2026年中考数学二轮复习 专题07 反比例函数的综合应用(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题07 反比例函数的综合应用(高频考点专练)，共7页。试卷主要包含了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与三角形的综合题型三，反比例函数与动态最值的综合等内容，欢迎下载使用。
高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）聚焦题型精准解密（5 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 反比例函数与一次函数的综合
题型二 反比例函数与三角形的综合题型三 反比例函数与四边形的综合题型四 反比例函数与圆的综合
题型五 反比例函数与动态最值的综合
实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升）
反比例函数综合应用是中考数学核心必考模块，分值约 8-12 分，多以解答题、选择压轴题形式出现，少数地区会融入填空压轴考查，整体覆盖基础、中档、拔高三个难度层级。该专题侧重考查数形结合、转化、建模三大数学思想，核心围绕反比例函数解析式求解、k 的几何意义、几何图形性质与函数图象的融合展开，是衔接代数与几何的关键题型，也是拉开分数差距的重要考点。
基础知识必备：熟练掌握反比例函数的图象与性质，牢记 k 的几何意义；会求解一次函数与反比例函数的
交点坐标；掌握三角形、特殊四边形、圆的核心性质与判定；能利用几何定理、勾股定理、相似性质进行线段、面积、坐标的计算；掌握动态问题的分析思路与最值求解方法。
2026 中考预测：
题型稳定：解析式求解、面积计算、几何图形综合为必考考点，动态最值、圆的综合为压轴高频考法；命题贴合教材，基础与综合结合，无偏题怪题。
难度平稳：基础题侧重单一知识点直接应用，全员可得分；中档题侧重双知识点融合，考查逻辑推导与计 算能力；压轴题侧重多模块综合（函数 + 几何 + 坐标），无偏题怪题，难点集中在数形转化与分类讨论，
重点考查知识迁移与综合应用能力；
命题趋势：与几何图形的跨模块融合占比持续提升，常结合矩形、菱形、相似三角形设置问题，强调 k 的
几何意义的灵活迁移；与一次函数的综合题更注重图象的实际应用，结合函数图象分析实际问题中的数量关系；模型化凸显，常见几何模型与反比例函数结合成主流；素养导向，弱化机械计算，强化数学思想与实际应用能力考查。
题型一 反比例函数与一次函数的综合
【典例 01】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系???中，一次函数? = −? + 2的图象与反比例函数? = ?(? ≠ 0)的图象交于点?和点?(?,−1)．
?
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若?是第二象限内双曲线上的点（不与点?重合），连接??，过点?作?轴的平行线，与直线??相交于点
5
?，连接??．若△ ???的面积为2，求点?的坐标．
【答案】(1)? = −3
?
3
2
(2)? −2,
【分析】（1）由题意，将?(?,−1)代入? = −? + 2，求得? = 3，再将点?(3,−1)代入? = ?(? ≠ 0)即可求解；
?
3
?
（2）设点? ?,−
(? < 0)，则?(?,−? + 2)，则?? = |− 3 −(−? + 2)|．可得?
△???
= 1(−?) 2
?
|− 3 −(−? + 2)| = 5，分类讨论计算即可．
?2
【详解】（1）解：由题意，将?(?,−1)代入? = −? + 2，可知−1 = −? + 2，
∴? = 3，
∴?(3,−1)．
又点?(3,−1)在? = ?(? ≠ 0)上，
?
∴? = −3．
3
∴反比例函数为? = −?．
（2）解：如图，
3
?
设点? ?,−
(? < 0)，则?(?,−? + 2)，
?
∴?? = |− 3 −(−? + 2)|．
∴?
= 1(−?)|− 3 −(−? + 2)| = 5,
△???2?2
? = − 3
由?，
? = −? + 2
解得
?1 = 3
?1 = −1
则?(−1,3)，
?2 = −1
，，
?2 = 3
①由图可知，在第二象限当− 3 > −? + 2时，−1 < ? < 0，
?
∴?= (−?)|−−(−? + 2)| = 5化简为? −2? + 2 = 0，
1 32
△???2?2
∵Δ = (−2)2−4 × 2 = −4 < 0，
∴此种情况不存在．
②由图可知，在第二象限当− 3 < −? + 2时，? < −1，
?
∴?= (−?)|−−(−? + 2)| = 5化简为? −2?−8 = 0，
1 32
△???2?2
解得? = 4或−2．又∵? < −1，
∴? = −2．
3
2
综上，? −2,．
?
【变式 01】如图，直线? = ?? + ?与双曲线? = ?相交于?(−1,3)，?(?,−1)两点，与?轴相交于点?．
求?和?的值：
若点?与点?关于?轴对称，求 △ ???的面积．
【答案】(1)? = −3,? = 3
(2)8
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求解函数解析式，轴对称的性质，直线与坐标轴的交点问题等知识点．
利用待定系数法即可求解?,?；
（2）先求出一次函数解析式，然后求出点?坐标，根据轴对称的性质求出点?，再由?△??? = ?△??? + ?△???
求解即可．
?
【详解】（1）解：∵直线? = ?? + ?与双曲线? = ?相交于?(−1,3)，?(?,−1)两点，
?
∴将?(−1,3)，?(?,−1)两点代入? =
? = −1 × 3 = −3 = ? × (−1)，
?，则
∴? = 3，
∴?(3,−1)；
（2）解：将点?(3,−1)，?(−1,3)代入? = ?? + ?，
3? + ? = −1
则 −? + ? = 3 ，
? = −1
解得 ? = 2 ，
∴一次函数解析式为? = −? + 2，令? = 0，则? = 2，
∴?(0,2)，
∵点?与点?关于?轴对称，
∴?(0,−2)，
∴?? = 2−(−2) = 4，
∴?
△???
= ?
△???
+ ?= 1 × 4 × 1 + 1 × 4 × 3 = 8．
△???
22
【变式 02】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，?为坐标原点，一次函数? = 2? + 10的图
象与反比例函数? = ?(? ≠ 0)的图象交于?(−4,?)，?两点，与?轴交于点?，与?轴交于点?．
?
(1)求反比例函数的表达式及tan∠???的值；
(2)若?为反比例函数图象上的点，且?△??? = 1?△???，求满足条件的?点坐标．
5
8
【答案】(1)? = −?，2
(2)(−4,2)或(4,−2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求正切值．
8
（1）先求得点?的坐标，待定系数法求得? = −?，进而求得?的坐标和点?的坐标，根据正切的定义，即可
求解；
（2）先求得?△??? = 25，则?△??? = 1?
5
△???
= 5，进而根据三角形的面积公式可得?? =± 2，即可求解．
【详解】（1）解：将点?(−4,?)代入? = 2? + 10中，得? = 2 × (−4) +10 = 2，
∴ ?(−4,2)，
将?(−4,2)代入反比例函数? = ?
? = −4 × 2 = −8，
?中，得
8
则反比例函数的表达式为：? = −?．
在? = 2? + 10中，令? = 0，则? = 10， ∴ ?(0,10)， ∴ ?? = 10，令? = 0，则? = −5， ∴ ?(−5,0)， ∴ ?? = 5．
在Rt △ ???中，tan∠??? = ?? = 2．
??
由（1）得，?△???11，
∴ ?
△???
= 1? 5
△???
= 5，
= 2?? ⋅ ?? = 2 × 5 × 10 = 25
|?
1
∴ × 5
| = 5．
2?
∴ ?? =± 2，
?
在? = −8中，当? = 2时，? = −4，此时?(−4,2)；当? = −2时，? = 4，此时?(4,−2)．
故点?的坐标为(−4,2)或(4,−2)．
【变式 03】（2026·湖北黄石·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数? = ?? + ?和反比例函数
?
? = 4的图象相交于点?(1,?)，?(?,−2)．
(1)直接写出点?、?的坐标； (2)求一次函数的解析式；
4
(3)根据图象，直接写出不等式? < ?? + ? < 0的解集．
【答案】(1)?(1,4) ，?(−2,−2)
(2)? = 2? + 2
(3)−2 < ? < −1
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解不等式，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键．
运用反比例函数解析式求出点?、?的坐标即可；
使用待定系数法求出一次函数的解析式；
根据图象判断不等式的解集即可．
4
【详解】（1）解：将? = 1代入? = ?，得? = 4，
∴点?坐标为(1,4)，
4
将? = −2代入? = ?，得? = −2，
∴点?坐标为(−2,−2)；
4 = ? + ?
（2）解：将?(1,4) ，?(−2,−2)代入? = ?? + ?，得 −2 = −2? + ? ，
? = 2
解得： ? = 2 ，
∴一次函数的解析式为? = 2? + 2；
4
（3）解：不等式? < ?? + ? < 0，意味着反比例函数图象低于一次函数的图象，且两个函数的图象都在?轴
下方，
将? = 0代入? = 2? + 2，得0 = 2? + 2，解得：? = −1，
4
由图象可知，不等式? < ?? + ? < 0的解集为−2 < ? < −1．
【变式 04】（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数?1 = ?? + ?与反比例函数?2 = −
?
1交于?(?,2)和?(−3,?)两点．
求 m、n 的值和一次函数的解析式；
1
(2)直接写出当?? + ? > −?时，x 的取值范围；
(3)连接??、??，求 △ ???的面积．
? = −
【答案】(1)1? = 1，?27
2，31 = 3? + 3
1
(2)−3 < ? < −2或? > 0
12
(3)35
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出点 A 和点 B 的坐标是解题的关
键．
把点 A 和点 B 的坐标代入反比例函数解析式中可求出 m、n 的值，进而得到点 A 和点 B 的坐标，再把点 A 和点 B 的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可；
设直线??交 x 轴于点 C，求出点 C 的坐标，根据?△??? = ?△???−?△???列式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数?1
= ?? + ?与反比例函数?2
= −1交于?(?,2)和?(−3,?)两点，
?
11
∴2 = −?，? = −−3，
11
1
3
∴? = −2，? = 3，
1
1
3
∴? − 2 ,2 ，?
−3,，
2
− 1 ? + ? = 2
1
把? − 2 ,2 ，?
? = 2
3
−3,代入一次函数解析式得
−3? + ? = 1 ，
3
解得 ? = 7 ，
3
∴一次函数解析式为?27；
1 = 3? + 3
11
（2）解：由函数图象可知，当?? + ? > −?时，x 的取值范围为−3 < ? < −2或? > 0；
（3）解：如图所示，设直线??交 x 轴于点 C，
在?27?
3
1 = ? + 中，当
3
1 = 0时，? = −3.5，
∴?(−3.5,0)，
∴?? = 3.5，
∴?
= ?
1
−?
1135
△???
△???
△??? = 2 × 3.5 × 2−2 × 3.5 × 3 = 12．
【变式 04】（2025·江苏连云港·二模）如图，已知点?(?,6)在直线? = 3?上，双曲线? = ?(? ≠ 0)经过点 A．
?
求双曲线的函数表达式；
点?(? ,?),?(? ,?)分别在直线? = 3?和双曲线? = ?
? > ? 时，直接写出 b 的取值范围；
12?上，当 12
点 B 在线段??上（不与 A 点重合），将点 A 绕着点 B 顺时针旋转90⁰得到点 C，当点 C 恰好落在双曲线
? = ?(? > 0)上时，求点 C 的坐标．
?
【答案】(1)? = 12
?
−6 < ? < 0或? > 6；
?(3,4)
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象确定函数值的取值范围，全等三角形的判定和性质，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
?求得
（1）把?(?,6)代入? = 3?可得? = 2，即?(2,6)；把?(2,6)代入? = ?
k 的值即可解答；
先求出两函数图象交点的纵坐标，然后根据函数图象即可解答；
过点?作??∥?轴，过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，∠??? = ∠??? = 90⁰，可得Δ???≅ Δ???，则设点?(?,3?),?? = ?? = 6−3?，?? = ?? = 2−?，得到点?(6−2?,4?−2)，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出?值，继而得到点?坐标．
【详解】（1）解：把?(?,6)代入? = 3?，得6 = 3?，解得? = 2，
把?(2,6)代入? = ?? = 2 × 6 = 12，
?得
∴ 双曲线的函数表达式为? =
（2）直线? = 3?与双曲线
12
? ；
?
交于点?(2,6)，
? = ?(? ≠ 0)
∴ 另一个交点为(−2,−6)，
∵ 点?(? ,?),?(? ,?)分别在直线? = 3?和双曲线? = ?
12?上，
观察图象，
当?1 > ?2时，−6 < ? < 0或? > 6；
（3）解：如图 ，过点?作??∥?轴，过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?,∠??? = ∠??? = 90⁰，
∴ ∠??? + ∠??? = 90⁰，
∵ 点?绕点?顺时针旋转90⁰，
∴ ∠??? = 90°,?? = ??，
∴ ∠??? + ∠??? = 90⁰，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
设点?(?,3?),?? = ?? = 6−3?,?? = ?? = 2−?，
∴ 点?(6−2?,4?−2)，
∵ 点?在反比例函数图象上，
∴ (4?−2)(6−2?) = 12，
= ,
解得?13 ? = 2（舍去），
2 2
∴ 6−2? = 3,4?−2 = 4，
∴ 点?(3,4)．
【变式 06】（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系???中，点 A 的坐标为(−3,0)，点?(?,4)在反
?
比例函数? = ?的图象上，连接??，且∠??? = 45⁰．
求 k 的值；
?
平移线段??，使得点A 的对应点C 落在反比例函数? = ?的图象上，点B 的对应点D 落在x 轴上．连接??,??，
求四边形????的面积；
?
(3)在反比例函数? = ?的图象上取一点 E、且 E 在直线??的下方．设直线??与直线??相交于点 F，当
?? = 2??时，求满足条件的点 E 的坐标．
【答案】(1)? = 4
(2)24；
2
?(−2,−2)或?− 1 ,−8或?(2,2)
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，平移的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
（1）设线段??交?轴于点?，得到?(0,3)，求出??的解析式为? = ? + 3，求得?(1,4)，利用待定系数法即
可求出答案；
（2）求出?(−1,−4)和?(3,0)，得到?? = 6，即可求出答案；
（3）分三种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，设线段??交?轴于点?，
∵∠??? = 45⁰，∠??? = 90⁰，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = ?? = 3，
∴?(0,3)，
设直线??的解析式为? = ?′? + ?，则
? = 3
−3?′ + ? = 0 ,
? = 3
解得 ?′ = 1 ，
∴? = ? + 3，
∴? + 3 = 4，解得? = 1，
∴?(1,4)，
?
∴4 = 1，
∴? = 4；
（2）解：∵?(1,4)对应点 D 落在?轴上，
∴?(1,4)向下平移 4 个单位，
∵?(−3,0)的对应点为点?，
∴点?的纵坐标为−4,
4
∵点 C 落在反比例函数? = ?的图象上，
∴?(−1,−4)
∴?点向右平移 2 个单位，向下平移 4 个单位得到点 C，
∴?(3,0)，
∴?? = 6，
∴四边形????的面积为2 ×
1 × 6 × 4 = 24；
2
4
?
（3）解：设? ?,
，?(?,?)，
直线??的解析式为? = 4?，
当点?在第三象限时，
8
?
当点?是??的中点时，?2? + 3,，
8
∴4(2? + 3) = ?，
1
解得? = −2或? = 2（舍去）
∴?(−2,−2)，
?+32?2
当?? = 2??时，?+3 = 3，4 = 3，
?
28
∴? = 3?−1,? = 3?
8
3?
∴? 2 ?−1,
3
∴4 2 ?−1 = 8 ，
33?
解得? = 2（舍去）或1
? = −
2
1
∴? − 2 ,−8 ，
当点?在第一象限时，
?+32?2
当?? = 2??时，?+3 = 3，4 = 3，
?
28
∴? = 3?−1,? = 3?
8
3?
∴? 2 ?−1,
3
∴4 2 ?−1 = 8 ，
33?
1
解得? = 2或? = −2（舍去）
∴?(2,2)，
8
?
当点?是??的中点时，?2? + 3,，
8
∴4(2? + 3) = ?，
1
解得? = −2（舍去）或? = 2，
2
∴? 1 ,16，此时点 E 在直线??的上方，不符合题意，舍．
2
综上可知，?(−2,−2)或?− 1 ,−8或?(2,2)
题型二 反比例函数与三角形的综合
【典例 01】（2024•张店区一模）如图 1，已知反比例函数
?
? = ?(?＞0，?＞0)
的图象经过 Rt△OAB 斜边 OB
的中点 C，且与直角边 AB 相交于点 D，另一直角边 OA 在 x 轴上．
已知 Rt△OAB 的面积为 8，请求出 k 的值；
如图 2，直线 y＝mx+b 经过 C，D 两点，在（1）的条件下，当∠AOB＝45°时，请求出直线 CD 的表达式；
根据图象，请直接写出关于 x 的不等式?＞?? + ?的解集．
?
【分析】（1）由 Rt△OAB 的面积 = 1 × 2m×2n＝8，即可求解；
2
当∠AOB＝45°时，则直线 OB 的表达式为：y＝x，故（1）中 m＝n，进而求解；
观察函数图象即可求解．
【详解】解：（1）设点 C（m，n），由中点坐标公式得，点 B（2m，2n），
则 Rt△OAB 的面积 = 1 × 2m×2n＝8，
2
则 mn＝4， 则 k＝mn＝4；
（2）当∠AOB＝45°时，
则直线 OB 的表达式为：y＝x，
故（1）中 m＝n，即 mn＝m2＝4，
解得：m＝﹣2（舍去）或 2，
即点 C（2，2），则点 B（4，4），
由（1）知，反比例函数的表达式为：y = 4，
?
当 x＝4 时，y＝1，即点 D（4，1），
1
由点 C、D 的坐标得，直线 CD 的表达式为：y；
= − x+3
2
（3）观察函数图象知，不等式?＞?? + ?的解集为：x＞4 或 0＜x＜2．
?
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，解不等式等，数形结合是解题的关键．
【变式 01】（2025·陕西渭南·一模）如图，一次函数?1 = ? + ?（b 为常数）的图像与 y 轴交于点?(0,2)，
?
与反比例函数? =
k 为常数，且? ≠ 0）的图像交于点 B、?(1,?)，连接??．
2?（
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点?是?轴上一点，是否存在点?，使得以点?、?、?为顶点的三角形是等腰三角形，且??为等腰三角形的腰，若存在，求出点?的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数的表达式为?1 = ? + 2，反比例函数的表达式为?2 = 3
?
(2)存在，点?的坐标为?1(0, 10)，?2(0,− 10)，?3(0,6)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形定义．准确计算是解题的关键．
利用待定系数法求解；
（2）分?? = ??，?? = ??两种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可．
【详解】（1）将?(0,2)代入?1 = ? + ?中，得? = 2，
∴ 一次函数的表达式为?1 = ? + 2，
∵ ?(1,?)在一次函数图像上，
∴ ? = 1 + 2 = 3，
?
将?(1,3)代入? =
? = 3 × 1 = 3，
2?中，得：
∴ 反比例函数的表达式为?2
3
= ?；
存在，理由如下：
由（1）知：点?的坐标为(1,3)，如图，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，
12 + 32
由勾股定理得：?? == 10，
①如图，当?? = ?? = 10时，点?的坐标为?1(0, 10)，?2(0,− 10)；
②如图，当?? = ?? = 10时，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，易证四边形????为矩形，则?? = ?? = ?? = 3，
∴ ?? = 2?? = 6，点?的坐标为?3(0,6)，
综上所述，存在满足要求的点?，点?的坐标为?1(0, 10)，?2(0,− 10)，?3(0,6)．
【变式 02】（2024•章丘区一模）如图，点 A，B 是反比例函数 y = ?（x＞0）的图象上的点，过点 A 作 AC
?
⊥x 轴，垂足为 C，过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为 D，OD＝DC，连接 AO，BO，AB，线段 AO 交 BD 于点
1
E，OA = 5，tan∠AOC = ．
2
求反比例函数的解析式；
求△ABE 的面积；
若将 AB 所在的直线向下平移 m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象 y = ?（x＞0）有且只有
?
一个公共点，求 m 的值．
【分析】（1）先求求出 AC，OC 长，确定 A 点的坐标，代入反比例函数解析式即可；
求出 DE 的长，确定 BE 的长，根据三角形面积公式求得；
求出 AB 的函数解析式，再确定平移后的函数解析式，和反比例函数联立，转化为一元二次方程，根据Δ＝0 求得．
【详解】解：（1）在 Rt△AOC 中，
∵tan∠AC = ?? = 1，
??2
∴可设 AC＝k，OC＝2k，
∴k2+（2k）2＝（ 5）2，
∴k＝1，
∴A（2，1），
∴1 = ?，
2
∴k＝2，
∴? = 2；
?
（2）∵OC＝CD，OC＝2，
∴OD＝1，
∴y = 2 = 2 = 2，
?1
即：B（1，2），
∵AC⊥OC，BD⊥OC，
∴BD∥AC，
∴△ODE∽△OCA，
??
∴=
??
??
??
= 1， 2
∴DE
11
= ?? = ，
22
13
∴BE＝BD﹣DE＝2 ，
∴ ?△??? =
− =
22
1
BE•DC
2
13
= × × 1
22
= 3； 4
（3）设 AB 的解析式是：y＝mx+n，
? + ? = 2
∴ 2? + ? = 1，
? = −1
∴ ? = 3，
∴y＝﹣x+3，
∴平移后的函数解析式是：y＝﹣x+（3﹣m），
由﹣x+（3﹣m） = 2得，
?
x2﹣（3﹣m）x+2＝0，
∵Δ＝（3﹣m）2﹣4×1×2＝0
∴m1＝3﹣2 2，m2＝3+2 2（舍去），
∴? = 3−2 2．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数图象和性质，相似三角形性质以及一元二次方程根的判别式，解决问题的关键是熟练掌握基础知识．本题属于基础题．
【变式 03】Rt △ ???在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数?
在第一象限内的图象与??
? = ?(? > 0)
边交于点?(?,2)，与??边交于点?(?,4)， △ ???的面积为 2．
求 ? 与? 的数量关系；
1
(2)当tan∠??? = 2时，求反比例函数的解析式和直线??的解析式；
(3)设点 ? 是线段??边上的点，在（2）的条件下，是否存在点 ? ，以?，?，?为顶点的三角形与△ ???相似？若存在，求出此时点? 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)? = 2?
4
(2)? = ?，? = 2?−2
(3)存在，?(1.5,1)或?(1.8,1.6)
【分析】本题考查了反比例函数的性质（反比例函数上点的横纵坐标之积为定值）、锐角三角函数的定义、一次函数解析式的求法及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用反比例函数点的坐标关系推导?与? 的数量关系，结合三角函数和三角形面积求函数解析式，再通过分类讨论相似三角形的对应关系求点?坐标．
?
（1）根据反比例函数? = ?上点的横纵坐标之积为?，得? = 2? = 4?，化简得? = 2?；
1??1
（2）过?作?? ⊥ ??于?，由tan∠??? = 2得?? = 2，结合△ ???面积为2列方程求? = 1，进而得? = 2、
? = 4，确定反比例函数解析式；再根据 B、?两点坐标求直线??解析式；
分△ ??? ∽△ ???和 △ ??? ∽△ ???两种情况，作?? ⊥ ??，利用相似三角形的对应边成比例求??的长度，结合直线??解析式求点?坐标．
?
【详解】（1）解：∵点?(?,2)、?(?,4)在反比例函数? = ?上，
∴? = ??，即? = 2?，? = 4?．
∴2? = 4?，化简得? = 2?．
（2）如图，过点D作?? ⊥ ??于点 ? ．
在Rt △ ???中，tan∠??? = tan∠??? = ?? = 1，
??2
由点?(?,2)、?(?,4)知?? = 4−2 = 2，?? = ?−? = 2?−? = ?，
故?? =
∵ ?
1
2 × ?? =
1
1 × 2 = 1，?? = ?? + ?? = ? + 1，
2
1
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2(? + 1) ⋅ 2 = 2，
∴ ? = 1．
?
∵点?(?,4)在反比例函数? = ?上，
∴? = 4? = 4，
4
∴反比例函数的解析式? = ?．
由?(?,4)知，?? = 1，则?? = ?? + ?? = ? + 1 + 1 = 3，
∴?(3,4)，又?(?,2)即?(2,2)，
设直线??的解析式为? = ?? + ?，将点 B 与点 D 的坐标代入，
3? + ? = 4
2? + ? = 2 ，解得? = 2,? = −2，
∴直线??的解析式为? = 2?−2．
（3）如图，作?? ⊥ ??于 ? ，
????
①当△ ??? ∽△ ???时，∠??? = ∠???，?? = ??
∴ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ??//??，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??
????22
∴ ?? = ??即3 = ??
∴ ?? = 3
∴ ?(1.5,1)
????
②当△ ??? ∽△ ???时，?? = ??
，
25
∴ ?? = 3
6 5
∴ ?? = 5
????52
∵ ?? = ??即6
5
5 = ??
∴ ?? = 2.4
∴ ?(1.8,1.6)．
综合①②可知，?(1.5,1)或?(1.8,1.6)．
【变式 04】在平面直角坐标系???中，反比例函数? = ?(? > 0)的图象与等腰直角三角形???相交，
?
∠??? = 90⁰，?? = 6.
如图 1，若反比例函数的图象恰好经过△ ???的顶点 B 时，求反比例函数的表达式；
在（1）的前提下，过点 A 作?? ∥ ??交反比例函数的图象于点 Q，连接??，求 △ ???的面积和点 Q 的坐标；
??1
如图 2，若反比例函数的图象交△ ???的边??于点 C，且?? = 3，点 P 是反比例函数图象上的一动点，
满足△ ???的面积是 3，请直接写出点 P 的坐标.
【答案】(1)? = 9
?
9，点 Q 的坐标为3 + 3 2,3 2−3，
(3)(1,4)或(4,1)
【分析】（1）过点 B 作?? ⊥ ??于点 H，利用等腰直角三角形的性质求出点 B 的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点 Q 作?? ⊥ ?轴于点 M，求出直线??的解析式是? = ?和直线??的解析式为? = ?−6，与反比例函数解析式联立得到点 Q 的坐标为3 + 3 2,3 2−3，则?? = 3 2−3,?? = 3 + 3 2，利用?△??? = ?△??? +
?梯形???? −?△??? = ?梯形???? 即可得到答案；
（3）求出?? = 2?? = 2 2，过点 C 作?? ⊥ ??于点 N，得到?? = ?? = 2，过点 P 作?? ⊥ ?轴于点 R，求
3
4
出反比例函数解析式为? = ?，由（2）可知，?△??? = ?梯形???? = 3，解方程即可得到 m 的值，即可得到点
P 的坐标.
【详解】（1）解：过点 B 作?? ⊥ ??于点 H，
∵ △ ???是等腰直角三角形，∠??? = 90⁰，?? = 6.
∴?? = ?? = ?? =
1?? = 3，
2
∴点 B 的坐标为(3,3)，
∵反比例函数的图象恰好经过△ ???的顶点 B，
?
∴3 = 3，
解得? = 9，
9
∴反比例函数的表达式为? = ?；
过点 Q 作?? ⊥ ?轴于点 M，
设直线??的解析式是? = ??，把点 B 的坐标代入得到，
3 = 3?，
解得? = 1，
∴直线??的解析式是? = ?，
∵?? ∥ ??，
∴可设直线??的解析式为? = ? + ?，把点 A 的坐标(6,0)代入得到
0 = 6 + ?， 解得? = −6，
∴直线??的解析式为? = ?−6，
，
? = 9
联立得到
?
? = ?−6
+ 3 2
2−3
? = 3
解得 ? = 3
? = 3−3 2
或 ? = −3 2−3 （不合题意，舍去），
∴点 Q 的坐标为3 + 3 2,3 2−3，
∴?? = 3 2−3,?? = 3 + 3 2，
∴?△??? = ?△??? + ?梯形???? −?△???
= ?梯形???? =
1
1
2
2(??−??)(?? + ??) =
3 + 3 2−3 3 2−3 + 3 = 9；
∵ △ ???是等腰直角三角形，∠??? = 90⁰，?? = 6.
∴?? = 2?? = 3 2，
2
∵?? = 1，
??3
∴?? = 2,
??3
∴?? =
2?? = 2 2，
3
过点 C 作?? ⊥ ??于点 N，则?? = ?? = 2?? = 2，过点 P 作?? ⊥ ?轴于点 R，
2
∴点 C 的坐标是(2,2)，
?
∴2 = 2，解得? = 4，
4
∴反比例函数解析式为? = ?，
4
?
设点 P 的坐标为 ?,，
?
则?? = 4 ,?? = |?−2|，
4
?
1
由（2）可知，?△??? = ?梯形???? = 2 × |?−2| × 2 +
= 3，
解得：? = −1（不合题意，舍去）或? = 4或? = 1或? = −4（不合题意，舍去），
∴点 P 的坐标为(1,4)或(4,1)
【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式，解分式方程、等腰直角三角形的性质、一次函数和反比例函数图象交点问题等知识，数形结合是解题的关键.
【变式 05】（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系???中，已知点?的坐标为(2,2)，点?是反比
例函数? = 2(? > 0)的图象上一点，点?是一次函数? = −? + 2的图象上一点．
?
(1)连接??，与一次函数? = −? + 2的图象相交于点?．
求点?的坐标及??的长；
??
连接??,??，若点?在直线??的上方，当四边形????是矩形时，求??的值；
(2)连接??,??,??，是否存在点?使得 △ ???为等边三角形？若存在，求出满足条件的点?的坐标；若不存在，请说明理由．
2
??
【答案】(1)??的长为 2，?(1,1)；?? =
(2)满足条件的点?的坐标为(3− 3, 3−1)或( 3−1,3− 3)．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数交点坐标的计算、两点间距离公式的应用，以及矩形、等边三角形的性质与存在性分析等代数与几何结合的综合知识点．
（1）①先利用点?(0,0)和?(2,2)的坐标求出直线??的解析式为? = ?，再将其与一次函数? = −? + 2联立，解方程组得到交点?的坐标为(1,1)，最后通过两点间距离公式计算出??的长度即可；②先根据四边形???? 是矩形的性质，得出?? = ??且?? ⊥ ??；再由直线??的解析式? = ?推出直线??的解析式为? = −? + 4，
2
将其与反比例函数? = ?联立求解，结合点?在直线??上方的条件确定?的坐标；最后通过两点间距离公式
求出??的长度即可；
（2）先利用直线??的表达式结合反比例函数设出点?的坐标；再通过作垂线构造直角三角形(过点?作
?? ⊥ ?点?)，利用等边三角形的性质和直线与直线的交点求解(联立直线方程得?坐标)，推导??与??的数量关系；接着分点?在直线??下方和上方两种情况，结合对称性(直线? = −? + 2与反比例函数关于? = ?对称，点?在? = ?上)，通过坐标关系(如?? + ?? = 4)和方程求解(代入反比例函数表达式列方程)，最终确定满足条件的点?的坐标．
【详解】（1）解：(i)设直线??的解析式为? = ?? + ?，
∵点?的坐标为(2,2)，?(0,0)代入解析式，
2 = 2? + ?
得? = 0，
? = 1
解得 ? = 0 ，
∴直线??的解析式为? = ?，
联立??与一次函数? = −? + 2，得
? = ?
? = −? + 2 ，
? = 1
解得 ? = 1 ，
所以点?的坐标为(1,1)，
(2−1)2 + (2−1)2
∴??的长为?? == 2，
(ii)如图，
∵四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 2， ?? ∥ ??，
∵直线??的表达式为? = −? + 2，
∴设直线??的表达式为? = −? + ?，
∵?(2,2)，
∴2 = −2 + ?，解得? = 4，
∴直线??的表达式为? = −? + 4，
? = −? + 4
联立? = 2
?
2 2
? = 2 +
，
2
2
? = 2−
解得 ? = 2−或 ? = 2 +，
∵点?在直线??的上方，
2
22
2− 2− 2+ 2− 2 + 2
∴点?的坐标为2− 2,2 +，
∴?? =
= 2，
2
∴?? = 2
??
= 2；
（2）解：存在点?使得△ ???为等边三角形，理由如下：设直线? = −? + 2为直线?，
令? = 0得，0 = −? + 2，令? = 0得，? = −0 + 2，
? = 2? = 0
∴ ? = 0 ， ? = 2 ，
∴直线?与两坐标轴的坐标为(0,2)，(2,0)即直线?与两坐标轴围成了等腰Rt △ ???，
∴直线?与?轴夹角为45⁰，
∵直线??的解析式为? = ?，
∴直线??是两坐标轴的夹角平分线，
∴?? ⊥ ?，?? = ??，过点?作?? ⊥ ?点?，
2
?
2
?
?2
2
∴?? ∥ ?，设点? ?,
(? > 0),，设直线??的表达式为? = ? + ?，
22
224
8
242
∴??
= (2−?)
+ 2−
= ?
+ ?2−4?−? +8 = 2
+ ?2 −2?− ? + 4 ,? = ?−?，
? = ? + 2 −?
联立?，
? = −? + 2
? = ?+2 − 1
2?
解得 ? = −?+2 + 1 ，
2?
∴?
− 1 , −?+2 +
?+2
2
?2
2−?
2
1
?
2
，
1
?
−?+2
2
2
2?224
则??
=
−
+
−
= 2 + ?2−2?−? +4，
1
?
∴??2 = 2??2，即?? = 2??，
①如图，当点?在直线??下方时.过点?作?? ∥ ?轴，交直线于点?，
∴∠??? = 45⁰，
∴在Rt △ ???中，
∴?? = 2?? = ??，
∵ △ ???是等边三角形，
∴?? = ?? = ??，
∴点?即为点?，
∵ △ ???是等边三角形，?? ∥ ?轴，
∴由等边三角形的性质，?点的横坐标与??的中点坐标的横坐标相等，即?
= ??+??即?
+ ?
= 4，
?2
??
∴设?(?,−? + 2)，则?(4−?,−? + 2)，
∵点?在双曲线? =
2(2 > 0)上，
?
∴(4−?)(−? + 2) = 2，
解得?1 = 3− 3,?2 = 3 + 3(舍去)，
∴?1(3− 3, 3−1)，
②当点?在直线??上方时，
∵直线? = −? + 2和反比例函数图象都关于直线? = ?对称，点?(2,2)在直线? = ?上，
∴由对称性得点?1关于直线? = ?的对称点也满足题意，如图，连??1，??2，
∴??1 = ??2，??2 = ??1，
∵?? = ??，
∴??2 = ??1，
∵?? = ?? = 2，
∴ △ ???2≌ △ ???1(SSS)，
∴ △ ???2与△ ???1对应边??与??边上的高相等，即?1的纵坐标等于?2的横坐标，
∴将? = 3−1代入? = −? + 2中得? = −( 3−1) +2 = 3− 3，
∴?2( 3−1,3− 3)；
综上所述，满足条件的点?的坐标为(3− 3, 3−1)或( 3−1,3− 3)．
题型三反比例函数与四边形的综合
【典例 01】（2025·河南郑州·三模）如图，在平面直角坐标系???中，▱????的边??在一次函数1
图象上．且点?(3,1)在反比例函数?
的图象上．?? ∥ ?轴，点?(8,2)．
? = 2? + ?
? = ?(? > 0)
求一次函数及反比例函数的解析式；
若将▱????向下平移，当点 C 落在?
图象上时，求平移的距离．
? = ?(? > 0)
【答案】(1)? = 1?−1，? = 3
2
(2)1
22?
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，平移的性质，掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．
利用待定系数法求解即可；
根据平行四边形的性质，得到点 A 的纵坐标为 2，再根据点?在一次函数
11
图象上，求出点?的
? = 2?−2
横坐标，从而得到点?(6,1)，设点向下平移的距离为 a，则平移后的点?(6,1−?)，再利用反比例函数解析式
求解即可．
【详解】（1）解： ∵ 点?(3,1)在一次函数1
图象上，
? = 2? + ?
11
∴ 1 = 2 × 3 + ?，解得? = −2，
11
∴ 一次函数解析式为? = 2?−2，
?图象上，
∵ 点?(3,1)在反比例函数? = ?
?
∴ 1 = 3，解得? = 3，
3
∴ 反比例函数的解析式为? = ?；
（2）解： ∵ 四边形????为平行四边形，
∴ ??∥??，
∵ ?? ∥ ?轴，
∴ ?? ∥ ?轴，
∵ 点?(8,2)，
∴ 点 A 的纵坐标为 2，
当? = 2时，11，
2 = 2?−2
∴ ? = 5，
∴ ?? = ?? = 8−5 = 3，
∴ 点?(6,1)，
∵ ▱????向下平移，当点 C 落在? =
(? > 0)图象上，
?
?
∴ 设点向下平移的距离为 a，则平移后的点?(6,1−?)，
1
∴ 6(1−?) = 3，解得? = 2，
1
∴ 平移的距离为2．
【变式 01】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，一次函数? = 2? + ?的图象与 x 轴，y 轴交于
?(−3,0)，B 两点，与反比例函数? = ?(? ≠ 0)的图象交于点?(1,?)．
?
求 m 和 k 的值；
已知四边形????是正方形，点 P 在反比例函数? = ?(? ≠ 0)第三象限的图象上．当 △ ???的面积等于正
?
方形????面积的一半时，求点 P 的坐标．
【答案】(1)? = 6，? = 8
4
3
(2) −6,−
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，解题的关键是正确求出函数解析式．
（1）把?的坐标代入? = 2? + ?，即可求出? = 6，把?(1,?)代入? = 2? + 6，求出? = 8，把?(1,8)代入
?
? = ?，求出? = 8；
（2）设?的坐标是
8 ，由△ ???的面积等于正方形????面积的一半，得到1
1 ?2，求解?，
(?,?)2?? ⋅ (−?) = 2?
即可求解坐标．
【详解】（1）解： ∵ 一次函数? = 2? + ?的图象过?(−3,0)，
∴ 2 × (−3) + ? = 0，
∴ ? = 6，
∵ ?(1,?)在函数? = 2? + 6的图象上，
∴ ? = 2 × 1 + 6 = 8，
?
∵ ?(1,8)在函数? = ?图象上，
∴ ? = 8；
（2）解：设?的坐标是 8 ，
(?,?)
∵ △ ???的面积等于正方形????面积的一半
∴ 11 ?2
2?? ⋅ (−?) = 2?，
∴ ? = −?? = −6，
84
∴ ? = −3，
4
∴ ?的坐标是(−6,−)．
3
【变式 02】如图，在矩形????中，?? = 8，?? = 6，反比例函数? = ?(? > 0)的图象与??，??分别交于
?
?，?两点，且?? = 2??．
求反比例函数的解析式；
(2)设点?为线段??上一点，若?? = ??，求点?的坐标．
【答案】(1)? = 16
?
(2)(2,0)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，勾股定理等知识解题的关键是掌握以上知识点．，
（1）根据矩形的性质以及?? = 2??，可得点 M 的坐标为 8 ,6 ，然后代入? = ?
3?即可求解；
（2）先求出点 N 的坐标为(8,2)，可得?? = 2，设点 P 的坐标为(?,0)，则?? = ?，?? = 8−?，根据勾股定理以及?? = ??，可得关于 m 的方程，即可求解．
【详解】（1）解：在矩形????中，∵?? = 8，?? = 6，
∴?? = ?? = 8，?? ⊥ ?轴，
∵?? = 2??，
8
∴?? = 3，
3
∴点 M 的坐标为 8 ,6，
∵点 M 在反比例函数? = ?(? > 0)的图象上，
?
?
∴6 = 8，解得：? = 16，
3
∴反比例函数的解析式为? =
16
? ；
（2）解：当? = 8时，? = 16 = 2，
8
∴点 N 的坐标为(8,2)，
∴?? = 2，
设点 P 的坐标为(?,0)，则?? = ?，?? = 8−?，
∵??2 = ??2 +??2 = ?2 +36，??2 = ??2 +??2 = (8−?)2 +4，
∵?? = ??，
∴?2 +36 = (8−?)2 +4，解得：? = 2，
∴点 P 的坐标为(2,0)．
【变式 03】（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数? = ?(? ≠ 0)的图象与正比例函数4 的图象相交
?? = 3?
于点?(?,2),?．
点 D 的坐标为；
?
不等式
4 的解集是；
? > 3?
已知?? ∥ ?轴，以??,??为边作菱形????，求菱形????的面积．
【答案】(1) −
3 ,−2
2
? < −3或0 < ? < 3
22
20
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质：
将点?的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出?的值，再根据反比例函数的对称性可得点?的坐标；
利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围；
作?? ⊥ ??于?，由勾股定理求出??的长，利用菱形的面积公式可得答案．
【详解】（1）解：将?(?,2)代入
44
? = 2，
? = 3?得3
3
∴? = 2，
2
∴? 3 ,2，
∵点?与?关于原点对称，
3
∴? − 2 ,−2 ；
3
故答案为： − 2 ,−2 ；
（2）解：将? 3 ,2 代入? = ?(? ≠ 0)得3，
2?
? = 2 × 2 = 3
3
即反比例函数解析式为：? = ?，
33
由图象知，当? < − 或0 < ? <
?4 ，
22时，? > 3?
33
故答案为：? < −2或0 < ? < 2；
（3）解：作?? ⊥ ??于?，
33
∵?
2 ,2 ,? − 2 ,−2 ，
∴?? = 4,?? = 3，
??2 + ??2
由勾股定理得，?? == 5，
∵四边形????是菱形，
∴?? = ?? = 5，
∴菱形????的面积为5 × 4 = 20．
?
【变式 04】（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数? =
? = ?? + ?的图象相交于?(?,1)和
?与一次函数
?(−1,3)两点．
求这两个函数的解析式；
??
(2)如图，直线??与反比例函数? = ?的图象的另一个交点为点?，点?在反比例函数? = ?的图象的右支上，
当△ ???的面积为 8 时，求点?的坐标；
?
(3)在第（2）问的条件下，若点?为?轴上的点，则在反比例函数? = ?的图象的右支上是否存在点?，使得以
点?、?、?、?为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点?的坐标；若不存在，请说明理由．
3
【答案】(1)? = −?，? = ? + 4
1
3
M 点的坐标为 9,−
或(1,−3)
2
Q 点坐标为 3 ,−2
?，可求函数解析式，从而求出
【分析】（1）将点?(−1,3)代入? = ?
?(−3,1)，将点 A、B 代入? = ?? + ?，
可求一次函数解析式；
（2）连接??，由 O 是??的中点，可得 △ ???的面积 = 4，设? ?,−
3
?
，根据 △ ???的面积
1
= 2 × |3−?| ×
3
?
1 +
= 4，求出 t 的值即可求 M 点坐标；
3
?
（3）设?(?,0)，? ?,−
，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解．
?，
【详解】（1）解：将点?(−1,3)代入? = ?
∴? = −3，
3
∴? = −?，
∴? = −3，
∴?(−3,1)，
将点 A、B 代入? = ?? + ?，
−3? + ? = 1
∴ −? + ? = 3 ，
? = 1
解得 ? = 4 ，
∴? = ? + 4；
（2）解：连接??，
∵直线??与反比例函数交于 C 点，
∴A、C 关于原点对称，
∴?(3,−1)，
∴O 是??的中点，
∵ △ ???的面积为 8，
∴ △ ???的面积 = 4，
3
?
设? ?,−，
∴ △ ???的面积
1
= 2 × |3−?| ×
1 +
= 4，
3
?
当? > 3时，解得? = 9，
1
3
∴? 9，−；
当0 < ? < 3时，解得? = 1，
∴?(1,−3)；
综上所述：M 点的坐标为 9,−
1
3
或(1,−3)；
（3）解：存在点 Q，理由如下：
3
?
设?(?,0)，? ?,−，
当??为对角线时，3，
1 = −?−1
3
解得? = −2，
3
∴? − 2 ,2 ；
当??为对角线时，
3
−? = 0
，无解；
当??为对角线时，3，
1−? = −1
3
解得? = 2，
2
∴? 3 ,−2 ；
3
∵ 点?在反比例函数? = −?的图象的右支上，
2
∴? 3 ,−2．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
【变式 05】（2025·河北唐山·模拟预测）矩形????中，?? = 4，?? = 1．分别以??，??所在直线为 x 轴，
y 轴，建立如图 1 所示的平面直角坐标系．F 是??边上一个动点（不与 B，C 重合），过点 F 的反比例函数
? = ?(? > 0)的图象与边??交于点 E；
?
当点 F 运动到边??的中点时，求点 E 的坐标；
连接??，求∠???的正切值；
如图 2，将△ ???沿??折叠，点 C 恰好落在边??上的点 G 处，求此时反比例函数的解析式．
【答案】(1)?(2,1)
(2)tan∠??? = 4
(3)? = 15
8?
【分析】（1）根据题意易得点?、?的坐标，再根据中点的性质得到点 F 的坐标，利用待定系数法求出?的值，进而得到点 E 的坐标；
??
根据反比例函数的图像性质得到点 F、E 的坐标，进而得到??、??的值，再利用tan∠??? = ??计算即
可；
过点 E 作?? ⊥ ??于点 H，则?? = ??、∠??? = ∠??? = 90⁰，根据折叠的性质得到?? = ??、
??????
?? = ??、∠??? = ∠? = 90⁰，易证得△ ??? ∽△ ???，根据相似三角形的性质得到?? = ?? = ??，进而得
1
到?? = 4，在Rt △ ???中，利用勾股定理求出 k 的值，进而得到此时反比例函数的解析式．
【详解】（1）解： ∵ ?? = 4、?? = 1，
∴ ?(4,0)、?(4,1)，
∵ 点 F 是边??的中点，
1
2
∴ ? 4,，
∵ 点 F 在反比例函数? = ?(? > 0)的图像上，
?
?1
∴ 4 = 2，
∴ ? = 2，
2
∴ 反比例函数的解析式为? = ?，
22
将?点的纵坐标1代入? = ?得：? = 1，
∴ ? = 2，
∴ ?(2,1)；
解： ∵ ?点的横坐标为4，
?
4
∴ ? 4,，
?
∴ ?? = ??−?? = 1−4 =
4−?
4 ，
∵ ?点的纵坐标为1，
∴ ?(?,1)，
∴ ?? = ??−?? = 4−?，
在Rt △ ???中，tan∠??? = ?? = 4−? = 4；
??
4−?
4
解：过点 E 作?? ⊥ ??于点 H，如图：
∴ ?? = ?? = 1、∠??? = ∠??? = 90⁰，
∴ ∠??? + ∠??? = 90⁰，
由折叠可知，?? = ??、?? = ??、∠??? = ∠? = 90⁰，
∴ ∠??? + ∠??? = 90⁰，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠??? = 90⁰，
∴△ ??? ∽△ ???，
??????
∴ ?? = ?? = ??，
1
∴ ??
= 4，
1
∴ ?? = 4，
在Rt △ ???中，??2−??2 = ??2，
∴
2
4−?
4
?
4
−
22
1
4
=，
15
∴ ? = 8 ，
15
∴ 此时反比例函数的解析式为? = 8?．
题型四反比例函数与圆的综合
【典例 01】如图，点?在反比例函数4
的图象上，以点?为圆心的⊙ ?与两坐标轴都相切，?为?
? = ?(? > 0)
轴负半轴上的一点，?? ⊥ ??交?轴于点?，连接??．
点?的坐标为；
若?? ⋅ ?? = 3，则??的长为．
22
【答案】(2,2)
【分析】（1）过点?分别向?轴、?轴作垂线，垂足分别为点?,?，根据?? = ??且?? ⋅ ?? = 4，求出
?? = ?? = 2，即可得出答案；
（2）先证明△ ???≌ △ ???，得出?? = ??，根据??2 = ??2 +??2 = (??−??)2 +2?? ⋅ ??，得出
??−?? = ?? + ??−?? = ?? + ?? = 4，求出??2 = 42 +2 × 3 = 22，即可得出?? = 22．
【详解】解：（1）过点?分别向?轴、?轴作垂线，垂足分别为点?,?，如图所示：
由题意，得?? = ??且?? ⋅ ?? = 4，
∴?? = ?? = 2，
即点?的坐标为(2,2)．
故答案为：(2,2)．
（2）∵∠??? = ∠??? = ∠??? = 90⁰，
∴四边形????为矩形，
∵?? = ??，
∴四边形????为正方形，
∴∠??? = 90⁰，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90⁰，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90⁰，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = 90⁰，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ??，
∴??−?? = ?? + ??−?? = ?? + ??−?? = ?? + ?? = 4，
∵ ??2 = ??2 +??2 = (??−??)2 +2?? ⋅ ??，
∴ ??2 = 42 +2 × 3 = 22，即?? = 22，负值舍去．故答案为： 22．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，切线的性质，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性
质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定．
、
【变式 01】（2025 河南驻马店三模）如图，反比例函数? = ?(? > 0)图象经过点??(4 3,1)，已知 ⊙ ?经
?
过点 B，且与 y 轴相切于点?(0,2)，连接??交 ⊙ ?于点 D．点 P 为⊙ ?上一动点．
求反比例函数的表达式； (2)求??的长；
(3)直接写出 △ ???面积的最大值．
4 3
?
【答案】(1)? =
3
(2)4−2
3
(3)4
【分析】本题考查反比例函数与圆的综合应用，切线的性质，熟练掌握切线的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：
待定系数法求出函数解析式即可；
连接??，得到?? ⊥ ?轴，进而求出?点坐标，求出半径的长，勾股定理求出??的长，线段的和差关系求出??的长；
由题意，当??为⊙ ?的直径时， △ ???的面积最大，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数? = ?(? > 0)图象经过点? 4 3,1 ，
?
3
∴? = 4× 1 = 4 3，
；
4 3
∴? = ?
（2）连接??，
∵ ⊙ ?与 y 轴相切于点?(0,2)，
∴?? ⊥ ?轴，
∴?? = 2，
∵点?在反比例函数上，
4 3
2
∴?? == 2 3，
∴?2 3,2，
(2 3) + 22
2
∴?? =
= 4，?? = 2 3，
∵??交 ⊙ ?于点 D，
∴?? = ?? = 2 3，
∴?? = ??−?? = 4−2 3；
（3）作?? ⊥ ?轴，由（2）可知， ⊙ ?的半径为2 3，则：?? ≤ ??，
11
∴?△??? = 2?? ⋅ ?? ≤ 2?? ⋅ ??，
∴当?? ⊥ ?轴，且??最大时，?△???最大，
∴当??为⊙ ?的直径时，此时?? ⊥ ?轴，且??的值最大为4 3，
∵?(0,2)，
∴ △ ???面积的最大值 =
1
2?? ⋅ ?? =
1
3
2 × 2 × 4
= 4 3．
【变式 02】如图，在平面直角坐标系???中，函数?
的图像与直线? = ?−2交于点?(3,?)，直线
? = ?(? > 0)
? = ?−2分别交 x 轴，y 轴于 C、B 两点．
（1）求?,?的值；
（2）已知点?(?,?)，当点 P 在函数
?
? = ?(? > 0)
的图像上时，求△POA 的面积；
（3）点 Q 在函数? = ?(? > 0)的图像上滑动，现有以 Q 点为圆心， 2为半径的⊙Q，当⊙Q 与直线? = ?−2
?
相切时，求点 Q 的坐标．
【答案】（1）k=3，m=1；（2） 3；（3）( 3， 3)或(2 + 7， 7−2)
【分析】（1）将点 A 代入一次函数的解析式中即可求出 m 的值，进而可求出点 A 的坐标，然后将点 A 代入反比例函数中，即可求出 k 的值；
（2）根据反比例函数的解析式，求出点 P 的坐标，然后利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到△POA 的面积；
（3）先通过直线? = ?−2求出点 B,C 的坐标，进而通过 OB=OC 得出∠??? = ∠??? = 45⁰，然后分两种情况：当⊙Q 在直线左侧与直线? = ?−2 相切时和当⊙Q 在直线右侧与直线? = ?−2 相切时，作 QM∥x 轴交直线于点 M，QN⊥直线于点 N，通过特殊角的三角函数值求出 Q,M 的横坐标之差为 2，然后设出 Q,M 的坐标，建立方程即可求解．
【详解】（1）∵点?(3,?)在直线? = ?−2上，
∴? = 3−2 = 1，
∴?(3,1)．
∵点?(3,1)在?上，
? = ?(? > 0)
∴ ? = 3 × 1 = 3 ；
（2）∵点 P 在函数?
的图像上，
? = ?(? > 0)
∴?2 = 3 ,
∴? = 3或 ? = − 3（舍去）,
∴?( 3, 3)
∴ ?
1
2
△??? = 3 × 3−
1
× 3 × 1−2
1
× (3− 3)( 3−1)−2
×
×
=;
3
3
3
（3）当? = 0时，? = ?−2 = −2 ,
∴?(0,−2),?? = 2 ．
当? = 0时，? = ?−2 = 0 ，解得? = 2 ,
∴?(2,0),?? = 2 ,
∵ ?? = ??,∠??? = 90⁰ ，
∴∠??? = ∠??? = 45⁰ ．
当⊙Q 在直线左侧与直线? = ?−2 相切时，作 QM∥x 轴交直线? = ?−2于点 M，QN⊥直线? = ?−2于点 N，
∵QM∥x 轴，
∴∠??? = ∠??? = 45⁰ ．
2
∵ ?? =，
∴ ?? =
设点
??
sin45⁰
3
= 2 ．
33
?(?,) ，则?(
??
+2,?)
3
则有? +2−? = 2 ，
解得? = 3或 ? = − 3（舍去），
当? = 3时，
3,
3
? = ? =
∴此时?( 3, 3)；
同理，当⊙Q 在直线右侧与直线? = ?−2 相切时，则有
3
?−(?
+2) = 2，
解得? = 2 + 7或 ? = 2− 7（舍去），
当? = 2 + 7时，3，
? = ? = 7−2
∴此时?(2 + 7, 7−2)，
综上所述，Q 的坐标为( 3, 3)或(2 + 7, 7−2)
【点睛】本题主要考查反比例函数，一次函数与圆，掌握待定系数法，数形结合并分情况讨论是解题的关键．
?
【变式 03】如图，一次函数 y=2x 与反比例函数 y=?(k＞0)的图象交于 A、B 两点，点 P 在以 C(-2，0)为圆心，1 为半径的圆上，Q 是 AP 的中点
若 AO= 5，求 k 的值；
3
若 OQ 长的最大值为2，求 k 的值；
若过点 C 的二次函数 y=ax2+bx+c 同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当 a≤x≤a+1 时，函数 y 的最大值为 4a，求二次项系数 a 的值．
32
【答案】（1）2；（2）25；（3）a 的值为-3 或 2 或-4 或 1．
【分析】（1）设 A(m，n)，根据勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征得出
?2 + ?2 = 5
? = 2?，解方程组即
?
可求得 A 的坐标，代入 y=?可求得 k 的值；
作辅助线，先确定 OQ 长的最大时，点 P 的位置，当 BP 过圆心 C 时，BP 最长，设 B(t，2t)，则 CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，根据勾股定理计算 t 的值，可得 k 的值；
根据题意写出抛物线的解析式为：y=ax2+ax-2a=a(x+1)2-9a1a≤x≤a+1 范围外，故存在两
，即可判定 在
24-2
种可能，即当 x=a 时，有最大值 4a，或 x=a+1 时有最大值 4a，分别代入求得即可．
【详解】（1）设 A(m，n)，
∵AO= 5，
∴m2+n2=5，
∵一次函数 y=2x 的图象经过 A 点，
∴n=2m，
∴m2+(2m)2=5，解得 m=±1，
∵A 在第一象限，
∴m=1，
∴A(1，2)，
∵点 A 在反比例函数 y=(k＞0)的图象上，
?
?
∴k=1×2=2；
如图，连接 BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q 是 AP 的中点，
∴OQ=BP，
1
2
3
∵OQ 长的最大值为2，
∴BP 长的最大值为×2=3，
3
2
如图 2，当 BP 过圆心 C 时，BP 最长，过 B 作 BD⊥x 轴于 D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B 在直线 y=2x 上，
设 B(t，2t)，则 CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，
在 Rt△BCD 中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，
∴22=(t+2)2+(-2t)2，
4
t=0(舍)或-5，
48
∴B(-5，-5)，
∵点 B 在反比例函数 y=(k＞0)的图象上，
?
?
48 32
∴k=-5×(-5)=25；
∵抛物线经过点 C(-2，0)，
∴4a-2b+c=0，又∵a+b+c=0，
∴b=a，c=-2a，
∴y=ax2+ax-2a=a(x+1)2-9a，
24
11
∵-2＜a≤x≤a+1 或 a≤x≤a+1＜-2，
当 x=a 时，取得最大值 4a，则 a•a2+a•a-2a=4a，
解得 a=-3 或 2，
当 x=a+1 时，取得最大值 4a，则 a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a，
解得 a=-4 或 1，
综上所述所求 a 的值为-3 或 2 或-4 或 1．
【点睛】本题考查二次函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题、函数最值问题、圆的性质，
勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
【变式 04】（2025·河南漯河·二模）如图，在平面直角坐标系中，点?在反比例函数
?
? = ?(? > 0)
的图象上，
⊙ ?与?轴交于 A，B 两点，与?轴相切于点?．连接??，??．已知 △ ???是等边三角形，且?? = 4．
求反比例函数的表达式；
过点?作?? ∥ ?轴，交⊙ ?于另一点?，点?是否在反比例函数的图象上？
若 ⊙ ?与反比例函数的图象交于点 E，F，连接??，??．请直接写出∠???的度数．
【答案】(1)? = 8 3(? > 0)
?
在
90⁰
??2−??2
【分析】（1）运用等边三角形的性质得?? = ?? = ?? = 4,∠??? = 60⁰，运用勾股定理算?? =
8 3
= 2 3，结合切线的性质得点 P 的坐标为2 3,4，再代入求出反比例函数的表达式为? = ? ；
（2）先证明四边形????是矩形，得?? = ?? = 2 3，则点 D 的横坐标为4 3，结合点 M 的坐标为(0,4)，
3
得?? = ??−?? = 2，即点 D 的坐标为4 3,2，根据4× 2 = 8 3，即可作答．
8 3
?
（3）因为⊙ ?与反比例函数的图象交于点 E，F，故设点?的坐标为 ?,，由（1）得点 P 的坐标为
2
2 3,4 ，运用两点的距离公式，列式(?−2 3) +
8 3 −4
?
2
= 16，得点?的坐标为 4 3,2 ，因为
(0 + 4 3) × 1 = 2 3,(2 + 6) × 1 = 4，即?,?,?三点共线，结合直径所对的圆周角是 90 度，即可作答．
22
【详解】（1）解：∵ △ ???是等边三角形，且?? = 4，
∴?? = ?? = ?? = 4,∠??? = 60⁰，
如图 1，过点 P 作?? ⊥ ?轴，垂足为 M，连接??，
由三线合一得?? = 2??，即?? = 2??，
∴?? = 2，
??2−??2
则?? == 2 3，
∵ ⊙ ?与?轴交于 A，B 两点，与?轴相切于点?．
∴?? ⊥ ?轴，
∴P 点的纵坐标为 4，
∴点 P 的坐标为2 3,4，
∵点 P 在反比例函数图象上，
??
2 3
∴把 2 3,4 代入? = ?，得4 =，
解得? = 8 3，
8 3
∴反比例函数的表达式为? = ? ；
（2）解：如图 2，记??交??于点 N
∵?? ⊥ ?轴，?? ∥ ?轴，
∴?? ⊥ ??， ∠??? = 90⁰，
∴?? = ??，
∵∠??? = ∠??? = ∠??? = 90⁰，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 2 3，即?? = ?? = 2 3，
∴?? = 2?? = 4 3，
即点 D 的横坐标为4 3，由（1）得?? = 2，
∴点 M 的坐标为(0,4)，则?? = ??−?? = 2，
∴点 D 的坐标为4 3,2，
3
∵4× 2 = 8 3，
∴点?在反比例函数的图象上；
（3）解：∵ ⊙ ?与反比例函数的图象交于点 E，F，
8 3
?
∴设点?的坐标为 ?,，
由（1）得点 P 的坐标为2 3,4，
∴?? = 4，
28 32
即(?−2 3) +−4
?
= 16，
∴解得? = 4 3（另一个小于?? = 2 3，故舍去）
∴点?的坐标为4 3,2，
∵由（1）得?? = 2，且?? = 4，
∴?的坐标为(0,6)
∵点 P 的坐标为2 3,4，
1 (2 + 6)1，
∵(0 + 4 3) × 2 = 2 3,× 2 = 4
即?,?,?三点共线，即??为直径，
连接??,??，如图所示：
∴∠??? = 90⁰．故答案为：90⁰
【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数与圆综合，求反比例函数的解析式，圆周角定理，等边三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，难度较大，综合形较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式 05】【问题背景】如图 1，在平面直角坐标系中，点 B，D 是直线? = ??（? > 0）上第一象限内的
?
两个动点（?? > ??），以线段??为对角线作矩形????，??∥?轴．反比例函数? = ?的图象经过点 A．
【构建联系】
?
(1)求证：函数? = ?的图象必经过点 C．
如图 2，把矩形????沿??折叠，点 A 的对应点为 E．当点 E 落在 x 轴上，且点 B 的坐标为(2,1)时，求 k
的值．
【深入探究】如图 3，把矩形????沿??折叠，点 C 的对应点为 E．当点 E，A 重合时，连接??交??于点 P．以点 O 为圆心，??长为半径作⊙ ?．若?? = 3 2，当⊙ ?与△ ???的边有交点时，求 k 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)? = 16
3
(3)6 ≤ ? ≤ 8
?
?
?
??
【分析】（1）设?(?,??)，则? ?，，求出点?，?? ，代入函数解析式中，得出函数的图象必经
过点 C；
（2）证明△ ??? ∽△ ???，根据对应边成比例求出 k 的值；
（3）根据⊙ ?过点 A 和过点 B，求出临界值，从而求出 k 的取值范围．
?
??
【详解】（1）解：设?(?,??)，则?
，?? ，
∵??∥?轴，
?
∴D 点的横坐标为??，
??
∴将? = ?代入? = ??中得：? = ??，
?
∴? = ??
∴?
?
?
?
?? ，，
?
??
∴?
，?? ，
??
将? = ??代入? = ?中得，
∴? = ??，
?
∴函数? = ?的图象必经过点 C；
（2）解：∵点?(2,1)在直线? = ??上，
1
∴? = 2，
∴? =
1?，
2
∴A 点的横坐标为 2，C 点的纵坐标为 1，
?
∵函数? = ?的图象经过点 A，C，
?
2
∴?(?,1)，? 2， ，
?
2
∴? ?， ，
∴?? = ?? =
?−1，?? = ?? = ?−2，
2
∵把矩形????沿??折叠，点 A 的对应点为 E，
∴?? = ?? =
?−1，∠??? = ∠??? = 90⁰，
2
∴??
? −11
= 2 = =
??
，
??
?−2
2??
如图，过点 D 作?? ⊥ ?轴，过点 B 作?? ⊥ ?轴，
∵??∥??，
∴H，F，E 三点共线，
∴∠??? + ∠??? = 90⁰，∠??? + ∠??? = 90⁰，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = 90⁰，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
∴=
??
??
?? =
??
??
= 2，
?
∵?? = 1， ?? = 2，
?
∴?? = 2，?? = 4，
?
∴?? = 2 + 4，
由图知，?? = ??，
?
∴2 + 4
= ?−2，
16
∴? = 3 ；
（3）解：∵把矩形????沿??折叠，点 C 的对应点为 E，当点 E，A 重合，
∴?? ⊥ ??，
∵四边形????为矩形，
∴四边形????为正方形，
∴∠??? = ∠??? = 45⁰，
∴?? = ?? = ?? = ?? =
??
sin45⁰
= 2??，?? = ?? = ?? =
1??，?? ⊥ ??，
2
∵??∥?轴，
∴直线? = ??为一，三象限的夹角平分线，
∴? = ?，
当⊙ ?过点 B 时，如图所示，过点 D 作??∥?轴交 y 轴于点 H，
∵??∥?轴，
∴H，A，D 三点共线，
∵以点 O 为圆心，??长为半径作⊙ ?， ?? = 3 2，
∴?? = ?? + ?? = ?? + ?? = 2?? + ?? = 3?? = 3 2，
∴?? = 2，
∴?? = ?? = 2?? = 2，?? = 2?? = 2 2，?? = ?? = 2?? = 2 2，
∵??∥?轴，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
??
∴?? = ?? = ??，
∴?? = ?? = 2 2+2 2，
222 2
∴?? = ?? = 4，
∴?? = ??−?? = 4−2 = 2，
∴?(2,4)，
∴? = 2 × 4 = 8，
当⊙ ?过点 A 时，根据 A，C 关于直线??对称可知， ⊙ ?必过点 C，如图所示，连接??，??，过点 D 作??∥?轴交 y 轴于点 H，
∵?? = ?? = ??，
∴ △ ???为等边三角形，
∴?? ⊥ ??，
∴∠??? =
1 × 60⁰ = 30⁰，
2
2
∴?? = tan30⁰ × ?? = 3 × 3
3
=
= ??，?? = ?? = 2?? = 2 6，
6
2
∴?? = ?? = 2?? = 2 3，?? = ?? + ?? = 3+ 6，
∵??∥?轴，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
??
∴?? = ?? = ??，
2 3
2 3
∴ ?? = ?? = 3 2+ 6，
2 6
∴?? = ?? = 3 + 3，
3
∴?? = ??−?? = 3 + 3−2= 3− 3，
3
∴? 3− 3，3 +，
∴? = (3− 3) × (3 + 3) = 6，
∴当⊙ ?与△ ???的边有交点时，k 的取值范围为6 ≤ ? ≤ 8．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助 线是解决此题的关键．
题型五 反比例函数与动态最值的综合
【典例 01】（2025·宁夏石嘴山·一模）如图，直线?
= −? + 4，?3
?
都与双曲线? = ?
1
(1,?)，这两条直线分别与 x 轴交于 B，C 两点．
2 = 4? + ?
?交于点
分别求出函数?2与?3的函数表达式；
3?
直接写出当? > 0时，不等式4? + ? < ?的解集；
若点 P 为 y 轴上的一个动点，当?? + ??最小时，求出点 P 坐标．
【答案】(1)?
93
3?
= ? + ，=
24
(2)0 < ? < 1
12
5
(3)? 0,
3?
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，图象与坐标轴的交点坐标，函数图象与几何图形面积问题，正确掌握一次函数与反比例函数的综合知识点是解题的关键．
将点 A 的坐标代入?
?
= −? + 4，求出 m，再将点 A 的坐标代入? =
?(1,3)代入?3，进
1
而求得?2的解析式；
?，把
2 = 4? + ?
根据函数图象的交点坐标即可解答；
求出点 B、点 B 关于 y 轴对称点?′(−4,0)，待定系数法求得直线??′的解析式，进而求得?的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：把?(1,?)代入?1 = −? + 4，可得? = −1 + 4 = 3，
∴?(1,3)，
把?(1,3)代入双曲线? = ?
? = 1 × 3 = 3，
?，可得
∴? 与 x 之间的函数关系式为：? = 3．
3
把?(1,3)代入?2 = 3? + ?
4
?
，可得3 = 3 +?，
4
9
∴? = 4，
39
∴?2 = 4? + 4，
（2）解：∵?(1,3)，
3?
∴当? > 0时，不等式4? + ? < ?的解集为：0 < ? < 1．
（3）解：?1 = −? + 4，令? = 0，则? = 4，
∴点 B 的坐标为(4,0)，则点 B 关于 y 轴对称点?′(−4,0)，
11
设直线??′的解析式为? = ? ? + ? (?1 ≠ 0)，代入?(1,3)，?′(−4,0)，
?1 + ?1 = 3
∴ −4?1 + ?1 = 0 ，
?1
解得： ?1
= 3
5
= 12 ， 5
312
∴???′ = 5? + 5 ，
12
当? = 0时，? = 5 ，
12
5
∴?? + ?? = ?? + ?′? ≥ ??′，当?? + ??最小，即?? + ?? = ?? + ?′? = ??′时，? 0,．
【变式 01】如图，平面直角坐标系中，直线? = ?? + ?交 y 轴于点?0，−6，交 x 轴于点?8，0，交反比例函数? = ?(? > 0)的图像于点 C，其中?? = 1．
???2
(1)求直线??与反比例函数的解析式；
(2)点 P 为线段??上一个动点，过点 P 作?? ⊥ ?轴，交反比例函数图像于点 Q，连接??，??，当 △ ???面积最大时，求点 P 的坐标．
【答案】(1)直线??的解析式为
336
；反比例函数的解析式为? =
? = 4?−6? ；
1
1
(2)点 P 的坐标为 4，−3 ．
【分析】（1）过点 C 作?? ⊥ ?轴于点 F，通过证得△ ??? ∽△ ???，求得
?? = 2?? = 4，
?? = 2?? = 3，
即可求得?? = 12，即可求得? 12，3 ，代入? = ?(? > 0)即可求得反比例函数的解析式，把点? 0，−6 ，
?
? 8，0 分别代入? = ?? + ?，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）表示出 Q 的坐标，即可利用三角形面积公式得到?
363
1
− ? + 6 ，然后利用二次函数的性
△??? = 2? ⋅ ?4
质，即可求得结论．
【详解】（1）解：∵点?0，−6，?8，0，
∴?? = 8，?? = 6，
过点 C 作?? ⊥ ?轴于点 F，
∴∠??? = ∠??? = 90⁰，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∵?? = 1，
??2
∴?? =
1?? = 4，?? =
2
1?? = 3，
2
∴?? = 12，
∴?12，3，
∴? = 12 × 3 = 36，
∴反比例函数的解析式为? =
36
? ；
把点?0，−6，?8，0分别代入? = ?? + ?得
? = 3
8? + ? = 0
? = −6，
解得4 ，
? = −6
∴直线??的解析式为? =
3?−6；
4
（2）解：∵点 P 为线段??上一个动点，
4
∴设??， 3 ?−6，(0 < ? ≤ 12)，
∵?? ⊥ ?轴，
36
?
∴? ?，，
36
?
133 232
∴?△??? = 2? ⋅
− ? + 6 = −?
4
8
+3? + 18 = −(?−4)
8
+24，
当? = 4时， △ ???的面积最大，其最大值为 24，点 P 的坐标为4，−3．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数的性质，表示出点的坐标是解题的关键．
?
【变式 02】如图，在平面直角坐标系???中，直线? = ? + ?与反比例函数? = ?的图像的一个交点为?
(?,3)，与 x 轴的交点为?(−4,0)．
求?，?的值．
若点?是?轴上的一个动点，当 △ ???的周长最小时，求点?的坐标．
3
?为?轴上一点，直线??交反比例函数的图像于点?（异于?），连接??，若 △ ???的面积为2，求点?
的坐标．
【答案】(1)? = −1，? = −3
12
5
点?的坐标为 0,
3
点?的坐标为 − 2 ,2
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题
的关键．
（1）把?(−4,0)代入? = ? + ?求出?值，把?(?,3)代入可求出?的值，代入? = ?
?的值；
?即可求出
作点?关于?轴的对称点?1，连接??1，交?轴于?，根据轴对称的性质得出△ ???的周长最小为
?? + ?? ，利用待定系数法可求出直线?? 的解析式为
312
? = 0，求出?值，即可得答案；
5
11? = −? + ，令
5
3
?
设? ?,−，直线??的解析式为? = ? ? + ? ，利用待定系数法得出直线??的解析式为3
11? = −?? +
3?−3，求出?(?−1,0)，根据△ ???的面积为3得出1|? + 3| ⋅ |− 3| = 3，解方程即可得答案．
?22
?2
?
【详解】（1）解：∵直线? = ? + ?与反比例函数? =
?(?,3)，与 x 轴的交点为?(−4,0)，
?的图像的一个交点为
∴−4 + ? = 0，? + ? = 3，解得：? = 4，? = −1，
∴?(−1,3)，
?
∴3 = −1，
解得：? = −3．
（2）解：如图，作点?关于?轴的对称点?1，连接??1，交?轴于?，
∴?? = ??1，
∴?? + ?? = ?? + ??1，
∴?、?、?1三点共线时?? + ??有最小值，为??1，
∴ △ ???的周长最小，为?? + ??1，
∵?(−4,0)，
∴?1(4,0)，
设直线??1的解析式为? = ?? + ?，
∵?(−1,3)，
4? + ? = 0
∴ −? + ? = 3 ，
? = − 3
5
解得：
? = 12 ，
5
∴直线?? 的解析式为
312
5
1? = −? + ，
5
12
当? = 0时，? = 5 ，
12
5
∴点?的坐标为 0,．
（3）解：由（1）得? = −3，
3
∴反比例函数解析式为? = −?，
∵直线??交反比例函数的图像于点?（异于?），
3
?
∴设? ?,−
，直线??的解析式为? = ? ? + ? ，
??1
∴
+ ?1
11
= − 3
? ，
−?1 + ?1 = 3
?1
解得： ?1
= − 3
，
?
= 3?−3
?
3
∴直线??的解析式为? = −? +
?
3?−3
? ，
当? = 0时， 3
3?−3
，
= 0
−?? + ?
解得：? = ?−1，
∴?(?−1,0)，
∴?? = |?−1−(−4)| = |? + 3|，
3
∵ △ ???的面积为2，
∴ ?? ⋅| = |? + 3| ⋅ |− | = 3，
|?
113
2?2
?2
3
?
当? < −3时，(−?−3) −= 3，整理得? + 3 = ?（舍去），
当? > 0时，
3，整理得? + 3 = ?（舍去），
(? + 3) ⋅ ? = 3
当−3 ≤ ? < 0时，(? + 3) −
3
?
= 3，
3
解得：? = −2，
3
∴−?
= 2，
3
∴点?的坐标为 − 2 ,2 ．
【变式 03】如图，一次函数? = −? + ?与反比例函数?
的图象交于点?(?,3)和?(3,1)．
? = ?(? > 0)
求一次函数及反比例的表达式和 m 值
?
请根据图象，直接写出不等式? ≥ −? + ?的解集；
点 P 是线段??上一点，过点 P 作?? ⊥ ?轴于点 D，连接??，若 △ ???的面积为 S，当 S 的值最小时，求出点 P 的坐标及 S 的最小值．
3
【答案】(1)? = −? + 4；? = ?；? = 1；
(2)0 < ? ≤ 1或? ≥ 3；
3
(3)点 P 的坐标为(1,3)或(3,1)，S 的最小值为2．
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、二次函数的应用等知识．
（1）将?(3,1)代入? = −? + ?得 b，即得一次函数的解析式，将?(3,1)代入?
得 k，将?(?,3)代
? = ?(? > 0)
入一次函数解析式得 m；
（2）由图象可得，一次函数? = −? + ?与反比例函数?
的图象交于点?(1,3)和?(3,1)，根据直线
? = ?(? > 0)
在双曲线下方的部分的自变量的范围即可求解；
（3）由点 P 是线段??上一点，可设?(?,−? + 4)，且1 ≤ ? ≤ 3，可得1
1(−? + 4)，根据二
? = 2?? ⋅ ?? = 2 ⋅ ?
次函数的性质即可求出答案．
【详解】（1）解： ∵ 一次函数? = −? + ?图象过点?(3,1)，
∴ 1 = −3 + ?，解得? = 4，
∴ 一次函数解析式是? = −? + 4，
?
把?(3,1)代入? = (? > 0)得到
?
?
1 = 3，
解得? = 3，
3
∴反比例函数解析为? = ?；
∵?(?,3)在一次函数的图象上，
∴ −? + 4 = 3，
∴ ? = 1；
（2）由图象可得，一次函数? = −? + ?与反比例函数?
的图象交于点?(1,3)和?(3,1)，
? = ?(? > 0)
?
则? ≥ −? + ?得解集为：0 < ? ≤ 1或? ≥ 3；
（3）∵点 P 是线段??上一点，设?(?,−? + 4)，
∴1 ≤ ? ≤ 3，
∴? = 1?? ⋅ ?? = 1 ⋅ ?(−? + 4) = −1(?2−4?) = −1(?−2)2 +2，
2222
−
∵ 1 < 0，抛物线的对称轴为直线? = 2，
2
∴抛物线开口向下，
∵|1−2| = |3−2|，1 ≤ ? ≤ 3，
∴当? = 1或? = 3时，有最小值，且最小值是
1(1−2)2 +2 = 3．
此时点 P 的坐标是(1,3)或(3,1)
? = − ×
2
2
【变式 05】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数? = ?? + ?(? > 0)的图象与反比例函数? = 8(? > 0)
?
的图象交于点 A，与?轴交于点 B，与?轴交于点 C，?? ⊥ ?轴于点 D，?? = ??，点 C 关于直线??的对称点为点 E．
(1)点 E 是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接??、??，若四边形????为正方形．
①求?、?的值；
②若点 P 在?轴上，当|??−??|最大时，求点 P 的坐标．
【答案】(1)点 E 在这个反比例函数的图象上，理由见解析
(2)①? = 1，? = 2；②(0,−2)
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
8
?
（1）设点? ?,
，连接??交??于 H，推出
1
?? = 2??
，得到点?的坐标，即可得解；
8
?
（2）①由四边形????为正方形得到?? = ??，??垂直平分??，设点? ?,，求出?的值，即可得到点?
和点?的坐标，进而求解；
②延长??交?轴于 P，此时点?即为所求，设直线??的解析式为? = ?? + ?，求解即可．
【详解】（1）解：点?在这个反比例函数的图象上，理由如下：
8
?
设点? ?,，
∵点 C 关于直线??的对称点为点 E，
∴?? ⊥ ??，??平分??，如图，连接??交??于 H，
∴?? = ??，
∵?? = ??，?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
∴?? =
1??，
2
∵?? ⊥ ?轴于 D，
∴?? ∥ ?轴，
4
?
∴? 2?,，
4
∵2? × ?
= 8，
∴点 E 在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①∵四边形????为正方形，
∴?? = ??，??垂直平分??，
∴?? =
1??，
2
8
?
设点? ?,，
8
∴?? = ?，?? = ?，
18
∴? = 2 × ?，
∴? = 2（负值舍去），
∴?(2,4)，?(0,2)，代入? = ?? + ?得，
2? + ? = 4
? = 2，
? = 1
解得 ? = 2 ；
②∵点?在?轴上，
∴?? = ??，?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
∴|??−??| = |??−??| ≤ ??，当且仅当?、?、?三点共线时取等号；延长??交?轴于 P，此时点 P 即为符合条件的点；
由①知，?(2,4)，?(0,2)，
∴?(2,0)，?(4,2)，
设直线??的解析式为? = ?? + ?，
2? + ? = 0
∴ 4? + ? = 2 ，
? = 1
∴ ? = −2 ，
∴直线??的解析式为? = ?−2，当? = 0时，? = −2，
∴?(0,−2)，
故当|??−??|最大时，点 P 的坐标为(0,−2)．
【变式 05】（2026·全国·模拟预测）如图 1，在平面直角坐标系中，四边形????是平行四边形，其中?
(6,0)，?(7,5)，反比例函数?
经过点?，与????对角线??的另一个交点为?点．
? = ?(? > 0)
(1)求反比例函数的表达式．
(2)如图 2，点?是线段??下方反比例函数?
图像上的一动点，过点?作?轴的平行线，与直线??
? = ?(? > 0)
交于点?，过点?作??的平行线交?轴于点?，连接??．求 △ ???的面积的最大值，并求出此时点?的坐标．
5
【答案】(1)? = ?；
5
3
(2)最大值是10， ?的坐标为 3,．
【分析】（1）先求出??的长，在通过平行四边形????的性质推出点?的坐标，最后将点?代入反比例函数中求解即可；
（2）先求出直线??的解析式，根据?? ∥ ?轴，设?坐标，推出?坐标，得出??的长度，再延长??，??分别交?轴于点?，?，证明△ ??? ∽△ ???，推出??的长，最后三角形面积公式求出△ ???，配方求出最值即可．
【详解】（1）解：∵?(0,0)，?(6,0)，
∴?? = 6．
∵四边形????是平行四边形，
∴?? ∥ ?? ∥ ?轴，?? = ?? = 6．
∵?(7,5)，
∴点?的横坐标：7−6 = 1，纵坐标与?的纵坐标一样，
∴?(1,5)．
?
∵? = ?经过点?，
∴? = 1 × 5 = 5．
5
∴反比例函数表达式是? = ?．
（2）∵设直线??的解析式为：? = ?1? + ?1(?1 ≠ 0)，将?(1,5)，?(6,0)代入得：
?1 + ?1 = 5① 6?1 + ?1 = 0② ，
由②−①得：
5?1 = −5，
?1 = −1，
将?1 = −1代入①中，得−1 + ?1 = 5，即?1 = 6，
∴直线??的解析式为：? = −? + 6．
5
?
∵设? ?,，
又∵?? ∥ ?轴，
5
∴?的纵坐标 = ?的纵坐标 = ?，
5
?
?
∴? 6− 5 ,，
∴?? = 6−
5 −?．
?
如图，延长??，??分别交?轴于点?，?．
∵?(1,5)，?? ⊥ ?轴，
∴?? = 1，?(0,5)，
∴?? = 5．
5
?
∵? ?,，
∴?? = ?．
∵?? ∥ ??，?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
????1
∴?? = ?? = 5，
∴?? = 5?? = 5m，
1
∴?△??? = 2?? ⋅ ??，
1
= 2 × 5?
6− 5 −?
，
?
= 1(30?−25−5?2)， 2
= −5?2
2
25
+15?− 2 ，
= −5(?−3)2 +10．
2
∴当? = 3时，?△???的最大值是10．
5
?
∵将? = 3代入? ?,中，
5
3
∴? 3,．
【点睛】本题主要考查反比例函数解析式、反比例函数上的点、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握反比例函数的几何应用是解决本题的关键．
（限时训练：40 分钟）
?
1．（2026·河南·一模）如图，点?是反比例函数? = ?的图象上一点，?是直线??延长线上的一点，且
?
??:?? = 1∶2，过点?作?轴的平行线交反比例函数? =
?，连接??，若?
= 4．
?的图象于点△???
(1)求反比例函数的解析式；
3?
(2)?是线段??的中点，将 △ ???沿?轴向左平移 2个单位长度后，点?恰好落在反比例函数? = ?的图象上，
求平移前点?的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为? = 1
?
(2)平移前点?的坐标为(2,2)
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，平移的性质，熟练掌握相关知识是关键．
?
?
设点?的坐标为 ?,
，根据??:?? = 1∶2，可得点?的坐标为 3?,
，进而求出点?的坐标为 ? ,，
3?
?
3?
?
2
?
3
结合?△??? = 4，计算出?的值；
1
?
点?的坐标为 ?,
，结合题干可求出点?的坐标为 2?,
．由平移的性质可知，平移后的点?的坐标为
2?−
3 ,
2
?
2
，将点坐标代入反比例函数的解析式，求出?的值，从而得到平移前点?的坐标．
?
?
【详解】（1）解：设点?的坐标为 ?,，
∵?是直线??延长线上的一点，且??:?? = 1∶2，
3?
?
∴点?的坐标为 3?,，
∵?? ∥ ?轴，
∴?? = ?? =
3?
? ，
3??
把? =
? 代入? = ?，得，
3??
? = ?，
?
解得，? = 3，
3?
?
3
∴点?的坐标为 ? ,，
?
∴?? = 3?−3 =
∵?△??? = 4，
8?
3 ，
⋅
1 8?
3
∴
2
3?
⋅ ?
= 4，
解得，? = 1，
1
∴反比例函数的解析式为? = ?；
1
?
（2）解：设点?的坐标为 ?,，
3
?
由（1）可知，点?的坐标为 3?,，
∵?是线段??的中点，
2
?
∴点?的坐标为 2?,，
将点?2?−
3
向左平移2个单位长度，所得的点的坐标为
3 ,
2
?
，
2
321
将? = 2?−2，? = ?代入? = ?，得，
21
? = 2?− 3，
2
解得，? = 1，
∴平移前点?的坐标为(2,2)．
如图，在平面直角坐标系中，?为坐标原点， △ ???的边??垂直?轴于点?，反比例函数? = ?(? > 0)的
?
图像经过??的中点?，与边??相交于点?，若?的坐标为(4,?)，?? = 3．
?
（1）反比例函数? = ?的解析式是；
（2）设点?是线段??上的动点，过点?且平行?轴的直线与反比例函数的图像交于点?，求 △ ???面积的最
大值．
?
4
【答案】? = 41
【分析】（1）先确定出点 A 坐标，进而得出点 C 坐标，将点 C，D 坐标代入反比例函数中即可得出结论；
（2）由 m＝1，求出点 C，D 坐标，利用待定系数法即可得出结论，设出点 E 坐标，进而表示出点 F 坐标，即可建立面积与 n 的函数关系式即可得出结论．
【详解】（1）∵AD＝3，D（4，m），
∴A（4，m＋3），
∵点 C 是 OA 的中点，
?+3
2
∴? 2，，
?
∵点 C，D 在双曲线 y＝?上，
4? = ?
∴ 2 × ?+3 = ? ，
2
? = 4
∴ ? = 1 ，
4
∴反比例函数解析式为 y＝?；
（2）∵m＝1，
∴C（2，2），D（4，1），
设直线 CD 的解析式为 y＝ax＋b，
2 = 2? + ?
∴ 1 = 4? + ? ，
? = − 1
∴2
? = 3
1
∴直线 CD 的解析式为? = −? + 3，
2
故答案为：1；
? = −? + 3
2
1
如图，设点? ?,− 2 ? + 3 ，
∵ C（2，2），D（4，1），
∴2＜n＜4，
4
∵EF∥y 轴交双曲线? = ?于 F，
4
?
∴? ?,，
14
∴EF＝−2n＋3−?，
11
1 2121
∴S△OEF＝2 − 2 ? + 3−
× ? =
− ?
2
+ 3?−4= −(?−3) +
44
4
?
1
2
∵ 2 ≤ ? ≤ 4
1
∴n＝3 时，S△OEF 最大，最大值为4，
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立
S△OEF 与 n 的函数关系式．
3．（2025·陕西汉中·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线? = 2? + ?（?为常数）与?轴、?轴分别交于
点?、?(0,2)，且与反比例函数? = ?
k 为常数，且? ≠ 0，? > 0）的图象交于点?(1,?)．
?（
求反比例函数的表达式；
(2)点?在反比例函数? = ?(? > 0)的图象上，点?的坐标为(2,0)，连接??、??、??，若?△??? = 2?△???，
?
求点?的坐标．
【答案】(1)? = 4
?
(2) 3 ,
2
8
3
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，反比例函数的几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
?进行计算，即可作答．
（1）先求出一次函数的解析式，再得出?(1,4)，然后代入? = ?
（2）先求出?(−1,0)，得?? = 1,则?△???1 × ?? × ? = 2，因为?△??? = 2?△???，得?△??? = 4，整理得?? = 3，
2?
?
再把数值代入?
1
= × ?? ×
= 4，进行计算，得?
84
= ，最后代入反比例函数? = 进行计算，即可
△???2?
?3?
作答．
【详解】（1）解：∵直线? = 2? + ?（?为常数）与?轴、?轴分别交于点?、?(0,2)
∴把?(0,2)代入? = 2? + ?，得2 = 2 × 0 + ?，解得? = 2，
∴? = 2? + 2，
把点?(1,?)代入? = 2? + 2，得? = 2 × 1 + 2 = 4，即?(1,4)，
?，
依题意，把?(1,4)代入? = ?
?
得4 = 1，
解得? = 4，
4
∴? = ?；
?
（2）解：由（1）得? = 2? + 2，?(1,4)，? = 4；依题意，令? = 0，则0 = 2? + 2，
解得? = −1，即?(−1,0)，
∴?? = 1，
则?△???1
?1，
= 2 × ?? × ? = 2 × 1 × 4 = 2
∵?△??? = 2?△???，
∴?△??? = 2 × 2 = 4，
∵点?的坐标为(2,0)，
∴?? = 2−(−1) = 3，
= × ?? ×
?
则?△???1? = 1 × 3 ×= 4，
解得??
2
8
= 3，
?2?
4
∵点?在反比例函数? = ?的图象上，
84
∴3 = ??，
3
∴?? = 2；
8
3
2
∴点?的坐标为 3 ,．
4．（2025·四川广元·模拟预测）如图，反比例函数 ? = ?(? > 0,? > 0)的图象经过正方形????（?为坐标
?
原点）的顶点?，直线 ?1:? = ?? + 1经过边??的中点?(1,2)．
求直线?1的函数解析式及反比例函数的解析式．
将直线?1向下平移2个单位长度，得到直线?2，当直线?2在双曲线 ? = ?(? > 0,? > 0)的上方时，求?的取
?
值范围．
将 △ ???绕点?顺时针旋转90⁰，点?的对应点为点?，判断点?是否在该双曲线上．
【答案】(1)直线?1的函数解析式为 ? = ? + 1；反比例函数的解析式为 ? = 4
?
? > 17+1
2
点 ?(4,1)在该双曲线上
【分析】（1）将?点坐标代入一次函数解析式求出?的值即可；根据点?(1,2)是正方形????的边??的中点，求出?点坐标，代入反比例函数解析式中，求出?的值即可．
根据平移的性质得到直线? 的解析式，联立直线? 与反比例函数? = 4的解析式，求得交点的横坐标，
22?
进而根据函数图象的特征求得?的取值范围．
根据旋转的性质得到点?的坐标，将点?的坐标代入反比例函数解析式中验证点?是否在该双曲线上．
【详解】（1）解： ∵ 点?(1,2)在直线 ?1:? = ?? + 1上，
∴ 2 = ? + 1，解得? = 1，
∴ 直线?1的函数解析式为? = ? + 1．
∵ 点?(1,2)是正方形????的边??的中点，
∴ ?(2,2)．
将点?(2,2)代入反比例函数? = ?
? = 4，
?中，得
4
∴ 反比例函数的解析式为 ? = ?．
（2）解：将直线 ?1:? = ? + 1向下平移2个单位长度，得?2:? = ? + 1−2 = ?−1，
设直线?2与双曲线 ? = 4(? > 0)交于点 ?，
?
? = 4
联立?
? = ?−1
，解得? =
17+1
2
或
− 17+1
2
（舍去），
17+1
2
∴ 点?的横坐标为，
∴ 当直线 ?2在双曲线? = 4(? > 0)的上方时，? > 17+1．
?2
（3）解：由（1）易知，?(2,0)，?? = 2，?? = 1．
∵ 将△ ???绕点?顺时针旋转90⁰，点 ?的对应点为点?，
∴ 点?的坐标为(4,1)．
4
对于反比例函数? = ?，
当? = 4时，? = 1，
∴ 点?(4,1)在该双曲线上．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合，反比例函数与几何图形结合，待定系数法求函数解析式，线段的中点坐标公式，一次函数图形的平移，图形的旋转，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数与一次 函数的图象与性质．
?
5．（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系???中，双曲线? = ?经过▱????的顶点?，?，点?的坐标
为(2,1)，点?在?轴上，且?? ∥ ?轴，?▱???? = 5．
填空：点?的坐标为．
求双曲线函数关系式及?点坐标； (3)求??所在直线关系式．
【答案】(1)(0,1)
24
(2)? = ?； − 3 ,−1.5
? + 1
(3)? = 15
8
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，一次函数，平行四边形的性质，熟练掌握函数的图像性质是解题的关键．
利用两点平行?轴纵坐标相等解答即可；
利用点?的坐标求出反比例函数解析式，再利用三角形面积公式求出点?的纵坐标，代入反比例函数运算求解即可；
利用待定系数法运算求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，?(2,1)，且?? ∥ ?轴，
∴?(0,1)，
故答案为：(0,1)；
?，
（2）把?(2,1)代入到? = ?
2
得? = 2，所以? = ?；
对图形进行点标注，如图所示：
∵?? = 2，?▱???? = 5，
∴?? × ?? = 5，
∴?? = 2.5，即?? = ??−?? = 2.5−1 = 1.5，
22
把? = −1.5代入? = ?，则−1.5 = ?，
4
则? = −3，
4
即? − 3 ,−1.5 ；
（3）设直线??的解析式为? = ?? + ?，由?、?的坐标得
? = 15
? = 1
− 4 ? + ? = −1.5 ，
3
解此方程组得
8 ，
? = 1
∴直线??的解析式为? =
15
．
? + 1
8
6．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图象与?轴、?轴分别交于点?(−2,0)，
点?(0,4)，与反比例函数? = ?(? ≠ 0)的图象交于点?(?,6)．
?
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点?是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点?重合），过点?作?? ∥ ?轴，交射线??于?，若
??1
?? = 2，求点?的坐标．
6
【答案】(1)一次函数的解析式为? = 2? + 4，反比例函数的解析式为? = ?；
2
(2)点?的坐标为 3 ,4 ．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题，平行线分线段成比例定理，待定系数法求函数解析式等知识．
利用待定系数法求解即可；
作?? ⊥ ?轴于点?，交??于点?，利用平行线分线段成比例定理求得?? = 2，求得点?的纵坐标为 4，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图象与?轴、?轴分别交于点?(−2,0)，点?(0,4)，
−2? + ? = 0
∴? = 4，
? = 2
解得 ? = 4 ，
∴一次函数的解析式为? = 2? + 4，
∵点?(?,6)在直线? = 2? + 4上，
∴2? + 4 = 6，解得? = 1，
∴点?(1,6)，
∵点?(?,6)在反比例函数? = ?(? ≠ 0)的图象上，
?
∴? = 1 × 6 = 6，
6
∴反比例函数的解析式为? = ?；
（2）解：作?? ⊥ ?轴于点?，交??于点?，
∵点?(1,6)，
∴?? = 6，
∵?? ∥ ?轴，
∴?? ∥ ??，
∴?? = ?? = 1
??1
= ，
??
??
3，即 63
∴?? = 2，?? = 6−2 = 4，
∴点?的纵坐标为 4，
63
∴? = 4，解得? = 2，
2
∴点?的坐标为 3 ,4．
?
7．（2024·山东济宁·一模）如图，一次函数? = −? + ?与反比例函数? = k
(? > 0)的图象交于点?(?,4)，
?(4,1)．
求一次函数与反比例函数的解析式；
k
请直接写出不等式? > −? + ? (? > 0)的解集是；
点?是线段??上一点，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，连接??，设点?的横坐标为?，用含?的代数 式表示
?△???，求?△???的最大值和最小值.
4
【答案】(1)一次函数的解析式为? = −? + 5，反比例函数的解析式为? = ?；
0 < ? < 1或? > 4；
?
1?25?
25
的最大值为 ，最小值为2．
= −+ ?，
△???22△???8
【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解；
5
2
求出点?坐标，再结合图象即可求解；
(?,−? + 5)?1
1 25
1
225
设?
可求解；
，可得
△??? = 2??·?? = −2?
+ ? = − ?−
2
2
+ 8 ，再根据二次函数的性质解答即
本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确求出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：将?(4,1)代入? = −? + ?得，1 = −4 + ?，解得? = 5，
∴一次函数的解析式为? = −? + 5，
??
将?(4,1)代入? = ?得，1 = 4，
解得? = 4，
4
∴反比例函数的解析式为? = ?；
（2）解：把?(?,4)代入? = 4得，4 = 4 ，
??
解得? = 1，
∴?(1,4)，
k
由图象可知，当0 < ? < 1或? > 4时，? > −? + ? ，
k
∴不等式? > −? + ? (? > 0)的解集是0 < ? < 1或? > 4，
故答案为：0 < ? < 1或? > 4；
（3）解：∵点?是线段??上一点，设?(?,−? + 5)，
?11
1 25
1
225
则 △??? = 2??·?? = 2 × ? × (−? + 5) = −2?
+ ? = − ?−
2
2
+ 8 ，
5
2
1
∵1 ≤ ? ≤ 4，−
2
∴当? = 5时，?
< 0，
25
1
2
5
2
2△???的值取最大，最大值为 8 ；
?
225
1925
当? = 1或4时，
△???的值取最小，最小值为−
1−
+ 8 = −2 × 4 + 8
= 2；
∴?
= −1?25 ，?252．
△???
2+ 2?
△???的最大值为 8 ，最小值为
8．（2025·广东·模拟预测）如图，已知点?
1，4
和点 B（点 B 不与点 A 重合）都在反比例函数? =
?
(? > 0)
?
的图象上，直线??与坐标轴交于 P，Q 两点．过点 A 作?? ⊥ ?轴于点 C，过点 B 作?? ⊥ ?轴于点 D，??与??
交于点 E，连接??．
求反比例函数的解析式．
求证： ??∥??．
试探究是否存在点 B，使得?? = ?? = ??？若存在，求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为? = 4(? > 0)；
?
见解析：
存在；?(2,2)；
【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
根据一次函数解析式的 k 值相等，对应的函数图象两条直线是平行的即可解决问题；
根据平行线间的线段成比例算出答案即可；
【详解】（1）解：∵已知点? 1，4 在反比例函数? = ?(? > 0)的图象上，
?
∴? = 1 × 4 = 4 ，
∴反比例函数的解析式为? = 4(? > 0)；
?
（2）证明：由（1）可知反比例函数的解析式为? = 4(? > 0)，
?
4
?
可设点? ?,，
又∵点?1，4,
∴设直线??的函数解析式为? = ?1? + ?
?1 + ? = 4
∴ ??1
+ ? = 4
?
解得：?1
4
= −?，
∵过点 A 作?? ⊥ ?轴于点 C，过点 B 作?? ⊥ ?轴于点 D，
4
?
∴点?(1,0)，点? 0， ，
∴可设直线??的函数解析式为? = ?2? + ?
?2 + ? = 0
∴? = 4
?
4
∴?2 = −?，
∴?1 = ?2，
∴??∥??；
（3）解：如图所示，过点?作?? ⊥ ??于点?，
∴?? ∥ ?? ∥ ??，
∵?? = ?? = ??，
∴?? = ?? = ??，
?
由上可知：?1，4， ?(0,4)，设? 4 ,?，则?0，?，
∴?? = 4−?，?? = ?，
∴4−? = ?， 解得：? = 2，
∴4 = 2，
?
∴?(2,2)．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行线的判定，平行线间的线段成比例等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线．
9．（25-26 九年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数? = ?? + ?(? < 0)与反比例函
数? = ?(? < 0)交于?(−?,3?)，?(4,−3)两点，与?轴交于点?，连接??,??．
?
求反比例函数和一次函数的表达式；
?
(2)直接写出?? + ? ≥ ?时，?的取值范围；
(3)若在第一象限内存在一点?，使得以?,?,?,?为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点?的坐标．
3
12
【答案】(1)反比例函数的表达式为? = −
2
? ，一次函数的表达式为? = −? + 3
(2)? ≤ −2或0 < ? ≤ 4
(3)(2,3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，根据图象写出不等式的解集，求出两个函数解析式是解题的关键．
根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得 A 点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
由（1）可得?(−2,6)，?(4,−3)，再结合函数图象即可得解；
3
2
连接??，交??于点 M，首先利用平行四边形的性质求得??中点 M 的坐标为? 1,，进而推导出 P
点坐标．
【详解】（1）解：∵点?(4,−3)在反比例函数? = ?(? < 0)的图象上，
?
?
∴−3 = 4，
解得：? = −12，
12
∴反比例函数的表达式为? = − ? ，
? 的图象上，
∵?(−?,3?)在反比例函数? = −12
12
∴3? = −−?，
解得?1 = 2，?2 = −2（舍去），
∴点 A 的坐标为(−2,6)，
∵点 A，B 在一次函数? = ?? + ?的图象上，把点?(−2,6)，?(4,−3)分别代入，得：
−2? + ? = 6
4? + ? = −3 ，
? = − 3
解得2 ，
? = 3
3
∴一次函数的表达式为? = −? + 3；
2
（2）解：由（1）可得?(−2,6)，?(4,−3)，
?
根据图象可知，?? + ? ≥ ?时，?的取值范围为? ≤ −2或0 < ? ≤ 4；
（3）解：如图，连接??，交??于点 M，
∵四边形????是平行四边形，
∴点?是线段??、??的中点，
∵?(−2,6)，?(4,−3)，
3
2
∴? 1,，
∴点 P 的坐标为(2,3)．
10．（2025·湖北恩施·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知?(−2,1)、?(?,−2)两点是一次函数
?
? = ?? + ?和反比例函数? = ? 图像的两个交点，直线 AB 与 x 轴交于点 C．
求一次函数和反比例函数的解析式；
观察图像，直接写出不等式
?的解集；
?? + ?− ? > 0
在 y 轴上取一点 P，使??−??的值最大，并求出??−??的最大值及点 P 的坐标．
2
【答案】(1)一次函数解析式为?=−?−1，反比例函数解析式为? = −?；
? < −2或0 < ? < 1；
??−??的最大值 2，P 点的坐标为?(0,−1)．
【分析】（1）直接用待定系数法即可求解；
（2）由点?(−2,1)、?(1,−2)，结合图象即可求解；
（3）由一次函数与 y 轴的交点为?(0,−1)，可得??−??的值最大，最大值即为??的长度，再利用勾股定理
求解即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
? ，
【详解】（1）解：把?(−2,1)代入? = ?
2
得? = −2 × 1 = −2，则反比例函数解析式为? = −?，
?
把?(?,−2)代入? = −2，
得−2? = −2，解得? = 1，则 B 点坐标为?(1,−2)，把?(−2,1)、?(1,−2)代入? = ?? + ?得，
−2? + ? = 1
? + ? = −2 ，
? = −1
解得： ? = −1 ，
则一次函数解析式为?=−?−1．
（2）解：∵点?(−2,1)、?(1,−2)，
∴由图可得，不等式?? + ?−?
?
> 0解集范围是：? < −2或0 < ? < 1 ，
（3）解：一次函数解析式为? = −?−1，令? = 0，则? = −1，
∴一次函数与 y 轴的交点为?(0,−1)，
此时，??−??的值最大，最大值即为??的长度，过点 A 作?? ⊥ ?轴于点 D，直线??与 x 轴的交点为 C，在
? = −?−1中，令? = 0，则? = −1，即直线? = −?−1与 x 轴交于点?(−1,0)，
∵?(−2,1)，
∴?? = 1，?? = −1−(−2) = 1，
12 + 12
2
∴?? ==
∴??−??的最大值 2，P 点的坐标为?(0,−1)．