内蒙古呼和浩特市2025届高三下学期二模考试 数学 含解析

这是一份内蒙古呼和浩特市2025届高三下学期二模考试 数学 含解析，共13页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分．答题时长 120 分钟. 注意事项：
1 ．答题前，考生须将自己的个人信息填写于答题卡指定位置，并按要求粘贴条形码.
2 ．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3 ．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题，本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 设集合，，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
【分析】先求解集合B，再求出集合B在R中的补集，最后求出集合A与的交集. 【详解】 已知，因为，所以.
根据指数函数的单调性，对于指数函数，函数在上单调递增. 那么由c'可得，即，所以.
已知，，所以.
故选：D.
2. 命题wx>1，的否定是 ( )
C. ，
B.
D.
,
,
A. ，
【答案】A 【解析】
【分析】 由含有全称量词命题的否定定义可得答案.
【详解】wx>1，r'-s31的否定是3x>1，. 故选：A
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. 设向量 ， ，则下列结论正确的是 ( )
3
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】
【分析】 由向量平行、垂直的坐标表示，及数量积、模长的坐标表示逐项判断.
【详解】对于 A ，由坐标易知不成立，错误； 对于 B：，错误；
对于 C：，正确，
对于 D ：，所以，错误，
故选：C
4. 一个圆锥的底面半径为 1 ，母线与底面的夹角为，则该圆锥的体积为 ( )
A. B. C. : D.
【答案】A 【解析】
【分析】 由轴截面为等腰直角三角形求解圆锥高，即可求解.
【详解】 由圆锥的底面半径为 1 ，母线与底面的夹角为，
易知圆锥的轴截面为等腰直角三角形， 所以圆锥的高为 1，
所以圆锥的体积为：，
故选：A
5. 如图 ，梯形4sc是上底为 ， 下底为35 ， 高为的等腰梯形 ，记梯形4sc位于直线
左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是 ( )
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B. C.
pA.
D.
【答案】A 【解析】
【分析】写出的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可. 【详解】根据题意可知在梯形中，is c-10c8-4s； 当时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为； 当时，阴影部分 等腰直角三角形加上一个矩形，
其面积为；
当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，
即 ；
所以可得 ；
根据函数类型对比图象可得 A 正确. 故选：A
6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次
差相等的数列，例如数列 1 ，3 ，6 ，10 ，15 ， … 的逐项差， ， ， ，
, ⅆ构成一个等差数列，则数列 1 ，3 ，6 ，10 ，15 ， …是一个高阶等差数列（二阶等差数列），
现有一个高阶等差数列，其前 5 项为 2 ，3 ，6 ，11 ，18 ，则其第 8 项是 ( )
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A. 38 B. 51 C. 66 D. 83
【答案】B 【解析】
【分析】 由高阶等差数列的定义，通过列举即可求解. 【详解】 由3-2=l，
,
,
18-11=7， 可知：
, 即
, 即
,
, 即，
即第 8 项是 故选：B
7. 已知函数在R上单调，且在上恒成立，则·的取值
范围是 ( )
A.
【答案】B 【解析】
B.
C.
D.
【分析】 由题可得函数在上单调递减， 由在恒成立
可得恒成立，据此可得答案.
【详解】因函数在R上单调，又在上单调递减，
则函数 在上单调递减，则.
则 时 ， ，又 ，
则 恒成立，
则
.
故选：B
8. 若点关于直线…对称的点在圆上，则k的值为 ( )
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C 【解析】
【分析】点在圆上，由题意分析可知对称点必是圆 与圆的公共点，
通过计算，即可得出答案.
【详解】因点A的坐标满足，则点A在圆 上，
因直线过
则点A关于直线
的圆心，
对称的点必然在圆上，
联立，得，
因圆与圆仅有唯一公共点， 因此点A关于直线对称的点只能是点B，
设直线与线段48交于点，
因，， 则由垂径定理可得，， 则在中，，
因此. 故选：C
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项是 符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分.
9. 下列结论正确的是 ( )
A. 根据分类变量与y的成对样本数据，计算得到，已知，则在犯错 误不超过1%的前提下，认为与r相关
B. 已知随机变量，若，D(X)=9， 则n=48
C. 掷一枚质地均匀的骰子两次．事件A=“第一次向上的点数是 1” ，事件B=“两次向上的点数之和是 7”， 则事件A与事件B相互独立
D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关， 由最小二乘法求得其回归直线方程为
, 若其中一个散点坐标为(-a,5.4)， 则a一定是 9 【答案】BC
【解析】
【分析】 由独立性检验基本思想可判断 A ，由二项分布期望、方差公式可判断 B ，由独立事件概率乘法公式 可判断 C ，由回归直线与散点关系可判断 D.
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【详解】对于 A： 由，可知 A 错；
对于 B ，由 ，可得 ，进而得n=48，B 正确；
对于 C ，易知 ， ，
,
得成立，故 C 正确；
对于 D ，由回归方程，无法确定散点的坐标，故 D 错， 故选：BC
10. 已知函数，则下列结论正确的是 ( )
A. 函数f(x)的值域为
B. 函数f(x)的图象关于点对称
C. 若函数在上单调递增，则。的取值范围为
D. 若，则g(x)的最小正周期为
【答案】ACD 【解析】
【分析】通过三角恒等变换将f(x)化为 ，根据正弦函数的性质依次判断各个选项的
正误即可.
【详解】
,
对于 A，
对于 B，
值域，故 A 正确；
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,
故 B 不正确；
对于 C，在上单调递增，所以，解得，所 以.故 C 正确；
对于 D ，因为的最小正周期都是， 所以的最小正周期为，故 D 正确.
故选：ACD.
11. 已 知数 列满 足 ， ， 且 ， 若记 数 列的 前n项 的积 为r.，
, 的前项和为，则下列结论正确的是 ( )
A. 数列是等比数列 B.
C. 当为奇数时， D. 当为偶数时，
【答案】ABD 【解析】
【分析】利用数列的递推关系式以及 ，根据等比数列定义即可判断 A 正确，利用等 比数列前n项和公式计算可得 B 正确，由的通项公式可得，对n为奇数或偶数时进行
分组计算可判断 C 错误，D 正确.
【详解】对于 A ，由 ， 可得：
,
即，又，
可得数列是以为首项，公比为g=2的等比数列，可得 A 正确； 对于 B ，由选项 A 分析可知，，即 B 正确；
对于 C ，易知，所以； 当n为奇数时，
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,
对于 D ，当n为偶数时，
可知C 错误；
可得 D 正确.
,
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明数列是等比数列后求得其通项公式，得出数列的递推公 式，进而得出前项的积的表达式即可.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 为虚数单位，若复数z-1为纯虚数，z+2i为实数，则 .
【答案】J5 【解析】
【分析】设出复数z=a+bi，再由纯虚数定义以及实数定义可求得a=l，b=-2； 可得出. 【详解】设z=a+bi，
由题可知z-1=a-1+bi为纯虚数，即，解得；
又为实数，可得b+2=0， 即b=-2， 因此1-a，所以.
故答案 ：J5
13. 请写出一个同时满足以下 3 个条件的函数 .
; ② 3keR 且
、 ， 且
, 都 有
, 使 得
①
.
; ③
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【答案】x'（答案不唯一，符合题意均可得分） 【解析】
【分析】根据三个条件分别得出函数所具有的性质，例如单调性、奇偶性等即可写出结果. 【详解】 由条件①可得在上单调递增，
对于条件②不妨取k=1，可知函数在一定条件下满足可乘性，并简化运算； 由条件③可知函数为奇函数；
因此可得满足题意. 故答案为：x'
14. 已 知 椭 圆 的 左 右 焦 点 分 别 为 、 ， 圆 与 抛 物 线
的准线相切，抛物线E的焦点与椭圆C的右焦点重合，且e为抛物线E与椭圆C的一
个交点，若的面积为，则椭圆的离心率为 .
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】根据圆与抛物线准线相切求出的值，进而得到椭圆的右焦点坐标，再结合的面积求出交 点的纵坐标，代入抛物线方程求出横坐标，最后将交点坐标代入椭圆方程，结合椭圆的性质求出离心率.
【详解】抛物线的准线方程为 .
已知圆
解得
,
与抛物线E的准线相切，则圆心(0,0)到准线 的距离等于圆的半径 ，即
或p=-2（舍去）.
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因为抛物线E的焦点坐标为，把代入可得焦点坐标为(1,0)，又因为抛物线E的焦点与椭圆C 的右焦点重合，所以椭圆c的右焦点，则c-1（ 为椭圆的半焦距）.
设，因为的面积为，且，根据三角形面积公式，可得
, 即，解得 .
把代入抛物线方程，可得，即，解得 . 因为点在椭圆上，所以，又因为 , 代入上式可得：
设（），则 ，通分可得： ，即9,'-311+4=0 解得（舍去）或t=4，即，则a=2 .
根据椭圆的离心率公式，可得. 故答案为：.
四、解答题：本题共 5 小题，满分 77 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明.
15. 烧麦——在呼和浩特有着深厚的历史底蕴，2024 年 12 月 21 日，呼和浩特举办了“首届烧麦美食大会” ， 活动持续至 2025 年 1 月 3 日，期间吸引了数以万计的国内外游客慕名而来．“烧麦美食大会”的举办旨在传承 和弘扬烧麦文化，深入挖掘呼和浩特市的文旅资源优势，推动烧麦产业创新与发展，促进文商旅融合，提 升城市形象．为了了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组采用问卷调查的方式，随机调查了 100
名游客，并将收集到的满意度得分数据（满分 100 分） 分成了五段： ，，，
, 得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 的值，为进一步了解游客对本次“烧麦美食大会”满意度情况，从分值在
, , 三组满意度问卷中，按分层随机抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人， 记满意度得分在人数为，求的分布列和期望；
（2） 已知满意度分值在的平均数 ，方差 ，在的平均数为，方差
, 试求满意度分值在的平均数和方差. 【答案】（1）分布列见解析，
（2）84 ，30
【解析】
分析】（1）根据分层抽样比确定得分在 人数为 的所有可能取值为 0 ，1 ，2 ，3 ，分别求得对应
【
概率即可求得分布列和期望值；
（2）利用样本方差求总体方差公式代入计算即可求得结果. 【小问 1 详解】
由 ，解得 ；
由 题 可 知 ， 调 查 问 卷 考 核 得 分 分 值 在 三 组 内 的 游 客 人 数 比 为
,
则 需 在 内 的 游 客 中 分 别 抽 取 人 ， 人 ，
人.
现从这 6 人中随机抽取 3 人，则考核得分在人数为x的所有可能取值为 0 ，1 ，2 ，3 .
,
,
.
,
所以 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
【小问2 详解】
满意度分值在的频率为0.02x10=0.2， 人数为20；
在的颣率为0.03x10=0.3， 人数为 30，
满意度分值在的平均数，方差， 在的平均数，方差，
所以满意度分值在的平均数，
满意度分值在的方差.
16. 已知抛物线过点．其焦点为r，若且.
（1）求m的值以及抛物线c的方程；
（2）过r点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A,C与B,D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 【答案】（1） ，
（2）8
【解析】
【分析】（1）利用焦半径公式以及抛物线过的点坐标解方程组可得结果；
（2）设出两直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求得的表达式，进而得出
面积表达式，再由基本不等式计算可得面积最小值. 【小问 1 详解】
因为抛物线c：过点
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①
又焦点为，且② 由① 、②可得或 又，
抛物线c的方程： 【小问2 详解】
由题知，过F点 两条相互垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图：
因此设直线 ，直线
设点、、 、 ，
联立直线与抛物线c的方程，得
则有 ，
又 ，
同理，联立直线与抛物线c的方程，得
,
则有
,
又
又
,
当且仅当 时，
四边形ABCD面积的最小值是 8.
17. 已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为 、b、 ，且 .
（1）求角B；
（2）若ABC的面积为 3 ，点为ABC内一点，且，求
的值. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用余弦定理，再用正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式变形后可求得，从而得角B；
（ 2） 先 根 据 ， 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 得 到
, 再运用数量积的定义求解即得答案.
【小问 1 详解】
:SABC的内角A、B、C所对的边分别为、、 ，
且 ，
.
:2s inACOS B-s incc sB=s inBCOSC :2sind cs b-s in(B+c)=s in4
, , , , 又，.
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【小问2 详解】
,
,
.
18. 如图 1 ，在等腰直角三角形DFC中，FD=FC ，A、B 、E分别在线段Dr 、、CD上，且 AB WCD， AEW FC． 已知，AD=2， 沿AE将SDAE折起，使得平面DAEl平面AFCE， 如图 2 .
（1）求证：平面BDEl平面ABD；
（2）求直线Dr与平面EDC所成角的正弦值；
（3）点在线段上，设直线与直线所成角为，求的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1） 由条件证明，，根据线面垂直的判定定理即可得BEl平面，再由 面面垂直的判定定理即可证明平面BDEl平面ABD；
（2）建立空间直角坐标系, 求和平面的法向量，再根据线面角公式计算即可；
（3）设，求向量，，根据线线角的公式得，再
由换元法计算即可. 【小问 1 详解】
,
,
,
,
,
,
又AE WBC，
,
,
,
又 ，
:平面DAEl平面AFCE， 且平面 平面A FCE=A E，又DS1A E，
DAC平面，:DAl平面AFCE，BEC平面AFCE， :DAl BE ， :DAA B=A, DA, ABC平面ABD，
:BEl平面， ::BEC平面BDE，
平面BDEl平面ABD 【小问2 详解】
::DAl平面4FCE, AF1AE,
建立如图所示空间直角坐标系,
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, , , , , ,
,
,
,
,
设平面的法向量为，则，取，
设直线Dr与平面EDC所成的角为a，
则.
【小问 3 详解】
设，其中， 则，，，
所以， 令，则，
所以，
当r2l时，6r'-101+5单调递增，
故在r-时，csb取最大值，此时.
19. 17 世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要
找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后
在以为横坐标的B点处做一条切线，并求出该切线与X轴的交点，此时，我们会发现比初始值更
接近A点 ．如果重复这个过程 ，不断绘制切线并计算其与X轴的交点 ，依次迭代下去 ，我们将得到 , 根据给定的精确度:，直到求得满足精度的近似解为止 ．这 就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取.
（1）根据牛顿迭代法，求；
（2）求与的关系式；
（3）牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若
, 求证：. 【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求得在处的切线方程，计算切线与x轴交点的横坐标即可求得；
（2）求出函数在处的切线方程，再求出切线与:轴交点的横坐标即可得与的关系式；
（ 3） 根 据 题 意 求 出 函 数 在 处 的 切 线 方 程 为 ， 即 证 明
可得出结论.
【小问 1 详解】
, , ,
当时，，， 因此切线，
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当y-0时，可得 ；
【小问2 详解】
当切点为时切线方程为 ：. 当y-0时，可得：
,
即 ；
【小问 3 详解】
明：由（1）知，函数 在 处的切线方程为 .
证
①先证：当的图象恒在切线的上方， 即当x>0时，，即. 令，则，
易知，令， 可得，易知，
单调递减，在单调递增，
又，，， 存在使得，
:M(x)
在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增.
又，
当x>0时，，即，即.
②下证：.
即，即 令，
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则 ，则在单调递减，在单调递增，
又，
显然当x>0时，恒成立，即恒成立， 由①②可得.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用牛顿迭代法中蕴含的“ 以直代曲”的数学思想，求出函数在
处的切线方程，分别证明 在切线的两侧即可得出结论.