2026年中考数学二轮复习 专题13 几何图形的折叠、剪拼、旋转与探究(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题13 几何图形的折叠、剪拼、旋转与探究(高频考点专练)，共6页。试卷主要包含了图形的平移问题，图形的折叠问题，图形的剪拼与拼接问题，图形的旋转计算问题题型六，几何变换的规律探究问题题型八，图形的旋转证明问题，几何变换的综合探究题等内容，欢迎下载使用。

几何图形的平移、折叠、剪拼、旋转是中考数学几何模块核心必考考点，分值约 10～18分，题型覆盖选择题、填空题、解答题，解答题常以中档综合题或压轴题小问形式出现，侧重考查全等变换性质应用、等积变换规律、逻辑推理及数形结合、分类讨论思想，是几何板块得分的关键内容。
基础知识必备：掌握平移的方向与距离、折叠的轴对称性、旋转的三要素（中心 / 方向 / 角度）
核心性质；熟悉常见图形（三角形、特殊四边形）的剪拼拼接原则，能结合全等、相似、勾股定理进行变换后的线段、角度、面积计算；具备坐标系中几何变换的坐标转化能力，能初步探究变换背景下的图形存在性与规律问题。
2026 中考预测：
题型稳定：单一平移 / 折叠 / 旋转的计算为选择填空必考，变换综合计算为解答题必考，剪
拼题多以选择 / 填空形式考查，存在性与规律题常为压轴题小问；
难度分层：基础题考查单一变换性质直接应用，中档题考查多变换综合计算，压轴题侧重探究性、存在性分析，无偏题怪题；
命题趋势：大量结合平面直角坐标系考查坐标与几何变换的结合，剪拼题融入生活背景，探究题更注重数学思想的灵活应用，整体贴近教材核心考点。
题型一 图形的平移问题（坐标平移 + 图形平移计算）
【典例 01】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边 △ ???的顶点?(1,0),?(1,2 3)，将△ ???向左平移 1 个单位长度，则平移后点?的坐标为（ ）
A．(−3, 3)B．(− 3,3)C．(− 3,2)D．(−2, 3)
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键．过点 B 作??的垂线，通过点 A，C 的坐标确定??与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点 B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可．
【详解】解：如图，过点 B 作?? ⊥ ??，垂足为 D，
∵?(1,0)，?1,2，
3
∴?? ⊥ ?轴，
∴?? ∥ ?轴，
∵ △ ???是等边三角形，?? ⊥ ??，
∴?? = ?? = ?? = 2 3，又?? ⊥ ??，
∴?? = ?? =
1?? = 3，? 1,，
3
2
??2−??2
∴?? == 3，
1−3 = −2，
3
∴?−2,，
3
∴在△ ???向左平移 1 个单位长度后，点 B 的坐标为−3,，故选：A．
【变式 01】（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系???中，点?的坐标为(3,0)，点?的坐标为(2,−2)，将线段??平移得到线段??，点?的对应点?的坐标为(3,5)，则点?的对应点?的坐标为（）
A．(7,−2)B．(2,3)C．(2,−7)D．(−3,−2)
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点 A 平移后的对应点 C 的坐标确定平移规则，再应用于点 B 即可得到点 D 的坐标．
【详解】解：由题意，点?向上平移 5 个单位得到点?，
∴点?向上平移 5 个单位得到点?，
∴点?的坐标为(2,−2 + 5)，即(2,3)；故选 B．
【变式 02】（2025·江苏南通·中考真题）如图，将 △ ???沿着射线??平移到 △ ???．若?? = 6,?? = 4，则平移的距离为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】利用平移性质，确定对应点，通过线段长度计算平移距离．本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移中对应点间的距离为平移距离是解题的关键．
【详解】解：∵ △ ???沿射线??平移得到 △ ???，
∴点?与点?是对应点．平移的距离为??的长度，又∵?? = 6，?? = 4，
∴?? = ??−?? = 6−4 = 2．故选：A．
【变式 03】（2025·四川德阳·中考真题）如图，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，将△ ???沿??方向向右平移至△ ???处，使??恰好过边??的中点 D，连接??，若?? = 1，则?? = （ ）
1
A．3B．2C．1D．2
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合?? = 1，得?? = 2?? = 2，由△ ???平移得到 △ ???，根据平移对应线段相等，可知?? = ??，进而得?? = 2．
【详解】在Rt △ ???中，∠??? = 90°，?是??中点，
∴?? =
1??，
2
∵?? = 1，
∴?? = 2?? = 2，
∵ △ ???沿??方向向右平移至 △ ???，
∴?? = ?? = 2，故选：B．
【变式 04】（2026·吉林长春·一模）如图，将等腰直角三角尺???沿着直线?平移到 △ ?1?1?1的位置，连结
??1．已知?? = 1，平移距离??1 = 2．求证：四边形???1?1是菱形．
【答案】见解析
【分析】由平移的性质可得??1 = ??1，??1 ∥ ??1，则四边形???1?1是平行四边形，由等腰直角三角形的性质并结合勾股定理计算可得?? = ??1，即可得证．
【详解】证明：由平移的性质可得：??1 = ??1，??1 ∥ ??1，
∴四边形???1?1是平行四边形，
∵ △ ???是等腰直角三角形，?? = 1，
??2 + ??2
∴?? == 2，
∴?? = ??1，
∴四边形???1?1是菱形．
【变式 05】（2025·福建·中考真题）如图， △ ???是等边三角形，D 是??的中点，?? ⊥ ??，垂足为 C，??
是由??沿??方向平移得到的．已知??过点 A，??交??于点 G．
(1)求∠???的大小；
(2)求证： △ ???是等边三角形．
【答案】(1)60°
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
（1）等边三角形的性质推出∠??? = 30°，垂直，得到∠??? = 90°，角的和差关系求出∠???的大小即可；
（2）平移得到??∥??，进而得到∠??? = ∠??? = 30°，角的和差关系推出∠??? = ∠???，进而得到
?? = ??,∠??? = 120°，根据?? = ??，推出??垂直平分??，进而得到∠??? =
1∠??? = 60°，推出
2
∠??? = ∠??? = ∠???，进而得到△ ???是等边三角形即可．
【详解】（1）解： ∵△ ???是等边三角形，
∴ ∠??? = 60°．
∵ D 是??的中点，
∴ ∠??? = ∠??? =
1∠??? = 30°．
2
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???−∠??? = 60°．
（2）由平移可知：??∥??，
∴ ∠??? = ∠??? = 30°，
又∵ ∠??? = ∠???−∠??? = 30°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴?? = ??,∠??? = 120°，又∵ ?? = ??，
∴ ??垂直平分??，
∴ ∠??? =
1∠??? = 60°，
2
由（1）知，∠??? = 60°，
∴ ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠???，
∴△ ???是等边三角形．
题型二 图形的折叠问题
【典例 01】（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在 △ ???中，?? = ??，?是边??上的点，将 △ ???沿直线??折叠，点?的对应点?恰好落在边??上．若∠? = 34°，则∠???的大小是（ ）
A．35°B．37°C．39°D．41°
【答案】C
【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出
∠???，由折叠得到∠??? = ∠???，根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵?? = ??，∠? = 34°，
∴∠??? = ∠??? = 1(180°−∠?) = 1(180°−34°) = 73°，
22
∵将△ ???沿直线??折叠，点?的对应点?恰好落在边??上．
∴∠??? = ∠??? = 73°，
∴∠??? = ∠???−∠? = 39°
故选：C
【变式 01】（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片???（∠? = 90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（）
A．?? ∥ ?? ∥ ??B．?? = 2?? = 4??
C．?? = ?? = 1??D．?? = ?? = ??
2??????
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
由折叠可得：?? ⊥ ??,?? ⊥ ??,?? ⊥ ??，?? = ?? = ?? = ??，则?? ∥ ?? ∥ ?? ∥ ??，那么
△ ??? ∽△ ??? ∽△ ??? ∽△ ???，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可．
【详解】解：由折叠可得：?? ⊥ ??,?? ⊥ ??,?? ⊥ ??，?? = ?? = ?? = ??，
∴?? ∥ ?? ∥ ?? ∥ ??，故 A 正确，不符合题意；
∴ △ ??? ∽△ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 1
????1
== ，
??
??
2， ??
??2
∴?? = 2??，?? = 2??，
∴?? = 4??，
∴?? = 2?? = 4??，故 B 正确，不符合题意；
∵?? ∥ ?? ∥ ??，
∴?? = ?? = 1
????1
==
????1
==
????4， ????4， ????2
∴?? = ?? =
1??，?? =
4
1??，
2
∴?? = ?? =
1??，故 C 正确，不符合题意；
2
∵ △ ??? ∽△ ??? ∽△ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 1
????2
==
????3
== ，
????2，????3，????4
∴?? ≠ ?? ≠ ??，故 D 错误，符合题意，
??
??
??
故选：D．
【变式 02】（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形????沿??折叠，使得点?与对角线的交点?重合，
??
??为折痕，则??的值为（ ）
1
A．4
【答案】D
1
B．2
C． 2
2
D．3
2
【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些
知识点是解题关键.
根据折叠得出?? = ??，??∥??，利用相似三角形的判定和性质得出1
3，再由正方形的性
?? = 2??,?? = 4??
质求解即可.
【详解】解：∵正方形????沿??折叠，
∴?? = ??，??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 1，
????2
∴?? =
1
??,?? =
2
3??，
4
∵正方形????，
∴?? = ??，
??
∴
??
1 ??2
= 2 = ，
3 ??3
4
故选：D.
【变式 03】（2025·山西临汾·二模）如图，在 △ ???中，∠??? = 90°,?? = 6,?? = 8，?是??的中点，连接??，将 △ ???沿??折叠，使点?落在点?，连接??，则?? = ．
14
【答案】 5
【分析】根据勾股定理求得斜边?? = 10，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，以及折叠的性质得出?? = ?? = 6，?? = ?? = 5，进而证明△ ???是等腰三角形，证明 △ ??? ∽△ ???，根据相似三角形的性质，列出比例式，解方程，即可求解．
【详解】解：如图，延长??交??的延长线于点?，
∵在△ ???中，∠??? = 90°,?? = 6,?? = 8，?是??的中点，
∴?? =
= 10，1，
??2 + ??2
?? = ?? = ?? = 2?? = 5
∵将△ ???沿??折叠，
∴?? = ?? = 6，?? = ?? = 5
设∠??? = ?，则∠? = 90°−?，
∵?? = ??
∴∠??? = 180°−2∠? = 2?
∵折叠，
∴∠??? = ∠??? = 2?
∴∠??? = 180°−4?
又∵?? = ?? = ??
∴∠??? = 1(180°−∠???) = 2?
2
∴∠??? = ∠??? = ?
又∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠???
∵?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)
∴∠? = ∠?，?? = ?? = 6，?? = ?? = 10
∵∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠? + ∠???， ∠??? = ∠??? = ∠?
∴∠??? = ∠???
∴ △ ??? ∽△ ???
∴?? = ??
??6
=
????即 65
解得：?? = 36
5
3614
∴?? = ??−?? = 10− 5 = 5
14
故答案为： 5 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式 03】（2026·河北秦皇岛·一模）如图，将平行四边形????沿对角线??折叠，使点?落在平面上的点
?处，??与??交于点?．
(1)求证： △ ???≌ △ ???；
(2)若平行四边形????的对角线??与??的交点为点?，连接??，求证：?? ⊥ ??．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由折叠得?? = ??，∠??? = ∠?，由四边形????是平行四边形得?? = ??，
∠??? = ∠???，即可得?? = ??，∠??? = ∠?，结合对顶角∠??? = ∠???即可证明；
（2）由△ ???≌ △ ???得?? = ??，由平行四边形????的对角线??与??的交点为点?得?为??中点，由等腰三角形三线合一可得??为△ ???中??边上的高，即可证明．
【详解】（1）证明：由折叠得?? = ??，∠??? = ∠?，
∵四边形????是平行四边形，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，
∴?? = ??，∠??? = ∠?，又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)；
（2）证明：∵ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，
∵平行四边形????的对角线??与??的交点为点?，
∴?为??中点，
∴??为△ ???中??边上的高，
∴?? ⊥ ??．
【点睛】折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形关于折痕成轴对称，因此对应边相等、对应角相等，这一性质是解决此类折叠问题的核心依据．
【变式 05】（2025·青海西宁·中考真题）如图，点 E 是正方形????的边??的中点，连接??，将 △ ???沿??
所在直线折叠，点 C 落在点 F 处，连接??并延长交??于点 G，连接??．
(1)求证： △ ???≌ △ ???；
(2)若?? = 2 5，求??的长．
【答案】(1)证明见解析
2 5
3
(2)?? =
【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质与折叠可得?? = ??，△ ???与 △ ???都是直角三角形，根据 “HL”即可证明Rt △ ???
≌Rt △ ???；
（2）由中点的定义得到?? = ?? = 1?? = 5，由折叠得到?? = ?? = 5，设?? = ?? = ?，则
2
?? = ??−?? = 2 5−?，?? = ?? + ?? = ? + 5，在Rt △ ???中，根据勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形????是正方形
∴∠? = ∠? = ∠? = 90°，?? = ?? = ?? = ??，由折叠可得?? = ??，∠??? = ∠? = 90°，
∴?? = ??，∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∴在Rt △ ???和Rt △ ???中
?? = ??
?? = ??
∴Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)；
（2）解：∵?? = ?? = 2 5，点 E 是??的中点，
∴?? = ?? =
1?? = 5，
2
由折叠得到?? = ?? = 5，
∵Rt △ ???≌Rt △ ??? ，
∴?? = ??
5
设?? = ?? = ?，则?? = ??−?? = 2 5−?，?? = ?? + ?? = ? +
∵在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
∴2 5−?
2 5
3
解得? =
2
+
2
5
=
2
5
+ ?
∴?? = 235．
题型三 图形的剪拼与拼接问题
【典例 01】如图， △ ???是一张三角形的纸片， ⊙ ?是它的内切圆，点 D 是其中的一个切点，已知
?? = 10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙ ?相切的任意一条直线??剪下一块三角形( △ ???)，则剪下的△ ???
的周长为（ ）
A．20cmB．15cmC．10cmD．随直线??的变化而变化
【答案】A
【分析】根据 E、F 分别是切点，可得?? = ??,?? = ??，由此可得 △ ???的周长 = ?? + ?? = 2??．
【详解】解：如图，设 E、F 分别是切点， △ ???是一张三角形的纸片，
根据切线长定理可得，?? = ??,?? = ??，?? = ?? = 10cm，
△ ???的周长 = ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ?? + ??
= ?? + ?? + ?? + ??
= ?? + ?? = 2?? = 20cm，故选：A．
【点睛】本题考查切线长定理，熟记概念是关键．
【变式 01】如图：用一张长为 4cm，宽 3cm 的长方形纸片，过两个顶点剪一个三角形，按裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不可能实现的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用所给三角形的三边长数据，结合高进行判定即可.
【详解】A 选项，长度 3 边上的高在纸片上，可以实现；
B 选项，长度 3 边上的高在纸片上，可以实现；
C 选项，长方形对角线长 5，可以实现；
D 选项，高大于 3，不在纸片上，不可能实现；故选：D.
【点睛】此题主要考查长方形中三角形的判定，熟练掌握，即可解题.
【变式 02】如图， △ ???中，∠? = 65°，?? = 6，?? = 3，将 △ ???沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意；
D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：C．
【变式 03】在 △ ???中，∠? = ∠? = 50°，将△ ???沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B 两个选项都可以利用SAS证明全等， C 选项中，先证明∠??? = ∠???，再利用ASA即可证明两个三角形全等，D 选项中，根据现有条件不能证 明两个三角形全等．
【详解】解：A、如图所示，∵?? = ?? = 1，∠? = ∠?，?? = ?? = 2，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，故 A 不符合题意；
B、如图所示，∵?? = ?? = 2，∠? = ∠?，?? = ?? = 1.5，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，故 B 不符合题意；
C、如图所示，∵∠? = ∠??? = 50°，∠??? = ∠? + ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
又∵∠? = ∠?，?? = ?? = 2，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，故 C 不符合题意；
D、如图所示，同理可得∠??? = ∠???，但是??，??不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故 D 符合题意；
故选：D．
【变式 04】（2023·浙江温州·二模）有数学家证明了定理：任意一个三角形可以剪拼成一个矩形．小慧将一张三角形纸片（如图1）分割成四块，然后拼成一张矩形纸片（无缝隙无重叠）．如图2，分别取??，??的中点?，?，作?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??于点?，连结??，分别作?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??于点?．若 △ ???
的面积为150cm2，?? = 20cm，?? = 17cm，则矩形?′??′?的周长是（ ）
A．37cmB．49cmC．26 2cmD．35 2cm
【答案】B
【分析】过点?作?? ⊥ ??于点?，根据题意得出??是△ ???的中位线，进而根据面积求得?? = 15，证明
△ ??? ∽△ ???，求得??，在Rt △ ???中，勾股定理求得??，根据等面积法求得??，根据题意得出??′
= ?? = 6,??′ = ??′ +?? = 2?? = 12，进而根据题意，矩形?′??′?的面积等于△ ???的面积，为150cm2，进而求得??′，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点?作?? ⊥ ??于点?，
∵?,?是??，??的中点，
∴??是△ ???的中位线，
∴?? =
1?? = 10，
2
∵?△??? = 150,?? = 20，
∴?? =
150×2
20
= 15，
∵??∥??，?为??的中点，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 1，
????2
115
∴?? = 2?? = 2 ，
??2 + ??2
10 +
2
15 2
2
25
在Rt △ ???中，?? =
=
= 2 ，
11
∴?△??? = 2?? × ?? = 2?? × ??，
∴?? =
??×??
??
15 ×10
25
= 2 = 6，
2
∴??′ = ?? = 6,??′ = ??′ +?? = 2?? = 12，
依题意， △ ???的面积为150，则矩形?′??′?的面积为150，
∴??′ × ??′ = 150，
∴??′ = 150 = 25
122 ，
25
2
∴矩形?′??′?的周长2 × (??′ + ??′) = 2 × 12 +
= 49，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的中位线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式 05】（2025·河北保定·一模）如图①，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图②，按照图②所示剪去一个腰长为 2 的等腰直角三角形，展开后得到一个如图③所示的正八边形????????，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形????，放在正八边形内部，??与??重合，?为??的中点，连接??．将正方形????绕点?顺时针旋转45°,??与??重合，此时??的长为（ ）
10
A．3B．
【答案】B
C．2
D．3
2
2
【分析】本题考查了正方形，正多边形的性质，勾股定理的运用，理解题意，掌握正多边形的性质，数形
结合分析是关键．
??2 + ??2
2
2 2+
2
2
根据题意，平行四边形????是菱形，正方形????的边长为2 2，由?? ==
= 10，即可求解．
【详解】解：根据题意，∠??? = 180°×(8−2) = 135°，∠??? = 90°，
8
如图所示，连接??，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 135°−90° = 45°，∠? = 135°，
∴∠??? + ∠? = 180°，
∴?? ∥ ??，
又?? = ?? = ??，
∴四边形????是平行四边形，
∵?? = ??，
∴平行四边形????是菱形，
∴?? = ??，
设正方形对角的交点为?，则?? = ?? = 2，
∴正方形????的边长为2 2，
∴?? = ?? = ?? = 2 2，
∵∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = 135°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 90°，
∵?为??中点，
∴?? =
∴?? =
1?? = 2，
2
??2 + ??2
=
= 10，
2
2 2+
2
2
故选：B ．
题型四 图形的旋转计算问题（单点旋转）
【典例 01】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图， △ ???中，?? = ?? = 2，∠??? = 120°，将 △ ???绕点 A 顺时针旋转120°得到 △ ???，点 B，点 C 的对应点分别为点 D，点 E，连接??，点 D 恰好落在线段??上，则??的长为（ ）
3
A．2
【答案】B
B．4C．3
D．6
2
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得
∠??? = 30°；再由旋转的性质得∠??? = 90°,?? = ?? = 2,∠??? = 120°，从而得
∠??? = 60°,∠??? = 30°，故可得?? = 2??，从而可求出结论．
【详解】解：在△ ???中，?? = ?? = 2,∠??? = 120°，
∴∠??? = 1(180°−∠???) = 1(180°−120°) = 30°；
22
由旋转可知∠??? = 120°，
∴∠??? = 90°，
由旋转得：?? = ?? = 2,∠??? = 120°，
∴∠??? = 60°，
∴∠??? = 30°，
∴?? = 2?? = 2 × 2 = 4，故选：B．
【变式 01】（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形????先向右平移，使点 B 与原点 O 重合，再将所得正方形绕原点 O 顺时针方向旋转90°，得到四边形?′?′?′?′，则点 A 的对应点?′的坐标是（ ）
A．(−1,−2)B．(−2,−1)C．(2,1)D．(1,2)
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移 3 个单位长度，则可得平移后点 A 的对应点坐标为(2,−1)；如图所示，设?(2,−1)绕原点 O顺时针旋转 90 度后的对应点为 F，分别过 E、F 作 x 轴的垂线，垂足分别为 G、H，证明△ ???≌ △ ??? (AAS)，得到?? = ?? = 1，?? = ?? = 2，则?(−1,−2)，即点 A 的对应点?′的坐标是(−1,−2)．
【详解】解：由题意得，平移前?(−3,0)，?(−1,−1)，
∵将正方形????先向右平移，使点 B 与原点 O 重合，
∴平移方式为向右平移 3 个单位长度，
∴平移后点 A 的对应点坐标为(2,−1)，
如图所示，设?(2,−1)绕原点 O 顺时针旋转 90 度后的对应点为 F，分别过 E、F 作 x 轴的垂线，垂足分别为
H，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
由旋转的性质可得∠??? = 90°，?? = ??，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，?? = ??，
∵?(2,−1)，
∴?? = ?? = 1，?? = ?? = 2，
∴?(−1,−2)，
∴点 A 的对应点?′的坐标是(−1,−2)，故选：A．
【变式 02】（2025·山西运城·二模）如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形????的两条对称轴，边??，??分别与 x 轴、y 轴交于点 E 和 F，以 E 为旋转中心，将矩形????绕点 E 顺时针旋转，使??的对 应边且?′?′经过点 F．若点 C 的坐标2 3,2，则点?′的坐标是（ ）
3
−3,2
【答案】D
−3,
− 3,3D．− 3,5
3
【分析】设?′?′与 x 轴的交点为 M，过?′点作?′? ⊥ ?轴于点 N，先证明△ ???≌ △ ???′(AAS)，得到
3
?? = ??，设?? = ?，?? = ?? = ?，根据题意，得? + ? = 2 3，?2 + 22 = ?2，解得? = 2 3,? = 4 3，
3
得到?
2 34 31
sin∠??? = ? = 3 ÷ 3 = 2即∠??? = 30°，利用三角函数解答即可．
【详解】解：∵坐标轴刚好为矩形????的两条对称轴，边??，??分别与 x 轴、y 轴交于点 E 和 F，点 C 的坐标2 3,2，
∴?? = 2 3,?? = 2，?? = 2，
∵以 E 为旋转中心，将矩形????绕点 E 顺时针旋转，使??的对应边且?′?′经过点 F．
∴??′ = ??′ = ?? = 2 3，?? = ??′ = 2，
设?′?′与 x 轴的交点为 M，过?′点作?′? ⊥ ?轴于点 N，
∠??? = ∠??′?
∵ ∠??? = ∠???′ ，
?? = ?′?
∴ △ ???≌ △ ???′(AAS)，
∴?? = ??，
设?? = ?，?? = ?? = ?，
根据题意，得? + ? = 2 3，?2 + 22 = ?2，
3
解得? = 2 3,? = 4 3， 3
?2 34 31
∴sin∠??? = ? = 3 ÷ 3 = 2，
∴∠??? = 30°，
∴∠?′?? = 30°，
∵??′ = ??′ = ?? = 2 3，
∴?′? = ??′sin30° = 3，?? = ??′cs30° = 3，
∴?? = ?? + ?? = 5，
∵?′在第二象限，
∴?′ − 3,5，故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键．
【变式 03】（2025·天津·中考真题）如图，在 △ ???中，∠??? = 90°，将△ ???绕点?顺时针旋转得到
△ ??′?′，点 B，C 的对应点分别为?′,?′,?′?′的延长线与边??相交于点?，连接??′．若?? = 4,?? = 3，则线段??′的长为（ ）
121624
A． 5B． 5C．4D． 5
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接??，交??′于点?，先证出Rt △ ??′?≌Rt △ ???，根据全等三角形
的性质可得?′? = ?? = 3，再证出??垂直平分??′，则可得??′ = 2??，?? ⊥ ??′，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出??的长，由此即可得．
【详解】解：如图，连接??，交??′于点?，
由旋转的性质得：??′ = ?? = 4，∠??′?′ = ∠??? = 90°，
∴∠??′? = 90°，
在Rt △ ??′?和Rt △ ???中，
?? = ??
??′ = ?? ，
∴Rt △ ??′?≌Rt △ ???(HL)，
∴?′? = ?? = 3，
∴??垂直平分??′，
∴??′ = 2??，?? ⊥ ??′，
∵∠??? = 90°，?? = 4,?? = 3，
??2 + ??2
∴?? == 5，
又∵?11，
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2?? ⋅ ??
∴?? =
??⋅??
?? =
4×312
5 = 5 ，
∴??′ = 2 × 12 = 24
55 ，
故选：D．
【变式 04】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形????的对角线??，??相交于点 O，?? = 4 3，
?? = 4，将△ ???绕点?顺时针旋转至△ ?? ? ，? ? 与??，??分别交于点 E，F，当?? = 4时， △ ??? 的
1 11 131
周长为（ ）
3
A．4 + 4
【答案】B
B．6 + 3
C．8 + 2
D．10 +
3
3
3
【分析】本题综合考查矩形的性质，旋转的性质，全等、相似三角形的判定与性质，找到全等三角形和相似三角形建立线段之间的等量关系是解题关键．
先通过矩形的性质求出??的长，再取??与??1的交点为 M，通过旋转和矩形的对角线相等且互相平分，证明△ ???≌ △ ??1?(ASA)，再利用等边对等角和对顶角，三角形内角和，推出 △ ??1? ∽△ ???，通过已知条件得到相似比，建立线段之间的等量关系，最后列方程求出对应的值即可．
【详解】解：如图，取??与??1的交点为 M，
∵四边形????是矩形，
∴?? = ??，?? = ?? = 4 3，∠??? = ∠??? = 90°，
??2 + ??2
∴?? == 8，
∵?是矩形????的对角线??，??的交点，
∴?? = ?? = ?? = ?? =
1?? = 4，
2
∴∠??? = ∠???，
由旋转的性质，可知??1 = ?? = 4，??1 = ?? = 4，∠???1 = ∠???1，∠??? = ∠?1 = ∠??? = ∠?1，
∴?? = ??1，∠??? = ∠?1，
∴ △ ???≌ △ ?1??(ASA)，
∴?? = ?1?，?? = ??，
∵∠??? = ∠???1，∠??? = ∠?1，
∴ △ ??1? ∽△ ???，
??1
?1?
??
4?1?
??
∴ ?? = ?? = ??，即4 = ?? = ??，
3
∴?1? = 3?? = ??，?? = 3?? = ??，
∵??1 = ?? = ??，?? = ??，
∴??1−?? = ??−??，即?? = ??，又∠?1 = ∠???，∠?1?? = ∠???，
∴ △ ?1??≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
4
∴?? = ?? = ??−??−?? = ??−3??−?? = 4 3−−3??，
3
又?? = ??−?? = 4−?? = 3??，
4
∴4−?? = 3 4 3− 3 −3?? ，
解得?? = 3 3−1，
2
2
∴?? = ??−?? = 4− 3 3 −1 = 5−3 3，
2
1
? ? = 3?? = 3 × 3 3 −1 = 9 3−3，
22
11
∴ △ ???1的周长为?? +?? + ? ? = 4 + 5−3 3 + 9 3−3 = 6 + 3 3，
22
故选：B．
【变式 05】（2024•南漳县一模）已知矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝5，将△CBA 绕点 C 顺时针旋转得到△ CMN，CM 与 BD 交于点 P，CN 与 AD 交于点 E，当点 B 的对应点 M 落在线段 AD 上时，线段 ME 的长是 ．
．
【答案】25
9
MC
【分析】先证明△MNE≌△CDP 得出 ME＝CP，进而证明△MDP∽△CBP 得出 PC = 5
9
5
= BC
9
即可求解．
【详解：如图所示，设 AC，BD 交于点 O，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OB＝OD＝OA＝OC，AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
∴∠BAC＝∠BDC，
将△CBA 绕点 C 顺时针旋转得到△CMN，
∴∠N＝∠BAC，
∴∠N＝∠PDC，
又∵MN＝AB＝CD，∠NME+∠EMC＝∠NMC＝∠ABC＝90˚ ，∠DMC+∠DCP＝90˚ ，
∴∠NME＝∠DCP，
∴△MNE≌△CDP（ASA），
∴ME＝CP，
∵AD∥BC，
∴△MDP∽△CBP，
又∵MC＝BC＝5，CD＝AB＝3，
??2−??2
在 Rt△MDC 中，MD =
=
= 4，
52−32
??
∴
??
??
=
??
= 4， 5
MC
∴PC = 5=
9
25
5
BC =
9
525
× 5 =，
99
故答案为： ．
9
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
题型五 图形的旋转证明问题（图形旋转）
【典例 01】如图，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连接 CP，将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 90˚ ，得到线段 CQ，连接 BP，DQ．
如图﹣1，求证：△BCP≌△DCQ；
如图﹣2，延长 BP 交直线 DQ 于点 E，求证：BE⊥DQ．
【分析】（1）根据旋转的性质证明∠BCP＝∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ；
（2）根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵∠BCD＝90˚ ，∠PCQ＝90˚ ，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP 和△DCQ 中，
?? = ??
∠??? = ∠???，
?? = ??
∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
（2）如图 b，∵△BCP≌△DCQ，
∴∠CBF＝∠EDF， 又∵∠BFC＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠BCF＝90˚ ，
∴BE⊥DQ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相
等、四个角都是直角，旋转的性质证明三角形全等是解题的关键．
【变式 01】如图所示，∠??? = 90°，∠? = 45°，?? = 2，△ ???绕点 B 逆时针旋转60°得到△ ???，连接??．
求证： △ ???≌ △ ???；
连接??，求??的长．
【答案】(1)见解析
2
(2)2
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质得到∠??? = ∠???，∠??? = 60°，?? = ??，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接??，根据旋转的性质得到?? = ??，∠??? = ∠?，?? = ?? = 2，根据全等三角形的性质得到
∠??? = ∠?，?? = ?? = 2，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ △ ???绕点 B 逆时针旋转60°得到△ ???，
∴∠??? = ∠???，∠??? = 60°，?? = ??，
∵∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 30°，
∴∠??? = 90°−∠???−∠??? = 30°，
∴∠??? = ∠???，
在△ ???与 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)；
（2）连接??，
∵ △ ???绕点 B 逆时针旋转60°得到△ ???，
∴?? = ??，∠??? = ∠?，?? = ?? = 2，
∵ △ ???≌ △ ???，
∴∠??? = ∠?，?? = ?? = 2，
∵∠? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = ∠? = 45°，
∴∠??? = 90°，?? = ??，
∴?? = 2?? = 2 2．
【变式 02】如图，已知 △ ???中，?? = ??，把△ ???绕?点顺时针方向旋转得到 △ ???，连接??，??
交于点?．
求证： △ ???≌ △ ???；
(2)若?? =2，∠??? = 45°，当四边形????是菱形时，求??的长．
【答案】(1)见解析；
2− 2．
【分析】（1）要证明△ ???≌ △ ???，需根据旋转性质找到对应边和角的关系，再利用全等三角形判定定理（SAS）来证明．
（2）要求??的长，先根据菱形性质得出边和角的关系，再结合已知角度推出△ ???为等腰直角三角形，利用勾股定理求出??，最后结合菱形的边求出??．
【详解】（1）证明：∵ △ ???绕?点顺时针方向旋转得到 △ ???，
∴ ?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠???．
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，即∠??? = ∠???．又∵ ?? = ??，
∴ ?? = ?? = ?? = ??．在△ ???和△ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???（SAS）．
（2）解：∵ 四边形????是菱形，
∴ ?? = ?? = ?? = 2，?? ∥ ??．
∴ ∠??? = ∠??? = 45°．又∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°．
??2 + ??2
( 2 )2 + ( 2 )2
∴ ∠??? = 180°−45°−45° = 90°．在Rt △ ???中，根据勾股定理：
?? =
=
= 2，
∴ ?? = ??−?? = 2− 2．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识，通过已知条件逐步推导是解题关键．
【变式 03】在 △ ???中，∠??? = 90°，∠??? = ?，点 D 在射线??上，连接??，将线段??逆时针旋转180°−2?得到线段??（点 E 不在直线??上），连接??，过点 E 作??∥??，交直线??于点 F．
如图 1，当点 D 与点 C 重合时，求证：?? = ??；
如图 2，当点 D 在线段??上，F 在线段??的延长线上时，用等式表示??与??之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 2??，证明见解析
【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握旋转的性质，全等三角形判定及平行线性质是解题的关键．
（1）由??∥??得到∠? = ∠??? = ?．由三角形的内角和定理与旋转的性质证明∠??? = ∠??? = 90°−?，
?? = ??，从而得到△ ???≌ △ ???(SAS)，进而有∠??? = ∠??? = ?，再由??∥??得到
∠??? = ∠??? = ?，从而∠??? = ∠?，因此根据等腰三角形的判定即可解答；
（2）延长??到点 H，使?? = ??，由??∥??得到∠? = ∠??? = ?．由垂直平分线的性质得到?? = ??，进而根据等腰三角形的“三线合一”得到∠??? = 2∠??? = 180°−2? = ∠???，从而∠??? = ∠???，即可证明
△ ???≌ △ ???(SAS)，得到?? = ??，∠??? = ∠? = ?．证明∠??? = ∠?得到?? = ?? = ??，从而
?? = ?? = 2??．
【详解】（1）证明：∵??∥??，
∴∠? = ∠??? = ?，
∵∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°−∠??? = 90°−?，
由旋转可得?? = ??，∠??? = 180°−2?，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 90°−?，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠??? = ?，
∵??∥??，
∴∠??? = ∠??? = ?，
∴∠??? = ∠?，
∴?? = ??．
（2）解：?? = 2??，证明如下：延长??到点 H，使?? = ??，
∵??∥??，
∴∠? = ∠??? = ?，
∵∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°−∠??? = 90°−?，
∵?? = ??，
∴ ??是??的垂直平分线，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°−?，
∴∠??? = 2∠??? = 180°−2?，
∴∠??? = ∠???，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???
∵由旋转有?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)
∴?? = ??，
∠??? = ∠? = ?．
∵??∥??，
∴∠??? = ∠??? = ?，
∴∠??? = ∠?，
∴?? = ?? = ??，
∴?? = ?? + ?? = ?? + ?? = ??，
∵?? = 2??，
∴?? = 2??．
【变式 04】在Rt △ ???中，∠??? = 90°， △ ???是△ ???绕点 C 逆时针旋转90°所得，其中点 A，点 B 的对应点分别是点 D，点 E，延长??交??于 F，连接??．
(1)若∠? = 30°，?? = 2 3，求??的长；
(2)求证：??平分∠???；
(3)求证：?? + ?? = 2??．
【答案】(1) 3−1
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由旋转性质得， △ ???≌ △ ???，根据含 30 度角的直角三角形的性质以及勾股定理解得??，
??的值，进而可得?? = 2 3−2，再证明∠??? = 90°，然后根据含 30 度角的直角三角形的性质即可获得答案；
过点C 作?? ⊥ ??,?? ⊥ ??垂足分别为M，N，证明 △ ???≌ △ ???，由全等三角形的性质可得?? = ??，然后根据“在角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上”即可证明结论；
过点 B 作?? ⊥ ??，过点 E 作?? ⊥ ??，垂足分别为点 H，G，结合（1）（2）易得△ ???, △ ???均
为等腰直角三角形，进而可得?? = ?? = 2??，?? = ?? = 2??，再证明△ ???≌ △ ???，易得
22
?? = ??,?? = ??，结合?? + ?? = ??即可证明结论．
【详解】（1）解：如下图，
由旋转性质得， △ ???≌ △ ???，
∴∠? = ∠? = 30°，?? = ?? = 2 3，
∴在Rt △ ???中，?? = 2??，
∴??2 = ??2 +??2，即(2??)2 = ??2 + (2 3)2，
∴3??2 = 12，解得?? = 2（负值舍去），
∴?? = 2?? = 4，
∴?? = ??−?? = 2 3−2，
∵∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°−∠? = 60°，
∴∠??? = ∠??? = 60°，
∴∠??? = 180°−∠?−∠??? = 90°，
∴?? = 1?? = 1(2 3−2) = 3−1．
22
如下图，过点 C 作?? ⊥ ??,?? ⊥ ??垂足分别为 M，N，
∴∠??? = ∠??? = 90°，又∵?? = ??,∠? = ∠?，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
∴??平分∠???；
如下图，过点 B 作?? ⊥ ??，过点 E 作?? ⊥ ??，垂足分别为点 H，G，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
由（1）（2）得∠??? = 90°，??平分∠???，
∴∠??? = ∠??? = 1∠??? = 1(180°−∠???) = 45°，
22
∴∠??? = 90°−∠??? = 45° = ∠???，∠??? = 90°−∠??? = 45° = ∠???，
∴ △ ???, △ ???均为等腰直角三角形，
∴?? = ?? = 2??，?? = ?? = 2??，
22
∵∠??? + ∠??? = 90°,∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??,?? = ??，
∵?? + ?? = ??，
∴ 2?? + 2?? = ??，
22
即?? + ?? = 2??．
【变式 05】已知线段BD是正方形ABCD的一条对角线，点 E 在射线BD上运动，连接CE，将线段CE绕点 C 顺时针旋转90°，得到线段CF，连接DF．
如图 1，若点 E 在线段??上，请直接写出线段??与线段??的数量关系与位置关系；
【模型应用】
如图 2，若点 E 在线段??的延长线上运动，请写出线段??，??，??之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
如图 3，已知线段??是矩形????的一条对角线，?? = 3，?? = 4，点 E 在射线??上运动，连接??，
将??绕点 C 顺时针旋转90°，得到??，在??上截取线段
3，连接??，若?? = 1，直接写出线段??
?? = 4??
的长．
10
【答案】（1）?? = ??，?? ⊥ ??，理由见解析；（2）?? = ?? + 2??，见解析；（3）线段??的长为
或
85 2
【分析】（1）利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论；
（2）利用全等的性质得到?? = ??，利用勾股定理求得?? = 2??，代入转化即可；
（3）利用旋转的性质得到△ ???是直角三角形，再根据
3转化为求??的长，通过作垂线构造Rt
?? = 4??
△ ???，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）?? = ??，?? ⊥ ??；
∵四边形????是正方形，
∴?? = ?? = ?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∵将线段??绕点 C 顺时针旋转90°，得到线段??，
∴?? = ??，∠??? = 90°，∠??? + ??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°， 则∠??? + ∠??? = 90°，即?? ⊥ ??；
（2）?? = ?? + 2??；
理由：∵四边形????是正方形，
∴?? = ??，∠??? = 90°，
由旋转得，∠??? = 90°，?? = ??，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，即∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
在Rt △ ???中，?? = 2??，
∵?? = ?? + ??，
∴?? = ?? + 2??；
（3）过点 C 作?? ⊥ ??于点 H，
∵四边形????是矩形，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，?? = ?? = 3，?? = ?? = 4，
32 + 42
∴?? == 5，
11
∵?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2?? ⋅ ??，
∴?? =
∴?? =
??⋅??
?? =
12
5 ，
??2−??2
9
= 5，
若点 E 在线段??上，
∵?? = 1，
4
∴?? = ??−?? = 5，
∴?? =
= 4 10，
??2 + ??2
5
∵将??绕点 C 顺时针旋转90°，得到??，
∴?? = ??，∠??? = 90°，
∵?? =
∴?? =
3??，
4
??2 + ??2
10
5
= 4?? =，
若点 E 在??的延长线上时，
14
同理，?? = ?? + ?? = 5 ，
∴?? =
同理，?? =
= 2 85，
??2 + ??2
5
??2 + ??2
，
585
= 4?? = 2
2
综上，线段??的长为 10或 85．
题型六剪拼与旋转综合探究
【典例 01】（2024·江苏盐城·三模）综合实践课上，老师让同学们准备矩形纸片????，开展数学活动．
(1)折一折、画一画：
操作一：对折矩形纸片????，使??与??重合，得到折痕??，把纸片展平；
操作二：如图 1，P 为??上一点，沿??折叠，使点 A 落在??上的点 M 处，连接??并延长交??于点 Q．由上述操作后探究可得：∠??? = °， △ ???的形状是三角形．
(2)剪一剪，移一移：
操作三：把纸片展平，沿??剪开；
操作四：如图 2，将△ ???沿??方向平移得到 △ ?′?′?′，若?′?′交??于点 G，?′?′交??于点 H．连接??，若?? = 3 3，平移距离为 x．
①当△ ???为直角三角形时，求出 x 的值；
②设四边形???′?的面积为 y，请直接写出 y 与 x 的函数关系式，并指出当 x 为何值时，y 取最大值，y 的最大值为多少？
【答案】(1)30°，等边
(2)①x 的值为3或12；②y 与 x 的函数关系式为? = −3 3?2 +3 3?；当? = 2时，y 取最大值，y 的最大值为
254
3 3．
【分析】（1）设??与??的交点是点 N，根据折叠的性质得四边形????,????都是矩形，根据性质证明
△ ???≌ △ ???(SAS)，?? = ?? = ??即可证明相关结论．
（2）①根据矩形的性质，分∠??? = 90°,∠??? = 90°，两种情况计算即可．
4
②设四边形???′?的面积为 y，根据? = ?▱??′?′?−?△?′??−?△?′??构造二次函数? = −3 3?2 +3 3?，利用二次函数性质求最值即可．
【详解】（1）设??与??的交点是点 N，根据折叠的性质得四边形????,????都是矩形，
∴?? = ?? = ?? = ?? =
1
2?? =
1??，?? = ?? = ??，且?? ∥ ?? ∥ ??，
2
∴?? = ?? = ?? = 1，∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
??????
∴∠??? = ∠???，?? = ??,?? = ??,?? = ??，
∴?? = ??，
?? = ??
∵ ∠??? = ∠??? = 90°
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，
∴?? = ?? = ??，∠??? = ∠??? =
1∠???，
2
∴ △ ???是等边三角形，∠??? = ∠??? =
1
2∠??? =
1 × 60° = 30°，
2
∴∠??? = 90°−∠???−∠??? = 30°，故答案为：30，等边．
（2）①根据前面的解答，得到∠??? = 30°，∠??? = ∠??? = ∠???′ = 60°，∠??? = ∠?′?′?′ = 90°，
△ ???是等边三角形，
∴ △ ???′是等边三角形，∠??? = 60°,∠???′ = ∠?′?? = 30°，
∵?? = 3 3，平移距离为 x．
∴?? = ?′?′ = ??tan∠??? = 3，??′ = ??′ = ?? = ?′? = ?，??′ = ??−??′ = 3−?，如图，当∠??? = 90°时，
∴∠??? = 30°，
∴∠??? = ∠???′，
∵?? ⊥ ??,??′ ⊥ ??′，
∴?? = ??′，
∴? = 3−?，
3
解得? = 2．
当∠??? = 90°时，
∴∠??? = 30°，
∴?? = ??sin30° =
1?，
2
∴??′1 ，
= ??sin30° = 4?
∵??′ +??′ = ?′?′，
∴? +
? = 3，
1
4
12
解得? = 5 ．
②设四边形???′?的面积为 y，
根据题意，得? = ?▱??′?′?−?△?′??−?△?′??
根据前面的解答，得到△ ???′是等边三角形，∠??? = 60°,∠???′ = ∠?′?? = 30°，
∵?? = 3 3，平移距离为 x．
∴??′ = 3?，??′ = ??′ = ?? = ?′? = ??′ = ?，
∵??′ ∥ ??′，
∴四边形??′?′?是平行四边形，
∴? = 3 3?− 3?2 13 3?2 +3 3?，
−? × 3? = −
424
∵? = −3 3(?−2)2 +3 3,? = −3 3