江西省萍乡市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份江西省萍乡市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了在数列 中，若 ，则 的值为，已知数列 满足等内容，欢迎下载使用。
（在此卷上答题无效）
萍乡市 2025—2026 学年度高二期中考试
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡
上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水
签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1．设等比数列 的前 项和为 ，且公比为 ，若 ，则
A．7 B．8 C．12 D．14
2．已知函数 的导函数为 ，且 ，则
A． B． C． D．
3．下列求导结果正确的是
A． B．
C． D．
4．在数列 中，若 ，则 的值为
A． B． C． D．
5．某医疗研究机构为检验某种新研发的药物对特定疾病治疗是否有效，随机选取了 200 名 患者进行双盲实验．其中 100 人服用新药，100 人服用旧药，统计结果如下表．
治愈 未治愈 合计
服用新药 67 33 100
服用旧药 48 52 100
合计 115 85 200
附： 统计量临界值表
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
其中 ， ．
则下列说法正确的是
A．有 99.5%的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效
B．有 99.5%的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效
C．有 99%的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效
D．有 99%的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效
6．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
7．已知函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知数列 满足： ， ，若对于 ，都
有 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知函数 的导函数为 ，则下列说法正确的是
A．函数 在 上单调递减 B．函数 在 上单调递减
C．函数 在 处取得极小值 D．函数 在 处取得极大值
10．在一项关于学生体能测试的研究中，某研究小组随机选取了100名学生作为研究对象．他
们记录了每位学生的日常锻炼时间（记为变量 ，单位：小时）与体能测试得分（记为变量
，单位：分）的数据．通过对这 100 组成对数据 进行统计分
析，某学生计算出回归直线方程为 ，则下列说法正确的是
A．体能测试得分 与日常锻炼时间 正相关
B．该样本数据的相关系数为 4.8
C．该样本数据中的所有点 都可以不在该回归直线方程上
D．某学生的日常锻炼时间为 2 小时，则他的体能测试得分一定为 82 分
11．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且
，则下列说法正确的是
A． B． 在 处取得最小值
C． 时， 恒成立 D．
萍乡市 2025—2026 学年度高二期中考试
数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共 2 页，须用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知数列 满足 ， ，则 ________．
13．已知函数 ，直线 与曲线 相切于点 ，
则 ________．
14．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 ________．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
已知数列 为等差数列，前 项和为 ， ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
16．（本小题满分 15 分）
设函数 ．
（1）当 时，求 的最小值；
（2）求 在 上的极值．
17．（本小题满分 15 分）
2026 年国务院政府工作报告明确指出：支持有条件的地方推广中小学春秋假，落实职工带 薪错峰休假制度，这一政策直接带动旅游市场热度．某景点为科学定价、吸引更多游客，根 据往年数据拟定价格，有关门票价格和日游客人数的数据如下表所示：
门票价格 （元/人） 30 40 50 60 70
日游客人数 （千人） 21 20 14 8 7
（1）已知 与 具有线性相关关系，求出 关于 的线性回归方程；
（2）为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为 10（元/人），并计划做广告宣
传．由前期调查可知，当日均广告费为 千元时的日游客人数为 千人，
其中 是当门票为 10（元/人）时，根据（1）的回归方程所预测的日游客人数．求景区的日 均广告费用为多少千元时，日门票净收入最大．（日门票净收入=票价×日游客人数 广告费）
参考数据： ， ．
参考公式：线性回归方程 ， ．
18．（本小题满分 17 分）
设数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ；
（3）对于（2）中的 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的
取值范围．
19．（本小题满分 17 分）
已知函数 ．
（1）证明：函数 在 上存在唯一零点；
（2）设函数 ．
（i）讨论 的极值点的个数；
（ii）设数列 满足： ， ，证明： ．萍乡市 2025—2026 学年度第二学期期中考试
高二数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题（8×5=40 分）：DCBAD；CDB．
【8 解析】当 时，由 得： ，于是
，即 ，当 时 也满足， ，
对 ， 恒成立，则 ，
令 ，
当且仅当 时，等号成立，这与 矛盾，考虑当 时， ，当
时， ，故 ，即 .
二、多项选择题（3×6=18 分）：ACD；AC；ACD．
【说明：第 10 题全部选对得 6 分，选对 1 个得 3 分，有选错的得 0 分；第 9，11 题全部选
对得 6 分，选对 1 个得 2 分，选对 2 个得 4 分，有选错的得 0 分．】
【11 解析】由已知 ，得 ，设
，得 ，令 ，得 ，所以 在
上单调递增，在 上单调递减，所以 ，即 ，
A 选项正确；
设 ，即 ，由 ，得 ，所以 ，
从而 ，令 ，得 ，所以 在 上单调递增，在
上单调递减，可得 B 错误；
时， ， 时， 时， ， ，所以
时， 恒成立，C 项正确；
由 在 上单调递减， ，所以 ，又 ，
所以 ，D 选项正确.
三、填空题（3×5=15 分）：12． ；13． ；14． ．
【14 解析】由已知 ，得 ，
当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
所以
，
所以 .
四、解答题（共 77 分）
15．（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ,
由题意可知； ， 分
得 .故 分
（2）由（1）可知 ，则 ，令
所以 分
则前 项和 为：
分
16.（1）函数 的定义域为 ，当 时， ， ，
令 ，得 ， 分
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 分
所以 ； 分
（2）由已知， ， 分
①当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递增.
所以 在 上没有极值； 分
②当 时，令 ，得 .则 在 上单调递减，
在 上单调递增.所以 在 上的极小值为 ，
没有极大值 分
综上所述，当 时， 在 上没有极值；
当 时， 在 上的极小值为 ， 没有极大值 分
17.（1）由题意得： 分
分
所以 关于 的线性回归方程为 分
（2）设门票净收入为 ，则 ，由（1） 时，
分
故 ， 分
若要使 最大，则 ，代入可得 ，又因为 ，故 ， 分
所以当门票定价为 10 元时，日广告费用为 5 千元时门票净收入最大 分
18.（1）由 ，当 时， ，解得 分
当 , ，则 ，即 ， 分
故 是公比为 3 的等比数列， ，所以 ， 也适合此式， 分
（2）因为 所以 ， 分
从而 ，
， 分
两式相减得: 分
，解得 分
（3）由（2）得不等式 ，可变为
当 为奇数时， ， 分
记 ，所以 ， ，
令 ，得 分
且取奇数时， 单调递增，此时 ，即 ； 分
当 为偶数时， ，所以 ， 分
同 理 可 知 ， ， 单 调 递 增 ， 此 时 ， 所 以 ， 即
分
综上所述，实数 的取值范围为 分
19.（1）由已知 ， ，则 恒成立..1 分
所以 在 上单调递增， 分
又 ， ， 分
所以存在唯一 ，使 ，问题得证； 分
（2）（i）由已知 ，可得 ，
令 ，得 或 分
①当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增，所以 有 2 个极值点； 分
②当 时，函数 在 上单调递增，所以 没有极值点； 分
③ 当 时 ， 函 数 在 上 单 调 递 增 ， 在 上 单 调 递 减 ， 在
上 单 调 递 增 ， 所 以 有 2 个 极 值
点 分
综上所述，当 时， 有 2 个极值点；当 时， 没有极值点；当 时，
有 2 个极值点 分
（ii）由（i）知，当 时，函数 在 上单调递增，则当 时，
，即 分
由已知，易知 ，则数列 单调递减，且 .
有 ， 即 ， 累 加 可 得 ， 即 得
，又 ，所以 分