2026年中考数学二轮复习 专题02 反比例函数综合(重难专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题02 反比例函数综合(重难专练)，共7页。试卷主要包含了反比例函数的图象与性质；，反比例函数与一次函数的综合，第四象限，即可求解．等内容，欢迎下载使用。
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近三年：中考数学中反比例函数综合考点主要考向分为四类：
一、反比例函数的图象与性质（每年 1˜2 道，3˜6 分）； 二、反比例函数中 k 的几何意义（每年 1˜2 题，4˜8 分）；
三、反比例函数与一次函数的综合（每年 1 道，6˜10 分）；四、反比例函数的实际应用（每 1˜2 年 1 道，6˜8 分）
考查内容稳定，命题形式灵活，以选择、填空题为主，解答题多为中档综合题，难度中等，偶尔结合几何图形出现在压轴小问中．
预测 2026 年：反比例函数仍是中考数学核心中档考点，全国统一命题趋势下，侧重考查与几何图形、一
次函数的综合应用，强化 k 的几何意义的灵活运用。命题更注重数形结合思想，强调与实际情境的结合，考生需熟练掌握核心性质与方法，提升图形分析和转化能力，做到灵活运用、举一反三。
考向 01反比例函数图象与性质
题型 1 反比例函数的图象特征
1、反比例函数的基本形式：y = x（k ≠O，k 为比例系数），也可变形为xy =k（k ≠O）；
2、图象形状：双曲线，关于原点对称，关于直线y =x和y =−x对称；
3、图象位置与 k 的关系：当k＞O时，双曲线位于第一、三象限；当k＜O时，双曲线位于第二、四象限；4、关键注意：双曲线永远不与 x 轴、y 轴相交，x、y 均不能为 0。
k
1．（2026·上海·一模）研究函数的性质，通常可以绘制对应的函数图像．小明用某软件绘制出了函数? =
1
?−1的图像（如图所示），已知其和?轴没有交点，小明对此函数进行猜想，那么下列说法中正确的是
（ ）
猜想一 函数和 y 轴交于点(0,−1)；
1
猜想二 函数可由? = ?向右平移1个单位得到；
A．猜想一错误B．猜想二错误C．猜想均错误D．猜想均正确
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图像的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关
1
键．把? = O代入? = ?−1，得出? = −1，可判定猜想一正确，根据函数图像的平移规律可判断猜想二正
确，即可得答案．
【详解】解：∵当? = O时，? = ?−1 = 0−1 = −1，
∴函数和 y 轴交于点(0,−1)，故猜想一正确；
11
根据函数“左加右减”的平移规律可知，? = ?向右平移1个单位得到函数? = ?−1，
11
∴函数? = ?−1可由? = ?向右平移1个单位得到，故猜想二正确，
∴猜想均正确．
故选：D．
11
2．（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数? = ??2 +?? + ?（?,?,?是常数，且? ≠ O）
的图象如图所示，则直线? = ??−3?−?与反比例函数? =
为（ ）
A．B．
C．D．
?−?+?
? 的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系、反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
根据二次函数图象开口向下得到? < O，再根据对称轴为直线? = 1，求得? = −2? > O，从而得出
−3?−? = −3? + 2? = −? < O，则可确定直线? = ??−3?−?经过第一、二、四象限，再根据当? = −1时，
?−?+?
? = ?−? + ? < O，从而确定反比例函数? =
?
的图象在第二、第四象限，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴? < O
∵二次函数图象的对称轴为直线? = −2? = 1
∴? = −2? > O，
∴−3?−? = −3? + 2? = −? > O，
∴直线? = ??−3?−?经过第一、二、四象限，
∵当? = −1时，? = ?−? + ? < O，
?−?+?
?
∴反比例函数? =
?
的图象在第二、第四象限，
∴只有 D 选项题意．
故选：D．
3．（2025·湖南娄底·模拟预测）在下列函数中，其图象的对称轴条数最少的是（ ）
1
A．? = −?B．? = ?
C．? = −?2 +5D．? = 3? + 2
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质．解决本题的关键是根据函数的图象与性质进行判断．
【详解】解：A 选项：一次函数? = −?的图象是一条直线，直线有无数条对称轴；
1
B 选项：反比例函数? = ?的图象是双曲线，有两条对称轴。
C 选项：二次函数? = −?2 +5的图象是抛物线，抛物线有1条对称轴；
D 选项：一次函数? = 3? + 2的图象是一条直线，直线有无数条对称轴．
∴ 对称轴条数最少的是反比例函数的图象．故选：C．
3
4．（2026·广西钦州·一模）已知点(?,?)在函数? = −?的图象上，下列说法错．误．的是（ ）
A．当? = −1时，? = 3B．点(?,?)和(−?,−?)在此函数图象上 C．图象位于第二、第四象限D．当? < O时，y 随 x 的增大而减小
33
∴? = −?，则−? = ?，
即点(−?,−?)在函数图象上，B 项说法正确，不符合题意；
3
C 项：在反比例函数? = −?中，? = −3 < O，
根据反比例函数性质，当? < O时，图象分别位于第二、四象限，C 项说法正确，不符合题意；
3
D 项：∵? = −3 < O，在反比例函数? = −?中，
当? < O时，函数图象在第二象限，且在第二象限内 y 随 x 的增大而增大，而不是减小，
D 项说法错误，符合题意，
3 3
3
对于点(−?,−?)，将? = −?代入函数? = −?中，可得? = −−? = ?，
又∵?? = −3，
3
∴? = −?，即点(?,?)在函数图象上，
3
3
3
3
【详解】解：A 项：当? = −1时，? = −−1 = 3，A 项说法正确，不符合题意；
B 项：∵点(?,?)在函数? = −?的图象上，
3
∴? = −?，即?? = −3，
对于点(?,?)，将? = ?代入函数? = −?中，可得? = −?，又∵?? = −3，
?
【分析】对于反比例函数? = ?（k 为常数，? ≠ O），当? > O时，图象在第一、三象限，且在每个象限内 y
随 x 的增大而减小；当? < O时，图象在第二、四象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，图象关于原
点对称，本题中? = −3 < O，根据反比例函数的性质逐一分析选项．
【答案】D
综上，说法错误的是 D．
5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知 A，B 两点分别在反比例函数? = 3?(? ≠ O)和? = ?+1(? ≠ −1)的图象
??
上，若点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则 a 的值是．
1
1
解得? = −4．
故答案为：−4．
?+1
3?
(? ≠ −1)得：−=，
???
?+1
将点 B 坐标代入? =
3?3?
【详解】解：设点 A 坐标为 ?, ? ，则? ?, −? ，
3?3?
根据关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标设点 A 坐标为 ?, ? ，则? ?, −? ，代入解析式解出 a 值即可．
1
【答案】−4
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键．
题型 2 反比例函数的增减性
1、增减性核心：反比例函数的增减性必须结合“象限”讨论，不能笼统说“y 随 x 的增大而增大或减小”；
2、具体规律：当?＞O时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当?＜O时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大；
3、易错点：忽略“同一象限”这一前提，误将不同象限的点进行增减性比较；
4、补充：若点(?1, ?1)、(?2, ?2)在同一支双曲线上，可根据 k 的符号判断 y 的大小；若在不同支上，直
接根据象限判断（第一象限 y＞0，第三象限 y＞0，第二、四象限 y＜0）。
1．（2026·河南洛阳·一模）关于?的方程?2−?? + ?−1 = O（?为常数）有两个相等的实数根，且反比例函数
?
? = ?的图象经过(−1,?)，(−2,?)，(2,?)三点，则?，?，?之间的大小关系为（ ）
A．? > ? > ?B．? > ? > ?C．? > ? > ?D．? > ? > ?
【答案】A
【分析】先根据方程有两个相等的实数根，利用判别式求出?的值，再代入计算三个点的纵坐标，比较大小即可．
【详解】解：∵关于?的方程?2−?? + ?−1 = O有两个相等的实数根，
∴Δ = (−?)2−4 × 1 × (?−1) = ?2−4? + 4 = (?−2)2 = O，
解得 ? = 2，
2
∴反比例函数解析式为 ? = ?，
2
∵反比例函数? = ?经过(−1,?)，(−2,?)，(2,?)三点，
∴? = −1 = −2，? = −2 = −1，? = 2 = 1，
2
2
2
∵1 > −1 > −2，
∴? > ? > ?．
2．（2026·安徽芜湖·一模）已知点?(?−1,?1)，?(? + 1,?2)都在反比例函数? =
一定正确的是（ ）
A．?1 > ?2B．?1 < ?2
C．当? > 2O26时，?1 > ?2D．当? < 2O26时，?1 < ?2
?2+1
? 的图象上，则下列结论
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：∵?2 +1 > O，
∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内?随?的增大而减小，
A、若两点在不同分支上，∵?−1 < ? + 1，故?1 < ?2，原说法错误，不符合题意； B、若两点在同一分支上，∵?−1 < ? + 1，故?1 > ?2，原说法错误，不符合题意； C、当? > 2O26时，两点都在第一象限，?1 > ?2，原说法正确，符合题意；
D、当1 < ? < 2O26时，两点都在第一象限，?1 > ?2，原说法错误，不符合题意；
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．
由点(2,−3)求出? = −6，得到函数解析式，再逐一判断选项．
【详解】解：∵反比例函数? = ?(? ≠ O)的图象经过点(2,−3)，
?
∴−3 = 2，
即? = −6 < O，
6
∴? = −?，
∴图象在第二、四象限，当? > O时，y 随 x 的增大而增大，A、B 错误；
?
当? = −3时，? = −−3 = 2，即其图象经过点(−3,2)而非(−3,−2)，C 错误；
当? = −2时，? = −−2 = 3，则当? < −2时，y 的取值范围是O < ? < 3，D 正确；故选：D．
6
6
?
3．（2026·湖北襄阳·二模）已知反比例函数? = ?(? ≠ O)的图象经过点(2,−3)，下列结论正确的是（ ） A．其图象位于第一、三象限B．当? > O时，y 随 x 的增大而减小 C．其图象经过点(−3,−2)D．当? < −2时，y 的取值范围是O < ? < 3
4．（2025·浙江·模拟预测）已知点(?1,?1)，(?2,?2)在反比例函数? =
≠ ?2，若?1 ⋅ ?2 > O，则(?1−?2)(?1−?2)的值为（ ）
2?2−2?+1
?（m 为常数）的图象上，?1
A．0B．负数C．正数D．非负数
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比
例函数? > O可知反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，据
此即可解答．
【详解】解：∵2?2−2?+1 = ?2 + (?−1)2 > O，
2?2−2?+1
∴反比例函数图像? =
∵?1 ⋅ ?2 > O
?
的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，
∴?1 > O，?2 > O或?1 < O，?2 < O，
假设?1 > O，?2 > O且?1 < ?2，则?1 > ?2，
∴?1−?2 < O，?1−?2 > O，
∴(?1−?2)(?1−?2) < O，
同理：当?1 < O，?2 < O且?1 < ?2时，(?1−?2)(?1−?2) < O，
∴(?1−?2)(?1−?2)的值为负数．故选：B．
5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知点?(−2,?1)和点?(3,?2)在反比例函数? =
若?1 < ?2，则?的取值范围是．
?−5
? （?为常数）的图象上，
【答案】? > 5
?−5
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质；由点?(−2,?1)、点?(3,?2)在反比例函数? = ? 图象上可求
?−5
【详解】解：∵点?(−2,?1)和点?(3,?2)在反比例函数? =
出?1 = −2 ，?2 = 3 ，再利用?1 < ?2建立不等式即可求解．
?−5
?−5
? 的图象上，
∴?1 = −2 ，?2 =
∵?1 < ?2，
?−5
?−5
?−5
3 ，
∴ −2 < 3 ，
∴? > 5，
故答案为：? > 5．
?−5
?
6．（2026·陕西宝鸡·一模）反比例函数? = ?（? < O），当1 ≤ ? ≤ 3时，函数 y 的最大值和最小值之差为
3，则? = ．
【答案】−2
【分析】根据反比例函数的系数分析函数在给定范围内?随?的增大而增大，确定最大值和最小值，再结合差值列方程求解．
9
【详解】解：∵? < O，
∴在1 ≤ ? ≤ 3的范围内?随?的增大而增大，当? = 1时，? = ?
?
当? = 3时，? = 3，
∵当1 ≤ ? ≤ 3时，函数 y 的最大值和最小值之差为 3，
9
∴3−? = 3，解得? = −2．
?
3
7．（2026·安徽·模拟预测）已知点?(?1,?1)，?(?2,?2)在反比例函数? = ?的图象上．
(1)若?1 = 1，?2 = −3，求?1−?2的值；
(2)若?1 = ?−2，?2 = ? + 2，?1 < ?2，且点?,?在不同象限，求?的取值范围．
【答案】(1)4
(2)−2 < ? < 2
【分析】（1）把?1 = 1，?2 = −3分别代入? = ?求出?1,?2，即可求解差值；
（2）易得点?在第三象限，点?在第一象限，列出不等式组求解即可．
3
【详解】（1）解：当?1 = 1时，?1 = 1 = 3，
当?2 = −3时，?2 = −3 = −1
∴ ?1−?2 = 3−(−1) = 4；
3
（2）解：∵? = ?，3 > O，
∴反比例函数的图象过一，三象限，
∵?1 < ?2，点?,?在不同象限，
∴点?在第三象限，点?在第一象限，
?−2 < O
∴ ? + 2 > O ，解得−2 < ? < 2，
即?的取值范围是−2 < ? < 2．
3
3
考向 02反比例函数中 k 的几何意义
题型 3 已知面积求 k 值
1、核心依据：过反比例函数y = x（k ≠O）图象上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，矩
形 OAPB 的面积为|k|，△OAP（或△OBP）的面积为2|k|，所有与该点相关的直角图形面积，均可转化为这两种基本图形面积；
2、解题步骤：①定位反比例函数图象上的关键点，作 x 轴、y 轴垂线，构造直角矩形或直角三角形（核心转化步骤）；②根据图形面积公式，建立与|k|的等式（如复杂图形，先转化为基本图形，再计算面 积）；③结合双曲线所在象限判断 k 的正负（第一、三象限 k＞0，第二、四象限 k＜0），最终求出 k 的值；
3、易错点：忘记面积与|k|的对应关系（混淆矩形与三角形面积的倍数关系）；转化复杂图形面积时出错；忽略象限对 k 正负的影响，只求绝对值。
k
1
?
1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点 A 是反比例函数? = ?(? < O)图像上一点，点 B
在 x 轴上，?? = ??，点 C 为??的中点，若 △ ???的面积为 4，则 k 的值为（ ）
1
−4B．−8C．−6D．2
【答案】B
【分析】过?点作?? ⊥ ??于?点，通过中点的性质可得到?△??? = ?△??? = 4，进而可求出?．
【详解】解：过?点作?? ⊥ ??于?点，
∵?? = ??，
∴?为??的中点，
∴?△??? = 2?△???，
∵点 C 为??的中点， △ ???的面积为 4，
1
∴?△??? = 2?△???，
∴?△??? = ?△??? = 4，
1
又∵点 A 是反比例函数? = ?(? < O)图像上一点，
∴?△??? = 2 = 4，
∴|?| = 8，
∵反比例函数图像在第二象限，
∴? = −8．
?
|?|
?
2．（2026·广西柳州·一模）如图，在平面直角坐标系???中，点?为反比例函数? = ?(? ≠ 0,? < O)图象上一
?
点，线段?? ⊥ ??于点?，交反比例函数? = ?(? ≠ 0,? < O)图象于点?，连接??，线段??经过点?，且?为
3
线段??的中点，若 △ ???的面积为2，则? = （ ）
B．−3C．−2D．−1
12? 1?
∴3 = 2 × (−2?) × ? −2 × (−2?) × 2?
解得：? = −2．
?
即? 2?, 2?
∵?△??? = ?△???−?△???，
，
∵?? ⊥ ??，
∴D 点横坐标为2?，
?
此时? = 2?，
2?
∴? 2?, ?
?
设? ?, ? ，
∵?为线段??的中点，
3
3
【详解】解：∵?为线段??的中点， △ ???的面积为2，
∴ △ ???的面积为2 × 2 = 3，
?
2?, 2? ，根据等面积法列方程求解即可．
，?
?2?
【分析】根据同高三角形面积比等于底的比求出△ ???的面积，设? ?, ? ，进而得到? 2?, ?
【答案】C
3．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知▱????的顶点?在函数? = ?(? > O)的图象上，点?、?、?在坐标轴上，连接??交??于点?．若?△??? = 3，?四边形???? = 8，则?的值为（ ）
?
B．8C．10D．14
【答案】C
【分析】设?△??? = ?，由题意可得?△??? = 2?▱????，进而列方程求出? = 2，再根据反比例函数系数?的
1
几何意义求解即可．
【详解】解：设?△??? = ?，
∵ ▱????，
∴ ??∥??，?? = ??，
∴ ?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2?▱????，
∵ ?△??? = 3，?四边形???? = 8，
∴ ? + 3 = 2(? + 8)，解得：? = 2，
1
1
1
∵ 顶点?在函数? = ?(? > O)的图象上，
∴ ?△??? = 3 + 2 = 5 = 2?，
∴ ? = 1O．
?
1
8
4．（2026·山东青岛·一模）如图，点 A 是双曲线? = −?上一点，过点 A 分别作?? ⊥ ?轴，?? ⊥ ?轴，垂足
?
分别为 B，C 两点，??,??与双曲线? = ?分别交于 D，E 两点，若四边形????的面积为 5，则? =
．
1
1
∴8− − 2 ? − − 2 ? = 5，解得：? = −3．
8
1
1
1
1
?
【详解】解：∵D，E 在反比例函数? = ?的图像上且图像在第二象限，
∴?△??? = 2?? ⋅ ?? = −2?，?△??? = 2?? ⋅ ?? = −2?，
∵点 A 是双曲线? = −?上一点，且图像在第二象限，
∴?矩形???? = ?? ⋅ ?? = −? = 8，
∵?矩形????−?△???−?△??? = ?四边形????，
1
1
【分析】由反比例函数的几何意义得?△??? = −2?，?△??? = −2?，?矩形???? = 8，再根据?矩形????−?△???
−?△??? = ?四边形????即可求出 k 的值．
【答案】−3
?
5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点 P 在? = ?的图象上，过点 P 作?? ⊥ ?轴于点 B，过点 P 作?? ⊥ ?
轴于点 C，点 A 与点 B 关于 y 轴对称，若四边形????的面积为 12，则 k 的值为．
3
∴?四边形???? = ?△??? + ?矩形???? = 2|?| = 12，
∴|?| = 8，即? =± 8，
?
∵? = ?的图象位于第一象限，
∴? > O，
∴? = 8．
?
∵点 P 在? = ?的图象上，
∴?矩形???? = |?|，
，
2 矩形????
1
= ?
△???
2
1
1
∴2??·?? = ??·??，即?
?
3
1
【分析】根据题意可得?△??? = 2?矩形????，由反比例函数?的几何意义得到?矩形???? = |?|，进而得到
?四边形???? = 2|?| = 12，再结合? = ?的图象位置，可得? > O，即可求解．
【详解】解：∵点 A 与点 B 关于 y 轴对称，
∴?? = ??，
∵?? ⊥ ?轴，?? ⊥ ?轴，
∴??∥??,??∥??，
∴四边形????是平行四边形，
∵∠??? = 9Oº，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ??，
【答案】
8
6．（2025·陕西西安·三模）如图，点 C 在反比例函数?
= ?1(? > O)的图象上，点 B 在反比例函数? = ?2
1?2?
(? > O)的图象上，?? ∥ ?轴交 y 轴于点 A，?? = ??．若△ ???为等腰三角形且面积为 10，则?1，?2满足的数量关系是．
?
?
【答案】2?1−?2 = 2O
【分析】设点 C 的坐标为(??,??)，点 B 的坐标为(??,??)，根据?? = ??及?? ∥ ?轴，利用等腰三角形三线合一的性质可得?? = 2??，再根据三角形面积公式及反比例函数 k 的几何意义列式计算即可．
【详解】解：设点 C 的坐标为(??,??)，点 B 的坐标为(??,??)，
∵ 点 C 在反比例函数?1 = ? (? > O)的图象上，点 B 在反比例函数?2 = ? (? > O)的图象上，
∴ ???? = ?1、 ∴ ???? = ?2，
∵ ?? ∥ ?轴交 y 轴于点 A，
?1
?2
∴ ?(O,??)、?? ⊥ ?轴，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴△ ???是等腰三角形，
过点 C 作?? ⊥ ??于点 D ，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = 2??，即?? = 2??，
∴ ?△??? = 2?? ⋅ (??−??) = 1O，
∴ 2 ⋅ ?? ⋅ (??−??) = 1O，
∴ ????−???? = 2O，
∴ 2????−???? = 2O，
∴ 2?1−?2 = 2O．
1
1
1
7．（2026·江西·模拟预测）如图，已知??∥?轴，点 A 在反比例函数? = ?(? < O)的图象上，将线段??平移，得到线段??，且点 B 恰好落在反比例函数? = 3(? > O)的图象上，点 O 为四边形????的中心，
?四边形???? = 14．
求 k 的值；
若点 D 到 x 轴的距离为 1，求直线??的解析式．
7 3
7
1
1
则 ?△??? = 2 × 3 = 2．
由平移可知四边形????是平行四边形，
∵点 O 是平行四边形????的中心， ?四边形???? = 14，
∴ ?△??? = 4 × 14 = 2，
∴ ?△??? = 2−2 = 2．
∵点 O 是平行四边形????的中心，
∴ ?? ∥ ??，?? = ??，
∵ ?? ∥ ?轴，
∴ ?? ⊥ ?轴，
∴由平移知?? ⊥ ?轴，
3
【详解】（1）解：如图，设??，?? 分别交 y 轴于点 E，F，连接??，??，??，
7 3
?四边形???? = 14，得?△??? = 2−2 = 2，证明△ ???≌ △ ???(ASA)，得?△??? = ?△??? = 2，进而可求 k．
(2) 根据点 D 到 x 轴的距离为 1，?? ∥ ?轴，点 O 是平行四边形????的中心，分别求得点 A 、点 B 的坐
标，用待定系数法即可求解．
【答案】(1)−4
(2)? = −2? + 7
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及反比例函数 k 的几何意义，反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键．
(1) 设??，?? 分别交 y 轴于点 E，F，连接??，??，??，由点 O 是平行四边形????的中心，
? = −2，
解得 { ? = 7，
4? + ? = −1，
得 { 3? + ? = 1，
3
将? = 1代入 ? = ?，得? = 3，
∴ ?(3,1)．
设直线??的解析式为? = ?? + ?，将?(4,−1)，?(3,1)分别代入，
−4
将? = −1代入 ? = ? ，得? = 4，
∴ ?(4,−1)．
?
∵函数 ? = ?(? > O)的图象在第四象限，
∴ ? < O，
∴ ? = −4．
（2）解：∵点 D 到 x 轴的距离为 1，?? ∥ ?轴，点 O 是平行四边形????的中心，
∴点 A 的纵坐标为−1，
∴ 点 B 的纵坐标为 1．
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?△??? = ?△??? = 2，
∴ |?| = 4．
∴直线??的解析式为? = −2? + 7．
题型 4 已知 k 值求面积
1、核心结论：已知k的值，可直接利用|k|求相关图形面积，无需求具体点的坐标；基本图形面积固定：
直角矩形面积=|k|，直角三角形面积=2|k|；
2、解题步骤：①明确已知 k 值，先求出|k|（无论 k 正负，面积均与绝对值相关）；②观察图形，判断其
是否为基本图形（矩形、直角三角形），若为复杂图形（如梯形、斜三角形），则转化为基本图形（作 x轴、y 轴垂线，拆分或补全图形）；③根据基本图形与|k|的关系，计算出目标图形的面积；
3、易错点：忽略 k 的正负对面积无影响，误将 k 的正负代入面积计算；复杂图形转化时，拆分或补全
错误，导致面积计算偏差；忘记基本图形面积与|k|的固定比例。
1
3
1．（2026·四川达州·一模）如图，点?是反比例函数? = −?在第二象限内图象上一点，点?是反比例函数
5
? = ?在第一象限内图象上一点，直线??与?轴交于点?，且点?恰为??的中点，连接??，??，则 △ ???
的面积是（）
A．4B．5C．6.5D．8
3 5
,
【答案】A
【分析】令点?坐标为 ?,− ? ，点?坐标为 ?, ? ，可得点?坐标为
35
?+? 5?−3?
2 ,
2??
，由点?在?轴上，可得
1
? = −?，代入 △ ???的面积公式2 ×
5?−3?
2??
× (?−?)，即可得出结果．
【详解】解：令点?坐标为 ?,− ? ，点?坐标为 ?, ? ，
∵点?恰为??的中点，
35
∴点?坐标为
?+? − +
= 4．
22
−8?×2?
−4?2
5×(−?)−3?
1
代入上式面积公式得2 × 2×(−?)×? × ?−(−?) =
?+?
∴ 2 = O，
即? = −?，
× (?−?)，
5?−3?
2??
1
∴ △ ???的面积为2 ×
∵点?在?轴上，
，
2 , 2??
?+? 5?−3?
? ，即
?
6
2．（2026·湖南岳阳·一模）如图，点 C 是反比例函数? = −?（? < O）的图象上的一个动点，且?? ⊥ ?轴于
点 A，?? ∥ ??交 y 轴于点 B．则四边形????的面积是（ ）
A．12B．9C．6D．3
【答案】C
【分析】根据?值的几何意义，得到?△??? = 3，证明四边形????为平行四边形，即可得出结果.
【详解】解：∵点 C 是反比例函数? = −?（? < O）的图象上的一个动点，且?? ⊥ ?轴于点 A，
∴?△??? = 2 = 3，?? ∥ ??，
∵?? ∥ ??，
∴四边形????为平行四边形，
∴四边形????的面积 = 2?△??? = 6.
6
|?|
4
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点?是反比例函数? = ?在第一象限内的图象上的一个动点，
22
过点?作??垂直?轴交反比例函数? = −?的图象于点?，连接??并延长，交反比例函数? = −?的图象于点
?，连接??，则△ ???的面积为．
【答案】6
【分析】根据反比例函数?值的几何意义及关于原点对称的点的坐标特征解答即可．
【详解】解：如图，连接??，
4
∵ 点?在反比例函数? = ?的图象上，?? ⊥ ?轴
∴ ?△??? = 2 × 4 = 2，
2
∵ 点?在反比例函数? = −?图象上，
∴ ?△??? = 2 × 2 = 1，
∴ ?△??? = ?△??? + ?△??? = 1 + 2 = 3，
∵ 点?与点?关于原点对称，
∴ ?? = ??，
∴ ?△??? = 2?△??? = 2 × 3 = 6．
1
1
4
4．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，过 y 轴上任意一点 P 作 x 轴的平行线，分别与反比例函数? = −?(? < O)
?
和? = 2(? > O)的图象交于点 A，B．若 C 为 x 轴上任意一点，连接??，??，则△ ???的面积为．
∴ ?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × ? × ? = 3．
24
∴ ?? = ?− − ? = ?，
42
∴ ? − ? ,? ，? ? ,? ，
6
42
又∵ 点 A 和点 B 分别在反比例函数? = −?和? = ?的图象上，
【答案】3
【分析】设?(0,?)，其中? > O，通过反比例函数表示出点 A 和点 B 的坐标，可得??的长，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：设?(0,?)，其中? > O，则?? = ?．
∵ 直线?? ∥ ?轴，则点 A 和点 B 的纵坐标都为?，
16
1
5．（2026·安徽合肥·一模）如图，?为坐标原点，点?,?在坐标轴上，四边形????是矩形，且点?在函数
? = 4(? > O)的图象上，边??,??与函数? = 1的图象分别交于点?,?．
??
（1） △ ???与 △ ???的面积之和为；
（2）若△ ???为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为．
1
4 13
?3?
?
4
∴?? = ?,?? = 4,?? = ?−4 = 4 ，?? = ?−? = ?，?? = ?,?? = ?
当?为直角三角形的顶点时，如图，
1
4? 44
（2）解：设? ?, ? ，则? 4 , ? ，? O, ? ，? ?, ?
1
1
【详解】解：依题意，?△??? = ?△??? = 2,?△??? = 2 × 4 = 2
∴ △ ???与 △ ???的面积之和为?△??? + ?△??? = ?△??? + ?△??? = ?△??? = 2
4? 441
（2）设? ?, ? ，则? 4 , ? ，? O, ? ，? ?, ? ，进而分类讨论，当?为直角三角形的顶点，当?为直角三
角形的顶点，分别画出图形，根据相似三角形的性质，即可求解．
【分析】（1）根据?的几何意义，即可求解；
2
2 或 2
2
【答案】
∵∠??? = ∠??? = ∠??? = 9Oº
∴∠??? = 90°−∠??? = ∠???
∴ △ ??? ∽△ ???
????
∴?? = ??
4?
∴ ? = 4
3?3
4?
解得：? = 2 2
2
∴? 2 , 2
当?为直角三角形的顶点时，如图，
同理可得△ ??? ∽△ ???
????
∴?? = ??
3?3
∴ 4 = ?
1?
?
解得：? = 2
2
∴?2, 2
2
综上所述，直角三角形的顶点的横坐标为 2 或 2
?15
6．（2026·河南洛阳·一模）如图，▱????的顶点 A，B 分别在双曲线? = ? 和? = −?上，顶点 C 在 x 轴
上，已知点 A 的坐标为(1,2)．
?1
(1)求双曲线? = ? 的解析式；
(2)求▱????的面积．
7
5
∴ ?△??? = ?△??? + ?△??? = 2 +1 = 2，
∴ ?▱???? = 2?△??? = 2 × 2 = 7．
5
25
∵ 点 A 和点 B 分别在双曲线? = ?和? = −?上，
∴ ?△??? = 2，?△??? = 1，
7
∵ 四边形????为平行四边形，点 C 在 x 轴上，
∴ ?? ∥ ?轴，
?1
?1
7
5
（2）连接??，设??与 y 轴交于点 D，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得?△??? = 2，?△???
= 1，从而可知?△??? = 2，即可求得答案．
【详解】（1）解：将点?(1,2)代入? = ? 得：2 = 1 ，解得：?1 = 2，
2
∴ 双曲线的解析式为? = ?；
（2）解：连接??，设??与 y 轴交于点 D，
?1
【分析】（1）将点?(1,2)代入? = ? 求解即可；
2
【答案】(1)? = ?
(2)7
?
7．（2025·辽宁·一模）如图，点?在反比例函数?：? = ? （? > O，? ≠ O）的图象上，?过点(2,2)，过点?作
?的切线?：? = ?? + ?（? ≠ O）交?、?轴于?、?，连接??．
求?的值；
求证： △ ???的面积为常数．
，
1
= 4，
?
4
得到：? = ?? + ?，
∵ ? > O，
∴ 上式化简为：??2 +??−4 = O，
∵ 双曲线与直线的位置关系是相切，
∴ Δ = ?2 +16? = O①，
设? − 2? ,− ?
?8?
，将①式代入可知：?? = 2，
?
过?作?? ⊥ ?轴于点?，即??//?轴，2?? = ??，
∴△ ??? ∽△ ???，即?为??中点，
∴ ?? = ?? = ??，即∠??? = ∠???，
根据三线合一的性质，得?△??? = ?△???，根据双曲线的性质，得?△??? = 2，
∴ ?△??? = 2，
∵ ?=
?△???
△???
1 2
2
? = 4
联立
?
?
//?轴，2?? = ??，证明 △ ??? ∽△ ???，即?为??中点，根据三线合一的性质，得?△??? = ?△???，又
?△??? = 2，所以?△??? = 2，最后根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：将(2,2)代入? = ? ，得2 = 2 ，解得：? = 4；
（2）解：设??：? = ?? + ?（? ≠ O），
? = ?? + ?
8??
，将①式代入可知：?? = 2，过?作?? ⊥ ?轴于点?，即??
,−
2??
?
系是相切得Δ = ?2 +16? = O①，设? −
?
【分析】（1）将点(2,2)代入? = ? ，计算即可求解；
（2）求出?的解析式，联立直线?与反比例函数的解析式整理得??2 +??−4 = O，由双曲线与直线的位置关
【答案】(1)? = 4
(2)见解析
∴ ?△??? = 8，即知?△???的面积为常数．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，联立直线与反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
考向 03反比例函数与一次函数综合
题型 5 两函数交点问题
1、交点求法：联立反比例函数与一次函数解析式，组成方程组，解方程组即可得到交点坐标；
2、交点个数：联立后得到一元二次方程，根据判别式?判断（?＞O：2 个交点；? =O：1 个交点；
?＜O：无交点）；
3、核心性质：若两函数图象有两个交点，则这两个交点关于原点对称（前提：一次函数过原点，即正比例函数与反比例函数的交点）；若一次函数不过原点，交点不关于原点对称，但满足反比例函数的对称性。
3
1．（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线? = ??(? < O)与双曲线? = −?交于 A，B 两
点，?? ⊥ ?轴于点 C，连接??交 y 轴于点 D，结合图象判断下列结论，错误的为（ ）
A．点 A 与点 B 关于原点对称B．点 D 是??的中点
C．?
3
△??? = 4
D．在
3
? = −?的图像上，y 的值随 x 值的增大而减小
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可．
【详解】解：根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项 A 正确，不合题意；
∵点 A 与点 B 关于原点对称，
∴?? = ??，
∵?? ∥ ?轴，
∴?? = ?? = 1，
∴?? = ??，
??
??
∴D 是??的中点，故选项 B 正确，不合题意；
∵?△??? = 2?△??? = 2?△??? = 2 × 2 = 4
3
∴?△??? = 4，故选项 C 正确，不合题意；
11133
在? = −?中，? = −3 < O，所以，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，故 D 选项错误，符合题意．
3
?
2．（2026·安徽合肥·一模）如图，直线? = 2? + ?交反比例函数? = ?(? ≠ O)的图象于 A，B 两点，交坐标
轴于 C，D 两点．已知?△??? = 4，?? = 2??，则 k 的值为（ ）
13
A．4B．6C． 2D．8
?
∵直线? = 2? + ?交反比例函数? = ?(? ≠ O)的图象于 A，B 两点，交坐标轴于 C，D 两点．
解得? =± 4
⋅ | | ⋅ |?| = 4，
22
1?
∴?△??? =
?
2
| |
?? =，
∴?? = |?|，
?
令? = O，则? = 2? + ? = ?；令? = 2? + ? = O，解得? = −2，
1
??????
∴?? = ?? = ?? = 2，
??????
∴?? = ?? = ??
∵?? = 2??，
∴∠??? = ∠??? = 9Oº，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
?
?? = 2，?? = 1，从而求出点 A 的坐标，再代入? = ?(? ≠ O)求 k 即可．
【详解】解：过 A 作?? ⊥ ?轴于 E，
【答案】B
【分析】过 A 作?? ⊥ ?轴于 E，证明△ ??? ∽△ ???，再利用?△??? = 4求出 b，得出 ?? = 4，?? = 2，
∴? > O，
∴? = 4，
∴? = 2? + 4，?(O,4)，?(−2,0)，
∴?? = 4，?? = 2，
∴?? = 2，?? = 1，
∴?? = 4 + 2 = 6，
∵点 A 在第一象限，
∴?(1,6)，
将?(1,6)代入? = ?(? ≠ O)得：
?
6 = 1
∴? = 6．
?
1?
3．（2026·山东济宁·一模）如图，正比例函数? = 2?的图象与反比例函数? = ?的图象在第一象限交于点?，
点?和?都在?轴上， △ ???是等腰直角三角形，?? = ??，?? = 2 2，则?的值为（ ）
2
2
A．
B．2
C．4
D．4
2
1
1
将? = 2代入正比例函数? = 2?得：2? = 2，解得? = 2 2，
1
∴?? = 2?? = 2，
∵ △ ???是等腰直角三角形，?? = ??,?? = 2 2，?? ⊥ ??，
1
1
【分析】过点?作?? ⊥ ?轴于点?，先根据等腰直角三角形的性质可得?? = 2?? = 2，再将? = 2代入正
比例函数? = 2?可得点?的坐标，然后将点?的坐标代入反比例函数的解析式求解即可得．
【详解】解：如图，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，
【答案】D
∴? 2 2, 2 ，
?
将点? 2 2, 2 代入反比例函数? = ?得：? = 2 2 × 2 = 4．
12
可得? = 3(?−3)，
化简得?2−3?−4 = O，
解得? = 4或? = −1（舍去），
∴点 B 的坐标为(1,3)．
12
∴点?的坐标为 ?−3, ? ，
∵点?在直线? = 3?上，
12
令点?的坐标为 ?, ? ，
∵?? = 3，
? ，解得 ? = 12 ，
∴ 6 = 3?
? = 2
6 = ?
?
12
则点?的坐标为 ?−3, ? ，代入? = 3?，即可解出?的值，得出结果．
【详解】解：∵点?(?,6)为反比例函数? = ?与直线? = 3?的交点，
，
?12
【分析】由点?(?,6)为反比例函数? = ?与直线? = 3?的交点，可求出?、?的值，令点?的坐标为 ?, ?
【答案】(1,3)
?
4．（2026·山东菏泽·一模）如图，反比例函数? = ?(? > O)与直线? = 3?交于点?(?,6)，点?在反比例函数图象上，过点?作直线? ⊥ ?轴，直线?与??交于点?．若?? = 3，则点?的坐标为．
5．（2026·河北沧州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点?(1,6),?(?,1)是直线? = ?? + ?(? ≠ O)与双曲
?
线? = ?(? > 0,? > O)的交点．现将线段??及其下方双曲线围成的封闭区域涂黑，则阴影部分（不含边界）
内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为个．
6
∴图形 G 是双曲线? = ?上方与直线? = −? + 7下方之间的部分，且1 < ? < 6；
6
所以，当? = 2时，2 = 3，−2 + 7 = 5，
∴? = 4，
∴点(2,4)是图形 G 内的整数点；
同理可得，当? = 3时的整数点是(3,3)；当? = 4时的整数点是(4,2)；
当? = 5时，无整数点；
综上，符合条件的整数点共有 3 个
∴? = −? + 7；
，
?−7
解得
∴?(6,1)，
把?(1,6)，?(6,1)代入? = ?? + ?(? ≠ O)得：
? + ? = 6
6? + ? = 1 ，
? = −1
66
?
【详解】解：∵点?(1,6)，?(?,1)是直线? = ?? + ?(? ≠ O)与双曲线? = ?(? > 0,? > O)的交点，
∴? = 1 × 6 = 6，
6
∴反比例函数的解析式为? = ?；
把?(?,1)代入? = ?得，? = 1，
∴? = 6，
【答案】3
【分析】分别求出直线和双曲线的解析式，在区域内逐个检验整数坐标的点是否满足条件即可．
?
6．（2026·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数? = ?(? ≠ O)与一次函数
? = ??−2? + 3（?为常数，且? < O）的图象相交于点?和点?，点?的横坐标为2，点?的纵坐标为1．
(1)求?和?的值；
(2)将该一次函数的图象向下平移3个单位长度，得到的新函数图象与?轴交于点?，求 △ ???的面积．
【答案】(1)? = 6，? = −2
1
(2)6
【分析】（1）先利用一次函数的解析式求出点?(2,3)，进而求出? = 6，再利用反比例函数的解析式求出点
?(6,1)，最后求出?的值；
（2）作?? ⊥ ??于点?，由平移规律可得新函数?′
?? = 3，?? = 4，直接计算△ ???的面积即可．
1
= −2? + 1
，从而求得点?(2,O)，容易判断?? ⊥ ?轴，则
【详解】（1）解：将? = 2代入? = ??−2? + 3，得? = 3，
∴点?的坐标为(2,3)，
?
将点?(2,3)代入? = ?，得，
?
3 = 2，
解得? = 6，
6
∴反比例函数的解析式为? = ?，
6
将? = 1代入? = ?，得? = 6，
∴点?的坐标为(6,1)，
将点?(6,1)代入? = ??−2? + 3，得， 1 = 6?−2? + 3，
1
解得? = −2，
1
∴一次函数的解析式为? = −2? + 4；
（2）解：如图，作?? ⊥ ??于点?，
1?′11
? = −2? + 4向下平移3个单位长度所得新函数 = −2? + 4−3 = −2? + 1，
将? = O代入?′
1
= −2? + 1
，得? = 2，
∴点?的坐标为(2,O)，
∵?? = ?? = 2，
∴?? ⊥ ?轴，
∴?? = 3，
∵?? ⊥ ??，?(6,1)，
∴?? = 6−2 = 4，
11
∴?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 3 × 4 = 6．
1?
7．（2026·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系???中，函数? = 3?的图象与反比例函数? = ?在第一象
?
限中的图象交于点 A，?? = 1O，点?为反比例函数? = ?图象上位于?点上方的一点，直线??与?轴，?轴
分别交于 D，E 两点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)若?? = 2??，求点?坐标．
1
∴ ? = 3,3? = 1，
∴ ?(3,1)，
∴ ? = 3 × 1 = 3，
3
∴ ? = ?；
（2）解：过点?作?? ⊥ ?轴于? ，过点?作?? ⊥ ?轴于?，
∴ ?? ∥ ??，
∴△ ??? ∽△ ???，
∵ ?? = 2??，
∴ ??:?? = 1∶3，
∴ ??:?? = ??:?? = 1∶3，
3 ?= 1O，
?2 = 9，
∵ ?在第一象限，
1
2
∴ ? +
2
1
∴ 设? ?, 3 ? ，
∵ ?? = 1O，
?
1
【详解】（1）解： ∵ 函数? = 3?的图象与反比例函数? = ?在第一象限中的图象交于点 A，
1
【分析】（1）设? ?, 3 ? ，由?? = 1O列方程求出?，从而得到点?的坐标和反比例函数解析式；
（2）过?、?分别作?轴的垂线，由?? ∥ ??得△ ??? ∽△ ???，再由?? = 2??得??:?? = 1∶3，从而由相似比求出?的纵坐标，进而求出?的坐标和直线??的解析式，令? = O得点?的坐标．
3
【答案】(1)? = ?
(2)(O,4)
∵ ?? = 1，
∴ ?? = 3，即?? = 3，
3
∵ ?在? = ?上，
∴ ?? = 3 = 1，
∴ ?(1,3)，
设直线??的解析式为? = ?1? + ?，
3
∴
3?1 + ? = 1
?1 + ? = 3 ，
解得?1 = −1,? = 4，
∴ ? = −? + 4， 令? = O ，得? = 4
∴ ?(O,4)，
题型 6 两函数图象的位置关系
1、数形结合思想：根据两函数图象的位置关系，直接判断不等式的解集（如?＞?1? +?，解集为反比例函数图象在一次函数图象上方的 x 取值范围）；
2、解题步骤：①求出两函数的交点坐标（分界点）；②结合图象，分象限判断 x 的取值范围；③注意： x≠0（反比例函数自变量取值范围）；
3、易错点：忽略 x≠0 这一限制条件，或在判断解集时混淆“上方”“下方”的对应关系，尤其注意不
同象限的取值范围要分开写。
?
1．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系???中，已知二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ O)图象的顶点为
?
(−1,−2)，则一次函数? = ?? + ?与反比例函数? = ?的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的顶点式、一次函数与反比例函数的图象特征；解题的关键是由二次函数顶点坐标确定?、?的符号，进而判断一次函数和反比例函数图象经过的象限．由二次函数? = ??2 +?? + ?的
顶点为(−1,−2)，得对称轴为直线? = −2? = −1，即? = 2?，将顶点坐标代入得?−? + ? = −2；由顶点纵坐标−2 为最小值，知抛物线开口向上，即? > O，则? = 2? > O，一次函数? = ?? + ?中，? > 0,? > O，图
?
象经过第一、二、三象限；反比例函数? = ?中? > O，图像在第一、三象限：结合选项图像特征得出正确
选项．
?
【详解】解： ∵ 二次函数? = ??2 +?? + ?图象的顶点为 −1，−2 ，
∴ 可设? = ?(? + 1)2−2，即? = ??2 +2?? + ?−2．
∵ 该二次函数图象的对称轴为? = −1，
?
∴ − 2? = −1，
∴ ? = 2?，
∴ 一次函数为? = ?? + 2?，即? = ?(? + 2)，
∴ 一次函数? = ?? + ?的图象恒经过定点(−2,0)，排除B，C．当? < O时，? = 2? < O，排除 D．
故选 A．
2．（2026·广东东莞·模拟预测）二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ O)的图像如图所示，则一次函数? = ?? + ?
?
与反比例函数? = ?在同一直角坐标系内的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与?轴交点位置判断?，?，?的符号，从而可得直线与反比例函数图像的大致位置．
【详解】解：∵二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ O)的图像开口向上，
∴? > O，
∵抛物线的对称轴在?轴右侧，
∴−2? > O，
∴? < O，
∵抛物线与?轴交点在?轴上方，
∴? > O，
?
?
∴一次函数? = ?? + ?经过第一、三、四象限，反比例函数? = ?的图像分布在第一、三象限．
?
3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，反比例函数?1 = ?（? ≠ O）与一次函数?2 = ?? + ?（? ≠ O）相交于点
?(2,1)和点?(−1,−2)，则不等式?1 < ?2 < O的解集为．
【答案】−1 < ? < O
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点即可求解．
【详解】解：∵反比例函数?1 = ?（? ≠ O）与一次函数?2 = ?? + ?（? ≠ O）相交于点?(2,1)和点?
(−1,−2)，
?
将点?(2,1)和点?(−1,−2)代入?2 = ?? + ?得 −2 = −? + ? ，解得： ? = −1 ，
故一次函数?2 = ?−1，
令?2 = ?−1 = O，则? = 1，
∴当?1 < ?2时，? > 2或−1 < ? < O，
当?2 < O时，? < 1，当?1 < O时，? < O，
1 = 2? + ?
? = 1
则当?1 < ?2 < O时，−1 < ? < O，
故不等式?1 < ?2 < O的解集为−1 < ? < O．
4．（2026·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系???中，一次函数? = ?? + 4的图象与 x 轴交于点?
(−2,0)，与反比例函数? = ?
?
(? > O)交于点?(1,?)，则不等式?? + 4 ≥ ．
??的解集为
【答案】? ≥ 1
【分析】根据图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方时?的范围即可．
【详解】解：∵一次函数? = ?? + 4的图象与反比例函数? = ? (? > O)交于点?(1,?)，
?
∴不等式?? + 4 ≥ ?的解集为? ≥ 1．
?
5．（2026·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，?为坐标原点，一次函数? = ??−2的图象与?轴交
?
于点?(−1,0)，与反比例函数? = ? 的图象交于点?(−2,?)，射线??与反比例函数的图象交于点?，连接
??．
求一次函数和反比例函数的表达式；
?
根据图象，直接写出不等式? > ??−2 > O的解集；
求 △ ???的面积．
4
【答案】(1)一次函数的表达式为? = −2?−2，反比例函数的表达式为? = −?；
−2 < ? < O；
△ ???的面积为2．
【分析】（1）把点?(−1,0)代入一次函数? = ??−2，即可得到 k 的值，得到一次函数的表达式，把点?
(−2,?)代入一次函数，得到?(−2,2)，把点?(−2,2)代入反比例函数? = ? ，求出?的值，得到反比例函数的
表达式；
?
由?(−2,2)与?关于原点对称得到?(2,−2)，然后根据图象即可求解；
由（2）得?(2,−2)，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，然后根据?△??? = ?△??? +
11
?△??? = 2?? ⋅ ?? + 2?? ⋅ ??求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数? = ??−2的图象与?轴交于点?(−1,0)，
∴O = −?−2，解得? = −2，
∴一次函数的表达式为? = −2?−2，
∵一次函数? = −2?−2过点?(−2,?)，
∴? = −2 × (−2)−2，
∴? = 2，
∴?(−2,2)，
?
∵反比例函数? = ? 的图象过点?(−2,2)，
?
∴2 = −2，解得? = −4，
4
∴反比例函数的表达式为? = −?；
解：∵射线??与反比例函数的图象交于点?，
∴?(−2,2)与?关于原点对称，
∴?(2,−2)，
?
∴根据图象可得，不等式? > ??−2 > O的解集为−2 < ? < O；
解：由（2）得?(2,−2)，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，
∴?? = 2，?? = 2，
∵?(−1,0)，
∴?? = 1，
∴?△??? = ?△??? + ?△???
11
= 2 ?? ⋅ ?? + 2 ?? ⋅ ??
11
= 2 × 1 × 2 + 2 × 1 × 2
= 2．
?
6．（2026·山东日照·一模）如图，平面直角坐标系中，一次函数? = ?? + ?的图象与反比例函数? = ? 的图
象交于?(−6,1)，?(1,?)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
?
(2)若?? + ? ≤ ? ，请直接写出关于?的不等式的解．
(3)若过点(−2,0)且平行于?轴的直线上有一动点?，当 △ ???的面积为21时，求点?的坐标．
6
【答案】(1)反比例函数解析式为? = −?，一次函数解析式为? = −?−5
(2)−6 ≤ ? < O或? ≥ 1
(3)(−2,3)或 (−2,−9)
【分析】（1）将点?的坐标代入反比例函数解析式中即可求得?的值，从而可得反比例函数的解析式，将点?的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得点?的坐标，再将点?、?的坐标代入一次函数解析式中即可得解；
（2）确定一次函数的图象在反比例函数图象的下方时?的取值范围即可得解；
（3）设直线? = −?−5与 直线? = −2的交点为?，求出点?的坐标， 设?(−2,?)， 根据三角形的面积公式表示出?△???，列方程求解即可．
【详解】（1）解： ∵ ?(−6,1)在反比例函数? = ? 的图象，
∴ ? = (−6) × 1 = −6，
6
∴ 反比例函数解析式为? = −?，
将?(1,?)代入? = −?， 得? = −6，
∴ ?(1,−6)．
将?(−6,1)，?(1,−6)两点分别代入? = ?? + ?，得
?
6
−6? + ? = 1
? + ? = −6 ， 解得 ? = −5 ，
? = −1
∴ 一次函数解析式为? = −?−5；
（2）解：观察图象可知，当−6 ≤ ? < O或? ≥ 1时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
?
∴ 不等式?? + ? ≤ ? 的解集为−6 ≤ ? < O或? ≥ 1．
（3）解：如图，设直线? = −?−5与 直线? = −2的交点为?，
把? = −2代入? = −?−5得， ? = −3，即?(−2,−3)，
设?(−2,?)，
∵△ ???的面积为21，
∴ ?△??? = 2 × (1 + 6) × |? + 3| = 21，
∴ |? + 3| = 6， 解得? = 3或? = −9，
∴ 点?的坐标为(−2,3)或 (−2,−9)．
1
考向 04反比例函数综合应用
题型 7 反比例函数的简单实际应用
1、常见应用场景：行程问题（速度与时间成反比例）、压强问题（压强与受力面积成反比例）、工作量
问题（工作效率与工作时间成反比例）、浓度问题等；
2、解题步骤：①判断两个变量之间的反比例关系；②设出反比例函数解析式? = ?；③根据题意找出一组对应值，代入求出 k 的值；④根据解析式解决实际问题（求变量值、判断取值范围等）；
3、注意事项：自变量的取值范围需符合实际意义（如时间、长度、速度不能为负，且不能为 0）；求出的 k 值需结合实际情境判断正负。
?
1．（2026·河南平顶山·一模）学校为防控流感病毒，用过氧乙酸溶液对教室内的空气进行熏蒸，过氧乙酸气体在空气中的浓度必须大于O.1g/m3才能达到熏蒸消毒要求．王林为测出教室内过氧乙酸气体的浓度，设计了“过氧乙酸气体浓度检测仪”，图 1 是其简化的工作电路图，图 2 为过氧乙酸气体传感器R1 (Ω)的阻值随过氧乙酸气体浓度（gm3）变化的关系图象，则下面说法错误的是（ ）
A．未进行熏蒸时，传感器R1的阻值为6OΩ B．传感器R1的阻值随过氧乙酸气体浓度的增大而减小
C．若过氧乙酸气体浓度不低于O.3 g/m3，则传感器R1的阻值不低于1OΩ
D．若过氧乙酸气体浓度从O.1 g/m3增大到O.3 g/m3，则传感器R1的阻值减小2OΩ
【答案】C
【分析】本题主要考查函数的图象，根据函数的图象逐项分析即可．
【详解】A、未进行熏蒸时，过氧乙酸气体浓度为O g/m3，传感器R1的阻值为6OΩ，说法正确，该选项不符合题意；
B、观察函数图象可知，随着过氧乙酸气体浓度的增大，传感器R1的阻值逐渐减小，说法正确，该选项不符合题意；
C、若过氧乙酸气体浓度不低于 0.3g/m3，则传感器?1的阻值不高于 10Ω，说法错误，该选项符合题意；
D、过氧乙酸气体浓度为O.1 g/m3和O.3 g/m3时，传感器R1的阻值分别为3OΩ 和1OΩ，所以，若过氧乙酸气体浓度从O.1 g/m3增大到O.3 g/m3，则传感器R1的阻值减小2OΩ，说法正确，该选项不符合题意．
故选：C
2．（2026·内蒙古通辽·一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）成反比例， y 关于 x 的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由O.4米调整到O.5米，则近视眼镜的度数减少了度．
【答案】50
【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再把? = O.4，? = O.5代入解析式求出 y 的值，进而计算即可．
【详解】解：设 ? 关于 ? 的函数解析式为 ? = ?(? ≠ O) ，
把 (O.2,5OO) 代入 ? = ?(? ≠ O) ，
∴ ? = 5OO × O.2 = 1OO ，
?
?
∴ 函数解析式为 ? =，
1OO
?
当 ? = O.4 时， ? = O.4 = 25O ，
当 ? = O.5 时， ? = O.5 = 2OO ，
∴ 度数减少了 250−200 = 5O （度）．
1OO
1OO
3．（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制
作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量5Og）、一个秤砣（重量2OOg）、一些细绳等
（秤杆和细绳重量忽略不计）．
【了解原理】
组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力× 动力臂 = 阻力× 阻力臂）．如图，设所称物体重量为?g，则秤盘及物体的总质量为(? + 5O)g，秤盘到提纽的水平距离?? = ?cm，秤砣到提纽的距离?? = ?cm．当秤杆平衡时，得(? + 5O) ⋅ ? = 200?．
(1)若取?? = 1Ocm，为了得到零刻度点 O 的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点 C 的位置即为点 O．请计算此时??的长．
【数学建模】
(2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析 y 与 x 之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当 x 每增加相同的数值，y 的增加量是否也相同？
【调整优化】
(3)杆秤可用的长度?? = 1OOcm，为了保证杆秤的最大刻度不小于2kg，请计算说明 a 的取值范围．
?1
? = 2OO? + 4?，
【详解】（1）解：令? = O，得50? = 200?，
∵ ? = 1O，
∴5O × 1O = 200?，
∴? = 2.5，
即?? = 2.5cm；
（2）解：(? + 5O) ⋅ ? = 200?，
?? + 50? = 200?，
−250，由 ? > O得 x 随着 a 的增大而减小，结合反比例函数的性质代入? = 2OOO即可
?
2OOOO
（3）求得? =
求解．
1
2OO4
?
（2）由题意可得? =? + ?，设?′ = ? + ?（?为常数），计算?′−?即可；
【分析】（1）由? = O，得50? = 200?，将? = 1O代入求解即可；
8O
(3)O < ? ≤ 9
【答案】(1)?? = 2.5cm
(2)x 每增加相同的数值，y 的增加量相同
设?′ = ? + ?（?为常数），
则?′ = ? (? + ?) + 1?，
2OO
4
∴? −? =是常数．
′
2OO?
?
∴x 每增加相同的数值，y 的增加量相同．
（3）解：(? + 50)? = 200(100−?)，
整理得? =
2OOOO
?
−250，
∵? > O，
∴x 随着 a 的增大而减小．
当最大刻度是2kg时，令? = 2OOO，
8O
得? = 9 ，
8O
∴O < ? ≤ 9 ．
4．（2026·山东枣庄·一模）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升10℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温?（℃）与开机后用时?（min）成反比例关系，直至水温降至20℃时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程
序．若水温为20℃时，接通电源，水温?（℃）与时间?（min）的关系如图所示．
(1)分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段?与?之间的函数关系式； (2)求在一个循环内水温不低于40℃的时长．
8OO
【答案】(1)? = 10? + 2O；? = ?
(2)18分钟
【分析】（1）根据函数图象分为当O ≤ ? ≤ 8时和当? > 8时，分别求出函数关系式即可；
8OO
（2）分别求出当? = 40℃时，4O = 10? + 2O，解得? = 2；4O = ? ，解得? = 2O；然后相减即可；
【详解】（1）解：水温上升时，即当O ≤ ? ≤ 8时，设?关于?的函数关系式为? = ?? + ?，
8? + ? = 1OO
由图象可得：
? = 2O
，
? = 1O
解得： ? = 2O ，
∴ ? = 10? + 2O；
?
水温下降时，即当? > 8时，设?关于?的函数关系式为? = ? ，
?
由图象可得：1OO = 8 ，解得：? = 8OO，
8OO
∴ ?关于?的函数关系式为? = ? ；
（2）解：当? = 40℃时，4O = 10? + 2O，解得? = 2；
8OO
4O = ? ，
解得? = 2O，
∴ 在一个循环内水温不低于40℃的时间为2O−2 = 18（分钟）
5．（2026·山东聊城·一模）如图1，燃油机由汽缸、活塞?、连杆??、曲轴??、飞轮 ⊙ ?组成（如图所 示），活塞?在汽缸内往复运动，通过连杆??带动曲轴??做圆周运动，当温度不变时，连杆的不同位置造
成活塞运动，则汽缸的体积发生变化，活塞内的气体的压强随之变化．某实验小组测试了四种状态下气体压强和汽缸体积的数据如下：
实验小组发现活塞里的气体的压强?(kPa)与气体体积?(mL)满足反比例函数关系．
求该反比例函数的表达式；
画出该函数的图象，并求出当气体体积为6OmL时，气体的压强为kPa； (3)若汽缸内气体的压强不能超过5OOkpa，则其体积?要控制在什么范围？
6OOO
【答案】(1)? = ?
(2)见解析，1OO (3)不少于12mL
【分析】（1）设? = ?(? ≠ O)，将(2OO,3O)代入解析式计算即可得出结果；
（2）根据（1）中的解析式画出函数图象，再求出当? = 6OmL时，?的值即可；
（3）求出当? = 5OOkpa时，?的值，即可得出结果．
?
【详解】（1）解：设? = ?(? ≠ O)，
将(2OO,3O)代入解析式可得2OO = 3O，解得? = 6OOO，
6OOO
即? = ? ；
?
?
气体压强kPa
3OO
2OO
15O
12O
汽缸体积mL
2O
3O
4O
5O
（2）解：画出函数图象如图所示，
，
当? = 6OmL时，? == 1OO，
6OOO
6O
∴ 汽缸内气体的压强是1OOkPa；
故答案为：1OO；
（3）解：当? = 5OOkpa时，? = 5OO = 12，
∴ 为了安全起见，气体的体积应不少于12mL．
6OOO
6．（2025·辽宁丹东·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，?(?,?)是函数图象上任意一点，纵坐标?与横坐标?的差“?−?”称为点 A 的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值”
【举例】已知点?(1,3)在函数? = 2? + 1的图象上，则点?(1,3)的“纵横值”为?−? = 3−1 = 2．函数
? = 2? + 1的图象上所有点的“纵横值”可以表示为?−? = 2? + 1−? = ? + 1．
当3 ≤ ? ≤ 6时，? + 1的最大值为6 + 1 = 7，故函数? = 2? + 1(3 ≤ ? ≤ 6)的“最优值”为 7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
点?(−5,−2)的“纵横值”为；
求函数
6
? = ? +?
(2 ≤ ? ≤ 4)
的“最优值”；
(3)已知二次函数? = −?2 + (2? + 1)?−?2 +5．
①求证：无论?取何值，该二次函数的“最优值”为定值；
②当−1 ≤ ? ≤ 4时，此二次函数的“最优值”为 4，求出?的值；
③若此函数的顶点记为点?，它的“最优值”所在点记为点?，点?与点?到直线? = 3的距离相等，直接写出?的值．
【答案】(1)3
(2)函数? = ? +? (2 ≤ ? ≤ 4)的“最优值”为 3；
6
17
(3)①见解析；②?的值为5或−2；③?的值为− 8 ．
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质．
根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优值”的定义计算即可；
根据“最优值”的定义计算即可；
（3）①根据“最优值”的定义可知?−? = −(?−?)2 +5，求得−(?−?)2 +5 ≤ 5，推出无论?取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为 5；
②可知当? = ?时，?−?有最大值 5，所以可得?不在−1 ≤ ? ≤ 4之内，所以? > 4或? < −1，分两种情况求
?的值；
③先求得?
2?+1
2 ,
4?+21
4和?(?,? + 5)，由点?与点?到直线? = 3的距离相等，得到点?与点?关于直线
? = 3对称或?? = ??，据此列式计算即可求解．
【详解】（1）解：点?(−5,−2)的“纵横值”为−2−(−5) = −2 + 5 = 3．
（2）解：函数
6(2 ≤ ? ≤ 4)66
? = ? +?的“纵横值”为?−? = ? +?−? = ?，
666
∵ 2 ≤ ? ≤ 4时，?−? = ?的最大值为?−? = ? = 2 = 3，
6
∴ 函数(2 ≤ ? ≤ 4)的“最优值”为 3；
? = ? +?
（3）解：①∵?−? = −?2 + (2? + 1)?−?2 +5−?
= −?2 + 2??−?2 + 5
= −(?−?)2 +5，
∵(?−?)2 ≥ O，
∴−(?−?)2 ≤ O，
∴−(?−?)2 +5 ≤ 5，
∴无论?取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为 5；
②∵?−? = −(?−?)2 +5，
∴当? = ?时，?−?有最大值 5，当? > 4时，−(4−?)2 +5 = 4，解得? = 5或? = 3（舍）；
当? < −1时，−(−1−?)2 +5 = 4，解得? = O（舍）或? = −2；
综上，?的值为5或−2；
③∵? = −?2
+ (2? + 1)?−?2
+5 = − ?−
2?+1
2
24?+21
+4 ，
∴?
2?+1
2 ,
4?+21
4，
∵?−? = ? = −?2 + (2? + 1)?−?2 +5−? = −(?−?)2 +5，抛物线开口向下，对称轴为? = ?，
∴当? = ?时，?−?取得最大值，
∵当? = ?时，? = −?2 + (2? + 1)?−?2 +5 = ? + 5，
∴?(?,? + 5)，
∵点?与点?到直线? = 3的距离相等，
∴点?与点?关于直线? = 3对称或?? = ??，
4?+21
当点?与点?关于直线? = 3
??+??
= 3，即
4 +?+5 = 3，
对称时， 22
17
解得? = − 8 ；
当?? = ??时，
4?+21
4
= ? + 5，
解得O = −1，不符合题意，舍去；
17
综上，?的值为− 8 ．
7．（25−26 九年级上·福建福州·期末）【问题背景】
在日常生活中，我们有可能注意到一个很有趣的问题，那就是当你闭上眼睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线．当走的距离足够远时，就有可能像某些小说里所描述的一样，迷路的主人公在林子里走着走着又回到了原来出发的地方，这就是著名的闭眼打转问题．
经研究发现，产生这一现象的原因是由于人自身两条腿在作怪：长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长出一段微不足道的距离，而正是这一段很小的步差，使得闭眼走路走出了个大圈子！
【问题解决】
如图 1，可将某人闭眼走路时两脚的踏线及其运动路线近似地看作三个同心圆，圆心为 O，半径分别是
??，??，??（点 A，C 在??上），且?? = ??．其中，以??，??为半径的圆分别表示此人内脚与外脚的踏线，记内、外脚踏线间距离??长为 d（单位：米），以??为半径的圆表示此人闭眼行走时身体重心所形成的运动路线，记??长为 y（单位：米）．
如图 2，在闭眼行进的过程中，内脚相邻两次落点间的距离（近似为?1?2的长）定义为内脚步长，记为 a
（单位：米）；外脚相邻两次落点间的距离（近似为?1?2的长）定义为外脚步长，记为 b（单位：米）；外脚步长与内脚步长的差定义为步差，记为 x（单位：米）．内、外脚步数指整个运动过程中内、外脚各自的落地次数．由于该情境下整体行走路程较长，近似认为内、外脚的步数相同．
如图 3，在正常行进过程中，每一次迈步时两脚之间距离的平均数定义为平均步长，记为 l（单位：
米）．在确保安全的情况下，此人闭眼行进时的平均步长与正常行进时的平均步长基本一致，故在??为半
?+?
径的圆上两脚各迈一次行进的距离约为内、外脚步长的平均数（可以近似地用 4 表示平均步长 l）．
判断?1?2与?1?2所对的圆心角大小是否相等，并说明理由；
求 y 的表达式（用含 x，d，l 的代数式表示）；
若某同学两脚踏线间距离 d 约为O.1米，平均步长 l 约为O.7米．若在多次试验中发现他闭眼打转的半径
y 不超过 500 米，求该同学的步差至少为多少毫米？
【答案】(1)?1?2与?1?2所对的圆心角相等，理由见解析
(2)? =
2??
?
(3)步长至少为O.28毫米
【分析】本题主要考查了圆心角定理，反比例函数的应用，正确理解题意是关键．
36Oº
36Oº
设闭眼走一圈内、外脚的步数为 n，则?1?2所对的圆心角是 ? ，?1?2所对的圆心角是
案；
? ，即得答
?
2π ?− 2
?
2π ?+ 2
先求出闭眼绕行一圈，内脚步数为?，外脚步数为?，根据内、外脚的步数相同列方程，
?(?+?)?+?
并化解得到?(?−?) =2，再根据? = ?−?，? = 4 ，即可求得答案；
O.147
（3）当? = O.1，? = O.7时，? = ? ，令? = 5OO，可求得? = 25OOO，再根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：?1?2与?1?2所对的圆心角大小相等；
理由如下： ∵ 当整体行走路程较长时，近似认为内、外脚的步数相同，
∴ 不妨设闭眼走一圈内、外脚的步数为 n，
36Oº
36Oº
则?1?2所对的圆心角是 ? ，?1?2所对的圆心角是
? ，
∴ ?1?2与?1?2所对的圆心角大小相等；
（2）解： ∵ ?? = ??，?? = ?，?? = ?，且点 A，C 在 OB 上，
??
∴ 内脚踏线的半径?? = ?−2，外脚踏线的半径?? = ? + 2，
?
∴2π ?− 2
?
2π ?+ 2
闭眼绕行一圈，内脚步数为?，外脚步数为
∵ 内、外脚的步数相同，
?，
?
2π ?−
?
2π ?+
∵ 2 = 2 ，
??
??
??
化简得??− 2 = ?? + 2 ，
?(?+?)
即?(?−?) =2，
?+?
∵ ? = ?−?，? = 4 ，
∴ ?? = 2??，
即? =
2??
? ；
解： ∵ ? = O.1，? = O.7，
∴ ? =
O.14
? ，
∵ O < ? ≤ 5OO，O.14 > O，
∴ ? > O，
当? = 5OO时，得5OO =
7
解得? = 25OOO，
O.14
? ，
对于函数? = ? ，当? > O时，x 越大，y 越小，
7
∵ 25OOO米 = O.28毫米，
∴ 若该同学闭眼打转的半径 y 不超过 500 米，则他的步长至少为O.28毫米．
O.14
题型 8 反比例函数与几何、一次函数综合应用
1、核心综合形式：反比例函数+一次函数+三角形/矩形/菱形/圆，考查面积计算、线段长度、点的坐标求解等；
2、解题关键：数形结合，将代数解析式与几何图形结合，利用反比例函数 k 的几何意义、一次函数的性质、几何图形的性质（如勾股定理、全等、相似）进行转化；
3、解题思路：①根据已知条件求出函数解析式（先求 k、一次函数系数）；②找到图形中的关键点，确定其坐标；③利用图形性质和函数性质，求解线段长度、面积或判断点的位置；
4、易错点：忽略函数自变量的取值范围，图形性质应用错误（如全等的判定条件、相似的比例关系），计算过程中遗漏 k 的绝对值或正负。
?
1．（2026·山东济宁·一模）如图，菱形????的顶点?，?分别在?轴，?轴上，?? ∥?轴，反比例函数? = ?
(? < O)的图象过菱形的对称中心?，若菱形的面积为 8，则该反比例函数的解析式为（ ）
2244
A．? = −?B．? = ?C．? = ?D．? = −?
【答案】D
【分析】由菱形的性质得?△??? = 2，即得?△??? = 2|?| = 2，求出?的值再根据反比例函数的图象即可求
解．
1
【详解】解：∵菱形????的面积为 8，
∴?△??? = 8 × 4 = 2，
1
∵??∥?轴，反比例函数? = ?(? < O)的图象过菱形的对称中心?，
∴?△??? = 2|?| = 2，
∴? =± 4，
∵反比例函数图象分布在二、四象限，
∴? < O，
?
1
∴? = −4，
4
∴该反比例函数的解析式为? = −?．
2．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，点?，?是直线? = ??(? > O)上第一象限内的两个
?
动点(?? > ??)，以线段??为对角线作矩形????，?? ∥ ?轴，反比例函数? = ?的图象经过点?、?，把矩
形????沿??折叠，点?的对应点为?，当点?落在?轴上，且点?的坐标为(1,2)时，则?值为（ ）
41O16
A．3B． 3C．5D． 3
2 ?−1
??
???−2
∴ ?? = 1= 2 = ??，
1
∴ ?? = ?? = 2?−1，?? = ?? = ?−2，∠??? = ∠??? = 9Oº，
1
1
1
∴ 当? = ?时，? = 2?，即? 2 ?,? ，
∴ ?? = ?−2，?? = 2?−1，
∵ 把矩形????沿??折叠，点?的对应点为?，
??
当? = 2时，? = 2，即? 2 ,2 ，
∵ ?? ∥ ?轴，?在直线? = 2?上，且?的纵坐标与?相同为?，
【答案】D
【分析】先根据点?的坐标求出直线? = ??的解析式，再结合矩形????的性质和反比例函数的性质，用含
?的代数式表示出点?、?、?的坐标；然后利用折叠的性质得到线段相等和角相等，通过作辅助线构造相似三角形△ ???∽ △ ???，根据相似三角形的性质得到线段的比例关系，最后结合?? = ??列方程求解?的值．
【详解】解： ∵ 点?(1,2)在直线? = ??上，
∴ ? = 2，
∴ 直线??的解析式为? = 2?，
∴ 四边形????是矩形，?? ∥ ?轴，
∴ ?点的横坐标与?点相同，为1；?点的纵坐标与?点相同，为2，
?
∵ 反比例函数? = ?的图象经过点?、?，
∴ 当? = 1时，? = ?，即?(1,?)；
?
∴ 2 + 4 = ?−2，解得? = 3 ．
?
1
1
1
∵ ?? = 1（?点横坐标为1，?? ⊥ ?轴），?? = 2?（?点横坐标为2?，?? ⊥ ?轴），
∴ ?? = 2?? = 2，?? = 2?? = 4，
?
∴ ?? = ?? + ?? = 2 + 4，
由图可知，?? = ??（矩形的对边相等，??与??均为矩形的竖直边长），
16
??????
∴ ?? = ?? = ?? = 2，
∵ ?? ∥ ?轴，
∴ ?、?、?三点共线，∠??? = ∠??? = 9Oº，
∵ ∠??? = 9Oº，
∴ ∠??? + ∠??? = 9Oº，又∵ ∠??? + ∠??? = 9Oº，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ???∽ △ ???（两角分别相等的两个三角形相似），
如图，过点?作?? ⊥ ?轴于?，过点?作?? ⊥ ?轴于?，
3．（2026·山东·一模）如图， △ ??1?1， △ ?1?2?2， △ ?2?3?3，…是分别以?1，?2，?3，…为直角顶点且一条直角边在?轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点?1(?1,?1)，?2(?2,?2)，?3(?3,?3)…均在反比
4
例函数
的图象上，则?
的值为．
? = ?(? > O)
2026
【答案】2 2O26−90
【分析】先分析第一个等腰直角三角形，设直角顶点坐标，利用中点坐标公式得到斜边中点坐标，代入反比例函数求出第一个中点的纵坐标；
用相同方法求出第二个、第三个中点的纵坐标，观察并归纳出第?个中点纵坐标的表达式；将? = 2O26代
同理，可求得第三个中点?3的纵坐标?3 = 2( 3− 2)，
由此归纳得出第?个中点??的纵坐标为：?? = 2( ?− ?−1)．
当? = 2O26时，?2026 = 2( 2O26− 2O25) = 2( 2O26−45) = 2 2O26−90．
= 2( 2− 1)．
4 2−4
2
2
?−4
∴ ?2 ==
?−4
2
4+?
∴ 2 ×= 4，解得? = 4 2，
4
又∵ ?2在反比例函数? = ?的图象上，
，
2
2 ,
4+? O+(?−4)
∴ ?2的坐标为
?
??
∴ 2 × 2 = 4，即 4 = 4，解得? = 4，
∴ ?1 = 2 = 2 = 2( 1− O)．
?1的坐标为(4,O)，设△ ?1?2?2的直角顶点?2的坐标为(?,0)，
∵△ ?1?2?2是等腰直角三角形，
∴ ?1?2 = ?−4，则?2的坐标为(?,?−4)，
∵ ?2是斜边?1?2的中点，
4
又∵ ?1在反比例函数? = ?的图象上，
?2
2 , 2 ，
=
2 , 2
O+? O+?? ?
∴ ?1的坐标为
入表达式，计算最终结果．
【详解】解：
设△ ??1?1的直角顶点?1的坐标为(?,0)，则?1的坐标为(?,?)，
4．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图 1 方式摆放在平面直角坐标系???中，含3Oº角的三角板???的直角边??落在?轴上，∠??? = 3Oº，含45º角的三角板???的直角顶点?的坐标为(2,2)，反比例函数? =
?
?(? ≠ O)的图象经过点?．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将三角板???绕点?顺时针旋转9Oº至 △ ??1?1，
①如图 1，点?为三角板??边上一点，旋转后点?的对应点?1恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点?
的坐标；
②如图 2，若将三角板???绕点?顺时针旋转至 △ ?2??1，使点?1落在边??1上，请判断点?旋转后的对应点?2是否在反比例函数图象上，并说明理由．
4
【答案】(1)? = ?
(2)①?(−1,4)，②?2在反比例函数图象上，理由见解析
?
【分析】（1）把?的坐标为(2,2)代入反比例函数? = ?(? > O)即可得到答案；
（2）①过点?作?? ⊥ ??于点?，由旋转得?1? = ?? = 4，将? = 4代入反比例函数表达式，进而即可求解；
②过点?1作?1? ⊥ ?轴于点?，过点?2作?2? ⊥ ?1?，交??1的延长线于点?，先证明△ ???1≌ △ ?1?
?2， 结合旋转的性质可得?26− 2, 6 + 2 ， 再把? = 6− 2代入反比例函数表达式进行检验即可
??
【详解】（1）解：将?(2,2)代入反比例函数表达式? = ?得：2 = 2，
∴? = 2 × 2 = 4，
4
∴反比例函数表达式为? = ?；
（2）解：①如图，过点?作?? ⊥ ??于点?，
∵?(2,2)，
∴?? = 2，
∵ △ ???为等腰直角三角形，?? ⊥ ??，
∴?? = 2?? = 4，
由旋转得?1? = ?? = 4，
4
将? = 4代入反比例函数表达式? = ?，得：? = 1，
∴?1(4,1)，
∴?? = ?1?1 = 1，
∴?(−1,4)；
②如图，过点?1作?1? ⊥ ?轴于点?，过点?2作?2? ⊥ ?1?，交??1的延长线于点?，
∴∠???1 = ∠? = 9O∘ = ∠??1?2，
∴∠?1?? + ∠??1? = 9O∘，∠?2?1? + ∠??1? = 9O∘，
【答案】(1)? = ?
(2)6
3
(3)2
∴∠?1?? = ∠?2?1?，
∵ △ ?2??1为等腰直角三角形，
∴??1 = ?2?1，
∴ △ ???1≌ △ ?1??2，
∴??2 = ??1，?1? = ??，
由（1）知，?? = 2?? = 2 2，
由旋转得：∠?1?? = ∠??? = 3Oº，??1 = ?? = 2 2，
∴在Rt △ ?1??中，??1 = 2，?? = 6，
∴??2 = 2，?1? = 6，
∴?26− 2, 6 + 2 ，
4
将? = 6− 2代入反比例函数表达式? = ?，得：? = 6 + 2，
∴?2在反比例函数图象上．
5．（2026·河南平顶山·一模）▱????在平面直角坐标系???中的位置如图所示，边??经过原点 O，点 A，
?
B 关于 y 轴对称，??交 y 轴于点 E，??交 x 轴于点 G，连接??，交 x 轴于点 F，反比例函数? = ?(? ≠ O)
的图象经过点 B，C．已知点 A 的坐标为(−1,3)．
(1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积；
(3)将▱????向上平移，当点 D 落在反比例函数的图象上时，平移的距离为．
【分析】（1）利用轴对称的性质求得点 B 的坐标为(1,3)，再利用待定系数法求解即可；
（2）证明△ ???≌ △ ???，推出?△??? = ?△???，根据阴影部分的面积 = ?四边形????，据此计算即可求解；
（3）设将▱????向上平移?个单位，点 D 落在反比例函数的图象上，即点(−3,−3 + ?)落在反比例函数
3
? = ?的图象上，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵点?(−1,3)，B 关于 y 轴对称，
∴点 B 的坐标为(1,3)，
?
∵反比例函数? = ?(? ≠ O)的图象经过点 B，
∴? = 1 × 3 = 3，
3
∴反比例函数的表达式为? = ?；
?
（2）解：∵反比例函数? = ?(? ≠ O)的图象经过点 B，C，
∴点 C，B 关于原点对称，
∴点 C 的坐标为(−1,−3)，
∵点 A 的坐标为(−1,3)，
∴点 A，C 关于 x 轴对称，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = ??，??∥??，
∴∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 9Oº，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴?△??? = ?△???，
∵四边形????是平行四边形，
∴?? = ?? = 1−(−1) = 2，
∴阴影部分的面积 = ?四边形???? = 2 × 3 = 6；
（3）解：由（2）得点 D 的坐标为(−3,−3)，
设将▱????向上平移?个单位，点 D 落在反比例函数的图象上，
3
即点(−3,−3 + ?)落在反比例函数? = ?的图象上，
∴3 = −3(−3 + ?)，解得? = 2．
即将▱????向上平移 2 个单位，点 D 落在反比例函数的图象上．
?
6．（2026·广东惠州·一模）如图1，点?为反比例函数? = 1(? > O)图象上的一个动点，过点?作射线??，点
?在?轴的正半轴上，以点?为圆心、2??为半径作弧交反比例函数图象于点?，连接??，分别过点?和点?
作?轴和?轴的平行线形成矩形????，该矩形对角线交于点?，连接??．
设? ?,
，? ?,
，求直线??的函数解析式（用含?，?的代数式表示），并判断点?是否在直线??上；
1
?
1
?
猜想∠???与∠???的数量关系，并说明理由；
如图2，当点?的坐标为(1,1)时，求 △ ???与矩形????的面积比．
1
∴直线??的函数解析式为? = ???，
1
∵将? = ?代入函数解析式，得? = ?，
∴点?在直线??上；
（2）猜想∠??? = 3∠???，理由如下：
1
∴? = ? ÷ ? = ??，
1
∵设直线??的函数解析式为? = ??(? ≠ O)，并将? ?, ? 代入，
1
1
1
∴? ?, ? ，? ?, ?
11
【详解】（1）解：∵矩形????，? ?, ? ，? ?, ? ，
3、?? = 3−1，最后根据矩形的性质和反比例的性质求出点?、点?的坐标及??的长度，最后分别求出
△ ???与矩形????的面积，在进行面积比即可．
2
1
?? = ?? = 2，再根据（2）中∠??? = 3∠???，得出∠??? = 3Oº，从而求出?? = 2?? = 2 ，然后设
?? = ?，根据勾股定理求出?? =??2 + ??2 =1 + ?2，接着证明△ ??? ∽△ ???，求出?? = 2−
（2）先根据矩形性质得到?? ∥ ??，∠??? = ∠???，通过三角形外角和性质得到∠??? = 2∠???，再通过
等边对等角得到∠??? = ∠??? = 2∠???，最后根据平行性质推出∠??? = ∠???，最后等量代换即可求解；
（3）先延长??交?轴于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，根据?的坐标为(1,1)，求出∠??? = 45º，
11
?, ? ，即可求出直线??的函数解析式，将? ?, ? 代入直线??的函数解析式即可判断点?是否在直线??
上；
11
【分析】（1）根据矩形的性质求出? ?, ? ，? ?, ? ，设直线??的函数解析式为? = ??(? ≠ O)，代入?
4
3−1
(3) △ ???与矩形????的面积比为．
1
【答案】(1)? = ???，点?在直线??上；
(2)∠??? = 3∠???，见解析；
∵四边形????是矩形，
1
∴?? = ?? = ?? = ?? = 2??，?? ∥ ??，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵∠???是 △ ???的外角，
∴∠??? = 2∠???，
∵?? = 2??，2?? = ??，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 2∠???，
∵?? ∥ ??，?? ∥ ??，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = 2∠???，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 3∠???，
∴∠??? = 3∠???；
（3）如图，延长??交?轴于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，
∵矩形????，
∴∠??? = 9Oº，
∴∠??? = 9Oº
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 9Oº，
∵?的坐标为(1,1)，则?? = ?? = 1，∠??? = 45º，?? = 2，由（2）中可知，?? = ??，
∴?? = ?? = 2，
∵由（2）可知∠??? = 3∠???
11
∴∠??? = 3∠??? = 3 × 45º = 15º，则∠??? = 3Oº
∵在Rt △ ???中，∠??? = 3Oº，
12
∴?? = 2?? = 2 ，
∵设?? = ?，
∴?? = ??−?? = 1−?，
∵在Rt △ ???中，?? = 1−?，?? = 1，
∴根据勾股定理，?? =??2 + ??2 =1 + ?2，
∵由∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 9Oº，
∴ △ ??? ∽△ ???，
2
∴?? = ??，即 2 = 1−? ，
??
??
11+?2
解得?1 = 2− 3，?2 = 2 + 3（舍），
∴?? = 2− 3，
∴?? = ??−?? = 1−(2− 3) = 3−1，
113−1
∴?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × ( 3−1) × 1 =2 ，
∵?? = 2− 3，?? = 1，
∴点? 1,2− 3 ，
∵矩形????，
11
∴?? = ?? = 2− 3，将??代入? = ?，得2− 3 = ?，解得? = 2 + 3，
∴点?的坐标为 2 + 3,2− 3 ，
∴?? = ??−?? = 2 + 3−1 = 3 +1，
∴?矩形???? = ?? ⋅ ?? = ( 3−1)( 3 + 1) = 2，
?3−1 3−1
∴ △??? = 2 =，
?矩形????24
∴ △ ???与矩形????的面积比为
3−1
4 ．
法二：如图，延长??交?轴于点?，取??中点?，连接??，
∵矩形????，
∴∠??? = 9Oº，?? = ??，
∴∠??? = 9Oº
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 9Oº，
2
3−1
∴ △ ???与矩形????的面积比为 4
4
=，
==
2⋅??⋅??4⋅??4× 3+1
3−1
1
⋅??⋅??1
= 2
1
?△???
?矩形????
∴
3+1
∴?? =2
（舍），ℎ3 = −1（舍），
22
− 3+1
3+1
解得：ℎ1 =，ℎ2 =
2
2−ℎ
，
??11−2 2−ℎ2
??
∴?? = ??，即ℎ =
∵?的坐标为(1,1)，则?? = ?? = 1，∠??? = 45º，?? = 2，
∴?? = ?? = ?? = 2，
∵在Rt △ ???中，设?? = ℎ，则?? = 2，
∴根据勾股定理，?? =??2−??2 =2−ℎ2
∴?? = ??−2?? = 1−2 2−ℎ2，
∵?? = ??，?为??中点，
∴?? ⊥ ??，
∵?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
7．（2026·广东湛江·一模）如图 1，在平面直角坐标系中，?(0,?)，?(?,0)，双曲线? =
12
? (? > O)与矩形
????的两边??、??分别交于 D、E 两点，连接??、??、??，将 △ ???沿??翻折后得到 △ ??′?．
探究一：如图 2，若点 D 为??中点时，点?′又恰好落在线段??上，点 E 的纵坐标为（用含 n
的式子表示）；
探究二：如图 3，若??平分∠???，当四边形??′??是正方形时，求矩形????的面积：
3
探究三：如图 4，若点 D 在直线 上，是否存在 m 的值使?′点落在 x 轴上，若存在，求出点 E 的坐
? = 4?
标；若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1) ?
2
(2)12 3
4
(3)存在，? 9, 3
1
【分析】（1）根据矩形的性质得到?的坐标，进而求出 D 的坐标，可知2?? = 12，将?的横坐标代入反比
例函数解析式计算即可；
1
（2）证明四边形????是正方形，证 △ ???≌ △ ???，即可求得∠??? = 3∠??? = 3Oº，设?? = ?，则
??
?? = tan3Oº
= 3?，则可表示出?的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得?2 = 4 3，则面积即可求
解；
（3）首先解方程组求得?的坐标，利用?表示出?′?的长度，作?? ⊥ ??于点?，则△ ???′∽ △ ?′??，根据相似三角形的对应边的比相等求得?′?的长，即可求得??′，求得??的长，则?的横坐标即可求得，代入反比例函数解析式即可求得纵坐标．
【详解】（1）解： ∵ ?(0,?)，?(?,0)，矩形????，
∴ ?的坐标是(?,?)，
∵点 D 为??中点，
∴ ?的坐标是：
1
2 ?,? ，
?
∵ ?在双曲线? = 12(? > O)上，
1
∴ 2?? = 12，
?
又∵ ?的横坐标是?，把? = ?代入? = 12(? > O)，
1
则? = 12 = 2 ??1 ，
?? = 2? 1
∴ 点 E 的纵坐标为2?；
（2）解：设正方形??′??的边长是?，则?? = ?−?，?? = ?−?，则?的坐标是：(?−?,?)，?的坐标是(?,?−?)，
则(?−?)? = ?(?−?) = 12，
∴ ? = ?．
∴ 四边形????是正方形．
∴∠??? = ∠??? = 9Oº，?? = ??，?? = ??，
∵?? = ??，?? = ??，
∴?? = ??，
又∵∠??? = ∠??? = 9Oº，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ∠??? = ∠???，又∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
1
∴ ∠??? = 3∠??? = 3Oº，
??
设?? = ?，则?? = tan3Oº = 3?，
∴?的坐标是 3?,? ，
?
代入? = 12(? > O)得： 3?2 = 12，
∴?2 = 4 3，
22
∴正方形????的面积是( 3?) = 3? = 12 3；
? = 3 ?
4
（3）解：根据题意得：
? = 12 ，
?
? = 4? = −4
解得： ? = 3 或 ? = −3 （舍去），
则?的坐标是(4,3)．
∵?的横坐标是?，
∴?的横坐标是?，
∴?? = ?−4，
∵将△ ???沿??翻折后得到 △ ??′?，
∴?? = ?′? = ?−4，
1212
在? =
? 中，当? = ?时，? = ? ，
1212
∴ ?? =?? = ?′? = 3−
? ，? ，
如图所示，作?? ⊥ ??于点?．
∵ 折叠，
∴ ∠??′? = ∠? = 9Oº，
∴ ∠??′? = 90°−∠??′? = ∠?′??，又∵ ∠???′ = ∠???′ = 9Oº，
则△ ???′∽ △ ?′??，
??
∴
?′?
=
12
3
= 3− ? = ，
?′?
12
∴
?
?′?
?′?
3
=
?，
?−4?
解得：?′? = 4，
∴在Rt △ ???′中，??′ = 5，则?? = 5，
∴ ?? = 4 + 5 = 9，
∴ ? = 9，
把? = ? = 9代入? = ? 中得：? = 9 = 3，
12
124
4
∴ ? 9, 3 ．
（建议用时：70 分钟）
?
1．（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ O)的图象大致如图所示，则函数? = ?? + ?(? ≠ O)和? = −?(? ≠ O)的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线可得，? < 0,−2? = −1,? > O，则? = 2? < O，−? < O，再由一次函数与反比例函数经过
的象限即可判断．
?
【详解】解：由抛物线可得，? < 0,−2? = −1,? > O，
?
∴? = 2? < O，−? < O
∴直线? = ?? + ?(? ≠ O)经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限故 D 选项符合题意．
2．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A、B、C、D 分别在反比例函
?
数? = ?上，四边形????是平行四边形，对角线??、??相交于 O，延长??交 x 轴于点 E，若?? = 2??，
▱????的面积为 16，则 k 的值为（ ）
163
A．3B． 3C．2D．6
1
??????
∴ ?? = ?? = ??+?? = 3．
∴ ?? ∥ ??，
∴△ ??? ∽△ ???，
1
1
∴ ?△??? = 2?△??? = 2 × 4 = 2．
过点?作?? ⊥ ?轴于?，过点?作?? ⊥ ?轴于?，
1
1
∴ ?△??? = 4?▱???? = 4 × 16 = 4．
∵ ?? = 2??，
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质求出△ ???的面积，再根据?? = 2??求出△ ???的面积；设点?坐标，利用相似三角形性质表示出点?的坐标，利用三角形面积公式建立方程求解?．
【详解】解：连接??,??，
∵ 四边形????是平行四边形，且为中心对称图形，而反比例函数图象也为中心对称图形，
∴点?为??,??的交点，
∴?? = ??,?? = ??，
1 4
2
1
14
1
2
1
??
1
??
∴ ?? = 3，即??+?? = 3，
∴ 3?? = 3? + ??，解得?? = 3?．
∴ ?? = ?? + ?? = ? + 3? = 3?．
∵ ?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2，
∴ 2 ⋅ 3? ⋅ ? = 2，
∴ 3?? = 2，
∴ ?? = 3．
∵ ? = ??，
∴ ? = 3．
?2
???
?
∴ 点?的横坐标为3? = 3? = 3 ．
∴ ?? = ?− 3 = 3?．
∵△ ??? ∽△ ???，
设?(?,?)，则?? = ?，?? = ?，
∴ ?? = 3?，即点?的纵坐标为3?．
?
∵ 点?在反比例函数? = ?上，
3．（2026·河北唐山·一模）如图，点 C 是第一象限内一点，过点 C 分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点
3
A、B，函数? = ?(? > O)的图象与边??交于点 M，与边??交于点 N（M、N 不重合）．（ ）
甲、乙两位同学给出了下面的结论：
甲： △ ???与 △ ???的面积一定相等；乙：若??:?? = 1∶3，则?△??? = 4．
A．甲对，乙错B．甲错，乙对C．甲、乙都对D．甲、乙都不对
【答案】C
【分析】由题意易得?△??? = ?△??? = 2，四边形????是矩形，然后根据等积法可得甲，由??:?? = 1∶3
3
可设?? = ?,?? = 3?，则有? ? ,? ,? ? ,3? ，进而根据割补法可进行求解．
3
1
【详解】解：根据反比例函数 k 的几何意义可得：?△??? = ?△??? = 2 × 3 = 2，
1
3
∵∠??? = ∠??? = ∠??? = 9Oº，
∴四边形????是矩形，
∴?△??? = ?△???，
∵?△??? = ?△???−?△???,?△??? = ?△???−?△???，
∴?△??? = ?△???，故甲说法正确；
由??:?? = 1∶3可设?? = ?,?? = 3?，
∴? ? ,? ,? ? ,3? ，
∴?? = ?−? = ?,?? = 3?−? = 2?，
∴?△??? = ?矩形????−?△???−?△???−?△???
3
1
3 12
= ? × 3?− 2 − 2 − 2 × ? × 2?
= 9−3−2
= 4；
∴乙的说法也正确；
综上所述：甲乙的结论都是正确的．
33312
4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，点?在反比例函数?1 =
?
18
? （? > O）的图象上，过点?作?? ⊥ ?轴，垂足为
点?，交反比例函数?2 = ?（? ≠ O，? > O）的图象于点?．点?为?轴上任意一点，连接??，??．若
△ ???的面积为 6，则?的值为．
解得? = 6．
= 6，
18−?
2
1 18−?
?
1
∴ 2?? ⋅ ?? = 2 ⋅⋅ ? =
∵ △ ???的面积为 6，
18−?
?
18 ?
∴ ?? = ? −? =，?? = ?，
?
18
1
【分析】设点 A 的横坐标为 a，用含 a 的式子表示出??，??，再根据?△??? = 2?? ⋅ ?? = 6即可求解．
【详解】解：设点 A 的坐标为 ?, ? ，则点 C 的坐标为 ?, ? ，
【答案】6
1
5．（2026·山东泰安·一模）如图，点? ,? ,? ⋅⋅⋅ 在反比例函数? = (? > O)的图象上，点? ,? ,? , ⋅⋅⋅ ,? 在
1 2 3?
1 2 3?
1
y 轴上，且∠?1??1 = ∠?2?1?2 = ∠?3?2?3 =⋅⋅⋅ ，直线? = ?与双曲线? = ?交于点?1，?1?1 ⊥ ??1,?2?2 ⊥
?1 = −1
= 1 ， ? = −1
1
?
?1 = 1
联立，得 ? = 1 ，解得： ?
【详解】解：由题意可知△ ??1?1， △ ?1?2?2， △ ?2?3?3，…，都是等腰直角三角形，
? = ?
1
入? = ?中计算求解，然后求出??1，??2，??3，的值，探究一般性规律，利用规律解决问题即可得出结
论．
【答案】 O,2 2O26
【分析】由题意可知△ ??1?1， △ ?1?2?2， △ ?2?3?3，…，都是等腰直角三角形，设?2，?3点坐标，代
1
∴?1(1,1)，
∴??1 = 2，
设?2(?,2 + ?)，则有?(2 + ?) = 1
解得? = 2−1或? = − 2−1（舍去）
∴??2 = 2 2
设?3(?,2 2 +?)，则有?(2 2 +?) = 1
解得? = 3− 2或? = − 3− 2（舍去）
∴??3 = 2 3
同理可得??4 = 2 4
∴??? = 2 ?
∴??(O,2 ?)
当? = 2O26时，2 ? = 2 2O26，
∴?2026(O,2 2O26)
故答案为： O,2 2O26 ．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，反比例函数与几何综合．解题的关键与难点在于求解?1、?2、?3
⋅⋅⋅ 的坐标，推导一般性规律．
?1?2,?3?3 ⊥ ?2?3, ⋅⋅⋅ ，则?2026的坐标是．
?
6．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数? = ?? + ?的图象?与反比例函数? = ?的
2
图象交于? 1 ,4,?(?,1)两点．
(1)求一次函数? = ?? + ?的表达式；
?
(2)利用图象，直接写出不等式?? + ? < ?的解集；
(3)点 P 是 y 轴上一动点，当△ ???是等腰三角形时，直接写出点 P 的坐标．
【答案】(1)? = −2? + 5
1
O < ? < 2或? > 2
?点坐标为 O, ± 5 或(O,2)或(O,2.5)
【分析】（1）先求出?值，进而求出?点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）图象法求出不等式的解集即可；
（3）分?? = ??,?? = ??,?? = ??三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数? = ?? + ?的图象?与反比例函数? = ?的图象交于? 2 ,4 ,?(?,1)两点，
∴? = 2 × 4 = ? ⋅ 1，
∴? = 2,? = 2，
∴?(2,1)，
?
1
1
1
把? 2 ,4 ,?(2,1)代入? = ?? + ?，得 2
1
? + ? = 4
2? + ? = 1 ，
? = −2
解得 ? = 5 ，
∴? = −2? + 5；
（2）解：由图象可知，不等式?? + ? < ?的解集为O < ? < 2或? > 2；
（3）解：设?(0,?)，
∵?(2,1)，
∴??2 = ?2,??2 = 22 + 12 = 5,??2 = 22 + (?−1)2 = 4 + (?−1)2，当?? = ??时，?2 = 5，解得? =± 5；
当?? = ??时，5 = 4 + (?−1)2，解得? = O（舍去）或? = 2；
当?? = ??时，?2 = 4 + (?−1)2，解得? = 2.5；
?1
综上：?点坐标为 O, ± 5 或(O,2)或(O,2.5)．
4
7．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在反比例函数? = ?(? < O)的图象上，点 B 在
?
反比例函数? = ?(? ≠ 0,? < O)的图象上，连接??交 x 轴于点 C，?? ∥ ?轴，点 D 在 x 轴正半轴上，
?? = ??，连接??,??，已知 △ ???的面积为 12．
求 k 的值；
?
若点?(2,O)，在反比例函数
的图象上是否存在点 E 使得四边形????为平行四边形，若存
? = ?(? < O)
在，求出点 E 的坐标，若不存在，请说明理由．
解得? = −8，
∴k 的值为−8．
⋅ (−2?) = 12，
1 ?4
∴ 2 ? − ?
?
则点? ?, ? ，
∴?(?,0)
∵?? = ??
点?(−?,0)，
∵△ ???的面积为 12，
4
4
【详解】（1）解：∵点 A 在反比例函数? = ?(? < O)的图象上，
设点? ?, ? ，
∵?? ∥ ?轴，
8
? = −?(? < O)的图象上．
（2）先得出?(−2,O)，再代入反比例函数求出?(−2,−2)，假设存在点?(?,?)使得四边形????为平行四边
形，
结合平行四边形以??为对角线，列式计算得?(−6,2)，因为−6 × 2 = −12 ≠ O，即?(−6,2)不在反比例函数
4
（1）先设点? ?, ? ，结合?? ∥ ?轴，得出?(−?,0)，根据面积公式以及 △ ???的面积为 12，进行列式计
算，即可作答．
【答案】(1)−8
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的几何应用，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
即?(−6,2)不在反比例函数? = −?(? < O)的图象上．
∴ ?(−6,2)，
∵−6 × 2 = −12 ≠ −8
2
，= 2 ，
22
2+?−2+(−2)−2+4O+?
∴=
−8
−8
把? = −2代入? = ? ，得? = −2 = 4，
得?(−2,4)，
假设存在点?(?,?)使得四边形????为平行四边形，根据题意得，平行四边形以??为对角线，
由（1）得 k 的值为−8．
4
4
把? = −2代入? = ?
得? = −2 = −2，
∴ ?(−2,−2)，
（2）解：不存在．
理由如下：
∵ ?? = ??，?(2,O)，
∴?(−2,O)，
由（1）得 k 的值为−8．
8
?
8．（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系???中，点 A 在反比例函数? = ?(? > O)的图象上，过
点 A 分别作 x，y 轴的垂线，垂足为 C 和 B，矩形????的面积为 4．
求该反比例函数的解析式；
如图 2，点 D，E 分别在边??，??上，线段??和??的长成反比例关系，比例系数为 1，顺次连接??，
??，??．
①当点 A 的横坐标为 4 时，求△ ???的面积；
②当点 A 在该反比例函数的图象上运动时， △ ???的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由．
【答案】(1)? = ?
4
3
(2)①?△??? = 2；②不会发生改变．理由见解析
【分析】（1）利用反比例函数的性质求解；
（2）①根据函数解析式求出?点纵坐标，设点 D 的坐标为(?,1)，点 E 的坐标为(4,?)，得出?? = 1，然后利用割补法表示出三角形的面积即可；
②设点 A 的坐标为(?,?)，表示出点 D 的坐标为(?,1)，点 E 的坐标为(4,?)，然后利用割补法表示出三角形的面积即可．
【详解】（1）解：∵矩形????的面积为 4，
∴|?| = 4，
∴? = 4或? = −4，
∵函数图象位于第一象限，
∴? = 4
4
∴该反比例函数的解析式为? = ?；
解：①∵点 A 的横坐标为 4，
4
∴? = 4 = 1，
∴点 A 的纵坐标为 1．
∴可设点 D 的坐标为(?,1)，点 E 的坐标为(4,?)．
∵线段??和??的长成反比例关系，比例系数为 1，
∴ ?? = 1．
111
∴ ?△??? = 4−2 × 1 × ?−2 × (4−?) × (1−?)−2 × 4 × ?．
即?
1
△??? = 2−2??．
3
∴ ?△??? = 2；
②不会发生改变．理由如下：
∵设点 A 的坐标为(?,?)，
∴可设点 D 的坐标为(?,?)，点 E 的坐标为(?,?)，且?? = 4．
∵线段??和??的长成反比例关系，比例系数为 1，
∴ ?? = 1．
∵ ?△??? = ?矩形????−?△???−?△???−?△???，
111
∴ ?△??? = 4−2 × ? × ?−2 × (?−?) × (?−?)−2 × ? × ?．
即?
111
△??? = 4−2??−2?? = 2−2??．
3
∴ ?△??? = 2．
?
9．（2026·甘肃临夏·一模）如图，已知直线? = −2? + 4与反比例函数? = ?(? ≠ O)的图象交于点?(−1,?)，
与?轴交于点?
(1)点?的坐标为． (2)求反比例函数的解析式．
?
(3)将直线? = −2? + 4向下平移后与反比例函数? = ?的图象交于点?(?,3)，求直线? = −2? + 4向下平移的
距离．
6
∵ 点?(?,3)在反比例函数? = −?的图象上，
6
∴ 3 = −?，解得? = −2，
∴ ?(−2,3)，
代入? = −2? + 4−?，得3 = −2 × (−2) +4−?，
∴ ? = 5，
∴ 直线? = −2? + 4向下平移的距离为 5 个单位长度．
?
∴将?(−1,6)代入反比例函数? = ?(? ≠ O)中，得? = 6 × (−1) = −6，
6
∴反比例函数的解析式为? = −?；
（3）解：设直线? = −2? + 4向下平移了?个单位长度，
∴ 平移后的直线表达式为? = −2? + 4−?，
?
（2）先求出点?(−1,6)，再代入反比例函数? = ?(? ≠ O)中，即可求解；
（3）设直线? = −2? + 4向下平移了?个单位长度，得到平移后的直线表达式为? = −2? + 4−?，再求出点
?(−2,3)，代入? = −2? + 4−?中，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线? = −2? + 4与?轴交于点?，
∴当? = O时，? = −2 × O + 4 = 4，解得? = 4，
∴点?的坐标为(O,4)；
（2）解：将?(−1,?)代入直线? = −2? + 4中，得? = −2 × (−1) +4 = 6，
∴点?(−1,6)，
【分析】（1）将? = O代入直线? = −2? + 4中，即可求解；
6
(2)? = −?
(3)5
【答案】(1)(O,4)；
10．（2026·四川广元·一模）如图，已知直线? = 3? + 3与?轴交于点?，与?轴交于点?，矩形????的顶点
?
?在第一象限，且在反比例函数? = ? 图象上，过点?作?? ⊥ ??，垂足为?．
(1)直接写出点?、?的坐标及∠???的大小；
(2)设点?的纵坐标为?，用含?的式子表示点?的横坐标；
?
(3)已知直线? = 3? + 3与反比例函数? = ? 图象都经过第一象限的点?，连接??，如果?? ⊥ ?轴，求?的
值．
【答案】(1)? − 3,O ，?(O,3)，∠??? = 3Oº
(2)3 3− 3?
(3) 4
9 3
【分析】（1）根据直线解析式求出点 A 和点 C 的坐标，进而得到??，??的长，求出∠???的正切值即可得
到∠???的度数；
（2）由矩形的性质可推出∠??? = 6Oº，由题意可得∠??? = 9Oº，?? = ?，则?? = ??−?? = 3−?，解直角三角形求出??的长即可得到答案；
（3）过点 E 作?? ⊥ ?轴于点 H，设点 B 的纵坐标为 t，则∠??? = ∠??? = 9Oº，证明△ ???≌ △ ???，得到?? = ?? = 3−?，?? = ?? = 3 3− 3?，则可求出? 2 3− 3?,?−3 ，进而可求出?
2 3− 3?,−3? + 9 ，根据点 B 和点 D 都是反比例函数的图象上，得到? = (3 3− 3?) ⋅ ? = (2 3− 3?)
(−3? + 9)，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：在? = 3? + 3中，当? = O时，? = 3，当? = O时，? = − 3，
∴? − 3,O ，?(O,3)，
∴?? = 3，?? = 3，
∴tan∠??? = ?? = 3 ，
∴∠??? = 3Oº；
（2）解：∵四边形????是矩形，
∴∠??? = 9Oº，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 6Oº，
∵?? ⊥ ??，且点?的纵坐标为?，
∴∠??? = 9Oº，?? = ?，
??3
∴?? = ??−?? = 3−?，
在Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ tan∠??? = (3−?) ⋅ tan6Oº = 3 3− 3?；
∴点 B 的横坐标为3 3− 3?；
解：如图所示，过点 E 作?? ⊥ ?轴于点 H，设点 B 的纵坐标为 t，则∠??? = ∠??? = 9Oº，
∵四边形????是矩形，
∴?? = ??，∠??? = 9Oº，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠??? = 3Oº，
∴∠??? = 90°−30° = 6Oº = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ?? = 3−?，?? = ?? = 3 3− 3?，
∴?? = ??−?? = 2 3− 3?，
∴? 2 3− 3?,?−3 ；
∵?? ⊥ ?轴，
∴点 D 的横坐标为2 3− 3?，
在? = 3? + 3中，当? = 2 3− 3?时，? = 3(2 3− 3?) +3 = −3? + 9，
∴? 2 3− 3?,−3? + 9 ，
∵点 B 和点 D 都是反比例函数的图象上，
∴? = (3 3− 3?) ⋅ ? = (2 3− 3?)(−3? + 9)，
3
解得? = 2或? = 3，
当? = 3时，?点横坐标为2 3− 3? = 2 3− 3 × 3 = − 3，那么?点不在第一象限，故不符合题意；
3
∴? = 2，
339 3
∴? = (3 3− 3?) ⋅ ? = 3 3− 3 × 2 × 2 = 4 ．
11．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务．
问题背景：如图①，矩形????的边??，??分别与反比例函数? = ?(? > O)的图象交于点 D，E．
?
何意义，可得?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，又?? = ??，?? = ??，∴?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，∴ ?? = ??．
小明说：“如图③，连接??，??，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到?? ∥ ??．”
小红的探究：如图②，过点 D 作?? ⊥ ?轴于点 F，过点 E 作?? ⊥ ?轴于点 G．根据反比例函数中|?|的几
??
??
小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
?
如图④，直线??分别与 x 轴、y 轴交于点 N，M，与反比例函数? = ?(? > O)的图象交于点 D，E．求
证：?? = ??．
?
(3)如图⑤，矩形????的边??，??分别与反比例函数? = ?(? > O)的图象交于点 D，E．连接??，??，
??．若点 D 为??的中点，则?△??? = (用含 k 的代数式表示)．
【答案】(1)正确，见解析
(2)见解析
(3)4k
3
【分析】（1）由?? = ??，可得?? = ??，求证 △ ??? ∽△ ???，即可求解；
（2）过点?作?轴的平行线，交?轴于点?，过点?作?轴的平行线，交?轴于点?，连接??，则?? ∥ ??，推出四边形????和四边形????都是平行四边形，即可求解；
（3）根据反比例函数?的几何意义求解面积即可.
【详解】（1）解：正确．证明如下：
????????
由?? = ??，可得?? = ??．
又∵ ∠? = ∠?，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? ∥ ??．
（2）证明∶如图（1），过点?作?轴的平行线，交?轴于点?，过点?作?轴的平行线，交?轴于点?，连接
??，则?? ∥ ??；
????????
又∵ ?? ∥ ??，?? ∥ ??，
∴ 四边形????和四边形????都是平行四边形，
∴ ?? = ?? = ??，
∴ ?? = ??；
（3）解：如图（2），连接??，??，则?? ∥ ??．
又∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∴ ?△??? = ?△??? = 2?，?△??? = ?△??? = 2?， ?△??? = 2?△??? = 4?，
∴ ?△??? = ?△??? + ?△???−?△??? = 2? × 2−4? = 4?．
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