2025-2026学年下学期深圳中学高一数学2026年5月期中试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期深圳中学高一数学2026年5月期中试卷含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项:答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。选择题作答必须用 2B 铅笔。 一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的
1. 若向量 OA=1,−2,OB=1,−1 ，则 AB= ()
A. −2,3 B. 0,1 C. −1,2 D. 2,−3
2. 设复数 z=2−i ，则 z= ( )
A. -1 B. 2 C. 5 D. 5
3. 下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 球
4. 一个圆柱的侧面展开图为正方形，则它的高和底面直径的比为( )
A. π:1 B. 1:π C. 2π:1 D. 1:2π
5. 在空间四边形 ABCD 中, AB,BC,CD 的中点分别是 P,Q,R ,且 PQ=2,QR=5 , PR=3 ，那么异面直线 AC 和 BD 所成的角是( )
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°

6. 如图所示,已知 VABC 的直观图 VA′B′C′ 是直角三角形,其中 O′B′=A′B′=B′C′=2 , 则 AC 的长度为( )
A. 8 B. 43
C. 42 D. 4
7. 欧式建筑的风格充满美感，部分教堂建筑的顶部可视为一个圆台，记该圆台的上底面面积约为 36π 平方米，下底面面积约为 100 π平方米，轴截面的面积约为 48 平方米，则该圆台的体积约为( )
A. 132π 立方米 B. 144π立方米 C. 168π立方米 D. 196π立方米
8. 如图，在四边形 ABCD 中， AD//BC ， AD=AB ， ∠BCD=45∘ ， ∠BAD=90∘ ，将 △ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥ 平面 BCD ,构成三棱锥 A−BCD ,则在三棱锥 A−BCD 中,下列判断正确的个数 ( )
① 平面 ABD⊥ 平面 ABC


②直线 BC 与平面 ABD 所成角是 45∘
③平面 ACD⊥ 平面 ABC
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个D. 3 个
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项是符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列各式中，值为 32 的是( )
A. 2sin15∘cs15∘
B. cs215∘−sin215∘
C. cs15∘sin45∘−sin15∘cs45∘
D. 3tan15∘1−tan215∘
10. 设 α,β,γ 为两两不重合的平面, l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题, 其中真命题的选项是( )
A. 若 α⊥γ,β⊥γ ,则 α//β ;
B. 若 m⊂α,n⊂α,m//β,n//β ，则 α//β ；
C. 若 α//β,l⊂α ,则 l//β ;
D. 若 α∩β=l,β∩γ=m,γIα=n,l//γ ,则 m//n .
11. 在 VABC 中,若 C>B ,且 sin2B+cs2C−sinBcsC=34 ,则( )
A. C 可能为 π2 B. sinA=12
C. csB=12 D. 2sinB−csC 的最大值是 3
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 复数 z=1−2i1+i 在复平面内对应的点位于第_____象限.
13. 某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋 (如图 1). 现测量其中一个屋顶， 得到圆锥 SO 的底面直径 AB 长为 12m ,母线 SA 长为 18m (如图 2). 若 C 是母线 SA 的一个三等分点 (靠近点 S ),从点 A 到点 C 绕屋顶侧面一周安装灯光带,则灯光带的最小长度为_____ m .

图1

图2
14. 在直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=4 ， BC=BB1=2 ， ∠ABC=120∘ ， M ， N ， Q 分别是棱 AB,BC,CC 的中点， P 是底面 ABCD 内一动点. 若直线 D1P// 平面 MNQ ，则三棱锥 A−PBB1 外接球表面积的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，第 15 小题 13 分，第 16、17 小题 15 分，第 18、19 小题 17 分， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 当实数 a 满足什么条件时,复数 z=a2+2a−3+a+3i 分别是:
(1)实数； (2) 虚数; (3) 0 ?
16. 已知向量 a,b 满足 a=1,b=2 ，且 a 与 b 的夹角为 π3 .
(1)分别求 a⋅b 与 a−b 的值；
(2)若 a+b⊥a−kb ,求 k 的值.
17. 如图，四棱锥 P−ABCD 的底面是正方形，点 E 为 PB 的中点， PD⊥ 底面 ABCD .

(1)求证: PD// 平面 EAC ；
(2)当 PD=2AB ,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.
18. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c ,且 3a=3csinB+3bcsC .

(1)求 B ；
(2)若 D 是边 AC 的中点， a=2 ， BD=192 ，求 VABC 的面积；
(3)若 VABC 为锐角三角形，且 b=3 ，求 2a−c 的取值范围.
19. 如图,顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形, A 是底面圆周上的点, B 是底面圆内的点, O 为底面圆圆心, AB⊥OB ,垂足为 B,OH⊥PB ,垂足为 H ,且 PA=22 , C 是 PA 的中点.

( 1 )证明: AB⊥ 平面 POB ；
(2)当三棱锥 O−HPC 的体积最大时，求 OB 的长；
(3)是否存在一个点 Q ，满足点 Q 到点 C ， H ， O ， A ， B 的距离均相等？若存在，求出二面角 Q−CH−B 的余弦值的取值范围,若不存在,说明理由.
《深圳中学 2025-2026 学年度第二学期期中考试》参考答案

5. 【解析】 ∠PQR (或其补角) 为所求，由勾股定理的逆定理可知 ∠PQR=90∘ .
6. B因为 △A′B′C′ 是直角三角形, O′B′=A′B′=B′C′=2 ,
所以 O′A′=22 ，画出 VABC 如图所示， OC=4 ， OA=42 ，
所以 AC=OA2+OC2=43 . 故选: B.
7.记圆台的上底面半径为 r1 ,下底面半径为 r2 ,高为 ℎ ,则 πr12=36ππr22=100π ,可得 r1=6r2=10 , 而 48=ℎ22r1+2r2=16ℎ ,解得 ℎ=3 . 故圆台的体积 V=πℎ3r12+r1r2+r22=36+60+100π=196π .
8. C 对于①:因为 ∠BCD=45∘,AD//BC ，所以 ∠ADC=135∘ ，又 AD=AB,∠BAD=90∘ ， 所以 ∠ADB=45∘ ，则 ∠BDC=90∘ ，即 BD⊥DC ，因为平面 ABD⊥ 平面 BCD ，且平面 ABD∩ 平面 BDC=BD ， DC⊂ 平面 BCD ，所以 DC⊥ 平面 ABD ，若平面 ABD⊥ 平面 ABC ，则 DC// 平面 ABC 或 DC⊂ 平面 ABC ，
由图象得 DC∩ 平面 ABC 于点 C ，则平面 ABD 不垂直平面 ABC ，故① 错误；对于②:在四边形 ABCD 中，由① 得 DC⊥ 平面 ABD ，则 ∠DBC 为直线 BC 与平面 ABD 所成角，且为 45∘ ，故② 正确；
对于 ③: 因为 DC⊥ 平面 ABD,AB⊂ 平面 ABD ,所以 DC⊥AB ,又 BA⊥AD,AD⋂DC=D,AD,DC⊂ 平面 ADC , 所以 AB⊥ 平面 ADC ,因为 AB⊂ 平面 ABC ,所以平面 ACD⊥ 平面 ABC ,故③正确. 故选: C.
9. BD 10. CD 本题改编自湘教版必修二 203 页习题 5.对于 A， α⊥γ ， β⊥γ ，则 α ， β 可能平行，也可能相交，参照正方体同一顶点处相邻的三个面即可，故 A 错误；对于 B ，当 m//n 时，就不能得出 α//β ，故 B 错误; 对于 C ,若 α//β ,则平面 α 与平面 β 无公共点,又 l⊂α ,所以直线 l 与平面 β 也没有公共点,所以 l//β , 故 C 正确; 对于 D ,因为 l//γ ,由 α∩β=l 得 l⊂β ,又 β∩γ=m ,所以 l//m ,同理 l//n ,所以 m//n ,故 D 正确. 故选: CD
11.【答案】 ABD 【解析】解: sin2B−sinBcsC+cs2C=sinB−csC22+3cs2C4=34 ,
所以 sinB−csC22=341−cs2C=3sin2C4 ,所以 sinB−csC2=±3sinC2 ,
当 sinB=csC2+3sinC2=sinC+π6 时,由 C>B ,得 B+C+π6=π ,
此时 B+C=5π6 ,故 A=π−B+C=π6 ,当 sinB=csC2−3sinC2=sinπ6−C 时,
由 C>B 且 sinB>0 ,得 B=π6−C ,此时 B+C=π6 ,故 A=π−B+C=5π6 ,
当 A=π6,C=π2 时, B=π3 ,符合题意,故选项 A 正确; 两种情况均有 sinA=sinπ6=sin5π6=12 ,故选项 B 正确;
对于 C 选项，当 C=2π3 ， B=π6 ， A=π6 不满足题意，故 C 选项错误；对于 D 选项，当 sinB=sinC+π6 时，
2sinB−csC=2sinC+π6−csC=212csC+32sinC−csC=3sinC,
当 sinC=1 (即 C=π2 )时,最大值为 3 ,符合条件 (此时 B=π3,C>B ),
当 sinB=sinπ6−C 时, 2sinB−csC=−3sinC0 ),
故 2sinB−csC 的最大值为 3 ，选项 D 正确；故选: ABD .
12. 【答案】四由题得 z=1−2i1+i=1+i−2i−2i2=1+i−2i+2=3−i , 则在复平面内对应的点的坐标为 3,−1 ,所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故答案为: 四.

13.【答案】 613 本题改编自高中数学一课一练必修二 74 页第 10 题
【解析】解: 根据题意,将圆锥侧面沿母线 SA 展开,是侧面
展开图为如图所示的扇形 SAA′ ,则 A′C 的长度即为灯光带的最小长度,
圆锥 SO 的底面直径 AB 长为 12m ,则 AA′=2π×AB2=12πm ,则
∠A′SA=∠A′SC=12π18=2π3 ，故 A′C2=SA′2+SC2−2SA′⋅SCcs2π3=182+62+18×6=468 ，
则 A′C=613m ，即灯光带的最小长度为 613m .
14.【答案】 20π 【解析】解: 因为在直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中, AB=4 , BC=BB1=2,∠ABC=120∘ ,又 M,N,Q 分别是棱 AB,BC,CC1 的中点, P 是底面 ABCD 内一动点,直线 D1P// 平面 MNQ ,所以作出示意图如右:

连接 AC,AD1,CD1 ,易知平面 ACD1// 平面 MNQ ,则点 P 的轨迹为线段 AC ,
在三棱锥 A−PBB1 中，易知 B1B⊥ 平面 APB ，要使三棱锥 A−PBB1 外接球表面积最小，
则只需 △ABP 外接圆的半径 r 最小，在 △ABP 中，由正弦定理得 2r=BPsin∠PAB ，
又因为 ∠PAB 为定值，只需 BP 最小，显然当 BP⊥AC 时， r 有最小值， r 的最小值为 12AB=2 ，
所以三棱锥 A−PBB1 外接球半径的最小值为 12AB2+12BB12=4+1=5 ,
三棱锥 A−PBB1 外接球表面积的最小值为 4πR2=20π 故答案为: 20π .
15.(1) a=−3;2a≠−3;3a=−3 . 本题改编自湘教版必修二 103 练习第 2 题
(1) 当 a+3=0 ，即 a=−3 时，复数 z 是实数. (2) 当 a+3≠0 ，即 a≠−3 时，复数 z 是虚数.
(3)当 a+3=0 且 a2+2a−3=0 ，即 a=−3 时，复数 z=0 .
16. (1) 1,32k=25 (1) a⋅b=abcsθ=1×2×csπ3=1 .
a−b=a−b2=a2−2a⋅b+b2=1−2+4=3.
(2)因为 a+b⊥a−kb,a+ba−kb=a2+1−ka⋅b−kb2=0 所以 1+1−k−4k=0 ，解得 k=25 .

17. (1)证明见解析 (2) 45∘
(1)设 AC∩BD=O ，连接 EO ，如图: ∵ 四边形 ABCD 是正方形， 所以 O 为 BD 中点. 在 △PBD 中，点 E,O 分别为 PB,BD 中点， ∴OE//PD ， 因为 PD⊄ 平面 AEC,EO⊂ 平面 EAC ,所以 PDI/ 平面 EAC .
(2) ∵ 四边形 ABCD 是正方形，所以 AC⊥BD .
因为 PD⊥ 底面 ABCD,AC⊂ 底面 ABCD ,所以 PD⊥AC .
又 PD∩BD=D ， PD ， BD⊂ 平面 PDB ，所以 AC⊥ 平面 PDB 于 O ， ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，
∵O,E 分别为 DB、PB 的中点， ∴OE//PD,OE=12PD ，又 ∵PD⊥ 底面 ABCD ，
∴OE⊥ 底面 ABCD,AO⊂ 底面 ABCD,OE⊥AO ，在 R⊥AOE 中， OE=12PD=22AB=AO ，
∴∠AEO=45∘ ，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45∘ .
18. 1B=π3233230,3
(1)因为 3a=3csinB+3bcsC ,所以由正弦定理可得 3sinA=3sinCsinB+3sinBcsC , 所以 3sinB+C=3sinCsinB+3sinBcsC ,所以 3sinBcsC+3csBsinC=3sinCsinB+3sinBcsC , 所以 3csBsinC=3sinCsinB ,又因为 0