2026届广西南宁市兴宁区南宁三中高考仿真模拟数学试卷含解析

这是一份2026届广西南宁市兴宁区南宁三中高考仿真模拟数学试卷含解析，共5页。试卷主要包含了 “”是“函数，已知函数，则下列结论中正确的是，已知函数，若，则等于等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则（ ）
A．B．2C．D．
2．已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，则为（ ）
A．[0，2)B．(2，3]C．[2，3]D．(0，2]
4．已知函数，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．5B．3C．D．2
6．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7． “”是“函数（为常数）为幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
8．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，则下列结论中正确的是
①函数的最小正周期为；
②函数的图象是轴对称图形；
③函数的极大值为；
④函数的最小值为．
A．①③B．②④
C．②③D．②③④
10．已知函数，若，则等于（ ）
A．-3B．-1C．3D．0
11．若，则( )
A．B．C．D．
12．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）
A．2对B．3对
C．4对D．5对
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________．
14．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______
15．已知（为虚数单位），则复数________．
16．若且时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数存在一个极大值点和一个极小值点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）若函数的极大值点和极小值点分别为和，且，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数）
18．（12分）已知函数，直线是曲线在处的切线．
（1）求证：无论实数取何值，直线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（2）若直线经过点，试判断函数的零点个数并证明．
19．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于，两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值.
20．（12分）已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．
21．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.
表中，.
（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据，，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
22．（10分）已知，，分别是三个内角，，的对边，．
（1）求；
（2）若，，求，．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
把代入，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可．
【详解】
∵，
∴，
∵为纯虚数，
∴，解得．
故选C．
【点睛】
本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2、A
【解析】
对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数.
【详解】
因为为纯虚数，所以，得
所以.
故选A项
【点睛】
本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.
3、B
【解析】
先求出，得到，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合，
所以，则，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
4、A
【解析】
根据分段函数直接计算得到答案.
【详解】
因为所以.
故选：.
【点睛】
本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.
5、D
【解析】
由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.
【详解】
解：由抛物线方程可知，，即，.设
则，即，所以.
所以线段的中点到轴的距离为.
故选:D.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.
6、D
【解析】
如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.
【详解】
如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.
故，，.
故，故，.
故选：.
【点睛】
本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
7、A
【解析】
根据幂函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.
【详解】
∵当函数为幂函数时，，
解得或，
∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.
8、C
【解析】
利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式.
【详解】
由，得，可得（）.
相减得，则（），又
由，，得，所以，所以为常
数列，所以，故.
故选：C
【点睛】
本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.
9、D
【解析】
因为，所以①不正确；
因为，所以，
，所以，
所以函数的图象是轴对称图形，②正确；
易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可．当时，，且，令，得，可知函数在处取得极大值为，③正确；
因为，所以，所以函数的最小值为，④正确．
故选D．
10、D
【解析】
分析：因为题设中给出了的值，要求的值，故应考虑两者之间满足的关系.
详解：由题设有，
故有，所以，
从而，故选D.
点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系.
11、D
【解析】
直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．
【详解】
∵，
∴，
故选D
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
12、C
【解析】
画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案．
【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面平面，
作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，
又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，
所以平面平面，
同理可证：平面平面，
由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，
所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面，
所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可．
【详解】
半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，
∴该正十二边形的面积为，
根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本小题主要考查面积型几何概型的计算，属于基础题.
14、
【解析】
由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．
【详解】
解：如图，在四面体中，底面，，，
可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，
则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．
其表面积为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题．
15、
【解析】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.
16、
【解析】
将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间上恒正、恒负时求参数范围，列出对应不等式组，即可求解出的取值范围.
【详解】
因为，所以，所以，
所以，所以或，
当时，对且不成立，
当时，取，显然不满足，所以，
所以，解得；
当时，取，显然不满足，所以，
所以，解得，
综上可得的取值范围是：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：（1）分类讨论法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；（2）参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）首先对函数求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围；
（2）首先求出的值，再根据求出实数a的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为是，
，
若有两个极值点，则方程一定有两个不等的正根，
设为和，且，
所以解得，
此时，
当时，，
当时，，
当时，，
故是极大值点，是极小值点，
故实数a的取值范围是；
（2）由（1）知，，，
则，
，
，
由，得，即，
令，考虑到，
所以可化为，
而，
所以在上为增函数，
由，得，
故实数a的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题.
18、（1）见解析，（2）函数存在唯一零点.
【解析】
（1）首先求出导函数，利用导数的几何意义求出处的切线斜率，利用点斜式即可求出切线方程，根据方程即可求出定点.
（2）由（1）求出函数，令方程可转化为记，利用导数判断函数在上单调递增，根据，由零点存在性定理即可求出零点个数.
【详解】
所以直线方程为
即，恒过点
将代入直线方程，
得考虑方程
即，等价于
记，
则
于是函数在上单调递增，又
所以函数在区间上存在唯一零点， 即函数存在唯一零点.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义、直线过定点、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，属于难题.
19、（1）线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.
【解析】
试题分析：（1）（1）利用cs2θ+sin2θ=1，即可曲线C1的参数方程化为普通方程，进而利用即可化为极坐标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；
（2）由过的圆心，得得，设，，代入中即可得解.
试题解析：
（1）曲线的普通方程为，化成极坐标方程为
曲线的直角坐标方程为
（2）在直角坐标系下，，，
恰好过的圆心，
∴由得 ，是椭圆上的两点，
在极坐标下，设，分别代入中，
有和
∴，
则，即
20、（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．
【解析】
试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．
由已知，有
的最小正周期．
（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．
考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．
21、（1）更适宜（2）（3）x为2时，烧开一壶水最省煤气
【解析】
（1）根据散点图是否按直线型分布作答；
（2）根据回归系数公式得出y关于的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；
（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件.
【详解】
（1）更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型.
（2）由公式可得：，
，
所以所求回归方程为.
（3）设，则煤气用量，
当且仅当时取“”，即时，煤气用量最小.
故x为2时，烧开一壶水最省煤气.
【点睛】
本题考查拟合模型的选择，回归方程的求解，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.
22、（1）； （2），或，.
【解析】
（1）利用正弦定理，转化原式为，结合，可得，即得解；
（2）由余弦定理，结合题中数据，可得解
【详解】
（1）由及正弦定理得
．
因为，所以，代入上式并化简得
．
由于，所以．
又，故．
（2）因为，，，
由余弦定理得即,
所以．
而，
所以，为一元二次方程的两根．
所以，或，．
【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.