河南开封市开封五县学校联考2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

这是一份河南开封市开封五县学校联考2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则的虚部为（ ）
A. 3B. C. D.
3.已知的内角所对的边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，且，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
7.在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
8.设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的有( )
A. 棱柱的侧面一定是平行四边形
B. 棱台的侧面一定不是平行四边形
C. 棱锥的侧面是全等的三角形
D. 圆柱的侧面沿一条母线展开,则展开图不一定是矩形
10.已知复数z1，z2，为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 为实数B.
C. 若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2D.
11.“费马点”指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点. 在中，当最大内角小于 时，费马点 满足，当最大内角不小于 时，最大内角的顶点为费马点. 已知在 中， ，，点 为 的费马点，则（ ）
A. B.
C. D. 在上的射影向量为，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则向量在上的投影向量的坐标是 .
13.已知是第二象限角，且，则 ．
14.在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
（1）已知，为第三象限角，求的值；
（2）计算：.
16.(本小题15分)
已知向量，满足，，且与的夹角为.
(1)求的值；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17.(本小题15分)
已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围．
18.(本小题17分)
在中，，，为的中点.
(1)求的取值范围；
(2)若，为的中点，为平面上一动点，满足.
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）求的最大值.
19.(本小题17分)
“星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100 m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20 min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系：
(1)游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位： m)，求转动过程中关于的函数解析式；
(2)若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处
（i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？
（ii）当座舱距离地面高度不低于 m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】AB
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）解：原式，
由，代入上式;
（2）解：原式，
，
.

16.【答案】解：（1）.
（2）向量与的夹角为锐角需满足，
且向量与不共线，即，由（1）有，所以
，由得，所以的取值范围为.

17.【答案】解：（1）由函数的最大值为，最小值为，结合，得.
由图象知，最小值点到零点的距离为，对应个周期，即，解得.
由周期公式，得，故，
将最小值点代入，得，解得，
结合，取得，故.
（2）令，解得，
故的单调递减区间为.
（3）由图像左移​个单位得.
在上恰有三个零点，等价于在上恰有三个解，
令，当时，，
的通解为或，
在范围内，从小到大的解为，要恰有三个解，需满足​，解得​，
故实数的取值范围为.

18.【答案】解：（1）设，
则
.
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为.
（2）（ⅰ）取中点，
因为，，
所以，即、、三点共线，且为中点，
因为，所以，
故，在以为直径的圆上，
因为，，所以为等边三角形，
所以，所以，
，，
则
为定值.
（ⅱ）由（ⅰ）可知：
，
设，.则，
由，
可知，设，
由，有，
所以
，
令，则，
①当时，，
②当时，，
因为，
所以，
所以，
综上所述，，即，
所以的最大值为10，
当且仅当，即时等号成立，此时，.

19.【答案】解：（1）根据题意，设关于的函数解析式为，
由题知，轮盘最高点距地面100 m，直径90m，最低点距离地面为10m，
时，游客甲从最低点逆时针匀速转动，即时，
周期，
所以，解得，
，解得，
所以，当，，即，解得，
所以，，整理得，；
所以，关于的函数解析式为：，
（2）（i）由（1）知，游客乙距离地面的高度与时间的关系为：，
考虑游客乙的初始位置，当时，游客乙距离地面的高度为55 m，且开始后高度降低，
故，即，解得，
即游客乙距离地面的高度关于的关系为，，
即，
所以，时刻时，游客乙距离地面的距离为；
游客甲距离地面的距离为
所以，即，
所以，首次相等对应最小正解,即，即
所以，转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是.
（ii）由题，，即，
所以，解得，时间间隔为：，
所以游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长.