江西省萍乡市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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数学试题
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（ ）
A．B．C．D．
3．方程的化简结果为（ ）
A．B．C．D．
4．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．9B．18C．20D．36
5．在四面体中，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左､右焦点分别为，若斜率为的直线过原点且与相交于两点，，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
8．斜椭圆是由焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定角度得到的图象.已知曲线的图象是如图所示的斜椭圆，点是上任意一点，点，，为坐标原点，则下列说法错误的为（ ）

A．该椭圆的焦点在直线上
B．该椭圆的离心率为
C．的最大值为
D．的最大值为
二、多选题
9．下列关于空间向量的命题中，正确的为（ ）
A．长度相等､方向相同的两个向量是相等向量
B．平行且模相等的两个向量是相等向量
C．只有零向量的模等于零
D．若，则是钝角
10．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，点在上，则下列结论正确的为（ ）
A．的离心率为
B．的渐近线方程为
C．
D．点到的焦点的距离为5
11．已知直线和圆，点是上的任意一点，则下列说法正确的为（ ）
A．过定点
B．恒与相交
C．到的距离的最大值为
D．若上存在四个点到的距离为1，则
三、填空题
12．已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为 .
13．已知空间向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 .
14．已知双曲线的中心在原点，右焦点为，且经过点，则的标准方程为 ；直线与轴交于点，点是右支上一动点，直线与以为直径的圆相交于另一点，若在该圆内部，则的最大值为 .
四、解答题
15．已知两点，，直线为线段的中垂线，直线过点，且与直线平行.
(1)求与的一般方程；
(2)求，与轴围成的三角形的面积.
16．已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点.
(1)求的标准方程；
(2)若过点的直线与交于，两点，且，求的一般方程.
17．设，两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为.设点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)过原点的直线与交于，两点（与不重合），证明：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值.
18．如图，在平行六面体中，，，，，设，，.

(1)用，，表示，，；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)若点为线段的四等分点，且，点为线段的中点，在线段上是否存在一点，使得点与点，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．如图，造型可以看作图中曲线的一部分，其中过原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线（）的距离之积为.

(1)求的值；
(2)若点在上，求证：；
(3)如图，过作两条互相垂直的弦，分别交于点，，，，其中（），求四边形的面积的最小值.
参考答案
1．D
【详解】点关于平面的对称点的坐标为.
故选：D.
2．C
【详解】由直线的方向向量，
可得，
则直线的方程为：，
即，
结合选项可知只有C满足，
故选：C
3．B
【详解】设，，点，
则，，
∴，
由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，，
∴，，，则，
∴动点的轨迹为双曲线方程为：.
故选：B.
4．B
【详解】∵，∴，
设，则，
∵，∴，∴，
即.
故选：B.
5．C
【详解】∵，∴，
∵，∴，
∴.
故选：C.
6．A
【详解】如图，设光线由点出发，经过直线上的点后反射后与圆交于点，
∴光线经过的路程为.

设是点关于直线的对称点，
则，即，∴，即，
由对称性可知，，即，
显然当四点共线时，最小，
此时.
故选：A.
7．A
【详解】直线，
联立方程组得，整理得或，
即，，
则，，
∵，∴，
即，∴或（舍去），
∴离心率.
故选：A.

8．D
【详解】对于A，点关于直线，对称的点分别为，，可知点，在曲线上，
曲线的图象关于直线和对称；
由图象可知：曲线的长轴在上，则焦点在直线上，A正确；
对于B，由得：或，
椭圆长轴长，则；
由得：或，
椭圆短轴长，则；
，离心率，B正确；
对于C，当直线与曲线相切时，取得最大值；
由得：，
，解得：（舍）或，
的最大值为，C正确；
对于D，中点为椭圆的焦点，
，
，，
，D错误.
故选：D.
9．AC
【详解】对于A，根据相等向量的定义即可判断，故A正确；
对于B，因一对相反向量满足平行且模相等，但不是相等向量，故B错误；
对于C，因任何非零向量的模都是正数，只有零向量的模等于零，故C正确；
对于D，由可得，结合余弦函数的图象知，
当时，满足，但是不是钝角,故D错误.
故选：AC.
10．BD
【详解】对A：的离心率，故A错误；
对B：的渐近线方程为，故B正确；
对C：的焦点为，的焦点为，
由，则有，故，故C错误；
对D：由抛物线定义可得，到的焦点的距离与其到准线的距离相等，
的准线方程为，则到的焦点的距离为，故D正确.
故选：BD.
11．ACD
【详解】将直线进行变形得，
令，解得，所以直线l过定点，选项A正确；
圆，即，
可知圆心，半径，则，
可知当时，直线与圆C相离，选项B错误；
到的距离的最大值为，选项C正确；
直线过定点，且不垂直轴，
若上存在四个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离应满足，
因为，
所以，可得，即，
即，解得，选项D正确．
故选：ACD．
12．
【详解】线段的中点为，则半径为，
则以线段为直径的圆的标准方程为.
故答案为：
13．
【详解】由题意得，，
，
则在方向上的投影向量的坐标为.
故答案为：
14．
【详解】由题意可设双曲线的方程为，
则，解得，
所以双曲线的方程为：；
，则直线AF的方程为，
令，得，则，
又，
所以点F为线段AB的中点，
所以以AB为直径的圆是以点F为圆心，以为半径，
如图所示：
且，
由双曲线的几何性质得，
则，，
所以，
，
，
，
故答案为： ，48
15．(1)的一般方程为，的一般方程为
(2)
【详解】（1）由题知，直线的斜率，线段的中点坐标为，
则的斜率，直线过点，
故的一般方程为，即；
的斜率，直线过点，
故的一般方程为，即；
（2）如图：

令求得，与轴的交点分别为，，
联立，解得，即与的交点坐标为，
则，与轴围成的三角形为，其面积为.
16．(1)
(2)或
【详解】（1）联立，得，即，
设圆心的坐标为，半径为，
由圆过点和点，则，即，
解得，所以，故圆的标准方程为；
（2）因，则圆心到直线的距离为，
当斜率不存在时，的一般方程为，此时，符合题意；
当存在斜率时，设的方程为，即，
则，解得，所以的一般方程为，
综上所述，直线的一般方程为或.
17．(1)
(2)证明见解析，定值为
【详解】（1）设，则，，
由题意有，
化简得点的轨迹的方程为：；
（2）当直线的斜率不存在时，交点为的上､下顶点，不妨设，
则；
当直线的斜率存在时，设，与的方程联立､化简得，
不妨设，
则，
综上所述，直线与直线的斜率之积为定值.

18．(1)，，
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1），
，
；
（2）由题知，，，，
则，，，，
，
则，
故异面直线与所成角的余弦值为；
（3）假设在线段上存在符合题意的点，设，则，
，，，
因为与点四点共面，所以存在唯一实数对，使得，
即，
则，与矛盾，所以假设不成立，
故在线段上不存在点，使得点与点四点共面.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由曲线过原点得，，
因为，所以；
（2）曲线的方程为，
化简得：，
因为点在上，所以，且，
则，故，当且仅当时取等号；
（3）由（2）知，，
当其中一条直线的斜率为，
另一条直线不存在斜率时，，
当两条直线均存在斜率且均不为时，设直线的斜率为，倾斜角为，
由对称性不妨设，，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与的方程并化简得，
则，
则，
故，
，
同理，，
所以，
令，，，即，则，
因为，所以，
因为在上单调递增，
所以当，即时，，
此时，四边形的面积取到最小值为，