2026呼和浩特高三下学期第一次模拟考试数学含解析

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一、单选题
1．若复数满足，则复数虚部为（ ）
A．1B．C．D．
2．已知，且，则实数（ ）
A．-3B．6
C．-1或-2D．1或2
3．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
4．某种包装的大米质量（单位：）服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米2000袋．则大米质量在以上的袋数大约为（ ）
A．10B．20C．30D．40
5．在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，使成立的x的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（ ）
A．20B．50C．70D．90
8．可以采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为2，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，e＝1，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为2的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，截面截圆锥所得的截面ABE与底面夹角为60°，则平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在正三棱台中，D，E分别是BC，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．AD∥平面B．ED∥C．BC⊥平面D．ED⊥
10．已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（ ）
A．B．
C．的图象关于直线对称D．
11．已知双曲线C：（b＞0）的左、右焦点分别为，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若，则（ ）
A．|OH|＝2B．
C．双曲线C的渐近线方程是D．四边形的面积为15
三、填空题
12．事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______．
13．已知数列的前n项和为，且点，，在直线上，则______．
14．在圆内接四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2，则四边形ABCD的面积为______．
四、解答题
15．某电商研究中心为剖析国潮消费趋势，随机调查了该平台50名男性用户和50名女性用户，统计其对“国潮服饰类产品”的购买意愿（经常购买/不常购买），得到如下列联表：
(1)依据＝0.05的独立性检验，能否认为该平台男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异？
(2)从该平台的用户中任选一人，A表示事件“选到的人不常购买国潮服饰类产品”，B表示事件“选到的人为女性用户”，利用该调查数据，给出的估计值．
附：．
16．已知椭圆：过点，设它的左、右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，且满足．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，求证：.
17．已知圆锥PO的底面直径AB和母线长都为2，C是底面圆周上一点，，平面PAC和平面PBC将圆锥截去部分后的几何体如图所示．
(1)求平面PAC与平面PBC所成角的正弦值；
(2)若P，A，B，C四点都在同一球面上，求该球的表面积．
18．已知函数．
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)设有且仅有一个极值点，求a的取值范围；
(3)若函数存在2个极值点，且满足，求证：．
19．已知数列满足，且．
(1)求；
(2)若，求证：；
(3)求的值．
经常购买
不常购买
男性用户
40
10
女性用户
30
20
0.050
0.010
0.005
k
3.841
6.635
7.879
参考答案
1．C
【详解】由题意可得，
所以复数虚部为.
2．D
【详解】由题意得，解得或2.
故选：D.
3．C
【详解】解：因为，，
当时，显然，故充分性成立；
当，则或，即必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：C
4．B
【详解】因大米质量，且，则，
所以大米质量在以上的袋数大约为.
故选：B
5．C
【详解】设点到平面的距离为，
正方体中，，
由等体积法可知，即，
解得.
6．B
【详解】由，得，
所以，所以，即.
所以使成立的x的取值集合是.
故选：B.
7．D
【详解】依题意，可知函数为奇函数，满足.
因，
，
则，
由
，因不恒为0，故得，即.
8．C
【详解】由题意可得，，，则离心率为.
9．AC
【详解】对于选项A：正三棱台的上下底面互相平行，即平面平面，又平面，平面，
根据面面平行的性质，可得平面，A正确；
对于选项B：在侧棱上，在上，因为是异面直线，所以与是异面直线，B错误；
对于选项C：是正三角形，是中点，故；
因为正三棱台是由正三棱锥利用平行于底面的截面截去小三棱锥得到，所以,
因为、都在平面内，
且垂直于平面内两条相交直线、，故平面，C正确；
对于选项D：，设，
则
，因为、都是锐角，所以，D错误.
10．AC
【详解】因为为奇函数，所以，
令，得，得，故A正确；
令，则，即，
若，则恒成立，与在R上单调递增矛盾，故B错误；
因为，所以的图象关于点中心对称，
又，在R上单调递增，所以时，时，
故在上单调递减，在上单调递增，
又函数的导函数为，则，得，其中为常数，
令，得，得，故，
故的图象关于直线对称，故C正确；
由的对称性可知，，
因为，以及的单调性可知，，故D错误.
11．ABD
【详解】对于A，已知是过作的一条渐近线的垂线的垂足，
其渐近线方程为，即，，
所以，
所以，故A正确；
对于B，过点作，所以，所以，
所以，
又，，所以，
又，所以，故B正确；
对于C，由B选项可知，
因为，所以，
在中，，
所以，
所以，，所以，
所以双曲线C的渐近线方程是，故C错误；
对于D，四边形的面积为
，故D正确.
12．/
【详解】由事件相互独立，得，
代入已知条件得：，
二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，
故 .
13．
【详解】因为点在直线上，
因此得关系： ，
当时，，解得，
当时，可得，
两式相减得： ，​ 化简得​，
因此是首项为公比为的等比数列，
所以，.
14．
【详解】如图连接，因为四边形为圆的内接四边形，所以，
在中，，，有，
在中，，，有
,
所以，又，解得，
所以，
则，
即.
15．(1)认为男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异
(2)，
【详解】（1）由题可得：，
依据＝0.05的独立性检验，认为男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异．
（2）由题得，，
．
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆C的方程为.
（2）
方法一：设直线的方程为：.
联立方程,化简得,
显然点在椭圆的内部，所以.
设，则．
又因为,所以．
所以
所以，即.
方法二：设直线的方程为：，
联立方程,化简得．
显然点在椭圆的内部，所以．
设，则．
又因为，所以．
所以，
所以，即.
方法三：设：，则可化为，
展开得，
即，
化简得，
同除以可得，
又过，代入得，∴.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题得，，且，
，∴是等腰直角三角形，∴，
以O为原点，为x，y，z轴正方向建立直角坐标系．
则，
，，，
设是平面PAC的一个法向量，
则，∴，
令，则，∴，
设是平面PBC的一个法向量，
则，∴，
令，则，∴，
设平面PAC与平面PBC所成角为，则，
∴，则平面PAC与平面PBC所成角的正弦值为.
（2）由题意得，球心在PO上，设球心为M，球半径为R，
则，，
解得，则球的表面积为.
18．(1)2x＋y－2＝0
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，
，且，
故在处的切线方程为，即2x＋y－2＝0，
（2），
，
由＝0可得，令，x>0，
则
令，在上单调递减，且，
则当时，，则，即在上单调递增，
时，，，即在上单调递减，
且又时，，时，，
由题得，有且只有一个变号根，故
（3）由 ，可得，
令，则，由得，由，得.
故在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，
因，对于，有，，故，，
则由，又，故，
令，则，
因，则，故在上单调递增，
又，
则在上存在唯一解，∴
又，，
则有，故可得．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由可得：
，
，
，
，
由累加法得，
又因为，
所以，故.
（2）由（1）可得，
则由，
可得，
即
整理得，因，则，
所以，
故.
（3）由
，可得
所以
.