2026年中考数学二轮复习 高频考点09 几何与函数中折叠问题14大题型专练

这是一份2026年中考数学二轮复习 高频考点09 几何与函数中折叠问题14大题型专练，共7页。试卷主要包含了三角形中折叠问题，四边形中折叠问题，相似三角形中折叠问题，函数中折叠问题等内容，欢迎下载使用。
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考点一 三角形中折叠问题
考点二 四边形中折叠问题
命题 1 全等三角形中折叠问题
命题 2 直角三角形中折叠问题
命题 3 勾股定理中折叠问题
命题 4 等腰三角形中折叠问题
命题 1 平行四边形中折叠问题
命题 2 矩形中折叠问题
命题 3 菱形中折叠问题
命题 4 正方形中折叠问题
考点三 相似三角形中折叠问题
考点四 函数中折叠问题
命题 1 相似三角形与折叠中新定义类
命题 2 相似三角形与折叠中双空问题
命题 3 相似三角形中双折叠问题
命题 1 一次函数中折叠求点坐标命题 2 反比例函数中折叠求 k 值
命题 3 二次函数折叠解答题综合（解答压轴）
考点
考向
命题特征
特殊四边
1. 矩形顶点折叠到对边、对角线或邻
1. 以填空/选择压轴题和解答题小问为主，分值 3~8
形折叠（矩
边延长线上；
分，属于基础压轴高频题型；
形/正方形
2. 正方形单顶点折叠、双折叠，结合
2. 核心考查折叠的轴对称性+特殊四边形的边、角、
/菱形/平
45°半角模型；
对角线性质；
行四边形）
3. 菱形/平行四边形折叠，结合对角
3. 常通过设未知线段，用勾股定理列方程求解，是中
线性质与角度计算；
考送分+基础拉分点；
4. 折叠后求边长、周长、阴影面积、
4. 正方形折叠常结合一线三等角、半角模型，综合性
角度。
更强。
1. 直角三角形沿直角边、斜边折叠，
1. 以选择、填空和解答题为主，分值 3~10 分，侧重基
三角形折
求边长与角度；
础几何推理；
叠（直角/
2. 等腰三角形折叠后求顶角、底角，
2. 重点考查三角形内角和、外角性质、等角对等边，
等腰/等边
或构造等腰三角形；
折叠前后全等的性质；
三角形）
3. 等边三角形折叠与特殊角（30˚
3. 直角三角形折叠常结合勾股定理，等腰三角形折叠
/60˚）结合；
常考查分类讨论思想；
4. 折叠后点落在三角形内部/外部的
4. 易错题集中在 “点在外部” 的漏解问题，区分度 较
分类讨论问题。
高。
折叠与相似三角形综合
折叠后构造一线三等角、八字相似模型；
折叠产生等角，证明三角形相似并求线段比例；
折叠+三角函数，利用相似比结合特殊角求边长；
折叠后动点产生的相似三角形存
在性问题。
以解答题压轴小问为主，分值 4~8 分，属于中档偏上拉分题型；
核心考查“折叠产生等角”的性质，通过等角推导相似关系；
常与勾股定理、方程思想结合，需要先建模再计算；
侧重几何建模能力，是中考几何压轴的重要过渡题型。
4. 折叠与函数综合
（一次/反比例/二次函数）
折叠与一次函数：折痕为一次函数，求解析式、交点坐标；
折叠与反比例函数：折叠后点落在反比例图像上，求 k 值；
折叠与二次函数：抛物线上的点折叠，结合对称轴、顶点、存在性问题；
折叠+函数+动点，求最值、取值
范围。
以中考解答题压轴题为主，分值 6~12 分，属于全卷最难的拉分题；
核心考查折叠的轴对称性与函数的图像性质，数形结合思想体现极强；
常需先利用折叠性质求出点的坐标，再代入函数解析式求解；
动点+折叠+函数的综合题，常涉及分类讨论，对计
算和逻辑推理要求极高。
考点一 三角形中折叠问题
《解题指南》
一、核心本质：折叠的两大“万能性质”
所有三角形折叠题，都离不开这两个性质，是解题的根本依据：
全等性：折叠前后的两个三角形全等，对应边相等、对应角相等、周长/面积不变。
例：△ABC 沿 DE 折叠，点 A 落在 A'处，则△ADE≌△A'DE,AD=A'D,AE=A'E,∠A=∠A'。
轴对称性：折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕两侧的图形关于折痕对称。例：折痕 DE 垂直平分 AA',即 DE⊥AA',且 DE 平分 AA'。
二、按考查目标分类解题技巧
题型 1：求角度类折叠（基础送分题）核心解题步骤
标记折叠前后的等角：用∠1、∠2 标注相等的角，避免混乱。
结合三角形内角和（180˚）、外角性质、平行线性质（若有）列方程。
若折叠后出现“重叠角”，利用“平角 180˚”建立等式：题型 2：求线段长度类折叠（中考主流题）
万能解题模板（90%的题都能用）
设未知数：设要求的线段长为 x（通常设折叠后未知的边为 x）。
用折叠性质表示所有相关线段：利用对应边相等，把其他边用含 x 的式子表示出来。
找直角三角形，勾股定理列方程：找到包含未知线段的直角三角形，用勾股定理 a²+b²=c2 列方程求解。题型 3：等腰三角形折叠(易漏解题型)
核心考点
等腰三角形折叠，常结合“等角对等边”，需注意分类讨论：
折叠后形成的新等腰三角形，顶角/底角不确定时，需分情况讨论。
折叠后点落在三角形内部/外部，导致等腰三角形的腰/底发生变化。
命题点 01 全等三角形中折叠问题
【典例 01】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在Rt △ ???中，∠? = 90°,?? = 6,?? = 8，?是边??上一点，连接??，过点?作?? ⊥ ??交??于?，已将△ ???沿??翻折得 △ ??1?，连接?1?．下列说法错误的是
（ ）
A．∠??? = ∠?1??
B．当?1?∥??时，??1 ⊥ ??
3
C．当? ?∥??时，折痕??5
1的长2
7
D．当△ ?1??是等腰三角形时，??的长4
【答案】D
【分析】由翻折的性质，结合等角的余角相等，可判断 A；??1与??的交点记作点?，延长?1?，交??于点
?，由平行线的性质，结合翻折的性质，可证明△ ???≌ △ ???(ASA)，可得∠??? = ∠???，可判断 B；证明Rt △ ???1≌Rt △ ???(HL)，可得?? = ??，证明 △ ???≌ △ ???(AAS)，?? = ??，设?? = ?? = ?? = ?，
??
??
??
??
证明 △ ??? ∽△ ???，可得?? = ??，证明 △ ??? ∽△ ???，?? = ??，可得??，??，由勾股定理可得??，
可判断 C；当△ ?1??是等腰三角形时，??1 = ??，或?? = ??1，或?1? = ?1?，分类讨论，用勾股定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，可得??，可判断 D．
【详解】解：由翻折可得∠??? = ∠?1??，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 180°−90° = 90°，∠?1?? + ∠?1?? = 90°，
∴∠??? = ∠?1??，
∴A 正确，不符合题意；
当?1?∥??时，
??1与??的交点记作点?，延长?1?，交??于点?，则∠??? = ∠?1??，
∵?1?∥??，
∴∠?1?? + ∠? = 180°，
∵∠? = 90°，
∴∠?1?? = 180°−90° = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
由翻折可得∠??? = ∠?1??，?? = ??1，∠??? = ∠?1??，
∴∠???−∠??? = ∠?1??−∠?1??，
∴∠??? = ∠???，
在△ ???和△ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??，
∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴∠??? = ∠???，?? = ??，
∴∠??? = 90°，
∴??1 ⊥ ??，∠??? = 90° = ∠?，
∴B 正确，不符合题意；
在Rt △ ???1和Rt △ ???中，
?? = ??
??1 = ?? ，
∴Rt △ ???1≌Rt △ ???(HL)，
∴?? = ??，
在△ ???和∠???中，
∠??? = ∠?
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = ??，
设?? = ?? = ?? = ?，则?? = 8−2?，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??
??
??，
∴?? = 6 ×
8−2?
8
= 6− ?，
3
2
∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠?，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
3
，
2
?6− ?
∴6 =?
解得?1 = 3，?2 = −12（舍去），
33
∴?? = 3，?? = 6−2 × 3 = 2，
∴?? =32 +
3 23 5
，
2= 2
∴C 正确，不符合题意
当△ ?1??是等腰三角形时，若??1 = ??，
由翻折可得??1 = ??，
∴?? = ?? = 8−??，
∴??2 + 62 = (8−??)2，
7
∴?? = 4，
若?? = ??1，
作?? ⊥ ?1?于点?，则?? = ?1?，∠??? = 90° = ∠?，
∴?? = ?1? = 2??， 在△ ???和 △ ???中，
∠? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
又∵∠?1?? = ∠???，
∴ △ ?1?? ∽△ ???，
78
∴?? = ??1，
??
??
??2+36
∴2 =
??
8−??
，
??2+62
∴3??2−16?? + 36 = 0，
∵Δ = (−16)2−4 × 3 × 36 = −176 < 0，
∴方程3??2−16?? + 36 = 0在实数范围内无解，
∴?1? ≠ ?1?，
∴当△ ?1??是等腰三角形时，??的长4或3，
∴D 不正确，符合题意.
2
2
?? +36，
2
??2+62 =
2
1
1
作? ? ⊥ ??，则∠? ?? = 90° = ∠?，?? = 1?? =
8
∴?? = 3，
若?1? = ?1?，
∴?? = ??，
∴?? = 2??，
∴2?? + ?? = 8，
【变式 01】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形????中，?? = 5，tan? = 2，?是??上一点，将菱形????沿??折叠，使?、?的对应点分别是?′、?′，当∠???′ = 90∘时，则点?′到??的距离是（ ）
5
A．5 +
【答案】D
B．2
+2C．6D．3
5
5
【分析】过?作?? ⊥ ??于?，过?′作?′? ⊥ ??于?，由菱形性质和正切定义求出?? = 5，?? = 2 5，再由折叠证明∠??? = ∠?′?? = 135°，得到∠??? = ∠???′ = 45°，从而得到△ ???≌ △ ???′，则?′
? = ?? = 5，则问题可解．
【详解】解：过?作?? ⊥ ??于?，过?′作?′? ⊥ ??于?，
由已知，?? = 5，tan? = 2，
∴?? = 5，tan∠??? =
??
??
= 2，
∴设?? = ?，则?? = 2?，
∴在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
(2?)2 + ?2 = 52，
解得? = 5，
∴?? = 5，?? = 2 5，
由折叠可知，∠??? = ∠?′??，∠??? = ∠???′，?? = ?′?
∵∠???′ = 90°，
∴∠??? = ∠?′?? = 135°，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = 180°−∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠???′ = 45°
∴∠???′ = 90°
∵∠??? = ∠?′?? = 90°，
∴∠??? + ?′?? = 90°，
∵∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠?′?? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???′，
∴?′? = ?? = 5，
∴点?′到??的距离是?′? + ?? = 5 +2 5 = 3 5．故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键
是根据折叠的条件推出∠??? = ∠?′?? = 135°．
命题点 02 直角三角形中折叠问题
【典例 02】（2026·河南周口·一模）如图，在直角三角形纸片???中，∠??? = 90°，?? = 2 5，?? = 10，
?是斜边??的中点．把纸片沿直线??折叠，点?落在点?处，连接??，则??的长为（ ）
5
D．4 5
3
A．6B．8C．3
【答案】A
【分析】由勾股定理和直角三角形的性质可得?? = ?? = ?? = 1?? = 5，由折叠可知?? = ?? = 5，
2
∠??? = ∠???，所以?? = ?? = 5，即△ ???是等腰三角形，过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??
于点?，通过等面积求出?? = 4，在Rt △ ???中，cs∠??? = ?? = 3，再得出∠??? = ∠???，则
??
5
?? = 2?? = 2?? ⋅ cs∠???，再代入即可求解．
【详解】解：∵∠??? = 90°，?? = 2 5，?? = 10，
∴?? =??2−??2 = 100−20 = 4 5，
∵?是??的中点，
∴?? = ?? = ?? = ?? = 5，
1
2
由折叠可知：?? = ?? = 5，∠??? = ∠???，
∴?? = ?? = 5，即△ ???是等腰三角形，
过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，如图，
5
3
∴?? = 2?? = 2?? ⋅ cs∠??? = 2 × 5 × = 6．
= ∠???，
180°−(180°−2∠???)
2
=
180°−∠???
2
∴∠??? =
∵∠??? = 180°−∠???，
∴∠??? = 180°−∠???，
∵点?、?在直线??的同侧，
∴∠??? = ∠???−∠??? = (180°−∠???)−∠??? = 180°−2∠???，
∵?? = ??，
5
??
在Rt △ ???中，cs∠??? = ?? = 3，
在Rt △ ???中，?? =??2−??2 = 20−16 = 2，
∴?? = ??−?? = 5−2 = 3，
10
∴?? = 2 5×4 5 = 4，
1
1
∵?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2?? ⋅ ??，
【变式 01】（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，在Rt △ ???中，∠? = 90°，?? = 6，?? = 8，将△ ???沿直线??折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕??交??于点 D，交??于点 E，则??的长为（）
75
A．4B．4C．3D．4
【答案】A
【分析】根据折叠的性质得到?? = ??，设?? = ?，则?? = ?? = 8−?，在Rt △ ???中，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：由折叠知：?? = ??，
设?? = ?，则?? = ?? = 8−?，
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
∴ 62 + ?2 = (8−?)2，
解得? = 4，
7
即??的长为4．
7
【变式 02】（2026·河南周口·一模）如图，在 △ ???中，∠??? = 90°，?? = ?? = 4，点 D 在??上，点 E
在??上，将 △ ???沿直线??翻折，点 A 的对称点?′落在??上，若?? = 1，则?′?的长是（ ）．
2
2
​
​
+2D．4−2
C． 2−2
2
【答案】D
【分析】由折叠性质得?′? = ?? = 3，由勾股定理得?′? =?′?2−??2，即可求解．
【详解】解： ∵ ?? = ?? = 4，?? = 1，
∴ ?? = ??−?? = 3， 由折叠得?′? = ?? = 3，
∴ ?′? =?′?2−??2
=32−12 = 2 2，
∴ ?′? = ??−?′?
= 4−2 2．
【变式 03】（2026·河南新乡·一模）如图，在 △ ???中，?? = ?? = 3，∠? = 30°，点?在??边上且
?? ⊥ ??，将??折叠到??′，若点?′在线段??的延长线上，则??′的长为（ ）
3
3
3
A．3−B．1C．2−D．
【答案】A
【分析】根据含 30 度角的直角三角形的性质，结合折叠的性质以及线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵?? = ?? = 3，∠? = 30°，
∴∠? = 30°，
∵?? ⊥ ??，
∴?? = ??，?? = 3?? = 3，
1
2
∴?? = 3，
∵折叠，
∴??′ = ?? = 3，
∴??′ = ??′−?? = 3− 3．
命题点 03 勾股定理中折叠问题
【典例 03】（2025·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形????的边??，??分别在?、?轴上，点?的坐标为(5,4)，点?在边??上．将 △ ???沿直线??折叠，折叠后顶点?恰好落在边??上的点?处，则点
?的坐标为．
【答案】 5, 2
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股
3
定理．根据矩形的性质得出?? = ?? = 5，?? = ?? = 4，?? ∥ ?，∠??? = ∠??? = 90°，根据勾股定理
求出?? =??2−??2 =52−42 = 3，求出?? = ??−?? = 5−3 = 2，再根据勾股定理得出22 +??2 = (4−??)2，求出结果即可．
【详解】解： ∵ 四边形????是矩形，? 5，4 ，
∴ ?? = ?? = 5，?? = ?? = 4，?? ∥ ?，∠??? = ∠??? = 90°，由折叠得?? = ?? = 5，?? = ?? = 4−??，
在Rt △ ???中，?? =??2−??2 =52−42 = 3，
∴ ?? = ??−?? = 5−3 = 2，
在 Rt △ ???中， ∵ ??2 +??2 = ??2，
∴ 22 +??2 = (4−??)2，
解得?? = 2，
3
∴点?的坐标为 5， 2 ．
3
【变式 01】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，将矩形纸片????折叠，折痕为??，折叠后，点 M 与点 D
对应，点 N 与点 C 对应，??经过??的中点 P，??的延长过点 B．若
2
，则??的长为
10
?? = 3??,?? = 4
．
2
，?? = ?? = ? +
2
160−?
9
3
27
2
160−?,可得?? = ?−
2
9
3
，在Rt △ ???中由勾股定理求出? = 18,从而可求出??．
【详解】解：∵四边形????是矩形，
∴?? = ??，?? = ??,∠? = ∠? = ∠? = 90°,
设?? = ?,则?? = ?? = 2?? = 2?，?? = ?? = ?，
3
3
∵?为??的中点，
∴?? = ?? = 2?? = 2?，
1
1
由折叠得，?? = ??,?? = ?? = 2?,∠? = ∠? = 90°,∠??? = ∠? = 90°,
3
6
【答案】12
【分析】本题主要考查矩形的折叠，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，设?? = ?，得?? = 2?,
3
?? = ?? = 2?，设?? = ?,则?? = ?，?? = 2?−?,证明 △ ??? ∽△ ???，得出?? = 4?，在Rt △ ???中
1
1
3
由勾股定理求出? = 2?,得?? = 2?， ?? = 1?,在Rt △ ???中由勾股定理得?? = 5?,得?? = ?，过点Ｆ作
9
9
3
6
?? ⊥ ??于点 G，得?? = ?? = ?? = ?，求出?? = ?,求得?? =
2
1
2
2
3
3
160−?
，
设?? = ?? = ?则?? = 1?−?，
2
∵∠??? = ∠???,∠? = ∠? = 90°,
∴ △ ??? ∽△ ???,
∴?? = ??
???
=，
??
??
,即1
?
2
2 ?
3
3
∴?? = 4?,
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2,
∴ 3 ?
4
2
+ ?2 =
2
，
1 ?−?
2
解得，2 ，
? = 9?
2321
∴?? = 9?, ?? = 4 × 9? = 6?,
22
12225
在Rt △ ???中，?? =??
+ ?? =
?+?
23
= 6?,
∴?? = ?? + ?? = ?? +
2
3? = ?? + ?? =
5
6? +
1? = ?，
6
1
∴?? = 3?,
过 F 作?? ⊥ ??于点 G，如图，
则四边形????是矩形，
22
∴?? = ?? = 9?，?? = ?? = 3?,
在Rt △ ???中，?? =??2
−??2
=160−
2
2 ?
3
2
∴?? = ?? = ?? + ?? = 9? +
2
160−
，
2 ?
3
7
∴?? = ??−?? = 9?−
2
160−
2 ?,
3
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
2
∴ 1 ?+
3
2 ? +160−
9
2
2
2 ?=
3
7 ?− 160−
9
2
2
2 ?
3
解得，? = 18（负值舍去）
∴?? = 18，
∴?? = × 18 = 12，
2
3
故答案为：12．
【答案】 3 或 1
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理得到?? =
3
??2−??2 = 3，根据已知条件得到当△ ???是直角三角形时，∠??? = 90°或∠??? = 90°，①当
∠??? = 90°时，则∠??? = 90°，根据折叠的性质得到∠??? = ∠??? = 45°，于是得到?? = ?? = 1，②
当∠??? = 90°时，根据折叠的性质得到
∠??? = ∠? = 90°，∠??? = ∠???，?? = ??，推出点 E 在??上，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在Rt △ ???中，∠??? = 60°，?? = 1，
∴∠??? = 60°，
∴?? = 2?? = 2，
∴?? =??2−??2 = 3，
∵点 D 是??边上的一点，
∴∠??? ≠ 90°，
∴当△ ???是直角三角形时，∠??? = 90°或∠??? = 90°，
①当∠??? = 90°时，则∠??? = 90°，
∵将△ ???沿??折叠，使点 C 落在点 E 处，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴?? = ?? = 1，
②当∠??? = 90°时，
∵将△ ???沿??折叠，使点 C 落在点 E 处，
∴∠??? = ∠? = 90°，∠??? = ∠???，?? = ??，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
【变式 02】（2025·河南洛阳·一模）在Rt △ ???中，∠? = 90°,∠??? = 60°,?? = 1，点 D 在边??上（不与 B，C 重合），连接??，将 △ ???沿??折叠，折叠后点 C 的对应点为点 E．当△ ???是直角三角形时，??的长为．
∴点 E 在??上，如图，
∴?? = ?? = 1，?? = ??−?? = 1，∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∵??2 +??2 = ??2，
∴??2 + 12 = ( 3−??) ，
2
∴?? = 3 ，
3
综上所述，??的长为 3或 1，
3
故答案为： 3 或 1．
3
命题点 04 等腰三角形中折叠问题
【典例 04】（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在三角形纸片???中，?? = ??，点?在边??上（点?，?不重合，?? > ??），将 △ ???沿??折叠后得到 △ ???，??交??于点?．若?? = ??，则∠???与∠???的数量关系正确的是（ ）
3B．2
∠??? = 4∠???∠??? = 3∠???
C．3D．4
∠??? = 5∠???∠??? = 7∠???
【答案】B
【分析】设∠??? = ?，∠??? = ?，利用折叠对应角相等、等腰三角形底角相等，结合三角形外角与内角和定理建立方程，化简推导两角数量关系即可．
【详解】解：设∠??? = ?，∠??? = ?，
由折叠得∠??? = ∠??? = 90° + ?−?，
3
即∠??? = 2∠???．
2
3
∴? = ?，
∴?−? + 180° + ?−2? = 180°，
∴2? = 3?，
?
2
∴(?−?) + 2(90° + −?) = 180°，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
在△ ???中，∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°即∠??? + 2∠??? = 180°，
2
?
2
+ (?−?) = 90° + −?，
180°−?
2
∴∠??? = ∠? + ∠??? =
，
2
180°−?
∴∠? = ∠? =
∵将△ ???沿??折叠得到 △ ???，
∴∠??? = ∠??? = ?，
∴∠??? = ∠???−∠??? = ?−?，
∵?? = ??，
【变式 01】（2025·云南昭通·模拟预测）如图，在 △ ???中，∠??? = 60°，∠? = 80°，将△ ???沿??折叠，使点?落在??边上的点?处，若?? = 4，则??的长为（ ）
3
3
A．4
B．2
C．4D．3
【答案】C
【分析】根据折叠的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的判定即可得到结论．
【详解】解：∵∠??? = 60°，∠? = 80°，
∴∠? = 180°−80°−60° = 40°，
∵将△ ???沿??折叠，使点?落在??边上的点?处，
∴∠??? = ∠? = 80°，?? = ?? = 4，
∵∠??? = ∠???−∠? = 80°−40° = 40°，
∴∠? = ∠???，
∴?? = ?? = 4．
【变式 02】（2026·江苏连云港·一模）如图，长方形纸片????，将纸片沿??折叠，使点?落在边??上点?
处，再将右侧余下部分折叠，使??与??能在直线重合，折痕为??．若?′?:??:?? = 1∶2∶3
??
，则??的值为
．
【答案】7 3
3
【分析】连接??，依据折叠性质可得：?? = ??，?? = ?′?，?? = ?′?，∠? = ∠?′ = 90°，?? = ??，
∠??? = ∠???，再利用矩形性质，可证明四边形????是菱形，由??:?? = 1∶2，运用三角函数定义可求得
∠??? = 30°，进而可证△ ???是等边三角形，且△ ???≌ △ ???，由??:?? = 1∶3，求得??:?? = 1∶7，再由?? = 3??，可求得答案．
【详解】解：连接??，如图：
由折叠，得：?? = ??，?? = ?′?，?? = ?′?，∠? = ∠?′ = 90°，?? = ??，∠??? = ∠???，
∵ ????是矩形，
∴ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∵ ?? = ??，
∴ 四边形????是菱形，
∴ ?? = ??，
∵ ??:??:?? = 1∶2∶3，
∴ ??:?? = 1∶2，
1
∴ sin∠??? = 2，
∴ ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = 60° = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴△ ???是等边三角形，
∴ ?? = ??，
∵ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠??? = 60°，
由折叠知：∠??? = ∠??? = 60°，
∴△ ???是等边三角形，且△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ?? = ?? = ??，
∵ ??:?? = 1∶2，
∴ ??:?? = 1∶4，
∵ ??:?? = 1∶3，
∴ ??:?? = 1∶7，
??
在Rt △ ???中，?? = tan∠??? = tan60° = 3，
∴ ?? = 3??，
??
∴ ?? =
??
=
3??
77 3
．
3
=
3
【点睛】本题以矩形两次折叠为背景，融合折叠性质、菱形与等边三角形判定、解直角三角形，通过线段比例推导边长关系，考查几何逻辑推理与转化化归的核心数学思想．
中考预测题
如图所示，由Rt △ ???经过两次折叠得到的，首先将Rt △ ???沿??折叠，使点 A 落在斜边上的点?′处，再沿??折叠，使点 B 落在??′的延长线上的点?′处．若图中∠? = 90°，?? = 3cm，?? = 4cm，则??′的长
为 ．
??5
∴??′ = ??⋅?? = 12(cm)．
2
2
∵?△??? = 1?? ⋅ ??′ = 1?? ⋅ ??，
∵?? = 3cm，?? = 4cm，
∴?? =??2 + ??2 = 5(cm)，
2
∴∠??? = ∠?′?? + ∠?′?? = 1(∠???′ + ∠???′) = 90°，
2
∴∠???′ +∠???′ = 180°，∠?′?? = ∠??? = 1∠???′，
∴??′ ⊥ ??，
∵再沿??折叠，使点 B 落在??′的延长线上的点?′处，
2
∴∠??′? = ∠? = 90°，∠?′?? = ∠??? = 1∠???′，
12
【答案】 5 cm
【分析】根据折叠的性质可得出∠??? = 90°，再利用勾股定理求出?? = 5cm，最后根据等面积法求解．
【详解】解：∵将Rt △ ???沿??折叠，使点 A 落在斜边上的点?′处，∠? = 90°，
如图，在 △ ???中，?? = 5，?? = 4，∠? = 30°．若将 △ ???沿??折叠，点 A 与边??的点 D 恰好重合，点 H，G 分别在??，??上．将 △ ???沿??折叠，点 B 与点 D 恰好重合．将 △ ???沿??折叠，点 C 与点 D恰好重合，则??的长为．
【答案】2− 3
【分析】本题主要考查含 30 度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质，熟练掌握含 30
5
度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质是解题的关键；连接??，由折叠的性质可知：
?? ⊥ ??，?? = ?? = ??，?? = ?? = ??，?? = ??,?? = ??，然后可得?? ∥ ??，则有?? ⊥ ??，进而可
得?? = 1?? = 2，则有?? = ??−?? = 5−2 3，最后问题可求解．
2
【详解】解：连接??，如图所示：
由折叠的性质可知：?? ⊥ ??，?? = ?? = ??，?? = ?? = ??，?? = ??,?? = ??，
∴点 E、F 分别为??,??的中点，
∴?? ∥ ??，
∴?? ⊥ ??，
∵?? = 4，∠? = 30°，
∴?? = ?? = 2，
1
2
∴?? =??2−??2 = 2 3，
∴?? = ??−?? = 5−2 3，
∴?? = ?? = − 3；
1
5
22
故答案为2− 3．
5
3．如图，三角形纸片???中，∠??? = 90°，∠? = 60°，?? = 12．沿过点 A 的直线将纸片折叠，使点 B 落在边??上的点 D 处；E、F 分别为??、??上一点（不含端点），?? ⊥ ??，沿??折叠纸片，使三角形???折叠后能盖住 D 点，则??长的取值范围是．
【答案】4 ≤ ?? < 12
【分析】此题考查了折叠的性质，含 30 度角直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，当折叠后，点 C 和点 D 重合时，连接??，由折叠得到?? = ??，∠? = ∠??? = 60°，
∠? = ∠??? = 30°，?? = ??，然后得到∠??? = ???−∠? = 30°，得到?? = 2?? = 2??，然后结合?? = 12
求解即可．
【详解】解：如图所示，当折叠后，点 C 和点 D 重合时，连接??，
∵三角形纸片???中，∠??? = 90°，∠? = 60°，
∴∠? = 30°
由折叠得，?? = ??，∠? = ∠??? = 60°，∠? = ∠??? = 30°，?? = ??
∴∠??? = 180°−∠???−∠??? = 90°
∴∠??? = ???−∠? = 30°
∴?? = 2?? = 2??
∵?? = ?? + ?? = 12
∴?? = 4
∵E 为??上一点（不含端点）
∴使三角形???折叠后能盖住 D 点，则??长的取值范围是4 ≤ ?? < 12．故答案为：4 ≤ ?? < 12．
考点二 四边形中折叠问题
《解题指南》一、核心原理
折叠本质轴对称、全等：对应边相等、对应角相等、重叠部分相等
折痕：垂直平分对应点连线，折痕为对称轴
依托四边形固有性质：
矩形(四角 90 ˚ 、对边相等)、正方形(四边相等+90 ˚ )、菱形(四边相等、对角线垂直)、平行四边形(对边 平行且相等)
二、分题型解题方法
矩形折叠(考查最多)
常见考法：①顶点折叠到对边上；②顶点折叠到对角线上；③沿对角线折叠；④折叠后落点在延长线上解题步骤
利用矩形直角+平行，倒角得等角、等腰三角形
设未知线段为 x，折叠转化等长线段
锁定直角三角形，勾股定理列方程求解
关键结论：矩形沿对角线折叠→出现等腰三角形，内错角相等
2.正方形折叠（难度偏高）
常见考法：①单点折叠、双折叠；②折叠结合 45°角、半角模型；③折叠+一线三等角相似；④求阴影面积、周长、线段比值
解题步骤
正方形四边相等、直角多，折叠后大量等角等边
遇直角互补，构造一线三等角证相似
勾股+相似比例双重结合计算
关键结论：正方形折叠常伴随：全等三角形、45° 特殊角、垂直关系
3.菱形折叠
常见考法：①利用四边相等、对角相等折叠求角度；②折叠结合对角线垂直平分性质；③动点折叠、范围计算
解题步骤
紧抓菱形：四边相等、对边平行、对角线互相垂直
折叠等角+平行线倒角，快速求角度
边长类问题依旧设元，勾股求解
命题点 01 平行四边形中折叠问题
【典例 05】（2026·河南洛阳·一模）如图，▱????中，∠? = 45°，将▱????沿对角线??折叠，点 D 恰好落在??延长线上的点?′处，??′交??于点 E，若??′ = 2，则??的长为（ ）
2
B．
3
C．2
D． 2
【答案】D
【分析】连接??′，先根据轴对称的性质得出?? ⊥ ??′，?? = 1，然后结合平行四边形的性质，求得
?? = 1，进而求出?? = 2，再证明四边形???′?是平行四边形，即可求得答案．
【详解】解：连接??′，
∵ ▱????沿对角线??折叠，点 D 恰好落在??延长线上的点?′处，
∴ ?? ⊥ ??′，?? = ??′ = 1??′ = 1，∠? = ∠? = 45°，
2
∴ ∠??? = ∠? = 45°，
∴ ?? = ?? = 1，
∴ ?? =??2 + ??2 =12 + 12 = 2，
∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? ∥ ??，?? = ??，?? = ?? = 2，
∴ ?? = ??′，
∴ 四边形???′?是平行四边形，
∴ ?? = ?? = 2?? = 2 ．
1
2
【变式 01】（2026·河南周口·一模）如图，在▱????中，将 △ ???沿对角线??折叠后，点?恰好落在??的延长线上的点?处．若?? = 2，?? = 4，则??的长是（）
2
​
B．3C．2
D．2
3
5
2
【答案】C
【分析】利用折叠和平行四边形的性质可得?? = ?? = ?? = 2，∠??? = ∠??? = 90°，??∥??，即可得
?? =??2−??2 = 2 3，四边形????是矩形，再根据矩形的性质解答即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可知， △ ???≌ △ ???，
∴ ∠??? = ∠???，?? = ??，
∵点?在??的延长线上，即?、?、?三点共线，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∵四边形????是平行四边形，
∴ ??∥??，?? = ?? = 2，?? = ?? = 4，
∴?? = ??，
∵∠??? = 90°，?? = 4,?? = 2，
∴?? =??2−??2 =42−22 = 2 3，
∵?? = ??，??∥??，
∴四边形????是平行四边形，又∵∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 2 3．
【变式 02】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知平行四边形????中，∠? = 45°，?? = 3，?? = 2，点 E 在
??边上， △ ???沿??折叠得△ ??′?，下列结论正确的是（ ）
当?? ⊥ ??时，??′ = 2
当?′落在??边上时，tan∠??′? = 1
2
2
当?′落在??边上时， △ ??′?的面积为
2
?′?的最小值为 5−
【答案】D
【分析】先根据平行四边形的性质求出??，??，∠?的度数，利用折叠的性质得到??′ = ?? = 2，∠??′
? = ∠? = 45°；
对于 A：计算??，??的长，确定?′的位置求解；对于 B：直接利用折叠性质判断角度；
对于 C：确定?′的运动轨迹，推导出△ ???的形状求面积；
对于 D：确定?′的轨迹是以 B 为圆心的圆，转化为求点 D 到圆上一点的最小距离问题，即??−??′．
【详解】解：A 项：如图，当?? ⊥ ??时，??为 B 到??的距离，
在平行四边形????中，∠? = ∠? = 45°，?? = ?? = 2，?? = ?? = 3，
∴∠??? = ∠? = 45°，即△ ???是等腰直角三角形，
∴?? = ?? = 2?? = 1，即平行四边形????中，以??为底边的高为 1，
2
∵ △ ???沿??折叠得△ ??′?，
∴ △ ???≌ △ ??′?(SSS)，
∴?? = ?′? = 1，∠?′?? = ∠??? = 90°，即点?′落在??边上，
∴??′ = ??−??′ = 3−2 = 1 ≠ 2，A 项错误；
B 项：由 A 项可知，当?′落在??边上时，∠??′? = 45°，
2
∴tan∠??′? = 1 ≠ 1，B 项错误；
C 项：∵ △ ???沿??折叠得△ ??′?，点 E 在??上运动，
∴点?′的运动轨迹是以点 B 为圆心，??为半径的圆上运动，
如图，作以点 B 为圆心，??为半径的圆， ⊙ ?与??交点?′，连接??′，过点 E 作?? ⊥ ??，
∵∠? = ∠??′? = 45°，
∴四边形?′???是平行四边形，
∵?? = ??′ = 2，
由 A 项可知，平行四边形????中，以??为底边的高为 1，
∴?? = ??−?? = 3−1 = 2，
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 = 5，
∴??′ = ??−??′ = 5− 2，即??′的最小值为 5− 2，D 项正确．
2
∴?? = ?? = 2?? = 1，
过点 D 作?? ⊥ ??，
∵∠? = 45°，
D 项：∵点?′的运动轨迹是以点 B 为圆心，??为半径的圆上运动，
如图，当 D，?′，B 三点共线时，?′?有最小值，
2，C 项错误；
2 ≠
2
2
2
11
= ??′ ⋅ ?? = × 2 × 1 =
△??′?
∴?
∴?? = 1，
【变式 03】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在▱????中，?? = 10，?? = 6，∠??? = 60°，将线段??沿??方向向右平移，得到??（点 D 的对应点为 E，点 C 的对应点为 F），连接??，??，??，再将△ ???沿??折叠，使点 B 落在平面内的点 G 处．当?? ⊥ ??时，线段??的长度为（ ）
3
A．3B．4C．5D．3
【答案】D
【分析】先说明四边形????为平行四边形，再由翻折可得∠??? = ∠??? = 90°，进而得到∠??? = 90°，再解直角三角形即可．
【详解】在▱????中，?? ∥ ??，?? = ??，
∴ ?? ∥ ??,?? = ??，
∴ 四边形????为平行四边形，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
又△ ???沿??折叠，点 B 落在平面内的点 G 处，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ 四边形????为矩形，
∴ ∠??? = 90°，又∠??? = 60°，
∴ ∠? = 60°,∠??? = 30°，
∵ ?? = 6，
1
∴ ?? = ?? = 3,?? =??2−??2 = 3 3．
2
【变式 04】（2026·河北沧州·模拟预测）如图，平行四边形纸片????，?? = 16cm，?? = 10cm，面积为 128cm2，将其沿对角线??折叠，使点?落在点?处，??与边??交于点?，则??的长为（ ）
3739
5cmB．11cmC．4cmD．11cm
【答案】D
【分析】作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，垂足分别为?，?，则∠??? = 90°，证明四边形????是矩形，则
?? = ??，由题意得?? × ?? = 128cm2，求得?? = ?? = 8cm，在Rt △ ???中，通过勾股定理得?? = 6 cm，由折叠性质知∠??? = ∠???，所以∠??? = ∠???，则?? = ??，设?? = ?? = ?cm，则
?? = ?? = (16−?)cm，?? = ?? + ?? = (6 + ?)cm，再通过得??2 +??2 = ??2，即(6 + ?)2 + 82 =
(16−?)2，求出?的值即可．
【详解】解：作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，垂足分别为?，?，则∠??? = 90°，
∴?? ∥ ??，
∵四边形????是平行四边形，
∴?? = ?? = 10cm，??∥??，
∴?? ∥ ??，?? = ??，
∴四边形????是平行四边形，
∵∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ??，
由题意得?? × ?? = 128cm2，
∴?? = ?? = 8cm，
在Rt △ ???中，?? =??2−??2 =102−82 = 6(cm)，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
由折叠性质知∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
设?? = ?? = ?cm，则?? = ?? = (16−?)cm，?? = ?? + ?? = (6 + ?)cm，在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，即(6 + ?)2 + 82 = (16−?)2，
解得? = 11，
39
∴??的长为11cm．
39
【变式 05】（2026·甘肃武威·一模）如图，在▱????中，将 △ ???沿??折叠后，点?恰好落在??的延长线上的点?处，若∠? = 60°,?? = 3，则??的长度为．
【答案】6
【分析】先由平行四边形性质得?? = ?? = 3、?? = ??，再由折叠得?? = ??、∠??? = ∠???；结合
?、?、?共线得∠??? = 90°， △ ???为直角三角形；在Rt △ ???中，由∠? = 60°得∠??? = 30°，故
?? = 2?? = 6，最后由平行四边形对边相等得?? = 6．
【详解】解：∵在平行四边形▱????中，对边相等，
∴?? = ?? = 3,?? = ??
∵ △ ???沿??折叠得到 △ ???，
∴?? = ??,∠??? = ∠???；
∵点?在??的延长线上，?、?、?共线，∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，即△ ???是直角三角形，在Rt △ ???中，∠? = 60°，
∴∠??? = 30°，
根据30°角所对直角边是斜边的一半，
∴斜边?? = 2?? = 6
∵?? = ??，
∴?? = 6．
命题点 02 矩形中折叠问题
【典例 06】（2026·安徽阜阳·一模）如图，将矩形纸片????沿边??折叠，使点?在边??的中点?处．若
?? = 4,?? = 6，则tan∠???的值为（ ）
3332
A．10B．7C．4D．5
【答案】C
【分析】本题以矩形折叠为背景，先利用矩形性质与中点条件得出边长?? = 4、?? = 3，再根据折叠性质得到点?、?关于折痕??对称，进而推出?? ⊥ ?? 且∠??? = ∠???，通过同角的余角相等，证得
∠??? = ∠???，因此∠??? = ∠???，最后在Rt △ ???中计算tan∠??? == 从而得到tan∠??? = ．
??
3
3
??44
【详解】解：连接DM，
∵矩形ABCD，
∴AB = CD = 4,BC = AD = 6，
∵M是BC中点，
∴CM = 1BC = 1 × 6 = 3，
2
2
∵∠C = 90°,AD ∥ BC，
又∵ 折叠后点D落在M处，
∴D、M关于折痕EF对称，
可得：EF ⊥ DM,∠DEF = ∠MEF
∴∠DEF + ∠EDM = 90°，
∵∠CDM + ∠EDM = 90°，
∴∠DEF = ∠CDM，
∵矩形纸片ABCD沿边EF折叠，
∴∠DEF = ∠MEF，
∴∠MEF = ∠CDM，
在Rt △ ???中，tan∠??? = ?? = 3，
??
4
∴tan∠??? = tan∠??? = 4．
3
【变式 01】（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片????沿边??折叠，使点 A 落在边??的中点 M
处．若?? = 3，?? = 2，则??的长为（ ）
3252535
B．12C．13D．16
【答案】B
【分析】过点?作?? ⊥ ??于点?，则∠??? = ∠??? = 90°，根据矩形的判定和性质、折叠的性质、中点的
定义得到?? = ??,?? = ?? = 2, ?? = ?? = 1?? = 3，设?? = ?? = ?，在Rt △ ???中，进一步利用勾
2
2
股定理进行解答即可．
【详解】解：如图，过点?作?? ⊥ ??于点?，则∠??? = ∠??? = 90°，
∵四边形????是矩形，
∴∠? = ∠? = ∠? = 90°,?? = ?? = 3,?? = ?? = 2，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ??,?? = ?? = 2,
∵将矩形纸片????沿边??折叠，使点 A 落在边??的中点 M 处．
∴?? = ?? = 2?? = 2，
设?? = ?? = ?，则?? = ?? = 3−?，
1
3
∴?? = ??−?? = −(3−?) = ?− ，
3
3
22
在Rt △ ???中，??2 = ??2 +??2，即?2 = ?− 3+ 22，
2
2
解得? = 25
12
即??的长为12．
25
【变式 02】（2026·安徽池州·一模）如图，在矩形????中，?? = 3，点 E 是??上一点，将△ ???沿??
折叠，点 B 的对应点?′恰好落在对角线??上，且?′为??中点，连接??交??于点 P，则??的长为（ ）
5
A． 29
6
B．5
2 7
3C． 5
8
D．5 3
【答案】B
【分析】由矩形的性质可得∠? = 90°，??∥??，?? = ??，由折叠的性质得∠??′? = ∠? = 90°，??′ = ?? = 3，即可得??′是??的垂直平分线，?? = 2??′ = 2 3，进而得到?? = ??，?? = ?? = 3，设?? = ?，则
?? = ?? = 3−?，利用勾股定理可得? = 1，?? = 2，再证明△ ??? ∽△ ???，利用相似三角形的性质列出
比例式求解即可．
5
解得?? = 6 3．
= 2，
2 3−??
3
??
即
??
??
∴?? = ??，
解得? = 1，
∴?? = 3−1 = 2，
∵??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
+ ?2 = (3−?)2，
∴( 3)
设?? = ?，则?? = ?? = 3−?，
在Rt △ ???中，由勾股定理得??2 +??2 = ??2，
2
= 3，
2
2
(2 3) −( 3)
∴?? = ??，?? = ?? =??2−??2 =
【详解】解：∵四边形????是矩形，
∴∠? = 90°，??∥??，?? = ??，
由折叠得，∠??′? = ∠? = 90°，??′ = ?? = 3，
∴??′ ⊥ ??，
∵?′为??中点，
∴??′是??的垂直平分线，?? = 2??′ = 2 3，
命题点 03 菱形中折叠问题
【典例 07】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，在菱形????中，∠??? = 60°，?? = 4 + 4 3，P 为线段??上一动点，以??为折痕将四边形????折叠得到四边形?′???′，?′?′与??交于点 Q，当 △ ???′为直角三角形时，折痕??的长为．
【答案】4 6
【分析】由折叠可知，∠???′ = ∠???，∠? = ∠?′，由菱形的性质可推出∠?′ = 60°，∠??? = 120°；当
∠???′ = 90°时，过点?作?? ⊥ ??于点?，可得∠??? = 45°，则?? = ??，再由?? = ?? + ?? = 3
3
?? + ?? = 4 + 4 3，求出??，即可求??；当∠???′ = 90°时，连接??，过点?作?? ⊥ ??交于点?，可得
∠??? = 45°，则?? = ??，再由?? = ?? + ?? = 3?? + ?? = 4 + 4 3，求出?? = 4 3，即可求??．
3
【详解】解：由折叠可知，∠???′ = ∠???，∠? = ∠?′，
∵四边形????是菱形，且∠??? = 60°，
∴∠? = ∠??? = 60°，?? = ?? = ??，?? ∥ ??，
∴ ∠?′ = 60°，∠??? = 180°−∠??? = 120°；
如图 1，当∠???′ = 90°时，过点?作?? ⊥ ??于点?，
∴ ∠???′ = 90°−∠?′ = 30°，
∴ ∠???′ = ∠???′ +∠??? = 120° + 30° = 150°，
∴∠??? = ∠???′1?′ = 75°，
= 2∠??
∴ ∠??? = ∠???′−∠???′ = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴ ?? = ??，
在Rt △ ???中，∠? = 60°，则∠??? = 90°−60° = 30°，
∴?? = 2??，
∴ ?? =??2−??2 = 3??，
∴?? = 3??，
∵?? = ?? + ?? = 4 + 4 3，
∴?? + 3?? = 4 + 4 3，
∴?? = 4，
∴?? = ?? = 4 3，
∴ ?? =??2 + ??2 = 4 6；
如图 2，当∠???′ = 90°时，连接??，过点?作?? ⊥ ??交于点?，
∵ ?? = ??，∠??? = 60°，
∴△ ???是等边三角形，
∴ ?? = ?? = 4 + 4 3，∠??? = ∠??? = 60°，
∵ ∠??? = 120°，
∴ ∠??? + ∠???′ = 120° + 90° = 210°，∠??? = 120°−60° = 60°，
∴∠??? = ∠???′ = 105°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴ ?? = ??，
在Rt △ ???中，∠??? = 60°，则∠??? = 30°，
∴?? = 2??，
∴?? =??2−??2 = 3??，
∴?? = 3??，
∴ ?? = ?? + ?? = ?? + 3?? = 4 + 4 3，
∴ ?? = 4，
∴?? = 4 3，
∴ ?? =??2 + ??2 = 4 6；综上所述：??的长为4 6，
【变式 01】（2026·辽宁本溪·一模）如图，在菱形????中，∠? = 30°，?? = 6，点 E 在边??上，连接
??
3
??，将△ ???沿??折叠，若点 A 落在??延长线上的点 F 处，??交??于点 G，则??的值为（ ）
B． 3−1
2
A．3
6−3
D．6 3−6
3−1．
??6
∴?? = 6 3−6 =
代入?? = 6 3−6，?? = 6，
??，
??
??
??
∴=
∴?? = 2?? = 6 3，?? = ??−?? = 6 3−6．
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽ △ ???，
1
2
∴?? = ?? = 3，?? = ?? ⋅ cs30° = 3 3，
【答案】B
【分析】先根据菱形的性质得出一些线段??、??、??、??的长，再根据折叠的性质求出??的长度，根据
?? ∥ ??，进而得到 △ ???与△ ???相似，再根据相似三角形的对应边成比例从而得到所求的比值．
【详解】∵菱形????，
∴?? = ?? = ?? = ?? = 6，?? ∥ ??．
由折叠性质得：?? = ?? = 6，?? = ??，?? ⊥ ??．在Rt △ ???中，∠? = 30°，?? = 6，
【变式 02】（2026·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形????的边??在?轴正半轴上，?
为??边上一点，连接??．将菱形????沿??折叠，点?落在点?处，?? ⊥ ??于点?．若点?的坐标为(5,4)，则点?的坐标为（ ）
A．
15 20
,
77
B．
20 15
,
77
C．
20 25
,
77
D．
15 25
,
77
【答案】A
【分析】由点?的坐标得?? = ?? = ?? = 5，求出点?(3,4)，运用待定系数法求出直线的解析式为? = 4?，
3
求得?(5,5)，设? ?, 3 ? ，则?? = 3? = ??，由两点间距离公式得(5−?) + 5− 3 ?
4
2
5
2
4
2
=
5
?，解得? =
3
15
7 ，进而可得点 D 的坐标．
【详解】解：∵四边形????为菱形，边??在?轴正半轴上，
∴?? ∥ ?轴，
∵?? ⊥ ??于点?，且点?的坐标为(5,4)，
∴?? ⊥ ?轴，
∴?? = 5，?? = 4，
∴?? = ?? = ?? = 5，
过点?作?? ⊥ ?轴于点?，则?? = ?? = 4，
∴?? =??2−??2 = 3，
∴?(3,4)，
设直线??的解析式为? = ??，把?(3,4)代入得3? = 4，
4
∴? = 3，
∴直线??的解析式为? =
4?，
3
由折叠可得?? = ?? = 5，?? = ??，
∴?(5,5)，
2
4
设? ?, 3 ? ，则?? =? −
4 ?
3
25
= 3?
∴?? =
5?，
3
∴(5−?)2
42
+ 5− 3 ?=
2
，
5 ?
3
15
解得? = 7 ，
441520
3
∴ ? = 3 × 7 = 7 ，
∴? 15 , 20 ．
77
【变式 03】（2026·山西朔州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形????的顶点?在?轴上，顶点?，?
在第一象限，点?为??上一点，将 △ ???沿直线??折叠得到 △ ???，点?的对应点?落在??的延长线上．若
2
2
点?的坐标为(3,3)，则点?的坐标为（ ）
A．3,3−3B．3 2,−3C．3,3 2−3D．3,−3
【答案】A
【分析】根据点?的坐标为(3,3)，得出?? =32 + 32 = 3 2，tan∠??? = 3 = 1，求出∠??? = 45°，根据
3
菱形的性质得出?? = ?? = 3 2，∠? = ∠??? = 45°，?? ∥ ??，根据折叠得出∠? = ∠? = 45°，
∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，?? = ?? = 3 2，证明?? ⊥ ?轴，得出?? = ?? = 3，求出
?? = ??−?? = 3 2−3，即可得出答案．
【详解】解：∵点?的坐标为(3,3)，
∴?? =32 + 32 = 3 2，tan∠??? = 3 = 1，
3
∴∠??? = 45°，
∵四边形????为菱形，
∴?? = ?? = 3 2，∠? = ∠??? = 45°，?? ∥ ??，
∴∠??? = 180°−∠??? = 135°，
根据折叠可得：∠? = ∠? = 45°，∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，?? = ?? = 3 2，
∵点?的对应点?落在??的延长线上，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°−45° = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = 135°−45°−45° = 45°，
∴∠??? = 180°−45°−45° = 90°，
∴?? ⊥ ?轴，
∵?(3,3)，
∴?? = ?? = 3，
∴?? = ??−?? = 3 2−3，
∴点 E 的坐标为 3,3−3 2 ．
【变式 04】（2026·山西晋城·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形????的边??在 x 轴正半轴上，D 为
??边上一点，连接??．将菱形????沿??折叠，点 O 落在点 E 处，?? ⊥ ??于点 F．若点 F 的坐标为
(10,8)，则点 D 的坐标为（ ）
A．
30 40
,
77
B．
30
,5
7
C．
40 30
,
77
D．
15 40
,
77
7
【详解】解：∵四边形????是菱形，边??在 x 轴正半轴上，
∴?? ∥ ?轴，
∵?? ⊥ ??于点?，且点 F 的坐标为(10,8)，
∴?? ⊥ ?轴，
∴?? = 10，?? = 8，
∴?? = ?? = ?? = 10，
过点?作?? ⊥ ?轴于点?，则?? = ?? = 8，
30
，解得? =,进而可得点 D 的坐标．
?
2
5
3
3
3
3
3
2
44
? = ?，求得?(10,10)，设? ?, ? ，则?? = 5? = ??，由两点间距离公式得(10−?)2 + 10− 4 ?=
【答案】A
【分析】由点 F 的坐标得?? = ?? = ?? = 10，求出点?(6,8)，运用待定系数法求出直线??的解析式为
∴(10−?)2 + 10− 4 ?=
．
2
3
5 ?
2
3
，
解得：? = 30,
7
∴4 = 4 × 30 = 40,
3377
?
∴?
30 40
,
77
4
∴?? =??2−??2 =102−82 = 6，
∴?(6,8)，
设直线??的解析式为? = ??，把?(6,8)代入得6? = 8，
∴? = ,
4
3
∴直线??的解析式为? = ?，
4
3
由折叠得?? = ?? = 10，?? = ??，
∴?(10,10)，
设?
?, 4 ?
5
3
2
5
3
，则?? =
? +?= ?，
33
2
∴?? = ?，
命题点 04 正方形中折叠问题
【典例 08】（2026·河南周口·二模）如图，正方形????中，?是??边上一点且?? = 1，?是??的中点，将
△ ???沿??翻折得到△ ???，延长??交??边于点?，作∠???的平分线??，交??的延长线于点?，若?、
?、?三点共线，则该正方形的边长为（ ）
2
C．2 2
3
2
A．2B．3D．2
【答案】D
【分析】设正方形的边长为?，过点?作?? ⊥ ??交??的延长线于点?，得矩形????，矩形????，证明
△ ???≌ △ ???(AAS)，得?? = ?? = ?，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解： ∵ 四边形????是正方形，设正方形的边长为?
∴ ?? = ?? = ?，∠? = ∠? = ∠? = ∠? = 90°，
如图，过点?作?? ⊥ ??交??的延长线于点?，连接??，
则四边形????，????是矩形，
∴ ?? = ?? = ?? = ?，∠??? = 90°，
由折叠可知：∠??? = ∠???，∠??? = ∠? = 90°，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)
∴ ?? = ?? = ?，
∵ ?是??边的中点，
∴ ?? = ?? = ?，
1
2
由折叠可知：?? = ??，?? = ?? = 1?，
2
∴ ? = 2 2或? = 0（舍去）．
∴该正方形的边长为2 2．
2
∴ ( 2?−1) = 12 + ?2，
∴ ?? = ??−?? = 2?−1，
在Rt △ ???中，根据勾股定理得：??2 = ??2 +??2，
= 2?，
1
2
?−?
2
2
3
2
2
2
∴ ?? =?? −?? =
3
22
1
∴ ?? = ?? + ?? = ? + ? = ?，
【变式 01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形????中，?? = 9,?是??的中点．将△ ???沿??
对折至△ ???，延长??交??于点?，则??的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △ ???≌Rt △ ???；在直角 △ ???中，根据勾股定理即可求出??的长．
【详解】解：如图，连接??，
∵ ?? = ?? = ??，∠? = ∠??? = 90°，
∴ Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴ ?? = ??，
设?? = ?? = ?，则?? = 9−?．
∵ ?为??中点，?? = 9，
∴ ?? = 2，
9
在Rt △ ???中，根据勾股定理，得：(9−?) +=
2
9 2
2
? +
9 2
2
，
解得? = 3．
则?? = 3．故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的翻折问题，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形
的判定与性质，勾股定理．
【答案】2
3
【分析】首先求出?? = ?? = 1?? = 2，推出tan∠??? = tan∠??? = 1，设?? = ?，则?? = 2?，
2
2
?? = ??−?? = 4−?，表示出?? = ??−?? = 4−2?，如图，连接??，证明出Rt △ ???≌Rt???(HL)，得到?? = ?? = 4−2?，表示出?? = ??−?? = 8−2?−2? = 8−4?，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：∵正方形纸片????的边长为 4，
∴?? = ?? = ?? = ?? = 4，∠? = ∠? = ∠? = 90°
∵点?是边??的中点
∴?? = ?? = 2?? = 2
1
∴tan∠??? = ?? = 4 = 2
∵?? ∥ ??
??21
∴∠??? = ∠???
由折叠得，∠??? = ∠??? = 1∠???， ∠??? = ∠??? = 1∠???
2
2
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠???
【变式 02】（2026·山东济南·一模）如图，正方形纸片????的边长为 4，点?是边??的中点，连接??，先将纸片沿直线??折叠，使点?落在四边形????内的点?处，延长??交??于点?，再将纸片沿过点?的直线折叠，使点?落在??上的点?处，折痕??交??于点?，则?? = ．
1
∴tan∠??? = tan∠??? = 2
∴设?? = ?，则?? = 2?，?? = ??−?? = 4−?，
由折叠得，?? = ?? = 2，?? = ?? = 4，?? = ?? = 2?，?? = ?? = ?
∴?? = ??−?? = 4−2?
如图，连接??
由折叠得，∠??? = ∠? = 90°
∴ ∠??? = ∠? = 90°
∵?? = ?? = 2，?? = ??
∴Rt △ ???≌Rt???(HL)
∴?? = ?? = 4−2?
∴?? = ?? + ?? = 4−2? + 4 = 8−2?
∴?? = ??−?? = 8−2?−2? = 8−4?
由折叠得，∠??? = ∠? = 90°
∴在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2
∴?2 + (8−4?)2 = (4−?)2
解得? = 2或? = 3
2
当? = 2时，?? = 4−? = 2 = ??，不符合题意，舍去；
3
∴? = 2
3
∴?? = 2．
【变式 03】（2026·河南周口·模拟预测）如图，已知点?在正方形????的??边上，?? = 3，将△ ???沿??
折叠后，点?的对应点为点?′．若??′与??的交点恰好是??的三等分点，则??的长为．
2
【答案】3 5−3或3 5−6
【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得??的长，由折叠的性质得??′ = ?? = 3，?′? = ??，设?′
? = ?? = ?，设??′与??交于点 G，然后分两种情况：当
1
?? = 3?? = 2
时，当
2
?? = 3?? = 2 2
时，结合
相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵在正方形????中，?? = 3，
∴?? ⊥ ??,?? = ?? = ?? = ?? = 3,∠??? = 45°，?? ∥ ??，
∴?? =??2 + ??2 = 3 2，
由折叠的性质得：??′ = ?? = 3，?′? = ??，设?′? = ?? = ?，
设??′与??交于点 G，
当?? =
1?? = 2时，延长?
3
?′
与??的延长线交于点 F，过点 G 作?? ⊥ ??于点 H，则△ ???为等腰直角
??1
三角形，?? = 2，
∴?? = ?? = 1，
∴?? = 2，
∴?? =??2 + ??2 = 5，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ??
3 = 5 = 1，
??????，即????2
∴?? = 6,?? = 2 5，
∴?? = 6−?,?′? = 3 5−3，
在Rt △ ?′??中，?′?2 + ?′?2 = ??2，
∴?2 +
2
3 5−3= (6−?)2，
解得：? = 3 5−3，
2
此时?? = 3 5−3；
2
当?? = 2
3
?? = 2 2时，延长??′与??交于点 P，过点 G 作?? ⊥ ??于点 Q，则 △ ???为等腰直角三角形，
??
??
= 2，
同理?? = 3 5−6；
综上所述，??的长为3 5−3或3 5−6．
2
中考预测题
1．如图，将长方形纸片????按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形????沿??折叠得到四边形
????，??交??于点 M，第二次将四边形????沿??折叠形成四边形???′?′，若1?′，则∠???
∠??? = 6∠??
的度数为．
【答案】20°/20 度
【分析】本题考查了折叠的性质，折叠是一种对称变换，属于轴对称，解决本题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
设∠??? = ?，则∠???′ = 6?，所以∠???′ = 7?，再根据折叠的性质得到∠??? = ∠???′ = 7?，则
∠??? = 8?，接着利用折叠的性质得到∠??? = ∠??? = 8?，然后根据平角的定义得到? + 8? = 180°，由此
解方程可得到∠???的度数．
【详解】解：∵∠??? = 1∠???′，
6
设∠??? = ?，
∴∠???′ = 6?，
∴∠???′ = 7?，
∵四边形????沿??折叠形成四边形???′?′，
∴∠??? = ∠???′ = 7?，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 8?，
∵四边形????沿??折叠得到四边形????，
∴∠??? = ∠??? = 8?，
∵∠??? + ∠??? = 180°，
∴8? + ? = 180°，解得? = 20°，即∠???的度数为20°．
故答案为：20°．
2．如图，四边形????是一段矩形纸条，?? = 3，点 E 为??的中点．第一步，在??边上找一点 F，将纸条沿??折叠，得到的图形如图②；第二步，在图②中的??边上找一点 G，将纸条沿??折叠，得到的图形如图③，设∠??? = ?．若折叠后??∥??，?? = ??．
（1）∠??? = （用含有 α 的式子表示）；
（2）当??∥??时，矩形纸条的面积为．
【答案】
2?
6 3 +12
【分析】（1）先证明四边形????是平行四边形，根据平行四边形的对角相等可得∠??? = ∠???，再根据
由折叠的性质得到∠??? = ∠??? = ?，∠??? = ∠???，然后根据平行线的性质分别得出
∠??? = 2∠??? = 2?，∠??? = ∠??? = 2∠??? = 2?，从而可得∠??? = ∠??? = 2?
（2）先由折叠的性质得出∠?′?? = 90°，∠?′?? = ∠???，?′? = ??，再利用平行线的性质得到
∠??? = ∠??? = ?，结合由（1）得∠??? = 2?，得到关于?的方程求解，再利用含有30°角的直角三角形的
性质得出?? = 1??，再根据矩形的性质得出，∠? = 90°，?? = ?? = 3，然后利用勾股定理求得??，再
2
利用四边形????是菱形，接着利用菱形的性质、勾股定理求出??，进而求得??、??，然后利用线段的和求得??，进而求得??，最后利用矩形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，延长??、??交于点 I
∵ ??∥??，??∥??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∴ ∠??? = ∠???，
由折叠可知：∠??? = ∠??? = ?，∠??? = ∠???，
又∵ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠??? = ?，
∴ ∠??? = 2∠??? = 2?，
∵ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠??? = 2∠??? = 2?，
即∠??? = ∠??? = 2?
（2）将图形沿??展开，连结??交??于点 J，
则∠?′?? = 90°，∠?′?? = ∠???，?′? = ??，
∴ ∠?′?? + ∠??? + ∠??? = 180°，
∵ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠??? = ?，
由（1）得∠??? = 2?，
∴ ∠??? = ∠???−∠??? = ?，
∴ ∠??? = ∠?′?? = ∠??? = ?，
∴ 3? = 180°，
解得：? = 30°，
∴ ∠??? = 30°，
∴ ?? =
??，
1
2
∵ 四边形????是矩形，
∴ ∠? = 90°，?? = ?? = 3，
∴ ??2 +??2 = ??2，
∴ ( 3)2 +??2 = (2??)2，
解得：?? =± 1（负值舍去），
∴ ?? = 2，
∵ ??∥??，??∥??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ?? = 2，?? = ??，
∵ ??∥??，??∥??，
∴ 四边形????是平行四边形，
由（1）知∠??? = ∠??? = ? = 30°，
∴ ?? = ??，
∴ 四边形????是菱形，
∴ ?? ⊥ ??，?? = 2??，
112?222
∴ ?? =
??=1，
2
+?=，
解得：?? =± 3（负值舍去），
∴ ?? = 2?? = 2 3，
∴ ?? = ?? = 2 3，
∴ ?? = ?? = 2 3，
∴ ??′ = ?? + ?? + ?′? = ?? + ?? + ?? = 2 + 2 3 +1 = 3 + 2 3，又点 E 为??的中点，
∴ ?? = 2?? = 2??′ = 2(3 + 2 3) = 6 + 4 3．
∴ 矩形纸条的面积为?? × ?? = (6 + 4 3) 3 = 6 3 +12．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，含有30°角的直角三角形的性质，等边对等角，勾股定理，折叠的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
3．将一张矩形纸片进行如图所示的操作：①沿对角线??折叠，得到折痕??；②折叠纸片使边??落在折痕
??上，点?落在点?处，得到折痕??；③过点?折叠纸片，使点?、?分别落在边??、??上，展开得到折
痕??．如果矩形????
??5−1
=，那么这张矩形纸片的两条邻边??:?? =．
是一个黄金矩形，其中??2
【答案】1∶2
【分析】本题考查矩形的性质，翻折变换，黄金分割，相似三角形的判定和性质，设??与??交于点?，由矩形的性质可得∠??? = 90°，??∥??，?? = ??，?? = ??，则∠??? = ∠???，由折叠性质可知：
∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，故?? = ??，设?? =5−1 ?，?? = 2?，?? = ?? = ?，根据勾股
定理求出? = 5− 5?，则?? = 5−1?，再证明△ ??? ∽△ ???，最后由相似三角形的性质即可求解，掌握知
2
2
识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，设??与??交于点?，
∵矩形????是一个黄金矩形，
∴∠??? = 90°，??∥??，?? = ??，?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
由折叠性质可知：∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
2
∴??:?? = 1∶2，
故答案为：1∶2．
∵??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? =
5−1
2
?
????
1
= ，
5−1 ?
2
2
∴?? = 2?−5− 5? = 5−1?，
2
2
5−1 ?= ?2，解得：? = 5− 5?，
∴(2?−?)2 +
∴设?? =5−1 ?，?? = 2?，?? = ?? = ?，
∴?? = ?? =5−1 ?，?? = ?? = 2?，
∴?? = ??−?? = 2?−?，
在Rt △ ???中，由勾股定理得：??2 +??2 = ??2，
2
5−1，
??
∵?? =
考点三 相似三角形中折叠问题
《解题指南》一、核心原理
折叠本质：轴对称+全等，对应角相等、对应边相等；
解题关键：折叠产生等角，等角直接作为相似判定条件；
常用判定：AA(两角对应相等)为主，极少用 SAS、SSS;
核心工具：等角转化、互余倒角、相似比、方程思想。二、常考模型与题型
折叠+一线三等角(高频必考)
①图形特征：矩形、正方形、直角三角形中折叠，直角边上出现三个相等角；
推理逻辑：①折叠得一组等角；②直角互余，推出另一组等角；③两角对应相等→三角形相似。用途：求线段长、线段比值、参数。
折叠+八字/蝴蝶型相似
图形特征：折叠后交叉重叠，形成对顶角；
推理逻辑：①折叠等角+对顶角相等；②直接满足 AA 相似；常考：重叠部分面积、线段比例。
折叠后公共角相似
图形特征：折叠前后共一个公共角；
推理：折叠等角+公共角→直接相似，计算简单。
折叠+动点相似(压轴难点)
点在边上运动折叠，角度动态变化；
需分类讨论：不同位置对应不同相似三角形；易错：对应顶点找错，相似比列式错误。
命题点 01 相似三角形与折叠中新定义类
【典例 09】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好 落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为“落边折痕”．特例感知：已知△ ???，?为??边上一点，将 △ ???沿??折叠，使得点?恰好落在??边上（不含点?），此时折痕??称为“落边折痕”．若 △ ???是直角三角形，其中∠? = 90°，∠??? = 60°，?? = 1，若点?为??边上一点，将△ ???沿着??折叠后，点?恰好落在??边上的点?处，则“落边折痕”??的长；若 △ ???是等腰三角形，其中?? = ?? = 5，
?? = 6，则其“落边折痕”的长度．
【答案】
2 3
3
24 5
11 或 5
24
【分析】根据折叠的性质可知，∠??? = ∠??? = 1∠??? = 30°，则?? = ??
2
cs∠???
，即可求解；
分情况讨论：当沿??折叠，点?落在??边上的点?处时，当沿??折叠，点?落在??边上的点?处时，当沿??
折叠，点?落在??边上的点?处时，当沿??折叠，点?落在??边上的点?处时，利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，
根据折叠的性质可知，∠??? = ∠??? = 1∠??? = 30°，
2
∵ ∠? = 90°，?? = 1，
??
∴ ?? = cs∠??? =
12 3
；
3 = 3
2
根据题意可知，当三角形存在“落边折痕”时，折叠后的对应点在三角形的边上（不含顶点）．
∵ 在等腰△ ???中，
?? = ?? = 5，?? = 6，?? > ??，
∴ 只能是点?向下折叠，若是其他折叠方式，则对应点落在三角形边的延长线上或顶点处，不满足定义，
分情况讨论：
①如图②，当沿??折叠，点?落在??边上的点?处时，过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，
由折叠得，∠??? = ∠???
∴?? = ??
?1 ??⋅????5
∴ △??? = 2 == ，
?△???
?
1 ??⋅??
2
1 ??⋅??
??6
6
∴ △??? = 2 =，
?△???
??
1 ??⋅??11
2
6
∴ ?? = 11，
∵?? = ?? = 5，?? ⊥ ??
∴?? = ?? =
1?? = 3，
2
∴由勾股定理得，?? =??2−??2 = 4，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??6
??
??6
∴ ?? = ?? = 11，即 3 = 4 = 11，
1824
∴ ?? = 11，?? = 11，
1815
∴ ?? = ??−?? = 3−11 = 11，
1848
∴ ?? = ??−?? = 6−11 = 11，
11
∴在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 = 24 5；
②如解图③，当沿??折叠，点?落在??边上的点?处时，
11
同①可得，?? = 24 5；
③如解图④，当沿??折叠，点?落在??边上的点?处时，
∴?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°
∴??为??的垂直平分线，即?? ⊥ ??，
由①可知?△???1，
= 2 × 6 × 4 = 12
1
∴ ?? ⋅ ?? = 12，
2
24
∴ ?? = 5 ；
④如解图⑤，当沿??折叠，点?落在??边上的点?处时，??为??的垂直平分线，
24
同③可得，?? = 5 ．
综上所述，“落边折痕”的长度为24 524
11 或 5 ．
2
【变式 01】（2026·上海徐汇·一模）我们将宽和长之比为 5−1（约为0.618）的矩形称为“黄金矩形”，它可
【答案】矩形????，矩形????
【分析】由折叠可得四边形????为正方形，?? = ??，设?? = ?? = ?? = ?? = 1，则?? = ?? = 2，
由勾股定理可得?? = 5，第三次折叠可得?? = ?? = 5，从而?? =
5−1，进而可得?? =
??
5−1
2
，故可得
答案．
【详解】解：由第一次沿??折叠可知四边形????为正方形，则?? = ?? = ?? = ??，
再将纸片沿??对折，则可知?? = ??,?? = ??，
设?? = ?? = ?? = ?? = 1，则?? = ?? = 2，
连接??，则?? =??2 + ??2 = 1 + 4 = 5，
再将纸片第三次沿??折叠，??落在长方形纸片的边上且点?落在点?处，
∴ ?? = ?? = 5，
∴ ?? = ??−?? = 5−1，
∴ ?? =，?? = 1+ 5 =，
??5−1
??
2
5−1
22
即图中的“黄金矩形”为矩形????，矩形????．故答案为：矩形????，矩形????．
【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，黄金分割，熟练掌握以上知
识点并灵活运用是解题关键．
以通过折纸获得．如图 1 所示，将长方形纸片第一次沿??折叠，使点?和点?重合，展开后再将纸片沿??对折叠，使点?和点?重合；如图 2 所示，展开后连接??，再将纸片第三次沿??折叠，使得??落在长方形纸片的边上且点?落在点?处，再次展开，过点?作??的垂线，垂足为点?．请在阅读理解的基础上写出图中的“黄金矩形”：．
2
【变式 02】（2026·安徽合肥·一模）定义：一个矩形较短边与较长边之比是 5−1，则这个矩形叫作黄金矩形．如图 1，矩形????为黄金矩形（?? < ??），E 为??边上一点，将矩形????沿??折叠后，点 B 恰好落在??上点 F 处．
??
（1）?? = ；
【答案】
5−1
2
5 5
【分析】（1）由折叠的性质可得?? = ??，设?? = ?? = ?，由黄金矩形的定义可得?? =
2?
5−1
=
5+1 ?，
2
进而得到?? = 5−1 ?，最后求比例即可；
2
（2）先说明四边形????是正方形得?? = ?? = ?? = ??，设?? = ?，则?? = ?? = ?? = ?? = ?,由黄金
矩形定义?? =
2?
5−1
5+1 ?5−1 ?3− 5 ?
=、?? = ?? =,?? =；由折叠的性质可得?′? = ?? =
2
2
2
5−1?，
2
设?? = ?，则?? = (?−?)，运用勾股定理列方程可求得??,进而求的??,后求比例即可．
【详解】解：（1）∵将矩形????沿??折叠后，点 B 恰好落在??上点 F 处．
∴?? = ??，
设?? = ?? = ?，则?? =
2?
5−1
=
5+1 ?．
2
∴?? = ??−?? = 5+1 ?−? = 5−1 ?，
2
2
5−1
∴?? =
2
?
???
=
5−1；
2
（2）∵将矩形????沿??折叠后，点 B 恰好落在??上点 F 处．
∴四边形????是正方形，
∴?? = ?? = ?? = ??，
设?? = ?，则?? = ?? = ?? = ?? = ?,
??
（2）如图 2，G 为??边上一动点，过 G 点作?? ⊥ ??，垂足为 H，将矩形????沿??折叠，点 B 的对应点为?′，??′交??于点 Q，若矩形????为黄金矩形，则?? =．
∴?? = ?，
2
?
+，解得：? = 2，
2
?
2
2
3− 5 ?
=
2
2
5−1 ?
2
∴?2 + (?−?)2−?+
，
5．
1
2
∴?? = ??−?? = 5+1 ?
22
−
1
? =
2
5?，
1
∴==
??

2
?
??
2
5 ?
5
5−1
，即 ? =，解得：?? =
2
∴?? = ??−?? = ?− 5−1 ? = 3− 5 ?，
2
5−1?，
2
2
??
??
2
∵将矩形????沿??折叠，点 B 的对应点为?′，
∴?? = 5−1
∵矩形????为黄金矩形，
2
5+1 ?．
=
2?
5−1
由黄金矩形定义?? =
2
∴?′? = ?? = 5−1?，
2
设?? = ?，则?? = (?−?)，
∴?? =??2 + ??2 =?2 + (?−?)2,
∴??′ =?2 + (?−?)2−?，
∴?? = ??+??=
2
′2
′2
? + (?−?) −?+
2
2
2
5−1
2
2
?,
在Rt △ ???中，??2 = ??2 +??2 = ?2 +
3− 5 ?
命题点 02 相似三角形与折叠中双空问题
【典例 10】（2026·安徽蚌埠·一模）如图，有一矩形纸片????，对其进行第一次折叠操作，使??与??重合，展开后，得到折痕??；再对纸片进行第二次折叠操作，使点 A 的对应点?′恰好落在??上，且折痕经过点 B，展开后得到折痕??．
（1）如图（1），延长??′交??于点 G，则∠??? = °；
（2）如图（2），对矩形纸片????进行第三次折叠操作，使得点 D 的对应点?′落在??上，且折痕经过点
C，展开后得到折痕??，已知点?′在点?′左侧．若?′?′ = 2?? = 2，则矩形纸片????的面积是．
【答案】6021 3
【分析】（1）解直角三角形求得∠?′?? = 60°，据此求解即可得到∠??? = 60°；
（2）证明四边形???′?是平行四边形，求得??′ = ?? = 1，同理?′? = ?? = 1，设?? = ?? = ?，则
?? = ?? = 2?，根据?? = ??，列式计算即可求解．
【详解】解：（1）由题意可得??∥??∥??，点 E 是??的中点，∠??′? = ∠? = 90°，∠??? = ∠???′，
∴?? =
1
2?? =
1?′
2
?，
∴cs∠?′?? = ?? = 1，
?′?
∴∠?′?? = 60°，
∴∠??? = ∠???′
2
1 ?′，
= 2∠?? = 30°
∴∠?′?? = 90°−∠?′?? = 30°，
∵∠??′? = 180°−∠??′? = 90°，
∴∠??? = 60°；
（2）如图，设??与??交于点 P，??与??交于点 Q，
同（1）得∠??? = ∠??? = 30°，∠??? = ∠??? = 60°，
∵??∥??∥??，
∴∠???′ = ∠??′?′ = 60°，
∴??∥??′，
∴四边形???′?是平行四边形，
∴??′ = ?? = 1， 同理?′? = ?? = 1，
∵??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 1，
????2
∴?? = 2??，
同理?? = 2??，
∵?? = 3??，?? = 3??，?? = ??，
∴?? = ??，?? = ??，
设?? = ?? = ?，则?? = ?? = 2?，
∵?? = ?? + ?? + ?? = 4? + 1，?? = ?? + ??′ + ?′?′ + ?′? + ?? = 2? + 4，
∴4? + 1 = 2? + 4，
解得? = 2，
∴?? = 3，?? = 7，
3
∴?? = 3 3，
∴矩形????的面积 = ??·?? = 21 3．
【变式 01】（2025·安徽·一模）将一张矩形纸片????沿对角线??折叠．
（1）如图 1，点?落在点?′处，若∠??? = ?，则∠???′ = ；（用含?的式子表示）
（2）如图 2，沿??剪下 △ ???得到纸片 △ ???，折叠 △ ???，使得点?落在??延长线上的点?′处，得到折痕??，再沿?′?折叠△ ?′??，使得点?落在??边上的点?′处，若?? = 4，?? = 3，则??的长为．
【答案】
90°−2?
15
7
【分析】（1）由折叠的性质可得∠???′ = ∠??? = ?，由平行线的性质可得∠??? = ?，再由∠???′ = ∠?′
??−∠???计算即可得解；
（2）过点?作?? ⊥ ??于点?，由勾股定理可得?? =??2 + ??2 = 5，由折叠得∠? = ∠??′?，∠??′? = ∠?
?′?′，从而得出∠? = ∠??′?，证明 △ ?′?? ∽△ ???，得出?? = ?? = 3，设?? = 3?，则?′? = ?? = 5?，
?′?
??
5
再证明△ ??? ∽△ ???，由相似三角形的性质求出? = 7，即可得解．
4
【详解】解：（1）由折叠得∠???′ = ∠??? = ?，
∵四边形????为矩形，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = ?，
在Rt △ ???′中，∠?′?? = 90°−?，
∴∠???′ = ∠?′??−∠??? = 90°−2?
故答案为：90°−2?；
（2）过点?作?? ⊥ ??于点?，
∵?? = 4，?? = 3，
∴?? =??2 + ??2 = 5，
由折叠得∠? = ∠??′?，∠??′? = ∠??′?′，
∴∠? = ∠??′?，
∴ △ ?′?? ∽△ ???，
∴ ?? = ?? = 3，
?′???5
设?? = 3?，则?′? = ?? = 5?，
∵?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
3?
5−5?
∴ ?? = ??，即 4 =5 ，
4
解得? = 7，
15
∴ ?? = 5−5? = 7 ，
15
故答案为： 7 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握
以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【变式 02】（2025·安徽滁州·二模）如图，现有矩形纸片????，?? = 4，?? = 7，将边??沿折痕??折叠，使点 B 落在边??上点 F 处，再沿折痕??折叠，使点 C 落在矩形所在平面内的点?′处，边??′与??交于点 G，然后还原．
（1）??的长为；
（2）在边??上取点 H，满足??:?? = 1∶3，沿??折叠使点 C 落在矩形所在平面内的点?″处，作∠?″??的平分线分别交??,??于点 P，M，则??的长为．
【答案】7/0.87515
813
【分析】（1）由折叠的性质可得?? = ??,?? = ??,∠??? = ∠???,∠??? = ∠??? = 90°，结合
∠??? = 90°，易证四边形????,????都是矩形，得到?? = ?? = ?? = 4，求出∠??? = ∠??? = 45°，推出?? = ??,?? = ??，易证四边形????是正方形，进而求出?? = ?? = 3，设?? = ?，则?? = 4−?，证明
△ ???≌ △ ??′?(AAS)，推出?? = ?? = 4−?，利用勾股定理建立方程即可求解；
（2）延长??,??交于点Q，由折叠的性质可得∠??? = ∠???′′，结合??平分∠?′′??，得到∠?′′?? = ∠???，求出∠??? = 90°，进而证明∠??? = ∠???，利用正切的定义结合结合??:?? = 1∶3，求出?? = 1，证明
110
??
??3
△ ??? ∽△ ???，求出?? = 3，进而求出?? = 3 ，证明△ ??? ∽△ ???，推出?? = ?? = 10，再利用勾
股定理求出?? = 5，即可求解．
【详解】解：（1）由折叠的性质可得?? = ??,?? = ??,∠??? = ∠???,∠??? = ∠??? = 90°，
∵????是矩形，?? = 4，?? = 7，
∴∠??? = ∠? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????,????都是矩形，
∴?? = ?? = ?? = 4，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴?? = ??,?? = ??，
∴四边形????是正方形，
∴?? = ?? = ?? = 4，
∴?? = ?? = 3，
设?? = ?，则?? = 4−?，
由折叠的性质得：?? = ?′? = 3，∠?′ = 90°，
∴?? = ?′? = 3，∠?′ = ∠??? = 90°，
∵∠???′ = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ??′?(AAS)，
∴?? = ?? = 4−?，
∵??2 = ??2 +??2，
∴(4−?)2 = ?2 + 32，
77
解得：? = 8，则?? = 8，
7
故答案为：8；
（2）延长??,??交于点 Q，
由折叠的性质可得∠??? = ∠???′′，
∵??平分∠?′′??，
∴∠?′′?? = ∠???，
∵∠?′′?? + ∠??? + ∠??? + ∠???′′ = 180°，
∴∠??? = ∠?′′?? + ∠???′′ = 90°，
∵∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
??
??
∴tan∠??? = ?? = tan∠??? = ??，
∵??:?? = 1∶3，?? = 4，
∴?? = 1,?? = 3，
∵?? = 3，
等三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，掌握矩形的性质、折叠的性质、用勾股定理和锐角三
角函数解直角三角形是解决此题的关键．
15
故答案为：13．
【点睛】此题考查的是矩形的判定性质、折叠的性质、正方形的判定与性质，相似三角形判定与性质，全
15
∴?? = 13，
10
3
=，
5−??
∴ ??
∵?? =??2 + ??2 = 5，
10
????
∴?? = ?? = 3 ，
∴ △ ??? ∽△ ???，
10
∴?? = ?? + ?? = 3 ，
∵??∥??，
1
∴?? = 3，
????
∴?? = ?? = 3，
∴?? = 1，
∵??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
3
????
∴?? = ?? = 1，
【变式 03】（2024·安徽合肥·一模）如图 1，在矩形纸片????中，?? = 8 3，?? = 10，点?是??中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点?与点?重合，如图2，折痕为??，连接??、??；第二次折叠纸片使点?与点?重合，如图3，点?落到?′处，折痕为??，连接??．完成下面的探究：
线段??的长是；
（2）tan∠??? = ．
【答案】2.65 3/5 3
6 6
【分析】如图2中，作?? ⊥ ??于?．设?? = ?，则?? = ?? = 10−?，利用勾股定理求出?，再利用
????
△ ??? ∽△ ???，得?? = ??，求出??，??，求出tan∠???，再证明∠??? = ∠???即可解决问题．
【详解】解：如图2中，作?? ⊥ ??于?．
设?? = ?，则?? = ?? = 10−?，
∵ ?? = ??，?? = ?? = 8 3，
1
∴ ?? =
2 ?? = 4 3，
在Rt △ ???中，
∵ ??2 +??2 = ??2，
∴ (4 3)2 + ?2 = (10−?)2，
解得? = 2.6，
∴ ?? = 2.6，?? = ?? = 7.4，
∵ ∠??? + ∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠? = ∠??? = 90°，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
∴ 4 3 = 7.4，
10??
∴ ?? =
37 3
，
6
∴ ?? = ?? =
37 3
，
6
∴ tan∠??? =
如图3中，
??5 3
，
?? =6
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ tan∠??? = tan∠??? =6 ．
5 3
故答案为:2.6；5 3．
6
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用等知识，解题的
关键是学会把问题转化，证明∠??? = ∠???是关键．
命题点 03 相似三角形中双折叠问题
【典例 11】（24-25 九年级上·山东济南·期中）如图，点?是菱形????的边??的中点，点?是??上的一点，点?是??上的一点，先以??为对称轴将 △ ???折叠，使点?落在??上的点?′处，再以??为对称轴折叠 △ ???，使得点?的对应点?′与点?′重合，以??为对称轴折叠△ ???，使得点?的对应点?′落在??上．若∠? = 60°，
?? = 2，则??的值为 ．
【答案】10/31
33
【分析】过点?作?? ⊥ ??延长线于点?，设菱形????的边长为2?，设?? = ?′? = ?，根据勾股定理可得
? = 0.8?，然后根据△ ???′ ∽△ ???′，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，过点?作?? ⊥ ??延长线于点?，
∵ 四边形????是菱形，
∴ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠? = 60°，
∴ ∠??? = 30°，
设菱形????的边长为2?，
∴ ?? = ?，
∴ ?? = 3?，
设?? = ?′? = ?，
则?? = ??−?? = 2?−?，
?? = ??′ + ?′? = ?? + ?? = 2? + ?，
?? = ?? + ?? = 2?−? + ? = 3?−?，
在Rt △ ???中，根据勾股定理得：
??2 +??2 = ??2，
∴ (3?−?)2 + ( 3?)2 = (2? + ?)2，
解得? = 0.8?，
∴ ??′ = 2?，?′? = 2?−? = 1.2?，
由折叠可知：∠??? = ∠?′??，∠??? = ∠???，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠???′ = ∠???′，
∵ ∠? = ∠??′? = ∠? = ∠??′?，
∴ △ ???′ ∽△ ???′，
???′?
1.2?3
∴ ?? = ??′ =
2? = 5．
∵ ?? = 2，
10
∴ ?? = 3 ，
10
故答案为： 3 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【变式 01】（24-25 九年级上·山东济南·期中）如图，点 E 是菱形????的边??的中点，点 F 是??上的一点，点 G 是??上的一点，先以??为对称轴将△ ???折叠，使点 D 落在??上的点?′处，再以??为对称轴折叠△ ???，使得点 A 的对应点?′与点?′重合，以??为对称轴折叠△ ???，使得点 B 的对应点?′落在??
上．若∠? = 60°，?? = 2，则??的值为．
10
【答案】 3
【分析】过点 C 作?? ⊥ ??延长线于点 H，设菱形????的边长为2?，设?? = ?′? = ?，根据勾股定理可得
? = 0.8?，然后根据△ ???′ ∽△ ???′，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，过点 C 作?? ⊥ ??延长线于点 H，
∵四边形????是菱形，
∴ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠? = 60°，
∴∠??? = 30°，
设菱形????的边长为2?，
∴ ?? = ?，
∴ ?? = 3?，
设?? = ?′? = ?，
则?? = ??−?? = 2?−?，
?? = ??′ + ?′? = ?? + ?? = 2? + ?，
?? = ?? + ?? = 2?−? + ? = 3?−?，
在Rt △ ???中，根据勾股定理得：
??2 +??2 = ??2，
∴ (3?−?)2 + ( 3?)2 = (2? + ?)2，
解得? = 0.8?，
∴ ??′ = 2?，?′? = 2?−? = 1.2?，
由折叠可知：∠??? = ∠?′??，∠??? = ∠???，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∴ ∠???′ = ∠???′，
∵ ∠? = ∠??′? = ∠? = ∠??′?，
∴ △ ???′ ∽△ ???′，
∴=== ．
???′?
1.2?3
????′2?5
∵ ?? = 2，
∴ ?? = 3 ，
10
故答案为： 3 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，含 30 度直角三角形的性质，勾股定理，翻折
10
变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式 02】（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形????中，?? = 3，?? = 4，?为边??上的一个动点．连接??、??，将△ ???沿着??折叠，得到 △ ???，再将△ ???沿着??折叠，得到△ ???（?与?为对应 点）．当边??与△ ???的边所在直线重合时，?? = cm．
【答案】1 或 3 或4− 13
【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，分点?落在??上和点?落在??上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当点?落在??上时，如图，
∵矩形????，折叠，
∴∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，∠? = ∠? = 90°，?? = ?? = 3，?? = ?? = 4
∴2∠??? + 2∠??? = 180°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，即∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°−∠???，
又∵∠? = ∠? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ?? = ??(??−??)，即 3 × 3 = ??(4−??)，解得?? = 1或?? = 3；
②当点?落在??上时，如图，此时?,?两点重合，
∵矩形????，
∴?? ∥ ??，∠? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∵折叠，
∴?? = ??,∠??? = ∠???，∠??? = 90°，?? = ?? = 3，
∴∠??? = ∠???,∠??? = 90°，
∴?? = ?? = 4，
在Rt △ ???中?? =??2−??2 = 13，
∴?? = ?? = ??−?? = 4− 13；
综上：?? = 1或?? = 3或?? = 4− 13．
【变式 03】（25-26 九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在矩形????中，点?在??上，将 △ ???沿??折叠，使点?恰好落在边??上的点?处；点?在??上，将△ ???沿??折叠，使点?恰好落在线段??上的点?处．若
??
?? = 2??，则??的值为．
【答案】5
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，由矩形性质和折叠得
3
∠??? = 90°，?? = ?? = ??，则?? = ?? = ?? = 2??，再证明 △ ??? ∽△ ???，得到?? = ?? = ?? = 2??
??
??????
= ，设?? = ?? = 2?，?? = ?? = ?? = 2?，则?? = ?? = ?，?? = ?，?? = 1(? + ?)，在Rt △ ???中，
1
2
2
由勾股定理得?2 +
?+?
2
2
=，解得5?−3? = 0，即 = 5，最后根据?? === 求解即可．
?
2
?
3
??
2?
?
3
?
2?
?
5
【详解】解：∵四边形????是矩形，
∴∠? = ∠? = 90°，?? = ??，
∵折叠，
∴∠? = ∠??? = 90°，?? = ??，?? = ??，?? = ??，
∴∠??? = 90°，?? = ?? = ??，
∴∠??? = ∠? = 90°，
∵?? = 2??，
∴?? = ?? = ?? = 2??，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ?? = ?? = 1，
??????2??
2
∴?? = 2??，?? = 2??，
3
故答案为：5．
2??5
??
∴?? = 2? = ? = 3，
?3
∴5?−3? = 0，即? = 5，
= ?2，
整理得5?2 +2??−3?2 = 0， (5?−3?)(? + ?) = 0，
∵? > 0，? > 0，
2
?+?
2
∴?2 +
在Rt △ ???中，由勾股定理得??2 +??2 = ??2，
2
2
2
设?? = ?? = 2?，?? = ?? = ?? = 2?，则?? = ?? = ?，?? = ?，?? = 1?? = 1(?? + ??) = 1(? + ?)，
中考预测题
如图，将 △ ???边??沿过点 A 的直线折叠，使??落在??边上，折痕为??，展开纸片，再次折叠使点 A与点 D 重合，折痕为??，展开后连接??、??，测得?? = 4，?? = 7，当△ ???是直角三角形时，??的长为
【答案】4 33或4 65
1111
【分析】先根据折叠证明四边形????是菱形，然后分类讨论，根据平行证明△ ??? ∽△ ???，再通过相似
三角形的性质设未知数，结合勾股定理求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知?? = ??,?? = ??,∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??,?? ∥ ??，
∴四边形????是平行四边形
∵?? = ??
∴四边形????是菱形，
∴?? = ?? = ?? = ??，
当∠??? = 90°时，如图：
∵?? ∥ ??
∴ △ ??? ∽△ ???
∴?? = ??
????
∴?? = ??
47 ，
设?? = 4?,?? = 7?，则?? = 7?
∴?? = ?? + ?? = 7? + 4? = 4，
4
解得? = 11，
∵∠??? = 90°
∴?? =??2 + ??2 = 65? = 65 × 4
11
4 65
；
= 11
当∠? = 90°时，如图：
同理可设?? = 4?,?? = 7?，则?? = 7?
∴?? = ?? + ?? = 7? + 4? = 4，
4
解得? = 11，
∵∠? = 90°
∴?? =??2−??2 = 33? = 33 × 4
11
4 33
，
= 11
综上：当△ ???是直角三角形时，??的长为4 33或4 65．
1111
如图，现有正方形纸片????，点 F 在??边上，沿??折叠 △ ???，点 A 落在?′处，然后还原，??′的延长线交??于 E，沿??折叠△ ???，点 D 落在?′处，然后还原．
（1）若∠??? = 24°，则∠???′ = °；
??2??
（2）若?? = 3，则??的值为．
【答案】
96
4
3
【分析】（1）利用折叠的性质结合正方形的性质即可求解；
（2）分别延长??,??相交于 M，作?? ⊥ ??于 G，由折叠的性质结合正方形的性质易证
∠??? = ∠??? = ∠???，得到?? = ??，设?? = 2?，?? = 3?，?? = 5?，?? = ?，证明
△ ??? ∽△ ???，求出?? = ?，?? =?，利用勾股定理求出? =?，即可求解．
3
5
40
2221
【详解】解：（1）∵∠??? = 24°，
∴∠??? = 90°−24° = 66°，
由折叠的性质得∠??? = ∠??? = 66°，
∴∠??? = 180°−2 × 66° = 48°，
∴∠??? = 90°−48° = 42°，
由折叠的性质得∠???′ = ∠??? = 42°，
∴∠???′ = 180°−2 × 42° = 96°；
（2）分别延长??,??相交于 M，作?? ⊥ ??于 G，
= ?，
3
5
2
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，即(5?)2 +
5 ?
2
2
= (5? + ?)2，
解得? = 40 ，
21
?
∴?? = ?? = 5?− ×? =?，?? = ×? =?，
3
4015
34020
22172217
∴?? = 4．
??
3
由折叠的性质得∠??? = ∠???，
∵??∥??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∵?? = 2，
??
3
设?? = 2?，?? = 3?，?? = 5?，?? = ?，
∵??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??
??
??
2
= ，
2
∴?? = ?，
3
2
∵?? = ?? = 5? + ?，?? = ?? = ?，
3
2
∴?? = 5?− ?，
3
2
∴?? = ??−?? = (5? + ?)− 5?− ?
3
如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形????是黄金矩形，且?? > ??，?? = 2，点 E 是??上一点，点 G 是??上一点，将 △ ???沿直线??折叠，使点 A 落在??边上的点 F 处，再将△ ???沿直线??折叠，使点 D 落在??上的点 H 处，则??的长为．
【答案】2 5−4
【分析】本题考查了黄金分割，折叠的性质，正方形的判定，矩形的性质等知识，掌握这些知识是关键；
由黄金分割得??的长，由矩形及折叠的性质可得四边形????是正方形，则?? = ?? = ??；由折叠知
?? = ??，由?? = ??−??即可求解．
【详解】解：∵矩形????是黄金矩形，且?? > ??，?? = 2，
∴?? = 5−1?? = 5−1 × 2 = 5−1，
2
2
∵四边形????是矩形，
∴∠? = ∠??? = 90°，
∵ △ ???沿直线??折叠得到 △ ???，点 A 落在??边上的点 F 处，
∴?? = ??，∠??? = ∠? = 90°，
∴∠??? = ∠? = ∠??? = 90°，
∴四边形????是正方形，
∴?? = ?? = ?? = 5−1，
∴?? = ??−?? = 3− 5，
∵ △ ???沿直线??折叠，点 D 落在??上的点 H 处，
∴?? = ?? = 3− 5，
∴?? = ??−?? = 5−1−(3− 5) = 2 5−4，
故答案为：2 5−4．
考点四 函数中折叠问题
《解题指南》一、核心原理
折叠本质：轴对称变换，折叠前后图形全等、对应点关于折痕对称。
核心关键：求对称点坐标，是函数折叠题的突破口。
结合范围：一次函数、反比例函数、二次函数图像与坐标轴、动点结合。
常用工具：中点公式、垂直斜率关系、解析式联立、勾股、方程思想。二、分类题型与解题方法
一次函数折叠
考向：直线折叠、点沿直线折叠、折痕为定直线
解题思路：
①利用轴对称，求折叠后对应点坐标；②两点代入，求折叠后直线解析式；③结合交点、线段、角度计算。常用结论：折痕是对称轴，对应点连线被折痕垂直平分。
2.反比例函数折叠
考向：点折叠后落在双曲线上、图形折叠求 k 值解题思路：
①设原点点坐标，根据折叠性质写出对称点坐标；②称点在反比例图像上代入? = ?③列方程求参数、线段、
面积。
?
3.二次函数折叠(中考压轴)
考向：抛物线上点折叠、沿对称轴折叠、动点折叠、存在性问题解题思路：
①利用抛物线对称轴、顶点、对称性辅助倒角、找点；②折叠转化等线段、等角度，结合直角、相似；
③设动点坐标，用距离公式、勾股列方程；④分类讨论：点在抛物线上、内部、外部。
命题点 01 一次函数中折叠求点坐标
【典例 12】（2025·江苏扬州·三模）已知直线? = −4? + 8与?轴、?轴分别交于点?和点?，?是??上的一
3
点，若将△ ???沿??折叠，点?恰好落在?轴上的点?′处，则点?坐标为（ ）
5
2
A．(0,2)B．(0,3)C． 0,D．(0,4)
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键．由解析式求出点?和点?的坐标，再根据勾股定理即可得出??的长，由折叠的性质，可求得??′ = ??′，
?? = ?′?，设?? = ?，在Rt △ ???′中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出?的坐标．
【详解】解： ∵ 直线? = −
4
? + 8与?轴、?轴分别交于点?和点?，
3
∴ ? = 0时，? = 8，? = 0时，? = 6，
∴ ?(6,0)，?(0,8)，
∴ ?? =62 + 82 = 10．
由折叠的性质得：?? = ??′ = 10，?? = ?′?，
∴ ??′ = ??′−?? = 10−6 = 4．设?? = ?，
则?? = ??′ = 8−?．
在Rt△???′中，??2 +??′2 = ?′?2，即?2 + 42 = (8−?)2，
解得：? = 3，
∴ ?(0,3)．故选：B．
【变式 01】（2024·新疆昌吉·一模）已知直线? = −3? + 6与 y 轴、x 轴分别交于点 A 和点 B，M 是线段??
4
上的一点，若将△ ???沿??折叠，点 B 恰好落在 y 轴上的点?′处，则点 M 的坐标是（）
A．(3,0)B．(4,0)C．(5,0)D．(6,0)
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，翻折性质，勾股定理，由直线? = −
3
? + 6与 y 轴、x 轴分
4
别交于点 A 和点 B，可得?(0,6)，?(8,0)，由折叠的性质可得结合由勾股定理可求??′的长，设点 M 坐标为
(?,0)， ?? = ?，?? = ??−?? = 8−?，由勾股定理建立等式求解，即可解题．
【详解】解：令? = 0，则? = 6，
∴ ?(0,6)，
令? = 0，则−
3
? + 6 = 0，解得：? = 8，
4
∴ 点?(8,0)，
∵ ?(0,0)，
∴ ?? = 6，?? = 8，
∵ x 轴⊥ y 轴，
∴ ∠??? = ∠?′?? = 90°，
∴ ?? = 10，
由折叠可知：??′ = ?? = 10，?? = ?′?，
∴ ?′? = ??′−?? = 10−6 = 4，设点 M 坐标为(?,0)，
∵ ?(0,0)，
∴ ?? = ?，?? = ??−?? = 8−?，
∴ ?′?2 +??2 = ?′?2，
42 + ?2 = (8−?)2，
16 + ?2 = 64−16? + ?2，
16? = 48，
? = 3，
∴ 点 M 的坐标为(3,0)，故选：A．
【变式 02】（2025·青海·二模）如图，矩形????的顶点?，?分别在?轴，?轴上，直线??的解析式为
1?′?′
? = −? + 3．将矩形沿直线??折叠，点?落在点
3
处，?
与?轴交于点?．点?是?轴负半轴上一个动点，
点?在坐标平面内，若以点?，?，?，?为顶点的四边形是菱形，且??为该菱形的一条边，则点?的坐标为
．
【答案】(−4,0)或(4,−5)．
【分析】本题主要考查矩形与折叠，菱形的判定与性质；先根据题意得?? = ??，设?? = ?? = ?，根据勾股定理得到? = 4，即?? = 4，再分不同情况进行解答即可．
【详解】解：对于直线1，
当? = 0时，
? = − ? + 3
3
1，解得? = 9，即?(9,0)，
0 = − ? + 3
3
当? = 0时，? = 3，即?(0,3)，
∴?? = 3，?? = 9，
∵??∥??，
∴∠??? = ∠???，
根据题意：∠??? = ???′，
∴∠??? = ???′，
∴?? = ??，
设?? = ?? = ?，
∵?? = 9，
∴?? = 9−?，
∵ △ ???为直角三角形，?? = 3，
∴??2 +??2 = ??2，
∴32 + (9−?)2 = ?2，解得：? = 4，
∴?? = 4，
当?运动到?(0,−3)，??,??作边，??,??为对角线时，
∵C，D，F，P 为顶点的四边形是菱形，
∵?(4,0)，?? = ??，
∴?(−4,0)，
当?运动到?(0,−2)，??,??作边时，
?? = ?? = ?? = 5，
∴?(4,−5)，
当?运动到?(0,8),时
∵点 F 是 y 轴负半轴上一个动点
∴不符合题意；
故答案为：(−4,0)或(4,−5)．
命题点 02 反比例函数中折叠求 k 值
【典例 13】（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，点?，?是直线? = ??(? > 0)上第一象限
?的图象经过点
内的两个动点(?? > ??)，以线段??为对角线作矩形????，?? ∥ ?轴，反比例函数? = ?
?、
?，把矩形????沿??折叠，点?的对应点为?，当点?落在?轴上，且点?的坐标为(1,2)时，则?值为（ ）
41016
B． 3C．5D． 3
【答案】D
【分析】先根据点?的坐标求出直线? = ??的解析式，再结合矩形????的性质和反比例函数的性质，用含?的代数式表示出点?、?、?的坐标；然后利用折叠的性质得到线段相等和角相等，通过作辅助线构造相似 三角形△ ???∽ △ ???，根据相似三角形的性质得到线段的比例关系，最后结合?? = ??列方程求解?的值．
【详解】解： ∵ 点?(1,2)在直线? = ??上，
∴ ? = 2，
∴ 直线??的解析式为? = 2?，
∴ 四边形????是矩形，?? ∥ ?轴，
∴ ?点的横坐标与?点相同，为1；?点的纵坐标与?点相同，为2，
?
∵ 反比例函数? = ?的图象经过点?、?，
∴ 当? = 1时，? = ?，即?(1,?)；
当? = 2时，? = ?，即? ? ,2 ，
22
∵ ?? ∥ ?轴，?在直线? = 2?上，且?的纵坐标与?相同为?，
∴ 当? = ?时，
1 ，即? 1 ?,? ，
? = 2?2
∴ ?? = ?−2，?? =
1?−1，
2
∵ 把矩形????沿??折叠，点?的对应点为?，
∴ ?? = ?? =
1?−1，?? = ?? = ?−2，∠??? = ∠??? = 90°，
2
??
?−2
??
∴ ?? = 1 ?−1 = 2 = ??，
2
如图，过点?作?? ⊥ ?轴于?，过点?作?? ⊥ ?轴于?，
∵ ?? ∥ ?轴，
∴ ?、?、?三点共线，∠??? = ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
又∵ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ???∽ △ ???（两角分别相等的两个三角形相似），
∴=== 2，
??
????
??????
∵ ?? = 1（?点横坐标为1，?? ⊥ ?轴），?? = ?（?点横坐标为 ?，?? ⊥ ?轴），
1
1
22
∴ ?? = 2?? = 2，?? = ?? = ，
1
?
24
∴ ?? = ?? + ?? = 2 + 4，
由图可知，?? = ??（矩形的对边相等，??与??均为矩形的竖直边长），
?
∴ 2 + 4 = ?−2，解得? = 3 ．
?
16
【变式 01】（2026·山西阳泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形????，点?(10,8)，点?在??边上，连接??，把 △ ???沿??折叠，使点?恰好落在??边上点?处，反比例函数? = ?(? ≠ 0)的图象经过点?．则
?
?的值为（ ）
A．20B．30C．40D．48
【答案】B
【分析】根据翻折变换的性质，可得?? = ?? = 10，?? = ??，设点?的坐标为(10,?)，在Rt △ ???中，根据勾股定理求出??的长度，进而即可求解．
【详解】解：∵ △ ???沿??折叠，点?恰好落在??边上点?处，点?(10,8)，
∴?? = ?? = 10，?? = ??，?? = 8，∠??? = 90°，
∴?? =??2−??2 =102−82 = 6，
∵?? = ?? = 10，
∴?? = 10−6 = 4，
设点?的坐标为(10,?)， 则?? = ?，?? = ?? = 8−?，
∵??2 +??2 = ??2，
∴?2 + 42 = (8−?)2
解得? = 3，
∴点?的坐标为(10,3)，
∵点?在反比例函数? = ?(? ≠ 0)的图象上，
?
∴? = 10 × 3 = 30．
【变式 02】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形????，点?(10,8)，点 D 在??
?
边上，连接??，把 △ ???沿??折叠，使点 B 恰好落在??边上点 E 处，反比例函数? = ?的图象经过点 D，
则 k 的值为（ ）
A．10B．20C．30D．40
【答案】C
【分析】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键．首先根据翻折变换的性质，可得?? = ?? = 10,?? = ?? = 8,
?? = ??；然后设点 D 的坐标是(10,?)，在Rt △ ???中，根据勾股定理，求出??的长度，进而求出 k 的值．
【详解】解：∵ △ ???沿??折叠，使点 B 恰好落在??边上点 E 处，点?(10,8) ，
∴?? = ?? = 10，?? = ?? = 8，?? = ??，
∴?? =??2−??2 = 6， ?? = 10−6 = 4，
设点 D 的坐标是(10,?)， 则?? = ?，?? = ?? = 8−?，
∵??2 +??2 = ??2，
∴?2 + 42 = (8−?)2，解得：? = 3 ，
∴点 D 的坐标是(10,3)，
∵反比例函数? = ?的图象经过点 D，
∴? = 3 × 10 = 30.
?
故选∶C．
【变式 03】（2025·山东日照·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形????的顶点与原点 O 重合，边
??在 x 轴上， ??在 y 轴上，点 B 在反比例函数? = ?(? > 0)的图象上，D 是边??上的一点，连接
?
??,??．将 △ ???折叠，得到 △ ?′??，折痕为??，点 O 的对应点为?′，?′?与??交于点 E；将△ ???折 叠，得到 △ ??′?，折痕为??，点 A 的对应点?′恰好落在?′?上．若点?(4,0),?? = 3，则 k 的值为 ．
【答案】 4
75
【分析】此题考查了反比例函数和几何综合，轴对称的性质，勾股定理等知识，数形结合是关键．根据轴
对称的性质得到∠???′ = 1∠???′，∠?′?? = 1∠???′，证明 △ ???是直角三角形，得到??2 = ??2 +?
2
2
?2，设?? = ?? = ?，求出?? = ?? = 3,?? = 4，得到?? = ?−4，则?2 = 25 + (?−4)2 +9，得到? =
25
4 ，则?
25 ,3
4
，即可求出 k 的值．
【详解】解：由轴对称的性质可知，∠???′ = 1∠???′，∠?′?? = 1∠???′，
2
2
∵∠???′ + ∠???′ = 180°，
∴∠???′ + ∠?′?? = 90°，
∴ △ ???是直角三角形，
∴??2 = ??2 +??2，设?? = ?? = ?，
∵?? = 3,?(4,0)，
∴?? = ?? = 3,?? = 4，
∴?? = ?−4，
∴??2 = ??2 +??2 = 25，??2 = ??2 +??2 = (?−4)2 + 32，
∴??2 = ??2 +??2 +??2 +??2，
∴?2 = 25 + (?−4)2 +9，
75
答案为： 4 ．
44
75
25
∴k =× 3 =．
?
∵点 B 在反比例函数? = ?(? > 0)的图象上，
,3 ，
4
25
∴?
25
解得? = 4 ，
命题点 03 二次函数折叠解答题综合（压轴）
【典例 14】（2026·天津滨海新区·模拟预测）在平面直角坐标系中，梯形????的位置如图所示．??∥??，
?? ⊥ ??，点?在?轴正半轴上，?? = 2，?? = 3，∠??? = 30°．
填空：如图①，??的长为，点?的坐标为．
若?为?轴正半轴上一动点，过点?作直线? ⊥ ?轴，沿直线?将梯形????折叠，折叠后点?的对应点?′落在
?轴上，点?的对应点为?′．设?? = ?．
①如图②，若直线?与??边交于点?，当折叠后四边形??′?′?与梯形????的重叠部分为五边形时，?′?′与
??交于点?．试用含?的式子表示出线段?′?的长，并直接写出?的取值范围．
11 3
6
3
②设折叠后重叠部分的面积是?，当 3 ≤ ? ≤
时，求?的取值范围（直接写出结果即可）．
即可；
②分两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：作?? ⊥ ?轴于点?，
3
（2）①利用折叠的性质求得?′? = 2?−2 3，在Rt △ ??′?中，解直角三角形求得?′? = 4 3?−4，据此求解
【分析】（1）解直角三角形即可求解；
8
18
6
3
2
3
5 3
3
11 3
3
(2)①?′? = 6−4 3?， 3 < ? < 3 3；②当 ≤ ? ≤时，?的取值范围为 ≤ ? ≤．
【答案】(1)1； 3,1
∵??∥??，?? ⊥ ??，
∴四边形????是矩形，
∵∠??? = 30°，?? = 2，
∴?? =
1?? = 1，?? =22
2
−12
= 3，
∴?? = ?? = 1，点?的坐标为 3,1 ；
解：①如图，
?? = ?，?? = 2，?? = 3，
∴?′? = ?，?′?′ = 2，?? = ??−?? = ?− 3，∠??′? = ∠??? = 30°，
∵?? = ?? = 3，
∴?? = ??−?? = 3−(?− 3) = 2 3−?，
∴?′? = ?′?−?? = ?−(2 3−?) = 2?−2 3，
在Rt △ ??′?中，?′
? =
??′
cs30° =
4 3?−4，
3
∴?′? = ?′?′−?′? = 2− 4 3? −4 = 6−4 3?，
33
∵?? = ?? = ?− 3，
∴??′ = 2?? = 2?−2 3，
2
由题意得0 < 2?−2 3 < 3，解得 3 < ? < 3 3；
6
②当 3 < ? ≤
11 3时，
3
在Rt △ ?′??中，∠??′? = 30°，?′? = 4 3?，
∴?? = 1?′? = 3−2 3?，??′ = 3?? = 3 3−2?，
23
1
∴? = 1 × (2 3−?)− ×
2
(3 3−2?) × 3− 2 3?
3
= −2 3?2 +5?−5 3，
32
∵−2 3 < 0，
3
3
5 35 3
∴当? = 4 时，?有最大值 8 ；当 3 ≤ ? < 3时，如图，
∵?? = ?，∠??? = 30°，
∴?′? = ?，∠??′? = 30°，
3
∴?? = ?′? ⋅ tan30° = 3?，
1
∴? = 2 × ? ×
3? =
3
3?2
，
6
∴当? > 0时，?随?的增大而增大，
3 3
3 2 3
∴当? =
3 时，?有最小值 6 ×3
= 18；
311 3 35 3
综上，当 ≤ ? ≤时，?的取值范围为 ≤ ? ≤．
36188
【变式 01】（2025·天津·一模）将平行四边形纸片????放置在平面直角坐标系中，点?(0,0)，点?(0,9)，点?,?在第一象限，且?? = 2 3,∠??? = 30°．
填空：如图 1，点?的坐标为，点?的坐标为；
若?为?轴的正半轴上一动点，过点?作直线? ⊥ ?轴，沿直线?折叠该纸片，折叠后点?的对应点?′落在?轴的正半轴上，点?的对应点为?′．设?? = ?．
①如图 2，若直线?与边??相交于点?，当折叠后四边形??′?′?与▱????重叠部分为五边形时，?′?′与??
相交于点?．试用含有?的式子表示线段?′?的长，并直接写出?的取值范围；
8
②设折叠后重叠部分的面积为?，当3 < ? ?′? > 0，
∴ 0 < ? < 2．
当?′?′过点 G 时，（G 于 F 重合）为四边形，
∵ ?? = 2−? ，
∴ ?? = ?′11 ．
? = 2?? = 1−2?
∵ ?? = ?? + ?? = (2−?) + 1− 1 ? = 2，
2
2
∴ ? = 3．
∵ 重叠部分为五边形，
2
∴ 3 < ? < 2．
2
?′
② < ? < 2时，为五边形，过
3
作?? ⊥ ??于 N，交??于?，
∴ ∠??? = 90°．
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = 180°−∠??? = 90°．
∴ 四边形????为矩形．
∴ ?? = ??，?? = ??．
∴ ?? = ?′? = ?? + ?? = 2 + ?．
∵ ∠??? = ∠?′?? = 60°，
∴ ∠?′?? = 180°−∠???−∠?′?? = 60°．
∴ ∠??′? = 90°−∠?′?? = 30°．
∴ ?? = 1?′
2
? = 1 + ?．
1
2
′′ 221
∴ ? ? =? ? −?? = 3 1 + 2 ? ．
∴ ?′? = ??−?′? = 2 3− 3 1 + 1 ? = 3− 3?．
22
∵ ∠?′?? = ∠?′?? = 30°，
∴ ?? = 3
?′
? = 3− ?．
3
2
∴ ? = ?矩形????−?△???−?△???′ −?△???′
?1
1?
3133
= ? + 2 + 1 × 2 3− 2 ⋅ ? ⋅ 3?− 2 ⋅ 1 + 2 ⋅3 +
2 ? − 2 ⋅3−
2 ? ⋅ 3− 2 ?
3?
=2 + 1 × 2 3−
3
?2−
2
3? 2
2 ⋅ 1 + 2−
3
2 ⋅3−
2
3
2 ?
3?
2
=6? + 4−?2− 1 + 2
2
−3−
2
3
2 ?
= − 3 ?2 + 4 3?
372
∵ 2 ≤ ? ≤ 2，且此时3 < ? < 2，
当? = 3时，? = 15 3．
24
当? = 2时，? = 4 3．
15
∴ 重叠部分为五边形，S 的取值范围： 4 3 ≤ ? < 4 3．
当重叠部分为三角形时，如图
∵ 点 C 的坐标为 4,2 3 ，四边形????是矩形，
∴ ?? = 4，?? = 2 3，∠??? = 90°，
．
11
∴ ? = ?
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 4 × 2 3 = 4 3
可知此时? = 2．
7
当重叠部分为四边形时，则此时2 < ? ≤ 2．
?′?交??于 Y，作?? ⊥ ??于 R，如图
∴ ∠??? = 90°，四边形????为矩形，四边形????为矩形．
∴ ?? = ?? = 2 3，?? = ??，?? = ??．
∵ ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = 90°−∠??? = 30°
∴ ?? =
1??．
2
∵ ??2 +??2 = ??2，
2
∴ (2 3) +
1 ??
2
2
= ??2
，解得?? = 4．
∴ ?? =
1?? = 2．
2
∵ ?? = ?，
∴ ?? = ?−2．?? = ??−??−?? = 6−2−? = 4−?．
∴ ?? = ??−??−?? = 6−2−(?−2) = 6−?．由折叠可知：∠??? = ∠?′?? = 60°．
∴ ∠??? = 90°−∠??? = 30°．
∴ ?? = 2?? = 8−2?．
∴ ?? =??2−??2 =(8−2?)2−(4−?)2 = 4 3− 3?．
∵ ? = ?矩形????−?△???−?△???
11
= ?? ⋅ ??− 2 ?? ⋅ ??− 2 ?? ⋅ ??
11
= 2 3 ⋅ (6−?)− 2 × 2 × 2 3− 2 × (4−?) × (4 3− 3?)
= − 3 ?2 + 2 3? + 2 3
2
? = −
当? = 2时， 3?2 +2 3? + 2 3 = 4 3．
2
当? = 7时，? = − 3?2 +2 3? + 2 3 = 23 3．
228
23
综上所述： 8 3 ≤ ? ≤ 4 3．
?−3
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，平面直角坐标系中矩形的性质、勾股定理、折叠问题及几何图
形的坐标计算．
中考预测题
1．将矩形????，其中?(0,0)、?(4,0)、?(4,2)、?(0,2)沿直线? = ?折叠，得到矩形??′?′?′，设矩形????内的点?(?,?)折叠后的对应点为?′．定义：若?′落在原矩形????内部（不包含边界），且?′到 y 轴的距离比?′到 x 轴的距离大 1，则称 P 为“重叠关联点”．
原矩形内点?(3,1)折叠后的对应点?′坐标为；
“重叠关联点”P 的横坐标 m 的取值范围是．
【答案】
(1,3)
0 < ? < 1/1 > ? > 0
【分析】本题考查翻折问题一次函数图象上点的坐标特征，属于中档题．
（1）沿直线? = ?折叠的点，其对应点坐标为原坐标的横纵坐标互换，因此点(3,1)折叠后的对应点为(1,3)；
（2）设?(?,?)，折叠后?′坐标为(?,?)，列出 P 和?′在原矩形内部的条件：0 < ? < 4，0 < ? < 2，
0 < ? < 4，0 < ? < 2，根据距离条件得?−? = 1，即? = ? + 1，将? = ? + 1代入不等式，合并得0 < ? < 1．
【详解】解：（1）点(3,1)沿直线? = ?折叠后的对应点坐标为(1,3)，故答案为：①(1,3)；
（2）设点?(?,?)，沿直线? = ?折叠后的对应点?′坐标为(?,?)，
∵?(?,?)在原矩形????内部（不含边界），
∴0 < ? < 4，0 < ? < 2；
∵?′(?,?)在原矩形????内部（不含边界），
∴0 < ? < 4，0 < ? < 2；
∵?′到 y 轴的距离比到 x 轴的距离大 1，
∴?−? = 1，即? = ? + 1， 将? = ? + 1代入上述不等式：
由0 < ? < 2得0 < ? + 1 < 2，即−1 < ? < 1；
由0 < ? < 2和0 < ? < 4得0 < ? < 2，综合得0 < ? < 1，
故答案为：②0 < ? < 1．
2．长方形????在平面直角坐标系中的位置如图：?(0,?)、?(?,0)满足+ |?−5| = 0，将长方形????
沿直线??折叠（点 E 在边??上），折叠后点 D 恰好落在边??上的点 F 处，则点 F 的坐标为．
【答案】(4,0)
【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质．
根据非负数的性质得到? = 3,? = 5，即?? = ?? = 5，?? = ?? = 3，根据折叠的性质得到?? = ?? = 5，根据勾股定理求出?? = 4，即可求出点 F 的坐标．
【详解】解：∵ ?−3 + |?−5| = 0，
∴?−3 = 0,?−5 = 0，
∴? = 3,? = 5，
∴ ?? = ?? = 5，?? = ?? = 3，由翻折的性质可知：?? = ?? = 5，
在Rt △ ???中，由勾股定理得：?? =??2−??2 =52−32 = 4．
∴点 F 的坐标为(4,0)．故答案为：(4,0)．
3．如图，一次函数? = 5 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，C 是 x 轴上一动点，连接??，将 △ ???
?−5
12
沿??所在的直线折叠．
在 x 轴上是否存在 C 点，使△ ???折叠后点 A 对应的点恰好落在 y 轴上？（请填写“是”或
“否”）．
如果存在满足（Ⅰ）中条件的点 C，请直接写出它的坐标．．
【答案】
是
10
,0 ， −,0
32
15
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理；
（Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个 C 点使△ ???折叠后点 A 对应的点恰好落在 y 轴上；
（Ⅱ）根据勾股定理得到?? = 13，分两种情况：当点 A 落在 y 轴的正半轴上时，当点 A 落在 y 轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个 C 点使△ ???折叠后点 A 对应的点恰好落在 y 轴上；
故答案为：是；
?−5
（Ⅱ）∵一次函数? = 5 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，
12
∴?(12,0)，?(0,−5)，
∴?? = 12，?? = 5，
∴?? = 13，
如图，当点 A 落在 y 轴的正半轴上时，过?作?? ⊥ ??于?，
设点 C 的坐标为 ?，0 ，
∵ △ ???折叠后点 A 对应的点恰好落在 y 轴上，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ?? = ?，?? = ?? = 5，
∴?? = 12−?，?? = 13−5 = 8，
∵??2 +??2 = ??2，
∴?2 + 82 = (12−?)2，
10
解得? = 3 ，
3
∴? 10 ,0 ；
同理，当点 A 落在 y 轴的负半轴上时，过?作?? ⊥ ??于?，
∴?? = ?? = −?,?? = ?? = 5,
∴?? = 12−?,?? = 13 + 5 = 18，
∵??2 +??2 = ??2，
∴?2 + 182 = (12−?)2，
解得? = − 2 ，
15
∴? − 2 ,0 ；
15
故答案为：
10
,0 ， −,0 ．
32
15
好题速递
1．（2025·河北沧州·模拟预测）淇淇用一张矩形纸张（记为????）做折纸游戏，如图所示，他先沿折痕??
折叠，使得??与??重合，根据后续操作所得结论不一定正确的是（ ）
折叠使得??与??重合，折痕与??，??交于 E，F 两点，则四边形????为菱形
沿过点?的直线折叠使得点?落在??上的点?处，则 △ ???为等边三角形
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定、等边三角形的判定，正方形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据每个选项的情况作图，再结合折叠的性质，得出对应边相等、运用
沿过点?的直线折叠使得点?落在??边上的点?处，折痕与??交于点?，则四边形????为正方形 D．沿过点?的直线折叠使得点?落在??边上的点?处，则△ ???为等腰直角三角形
数形结合思想进行分析，即可作答．
【详解】解：连接??,??,??,??，如图所示：
∵四边形????是矩形，
∴∠? = ∠? = ∠? = ∠? = 90°,?? = ??,?? = ??，
∵折叠，
1111
∴?? = ?? = 2??,?? = ?? = 2??,?? = ?? = 2??,?? = ?? = 2??,
故△ ???≌ △ ???≌ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ?? = ?? = ??，
∴四边形????为菱形，
故 A 选项不符合题意；
连接??,??，如图所示：
∵折叠，
∴?? = ??,∠??? = ∠??? = 180° ÷ 2 = 90°，
∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，
∵沿过点?的直线折叠使得点?落在??上的点?处，
∴?? = ??，
即?? = ?? = ??，
∴ △ ???为等边三角形，
故 B 选项不符合题意；
连接??，如图所示：
∵四边形????是矩形，
∴∠??? = ∠? = 90°，
∵折叠，
∴?? = ??,∠??? = ∠? = 90°，
即∠??? = ∠??? = ∠? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∵?? = ??，
∴四边形????是正方形，
故 C 选项不符合题意；
连接??,??，如图所示：
∵折叠，
∴?? = ??,?? = ??，
∵∠??? = 90°
∴ △ ???是直角三角形，
由于不能得出??与??之间的关系，故得不出 △ ???为等腰直角三角形，
故 D 选项符合题意；
故选：D．
2．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形????是正方形，点?的坐标是(4,0)，?为
边??上一点，∠??? = 60°，沿??折叠正方形????，折叠后，点?落在平面内的点?′处，则点?′的坐标为
．
【答案】(2,4−2 3)
【分析】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理．
过点?′作?′? ⊥ ??，因为∠??? = 60°，??′ = ?? = ?? = 4，所以∠?′?? = 30°，?′? = 2，根据勾股定理
得?? = 2 3，故?? = 4−2 3，即?′点的坐标即可求解．
【详解】解：过点?′作?′? ⊥ ??，如图所示：
∵ 四边形????是正方形，点?的坐标是(4,0)，
∴ ∠? = ∠?′?? = 90°，??′ = ?? = ?? = ?? = 4，
∵ ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = 90°−∠??? = 30°，
由折叠的性质可得：∠???′ = ∠??? = 30°，
∴ ∠?′?? = 30°，
1
∴ ?′? = ??′ = 2，
2
在Rt △ ?′??中，根据勾股定理得?? =?′?2−??2 = 2 3，
∴ ?? = 4−2 3，
即?′点的坐标为(2,4−2 3)，故答案为：(2,4−2 3)．
3．（2026·山东济南·一模）将矩形纸片????对折，使??与??重合，折痕为??，展开后，沿??、??折叠，使点?、点?的对应点都落在折痕??上，再次展开后，沿??折叠，点?点的对应点为点?．点?为线段??上 一点，将纸片沿??折叠，点?的对应点?1落在??上，若?? = 4，则??的长为．
5
解得? = 3，
2
由折叠性质得∠??1? = 90°，在Rt △ ??1?中：? = 12 +(3−?)2
展开化简得6? = 10，
沿??折叠?到??上，得?? = ?? = 2；
沿??折叠?对应点为?，得?? = ?? = ??，设?? = ?? = ?，
对??用勾股定理：??2 = (?−??)2 +??2，代入?? = ?，?? = 2，?? = 4，
得：?2 = (?−2)2 + 42，
展开解得? = 5，即?? = ?? = ?? = 5，
∴?? = ??−?? = 5−2 = 3，
沿??折叠?到??上的?1，得??1 = ?? = ?? = 4，??1 = ??，
∴??1 = ??−??1 = 5−4 = 1，
设?? = ?，则?? = 3−?，故??1 = 3−?，
1
2
∴?? = ?? = ?? = 2，
5
中由勾股定理列方程求解，最终得到?? = 3．
【详解】解：∵矩形????中，对折??与??重合，得?是??中点，
?? = ?? = 2、?? = ?? = ??，设?? = ?? = ?，在Rt △ ???中用勾股定理列方程求出? = 5，得到
?? = 3；接着根据沿?I 折叠的性质得到??1 = 4、??1 = 1，设?? = ?，用?? = 3−?表示??1，在Rt △ ??1?
5
【答案】3
【分析】先利用矩形对折性质得到?为??中点，?? = ?? = 2，再由两次折叠的性质得到
即?? = 3．
5
4．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，将矩形纸片????置于平面直角坐标系中，顶点 A，C 的坐标分别为
0，6，8，0．将矩形纸片????进行两次折叠：先沿对角线??折叠，点 C 落在?′处，再次折叠，使点 D
与点 A 重合，折痕交??于点 E，交?′?于点 F．则点 F 的坐标为．
在△ ??′?和△ ???中，
∠??′? = ∠??? = 90°
∠???′ = ∠???
??′ = ??
∴ △ ??′?≌ △ ???(AAS)，
∴?′? = ??，
2
由折叠性质得??′ = ?? = ?? = 8，∠??′? = ∠??? = 90°，?? ⊥ ??，?? = ?? = 1?? = 4，
∵顶点 A，C 的坐标分别为 0，6 ， 8，0 ，
∴由矩形性质得?? = ?? = 6，?? = ?? = 8，∠??? = ∠??? = 90°，??∥??，
7
1
?? = 2?? = 6，进而利用坐标与图形可得结论．
【详解】解：延长??′交 y 轴于 G，设??与??相交于 H，
3
? = ?? = ?，则?? = 6 + ?，在Rt △ ??′?中，利用勾股定理求得?? = 7，再证明△ ??? ∽△ ???求得
【分析】延长??′交 y 轴于 G，设??与??相交于 H，证明△ ??′?≌ △ ???(AAS)得到?′? = ??，设?′
43
【答案】 4, 6
形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
43
故答案为： 4, 6 ．
【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、折叠问题、勾股定理、相似三角
43
7
∴点 F 的坐标为 4, 6 + 6 ，即 4, 6 ，
7
1
∴?? = 2?? = 6，
2
????
∴?? = ?? = 1，
∴??∥??，即??∥?轴，
∴ △ ??? ∽△ ???，
7
7
解得? = 3，即?? = 3，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
设?′? = ?? = ?，则?? = 6 + ?，
∴在Rt △ ??′?中，由??2 = ?′?2 +??′2得(6 + ?)2 = ?2 + 82，
5．（2025·河北邯郸·三模）如图，在Rt △ ???中，∠? = 90°, ?? = 6，点?, ?分别在??, ??边上，连接??，将△ ???沿??折叠，使点?落在??边上的点?处，且使折叠后的四边形????面积为 △ ???面积的 2 倍，则
??的长为．
【答案】2 3
【分析】该题考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，根据折叠可得?? ⊥ ??，?△??? = ?△???．根
据?四边形???? = 2?△???，得出?△??? =
1
3
?△???．证明Rt △ ??? ∽ Rt △ ???，得出
?△???
?△???
=
?? 2
??
，即可求解．
【详解】解：∵将△ ???沿??折叠使点?落在??边上的点?处，
∴?? ⊥ ??（折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分），?△??? = ?△???（折叠前后两部分图形全等）．
∵?四边形???? = 2?△???，
∴ ?△??? = 3?△???．
在 Rt △ ???和Rt △ ???中，∵∠??? = ∠? = ∠90°，∠? = ∠?，
1
∴Rt △ ??? ∽ Rt △ ???，
∴ △??? =
?
?△???
?? 2
??
，
?? 2
即 6
= 3，
1
解得：?? = 2 3（负值已舍去）．
故答案为：2 3．
6．（2026·四川绵阳·一模）如图 1，在正方形纸片????中，点?是??的中点．将 △ ???沿??折叠，使点?
落在点?处，连接??，延长??交??于点?；如图 2，再将 △ ???沿??折叠，此时点?的对应点?恰好落在??
上．设△ ???和△ ???重叠部分的面积为?1，正方形????
的面积为?
?
1
2，则? = ．
2
【答案】25
【分析】先证△ ???≌ △ ???(AAS)，可得?? = ??，故?? = ??，进而得到四边形????是平行四边形，
3
四边形????是平行四边形，故?? ∥ ??，从而可知四边形????是平行四边形，又根据折叠可知
∠??? = ∠? = 90°，得到四边形????是矩形，得到?? = ?? = ?，则?? = 2?,?2 = 4? ，再根据相似三角
形的性质，计算出??、??，进而计算出?1最后求比即可．
2
【详解】解：设??与??交于点 M，??与??交于点 N，如图，
∵四边形????是正方形，
∴?? ∥ ??，?? = ??，
∵点?是??的中点，
∴?? = ??，
由折叠的性质可知：?? = ?? = ??,∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? + ∠??? = 2∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??，
∴四边形????是平行四边形，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，?? = ??，
∵?? = ??，
∴G 是??中点，
∴?? = ?? = ?? = ??，
由折叠可知?? = ??，?? = ??，
∴?? = ?? = ?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
∴四边形????是平行四边形，
∴?? ∥ ??，
又∵?? ∥ ??，
∴四边形????是平行四边形，
∴?? ∥ ??，
∴四边形????是平行四边形，
由折叠可知∠??? = ∠? = 90°，
∴四边形????是矩形，
设?? = ?? = ?，则正方形????边长为2?，
∴?? =??2 + ??2 = 5? = ??，
连接??，
由折叠可知?? ⊥ ??，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
1
5
∴?? = ?,?? = ?，
2
4
55
∴?? = ?，
6
5
6212 2
∴? = ? ⋅ ? =? ，
??????
5525
12
∴ 1 = 25 =．
?
?2
3
?24?2
25
∴?? = ?? = ?? = 2，
∴ △ ??? ∽△ ???，
2
∵?? = ?? = ?，则?? = ?? = 2?,?2 = 4? ，?? = ?? = ?，
∵?? ∥ ??，
??
2
??
∴= 5，
= 2 5?，
??5
??⋅??
∴?? =
??
??
∴?? = ??，
∵∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
【答案】5或4
【分析】先证明∠??? = 90°，则当 △ ???和 △ ???相似时，需要进行分类讨论：①当∠??? = ∠???时，
85
则△ ??? ∽△ ???，证明出四边形????为平行四边形，则?? = ?? = ?? + ?? = 1??，由
2
7．（2025·河南·模拟预测）如图，在Rt △ ???中，∠? = 90°,?? = 4,?? = 3，点 D 是??边上的动点，过点 D 作?? ⊥ ??，垂足为 E，将△ ???沿直线??折叠得到 △ ???，点 G，H 分别是??和??上的点，连接??，将△ ???沿直线??折叠使得点 B 和 F 重合，连接??，当△ ???和△ ???相似时，??的长为．
????1
△ ??? ∽△ ???，得到?? = ?? = 2，则?? = 2，在Rt △ ???中，由勾股定理得?? = 5，再解直角三角形得
833
到?? = ?? ⋅ cs? = 5；②当∠??? = ∠???时，则 △ ??? ∽△ ???，在Rt △ ???中，cs? = 5，tan? = 4，
设?? = ?? = 5?，则?? = ?? = ??·cs? = 4?，?? = ?? =
5−8?
2
，则?? = ?? = ?? =
cs?
25−40?
6，由
∠??? = ∠???，得到tan∠??? =
??
=
5?
3
= ，解得? =
5
，即可求解??
??
25−40?416
6
【详解】解：由折叠的性质得∠??? = ∠?,∠??? = ∠?，?? = ??,?? = ??
∵∠? = 90°，
∴∠? + ∠? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
当△ ???和△ ???相似时，分以下两种情况：
如解图①，当∠??? = ∠???时， △ ??? ∽△ ???，
∵∠? = ∠???，
∴?? ∥ ??，
∵由翻折得?? ⊥ ??,?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ??，
∴四边形????为平行四边形，
∵?? = ?? = ?? + ?? =
1
2?? +
1
2?? =
1??，
2
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
????1
?? = ?? = 2
∵?? = 4,?? = 3，
∴?? = 2，
在Rt △ ???中，由勾股定理得?? = 5，
定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论．
85
故答案为：5或4．
【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，平行四边形的判
85
综上所述，当△ ???和△ ???相似时，??的长为5或4，
5
5
∴?? = 4 × 16 = 4，
5
解得? = 16，
??5?3
∴tan∠??? = ?? = 25−40? = 4,
6
，
25−40?
6
??
∴?? = ?? = cs? =
∵∠??? = ∠???，
2
5−8?
设?? = ?? = 5?，则?? = ?? = ??·cs? = 4?，?? = ?? =，
3
3
∴cs? = 5，tan? = 4，
∵?? = 5，?? = 4,?? = 3，
8
∴?? = ?? ⋅ cs? = 5；
如解图②，当∠??? = ∠???时， △ ??? ∽△ ???，
4
∴cs? = 5，
中考闯关
如图，在平面直角坐标系中，将长方形????沿直线??折叠（点?在边??上），折叠后顶点?恰好落在边??上的点?处，已知点?的坐标为(10,8)，求点?的坐标（）
A．(10,3)B．(3,10)C．(6,10)D．(8,6)
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，坐标与图形，灵活运用所学知识是解题的关键．
先根据点?的坐标得到?? = ?? = 10，?? = ?? = 8，再由折叠的性质得到?? = ??，?? = ?? = 10，利用勾股定理求出?? = 6，则?? = 4，设?? = ?，则?? = ?? = 8−?，由勾股定理得(8−?)2 = ?2 + 42，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形????是长方形，点?的坐标为(10,8)，
∴?? = ?? = 10，?? = ?? = 8，
由折叠的性质可得?? = ??，?? = ?? = 10，
∴?? =??2−??2 = 6，
∴?? = ??−?? = 4，
设?? = ?，则?? = ?? = 8−?，
在Rt △ ???中，由勾股定理得??2 = ??2 +??2，
∴(8−?)2 = ?2 + 42，解得? = 3，
∴?? = 3，
∴?(10,3)．
如图，将一张三角形纸片???折叠，使点 A 落在??边上，折痕??∥??得到 △ ???；再继续将纸片沿 △ ???的对称轴??折叠，依照上述做法，再将 △ ???折叠，最终得到长方形????，折叠后的△ ???和△ ???的面积分别为 1 和 2，则△ ???的面积为（ ）
A．6B．9C．12D．18
22
由翻折知：?△???≌?△???，
∴ ?△??? = ?△??? = 3
又?△??? = ?△??? = 1,?△??? = ?△??? = 2，
∴ ?△??? = 2(?△??? + ?△??? + ?△???) = 2 × (3 + 1 + 2) = 2 × 6 = 12，故选：C．
??⋅ℎ
??⋅ℎ
=+= ?△??? + ?△??? = 1 + 2 = 3，
(??+??)⋅ℎ
2
=
??⋅ℎ
2
=
??⋅ℎ
2
∴ ?△??? =
22
∴ ?? ⊥ ??,?? ⊥ ??，
∴ ?? ∥ ??，又?? ∥ ??，
∴ 四边形????是矩形，
设△ ???的边??上的高为ℎ，
180°
180°
∴ ∠??? = ∠??? == 90°,∠??? = ∠??? == 90°，
【答案】C
【分析】本题考查的是翻折变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．根据翻折变换的性质得到?△???≌?△???， △ ???≌ △ ???，
△ ???≌ △ ???， 设△ ???的边??上的高为ℎ，能够求得?△??? = 3，根据题意?△??? = 2 (?△??? + ?△??? + ?△???)问题可求解．
【详解】解：由题意得： △ ???≌ △ ???， △ ???≌ △ ???，
∴ ∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
又∵ ∠??? + ∠??? = 180°,∠??? = ∠??? = 180°，
如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张?4纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为
??，点?落在线段??上的点?′处，第二次折叠折痕为??，点?与点?恰好重合，此时??与??的比是（ ）
B． 2−1
1
A．2
C． 2
2
2
D．5
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换；
设?? = ?，利用折叠及勾股定理可得?? = ?? = 2?，?? =2−1 ?，由△ ???′是等腰直角三角形及折
叠可得?? = ?′? = ?′? = ??，则??可求.
??
【详解】解：设?? = ?，
由折叠可知， △ ???是等腰直角三角形，∠??? = 45°，
∴?? =?2 + ?2 = 2?，
∴?? = ?? = 2?，
∵矩形????中?? = ?? = 2?，
∴?? = ??−?? =2−1 ?，
由折叠可知：?? = ?′?,?? = ?′?,∠??? = ∠???′ = 180°−∠??? = 135°,∠?′ = ∠? = 90°，
∵矩形????中∠??? = 90°，
∴∠?′?? = 45°，
∴∠?′?? = 90°−45° = 45°，即：∠?′?? = ∠?′??，
∴?′? = ?′? = ?? = ?? =2−1 ?，
∴?? =
??
2−1，
故选：B．
如图，将正方形????折叠，使得点 B 落在??边的点 G 上，点 A 折叠后的对应点为 H，折痕为??，连
3
接??，若tan∠??? = 4，?? = 10，则??的长为．
【答案】 5
85
【分析】连接??交??于?，过?作?? ⊥ ??于?，过?作?? ⊥ ??于点?，根据正方形的性质得到
?? = ?? = ?? = ??，∠? = ∠??? = ∠? = ∠??? = 90°，由折叠性质可知?? ⊥ ??，进而证明
△ ???≌ △ ???(ASA)，得到?? = ?? = 10；根据正切的定义得到tan∠??? = ?? = 3，设?? = 3?，则
??
4
?? = 4?，进而表示出?? = ?? + ?? = 9?，?? = ??−?? = 6?，在Rt △ ???中利用勾股定理列出方程，求
出?的值，再证明△ ??? ∽△ ???，求出??和??的长度，最后利用勾股定理求解??的长度即可．
【详解】解：连接??交??于?，过?作?? ⊥ ??于?，过?作?? ⊥ ??于点?．
∵四边形????是正方形，
∴?? = ?? = ?? = ??，∠? = ∠??? = ∠? = ∠??? = 90°．
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，?? = ?? = ??．
由折叠性质可知，?? ⊥ ??，
∴∠??? + ∠??? = 90°．
又∵∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???．
在△ ???和△ ???中，
∠? = ∠??? = 90°
?? = ??，
∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ?? = 10．
??3
∵tan∠??? = ?? = 4，
∴设?? = 3?，则?? = 4?，
∴?? =(3?)2 + (4?)2 = 5?．
由折叠可知?? = ?? = 5?，?? = ?? = 9?，
∴?? = ?? + ?? = 9?，?? = ??−?? = 9?−3? = 6?．在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
∴?? = ??−?? = 5 −2 = 5，
5
12
2
在Rt △ ???中，
?? =?? + ?? =
2
2
9 2
5
+=
2 2
5
85．
9
12
∴?? = 5 ，?? = 5，
????9?9????9
??
∴?? = ?? = ?? = 5? = 5，即 3 = 1 = 5，
∴∠??? = ∠? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
由折叠得∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???．
4
4
∴?? = 1，?? = 3，?? = 2，?? = 3，?? = ?? = ?? = 3．
∵?? ⊥ ??，
1
解得? = 3（舍去负根）．
2
∴(9?)2 + (3?)2 = ( 10) ，
5．如图，一张三角形纸片???，其中∠? = 90°，?? = 6，?? = 8．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点
A 落在 C 处，折痕记为 m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点 A 落在 B 处，折痕记为 n．则?? = ．
【答案】15
【分析】由三角形中位线定理求出? = 4；由勾股定理求出?? = 10，证明△ ??? ∽△ ???，得出对应边成比例求出??即可．
【详解】解：如图所示：
4
故答案为：15．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．
15
∴?? = 4 ×= 15，
15
15
解得：?? = 4 ，即? = 4 ，
5
??
∴ 6 = 8，
∵ ∠? = ∠?，
∴△ ??? ∽△ ???，
2
由折叠的性质得：?? = ?? = 1?? = 5,∠??? = 90°，
∵ ∠? = 90°,?? = 6,?? = 8，
∴ ?? =??2 + ??2 = 10，
1
2
∴ ? = ?? = ?? = 4，
由折叠的性质得：??是线段??的垂直平分线，
∴??是△ ???的中位线，
6．在矩形????中，??的长度为 a，??的长度为 b(? < ?)，将矩形????进行如图所示顺序的折叠．第三步折叠后，点 C 与点 D 的对应点分别为?′，?′．
若点?′落在点?′下方，则?′?′ = ；（用含 a，b 的代数式表示）
?
若点?′，?′，重合，则? =；
（3）b 的值保持不变，改变 a 的值，且点 C′始终落在点?′下方．若四边形?′?′??的面积的最大值为 3，则
? = ．
【答案】
3?−2?/−2? + 3?
2
3
6
【分析】（1）根据折叠的性质推出?? = ?? = ?′? = ?′? = ?，?? = ?? = ?′? = ?′? = ?−?，再用??−?′
?−??′可得?′?′；
（2）令?′?′ = 0
?
，变形可得?；
列出? ′ ′= ?′?′ × ?′? = −3?2 +5??−2?2，根据二次函数的最值得到当? = 5?时，? ′ ′
最大，
? ? ??
结合最大值为 3 即可求出 b 值．
【详解】解：（1）由折叠可得：?? = ?? = ?′? = ?′? = ?，
6? ? ??
?? = ?? = ?′? = ?′? = ?−?，若点?′落在点?′下方，
则?′?′ = ?−2(?−?) = 3?−2?；
（2）若点?′，?′，重合，则?′?′ = 3?−2? = 0，
∴3? = 2?，
?2
∴? = 3；
（3）∵点?′始终落在点?′下方，
′ ′′22
∴??′?′?? = ? ? × ? ? = (3?−2?)(?−?) = −3? +5??−2? ，
∵b 的值保持不变，改变 a 的值，
∴当? = −
5?
2×(−3) =
5?
6 时，??′?′??最大，
∴4×(−3)×(−2?2)−(5?)2 = 3，整理得：25?2−24?2 = 36，
4×(−3)
解得：? = 6（负值舍去），
2
故答案为：3?−2?，3，6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠问题，二次函数的最值，解题的关键是结合折叠的性质表示线段的长度，并且能灵活运用二次函数的最值计算．