.数列 的前 项和记为 ,且 ,则
A. B. 为等差数列
C. 中既有最大项也有最小项 D. 中有最大项但无最小项
【答案】ABC
【解析】 时 时
, A 对.
是等差数列, 对.
时, 有最大值 时, 为单调增数列
，C 对，D 错.
10.已知正四棱柱 中， ，则
A. 异面直线 与 所成角的余弦值为
B. 直线 与平面 所成角的余弦值为
C. 三棱锥 的外接球的半径为
D. 三棱锥 的内切球的半径为
【答案】AD
【解析】如图建系, ,
A 对.
平面 的一个法向量 ，设 与平面 所成角为 错.
外接球直径 ，C 错.
11.已知函数 的定义域为 为奇函数，则
A. B. 为偶函数
C. D.
【答案】BCD
【解析】方法一:常规处理(赋值)
在原式中令 ,令
即 不恒为 为偶函数, 正确.
又 为奇函数 为奇函数, 关于 中心对称 一个周期为 正确. ,且在原式中令 错. 对于 , 一个周期的和为 0, ，.
方法二:特殊函数秒杀
令 ,知符合所有条件,经检验选: BCD.
方法三: 令 ,得 .
为奇函数,令 ,则 .
所以 . 令 ,则 ,
,得 ,不是两种取值, 错.
令 ,则 .
令 ,则 .
取 ,得 .
所以 ,
得 .
又 ,所以 为偶函数, B 对.
,所以 , C 对.
令 ,则 .
于是 .
,且 .
,所以 . D 对.
方法四: 为奇函数
关于点 对称 .
.
如果 ,矛盾!
如果 ,成立.
所以 , 错误.
不恒为 , B 正确.
所以 , C 正确.
,周期为 6 .
, D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知下表中是关于变量 的 5 组观测数据,甲同学根据表中数据通过模型 得到经验回归方程为 ,则 _____.
【答案】
【解析】 .
13.在平面直角坐标系 中,已知抛物线 的焦点为 ,过 且斜率为 的直线 与 从左到右依次交于 两点，则 _______.
【答案】
【解析】
解得 或
14.球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度, 即经过这两点的大圆在两点间的一段劣弧长度(大圆是经过球心的平面截球面所得的圆). 已知 为球 的直径, 点 在球面上,且 是等边三角形,若 , 则 两点的球面距离为________.
【答案】
【解析】方法一: 设 中心 ,

即 .
方法二: 设球半径为 ,则 . 以 为原点, 所在直线为
轴,取 . 设 . ,
又 是等边三角形,
设 ,则
,设球面距离为 ,则 ,应填: .
方法三: 连接 为直径, ,
从而 两点的球面距离为: .
方法四: 为球 的直径,点 在球面上
为等边三角形
中,
两点球面距离 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知锐角 中，内角 所对的边分别为 ， .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的周长 .
【解析】(1)由条件可得
.
(2) ，在锐角 中， 由

由
周长为: .
16.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的短轴长为 4,离心率 .
(1)求 的标准方程；
(2)若斜率为 的直线 与 交于 两点，与 轴交于点 ，求 的值.
【解析】(1)由题意知 的标准方程为: .
(2)设直线 方程为
.
17.如图,在多面体 中,平面 平面 ,底面 为直角梯形, , .
(1)证明: ；
(2)已知 是线段 上的一点，当平面 与平面 夹角的余弦值为 时,求 的值.
【解析】
(1)证明:
平面 平面 ,平面 平面 平面 平面 .
(2)如图建系，设
由
,
设平面 与平面 的一个法向量分别为
,
.
18.袋子里有编号 的 个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出 个,记取出 个小球的最大编号为 .
(1)当 时，求 的分布列;
(2)当 时，求 ；
(3)求 .
【解析】方法一:(1) 的所有可能取值为2,3,4
的分布列如下:
(2) 的所有可能取值为
(3) 的所有可能取值为
.
方法二: (1) 当 时,所有取法数为 ,
( 2 )当 时，相当于随机漏掉一个编号，
.
(3)当 时，
.
方法三:(1) 的所有可能取值为2,3,4
的分布列如下:
(2) 的所有可能取值为
(3) 的所有可能取值为
方法四:(1)共有 种情况， 的可能取值为2,3,4， ,分布列如表所示
(2) 的可能取值为 或 ，
所以 ,
因此 .
(3)选取 个不同的元素，有 种方法，
要满足 ,则需取出元素 ,其余 个元素是从小于 的 个元素中选出的,所以
因为 ,
19.已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若 ( 为常数).
①证明:当 时，函数 存在两个零点 ;
②在①的条件下，若 ，证明: .
【解析】方法一:(1)
① 当 时， 在 上单调递增；
② 当 时， 在 上单调递减; 上单调递增.
(2)① 时， ，
且 在 上单调递减; 上单调递增
而 时,
在 和 上各有一个零点,共两个零点,证毕!
②由①知 且
要证 证: ,即证:
而
,证毕!
方法二: (1)
当 时, ,所以 在 上单调递增.
当 时,令 ,得
当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
(2)① 当 时，
由(1)知 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 且 时, ; 当 时, 所以 在 上有且仅有一个零点 ,在 上有且仅有一个零点 . 所以 存在两个零点 .
②由 ，得
又 ,所以
且
方法三: (1) 的定义域为 .
当 时, 在 上单调递增.
当 时,令 .
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增.
(2)①当 时， ，定义域为 .
由 (1) 知, 在 单调递减,在 单调递增. . ;
取 .
令 ,
即 在 和 各存在一个零点,
即存在两个零点 .
② 证明: ,且 .
.
又 .
.
又 在此区间单调递增,且 ,
,
证毕!
方法四: (1) ,
当 时, ,所以 在 上单调递增,
当 时, 单调递减;
单调递增.
(2) 时， ， ，
所以当 时， 单调递减；
当 时, 单调递增.
因为 ,
,所以 ,
又因为 在定义域内连续不间断,
所以 ,使得
因为 ,所以当 时 ,
所以 在 上单调递增,所以 ,所以 ,
又因为 在定义域内连续不间断,
所以 ,使得 .
综上所述，当 时， 存在两个零点 .
② 解法 1: 因为 ,所以由①可知 ,
由 ,即 ,所以 ,
因为 ,
所以 ,即 ,即 .
解法 2: 由①可知 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
又因为 ,所以由①可知 , 所以 .1
2
3
4
5
e
2
3
4
2
3
4
2
3
4
2
3
4