北京市海淀区2026届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析）

这是一份北京市海淀区2026届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设复数在复平面内对应的点位于第三象限，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．已知是单位向量，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的最小值为（ ）
A．2B．4
C．3D．6
4．若直线与平行，则与的距离为（ ）
A．B．2
C．3D．4
5．已知等差数列中，，，则（ ）
A．2025B．2026
C．2048D．4052
6．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
7．若函数的值域为，则可以为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图1，在中，，，，，分别为边，，的中点．将沿折起到沿折起到，使得平面且为等边三角形，如图2所示，则多面体的体积为（）
A．B．
C．D．
9．已知圆，则“”是“圆与直线相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．双曲线的渐近线方程为______．
12．在的展开式中，各项系数的最大值为___________．
13．某环保基金会的生态修复专项账户有资金2000万元．基金会制定了如下使用方案：在第年开始时，若账户中的资金超过10万元，则在该年将账户中的一半资金投入使用；若账户中的资金不超过10万元，则在该年将账户中的全部资金投入使用，修复项目在该年结束．按上述使用方案，第4年投入使用的资金为___________万元，该修复项目将在第___________年结束．
14．若锐角满足，则的一个取值为___________；的最小值为___________．
15．在中，，，，为边的中点，为边上的动点．为所在平面内的动点，且．给出下列四个结论：
①对任意的，存在使得；
②对任意的，存在使得；
③存在，使得；
④存在，使得．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题
16．如图，在四边形中，是的角平分线．
(1)求证：；
(2)若．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四边形存在，求四边形的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点．
(1)求证：；
(2)若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
18．某公司利用自动分拣系统对价值500元以下的中、小件包裹进行分拣．该系统对每件包裹分拣的准确率为99.9%．若一件包裹分拣错误，当包裹价值不超过10元时，该公司的损失费用为包裹价值的150%；当包裹价值超过10元但不超过100元时，该公司的损失费用为包裹价值的60%；当包裹价值超过100元时，该公司的损失费用为包裹价值的75%．
该公司随机抽取10000件包裹，记录并整理这些包裹的价值，获得数据如下表：
假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替．
假设不同包裹分拣正确与否相互独立．用频率估计概率．
(1)估计一件包裹价值不超过100元的概率；
(2)记为一件包裹分拣错误时该公司的损失费用，估计的数学期望；
(3)该公司每天平均处理10万件包裹．若使用一项新技术，可以让分拣的准确率增加到99.99%，但每天需额外支付5000元．仅从费用的角度考虑，该公司是否使用该项新技术？说明理由．
19．椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率．
20．已知函数，其中．
(1)当时，求曲线经过点的切线条数；
(2)当时，求证：对任意；
(3)若关于的方程在区间上有且仅有1个解，直接写出的最小值．
21．给定正整数，如果一个无穷数列满足：对于任意正整数，这项中恰有个不同的数，则称为预言数列．
(1)分别写出下列数列是否为3-预言数列；
①；②
(2)是否存在首项为3的3-预言数列？若存在，求出所有符合条件的数列；若不存在，说明理由；
(3)求预言数列的个数．
参考答案
1．D
【详解】根据题意，设，则，且，，
故复数在复平面内对应的点位于第四象限.
2．B
【详解】因为是单位向量，且
所以
3．C
【详解】，，
，
当且仅当时，即时等号成立，
因此函数最小值为.
4．A
【详解】由题意得，解得，
当时，不重合，故，
可化为，
所以与的距离为.
5．D
【详解】设等差数列的首项为​，公差为，通项公式为，
由得：；
由代入通项公式展开： ，
整理后消去同类项得：，
将代入，解得，
因此通项公式为：
代入得： .
6．A
【详解】因为，所以
又，即；
因为，
所以，即，
综上，，即.
7．A
【详解】由
，其中，
又因为的值域为，所以，解得，
所以或，
当时，或，得到A符合题意.
8．C
【详解】在中，，，，分别为边，，的中点，
，，四边形是边长为1的正方形，面积，
折叠后，，，且，
因为为等边三角形，所以
因为平面，，
所以，补全几何体为棱长为1的正方体，如图，满足条件；
所以多面体的体积为正方体的体积减去2倍的三棱锥体积，
所以.
9．B
【详解】将圆的一般方程配方为标准方程：
，
得圆心为，半径，（），
直线，即，
圆心到直线的距离为： ，
圆与直线相切等价于，代入得： ，
两边平方整理得 ，即圆与相切，
充分性：若，可得或，当时，不满足，圆与直线不相切，因此充分性不成立，
必要性：若圆与相切，则，必然满足，因此必要性成立，
综上，是圆与相切的必要不充分条件.
10．A
【详解】当时，，
当时，，
所以，当，即，作出函数的图象，如图，
显然，当，都有，且，
所以
当，即时，作出函数的图象，如图，
当，都有，且
所以，
当，即时，作出函数的图象，如图，
当时，则需满足，即，解得，
所以，
综上，，即的取值范围为.
11．
【详解】双曲线的渐近线方程为.
12．10
【详解】由于，
所以在的展开式中，各项系数的最大值为10.
13． 125 9
【详解】初始资金（第1年开始时）：2000万元
第1年：资金大于10万元，投入一半
投入金额：万元，剩余资金：万元
第2年：资金大于10万元，投入一半
投入金额：万元，剩余资金：万元
第3年：资金大于10万元，投入一半
投入金额：万元，剩余资金：万元
第4年：资金大于10万元，投入一半
投入金额：万元，剩余资金：万元
第5年：资金大于10万元，投入一半
投入金额：万元，剩余资金：万元
第6年：资金大于10万元，投入一半
投入金额：万元，剩余资金：万元
第7年：资金大于10万元，投入一半
投入金额：万元，剩余资金：万元
第8年：资金大于10万元，投入一半
投入金额：万元，剩余资金：万元
第9年：资金小于10万元，投入全部资金7.8125万元，项目结束
综上，第4年投入使用的资金为125万元，该修复项目将在第9年结束.
14． （答案不唯一）
【详解】由题意知，，
所以，即，
因为，
所以，即
解不等式得，
又，，
所以，
所以
综上，的值可以是内的任意值，的最小值为.
15．①④
【详解】因为，所以的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
又，，，所以，
所以是以为斜边的直角三角形，
又为边的中点，所以圆为的外接圆，
对于①，当与重合时，，
所以对任意的，存在使得，故①正确；
对于②，当三点共线时，
因为点位于圆及其内部，故，即，故②错误；
对于③④，
，
当方向相反时，等号左边成立，当方向相同时，等号右边成立，
又，，
所以，
因为，，
故③错误，④正确.
16．(1)证明见解析；
(2)选条件①②，四边形的面积为，选条件③，四边形不存在.
【详解】（1）在四边形中，由是的角平分线，，
在中，由正弦定理得，
所以.
（2）选条件①：，则，由（1）得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，又，
所以四边形的面积.
选条件②：，由（1）得，设，
在中，由余弦定理得，
即，则是方程的两个根，
于是，即，，
由，得，则，，
所以四边形的面积.
选条件③：，由（1）得，
在中，由正弦定理得，即不存在，四边形不存在.
17．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在四棱锥中，由平面平面，得平面，
又平面，平面平面，则，
而点为的中点，因此为中点，，又，
所以.
（2）由四边形为矩形，得，
由平面，平面平面，平面平面，
得平面，又，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，由点在线段上，设，
，
设平面的法向量，
则，取，得，
由直线与平面所成角的正弦值为
得，而，解得，
所以线段的长为.
18．(1)
(2)
(3)建议使用新技术，理由见解析.
（1）解：根据题意，抽取的10000件包裹中，有8000件价值不超过100元，
所以不超过100元的频率为，
根据频率估计概率，一件包裹价值不超过100元的概率为
（2）解：根据题意，同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，
故当包裹价值在时，包裹价值为元，损失费用为元；
当包裹价值在时，包裹价值为元，损失费用为元；
当包裹价值在时，包裹价值为元，损失费用为元；
当包裹价值在时，包裹价值为元，损失费用为元；
所以，的所有可能值为，，，（单位：元）
，，
，，
所以的概率分布列如下：
所以，(元)
（3）解：建议使用新技术，理由如下：
根据题意，若采用新技术，分拣的准确率增加了0.09%，
故采用新技术时，每天可以减少的损失费用约为 元，
由于，故建议使用新技术.
19．(1)椭圆的方程为，离心率为
(2)
【详解】（1）设椭圆的焦距为，
则下顶点坐标为，左焦点到下顶点的距离为，
因为椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为，
所以，，
所以椭圆的方程为；
离心率为；
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为零，
设直线方程为，令得，故，
联立方程，得，解得或，
所以，代入得，
所以，，
所以，
所以直线的方程为，
因为的方程为，
所以，得，
所以，
因为，
点到直线的距离为，
所以，
因为，
所以，即，
设椭圆的右顶点为，
因为经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），
所以，故，，
所以，
令，则，即，
所以，
解得或（舍去），则，
所以，即直线的斜率为.
20．(1)3；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）当时，函数，求导得，
设切点坐标为，则切线方程为，
而切线过点，因此，整理得，
解得或，当时，，切线方程为；
当时，，切线方程为；
当时，，切线方程为，
所以曲线经过点的切线条数为3.
（2）函数的定义域为R，求导得，
令，求导得，
由，，得，当时，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
，即，函数在上单调递增，
，
所以当时，对任意.
（3）由（2）知，，，
因此是方程在的解，由方程在上有且仅有1个解，
得当时，无解，由，
得，令函数，
求导得
，而，则，
函数在上单调递减，
当从小于的方向趋近于时，，又
当时，，
则恒成立，当且仅当时取等号，
即，，且当从大于的方向趋近于时，，
因此函数在上的值域为，由在无解，得，
由关于的方程在区间上有且仅有1个解，得，
所以的最小值为.
21．(1)是3-预言数列；不是预言数列；
(2)不存在首项为3的预言数列，理由见解析；
(3)当时，，此时预言数列的个数为1；当时，预言数列的个数为.
（1）解：对于①，
当时，对于任意正整数，的值均为，不同的数的个数为，
所以是预言数列；
对于②
由于，，，，，，……，
当，时，对应的项为，，，
其中不同的数有和两个，不等于，
所以不是预言数列.
（2）解：不存在，证明如下：
根据题意，任意正整数，这项中恰有个不同的数，
任意正整数，，这项中恰有个不同的数
所以且
假设存在首项的预言数列，则中有不同的数，
即必须互不相同，即，
当时，不满足，矛盾；
当，根据题意，对于正整数，，这项中恰有个不同的数，
即，与矛盾；
当时，根据题意，对于正整数，，这项中恰有个不同的数，
即，且，
又因为，所以，，，
此时与对于正整数，，这项中恰有个不同的数矛盾.
综上，不存在首项为的预言数列.
（3）解：当时，，此时预言数列的个数为1；
当时，预言数列的个数为，证明如下：
①同（2），可得且，
所以，若数列中某一项为1，则后续项只可能均为1或者均为2.
②设中的最大项为，证明.
假设，则存在，
由题可知，中恰有，这个不同的数，
所以，其中存在（若有多个，则取最后一个），存在，（若有多个，则取最前一个），
若，则，，矛盾；
若，则中恰有个不同的数，
又因为中没有，且，其后续项也没有，矛盾.
由上可知，.
③由②，若，则，符合；
若，设，则其后续项可取到和，且其中第一个1的后续项只能为2，
否则其前一项（取2）对应的后续项只能取1，矛盾；
所以，若，则其后续项只能有1个1，个2，
共有种不同的取法，考虑到数列首项还可能是1，
所以，当数列中最大项为2时，共有个预言数列，价值
件数
4000
4000
1200
800
7.5
33
150
300