北京市东城区2026届高三二模考试数学试卷含答案（word版）

这是一份北京市东城区2026届高三二模考试数学试卷含答案（word版），共10页。
第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分。在每小题列出的四个选项中, 选出符 合题目要求的一项。
(1)已知全集 U={−2,−1,0,1,2},A={x∈U∣x>−1} ,则 ∁UA=
(A) {−2} (B) {−2,−1}
(C) {−2,−1,0} (D) {−1,0}
(2)在复平面内,复数 12−i2 的共轭复数对应的点位于
(A) 第一象限 (B) 第二象限
(C) 第三象限 (D) 第四象限
(3)已知 cs2α=−35 ,则 csπ2+α=
(A) ±55 (B) ±105
(C) ±255 (D) ±2105
(4)已知函数 y=x2+4x 与 y=x2+2ax 的图象关于 y 轴对称，则 a=
(A) -2(B) −12
(C) 12 (D) 2
(5)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 E:y2=4x 的焦点为 F ，点 A 在抛物线 E 上， AB⊥x 轴,垂足为 B . 若 FB=2OF ,则 AB=
(A) 2 (B) 23
(C) 4 (D) 43
(6)某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成(如图 1). 运动员比赛时,从某条跑道弯道处的起跑线 AB 上选取一点 P 作为起跑点,沿直线 PQ 加速后从点 Q 切入弯道内侧分道线,即 PQ 与内侧分道线相切. 以半圆的圆心 O 为原点,建立平面直角坐标系 (如图 2). 若 OA=40,PQ=9 ,则直线 PQ 的方程为
(A) 40x+9y−1640=0 (B) 9x+40y−369=0
(C) 40x−9y−1640=0 (D) 9x−40y−369=0
(7)已知非零实数 x,y 满足 2x=3y ，则下列各式中为定值的是
(A) x−y (B) 3x−2y
(C) xy (D) x3y2
(8)已知 a,b,c,d 均为正实数，则 “ a+b>c+d ” 是 “ a2+b2>c2+d2 ” 的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
(9)已知函数 y=Fx 的部分图象如图所示，若 Fx=fxgx ，则 fx ， gx 可以为
(A) fx=sin2x,gx=sinx
(B) fx=sin2x,gx=csx
(C) fx=cs2x,gx=sinx
(D) fx=cs2x,gx=csx
(10)已知平面向量 e1,e2,e3 为不全相等的单位向量， e1⋅e2=e2⋅e3=e3⋅e1 . 设平面向量 a 为非零向量,令 x=a⋅e1,y=a⋅e2,z=a⋅e3 ,则
(A) 当 x>y 时, za1 ，则 a4= _____；若 a20,d2>0 ，若 an+bn 的项均为 an 的项,又均为 bn 的项,则 d1=d2 ;
④ 设等比数列 an,bn 的公比分别为 q1,q2 ,且 q1>1,q2>1 ,若 an+bn 的项均为 bn 的项,则 q1=q2 .
其中正确结论的序号是_____.
三、解答题共 6 小题, 共 85 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
(16)(本小题 13 分)
在 △ABC 中, csC=15,tanCtanA=25c7a .
(I) 求 csA ;
(II) 若 a=5 ,求 △ABC 的面积.
(17)(本小题 14 分)
如图，在几何体 ABCDEF 中，平面 ABCD⊥ 平面 ACEF ， AC⊥AB ， AC⊥AF ，
AC//EF,AB=AC=2EF=2,DA=DC,M 为 BC 中点,点 B,D 在直线 AC 两侧.
(I) 求证: DM⊥ 平面 ACEF ；
(II) 已知 AF=6 ，再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得几何体 ABCDEF 存在,求平面 CDE 与平面 ABF 夹角的余弦值.
条件①: DC⊥BF ；
条件②: DE=332 ;
条件③: 点 D 到平面 ACEF 的距离为 32 .
注:如果选择的条件不符合要求，第(II)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答, 按第一个解答计分.

(18)(本小题 13 分)
某连锁企业为了解两款产品 A 和 B 的收益情况，从所有门店中随机抽取 8 个门店， 记录并整理这些门店同一季度的产品 A ， B 的收益数据(单位:万元)，如下表:
用频率估计概率.
(I)从该企业所有门店中随机抽取 1 个，估计这个门店产品 A 收益高于产品 B 收益的概率;
(II)从表中的 8 个门店中随机抽取 3 个，记 X 为这 3 个门店中产品 A 收益高于产品 B 收益的门店个数,求 X 的分布列及数学期望 EX ;
(III) 这 8 个门店中,设门店 ii=1,2,⋯,8 的产品 A,B 的收益分别为 xi,yi ,记 ai=13xi+23yi,bi=23xi+13yi,ci=12xi+12yi ,数据 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8 的方差为 sa2 ,数据 b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8 的方差为 sb2 ,数据 c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8 的方差为 sc2 ,写出 sa2,sb2,sc2 的大小关系. (结论不要求证明)
(19)(本小题 15 分)
已知椭圆 W:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 3,0 ，且经过点 −1,32 .
(I) 求椭圆 W 的方程;
( II ) 已知点 Aa,0,T0,tt≠±1 . 设直线 x=a 分别与直线 y=b,y=−b 交于点 M,N ,直线 MT 与直线 y=−b 交于点 P ,直线 NT 与直线 y=b 交于点 Q ,直线 AT 交椭圆 W 于另一点 R ,求证: P,Q,R 三点共线.
(20)(本小题 15 分)
已知函数 fx=lnx,gx=ax2+b . 当 m>0 时,曲线 y=fx 在点 m,fm 处的切线为 l1 ,曲线 y=gx 在点 m,gm 处的切线为 l2 ,且 l1⊥l2 .
(I) 求 a 的值;
(II) 当 b>−32 时,求证: l1 与 l2 的交点位于 y 轴右侧;
(III) 已知 b>0,l1 与 y 轴交于点 A,l2 与 x 轴交于点 B . 若存在 m∈0,e (e 为自然对数的底),使得 OA=eOB ,求 b 的最大值.
(21)(本小题 15 分)
已知集合 A={1,2,⋯,n}n≥2,M={x,y∣x∈A,y∈A} . 将 M 中的 n2 个不同元素排成一列,得到序列: x1,y1,x2,y2,⋯,xn2,yn2 ,其中 xi,yi 称为该序列的第 i 项 i=1,2,⋯,n2 ,若该序列的相邻项满足 xi+1−xi+yi+1−yi=1 i=1,2,⋯,n2−1 ,则称该序列为 Γn 序列. 若 Γn 序列中的项 xi,yii∈2,3,⋯,n2−1 满足 xi−1=xi=xi+1 或 yi−1=yi=yi+1 ,则称该项 xi,yi 具有性质 T .
(I) 已知 1,1,x,2,2,y,z,w 为 Γ2 序列,写出 x,y,z,w 的值;
(II) 求证: Γ3 序列中存在具有性质 T 的项;
(III) 求证: Γ11 序列中具有性质 T 的项的个数不少于 10 .门店 产品
1
2
3
4
5
6
7
8
A
5.8
7.2
8.5
9.5
11. 2
11.9
12.9
13.7
B
3.7
5.7
7.9
9.6
13.2
15.1
17.9
19.5