2026年中考数学二轮复习 专题03 方程(组)与不等式(组)的计算专项(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题03 方程(组)与不等式(组)的计算专项(高频考点专练)，共7页。试卷主要包含了一元一次方程的解法，二元一次方程组的解法题型三，分式方程的解法，一元一次不等式的解法求解，一元二次方程的解法，一元一次不等式组的解法，含参数的一元一次方程求解，方程与不等式的简单综合计算等内容，欢迎下载使用。

方程（组）与不等式（组）是中考数学基础核心运算模块，分值约 8～15 分，以选择题、填空题为主，搭配 1 道基础解答题（计算类），整体以低中档题为主，侧重考查运算步骤规 范、解的检验及简单参数分析，是中考必须稳拿基础分的板块。
基础知识必备：掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的定义与规范
解法，牢记分式方程验根核心要求；理解一元一次不等式的基本性质，熟练求解不等式（组）并能在数轴上规范表示解集；掌握含参数方程（组）/ 不等式（组）的基础求解方法，能根据 解的限定条件分析参数范围，形成严谨的运算习惯。
2026 中考预测：
题型稳定：一元一次方程 / 方程组解法、一元二次方程解法、分式方程解法（含验根）、不
等式组解集求解与数轴表示为选择填空必考内容；含参数的简单方程（组）/ 不等式（组）为中档题常考形式，多在填空或解答题基础问出现。
难度平稳：以基础计算、简单参数讨论为主，不设置偏题、怪题，重点考查计算准确率与易错
点辨析（如不等式变号、分式方程验根）。
命题趋势：贴近教材基础，减少复杂计算，强调步骤书写规范，部分题目结合简单数式背景，为后续实际应用专题铺垫运算基础，整体注重核心运算能力的考查。
题型一 一元一次方程的解法
【典例 01】解方程． (1)10?−3(?−4) = 2(? + 1)；
(2)
3?−1
4 −1 =
5?−7
6 ．
【答案】(1)? = −2
(2)? = −1
【分析】本题考查解一元一次方程，涉及一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 等，熟练掌握一元一次方程解法步骤是解决问题的关键．
由一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 即可得到答案；
由一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：10?−3(?−4) = 2(? + 1)，去括号得10?−3? + 12 = 2? + 2，
移项得10?−3?−2? = 2−12，合并同类项得5? = −10，
系数化为 1 得? = −2；
3?−15?−7
（2）解： 4 −1 =6 ，
去分母得3(3?−1)−12 = 2(5?−7)，去括号得9?−3−12 = 10?−14，
移项得−3−12 + 14 = 10?−9?，合并同类项得? = −1．
【变式 01】解方程：
(1)3(?−1) +7 = 32−?；
(2)
3?−1
4 −1 =
5?−7
6 ．
【答案】(1)? = 7；
(2)? = −1．
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键．
按照去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤解一元一次方程；
按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤解一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：3(?−1) +7 = 32−?
去括号，3?−3 + 7 = 32−?移项，3? + ? = 32 + 3−7合并同类项，4? = 28
化系数为 1，? = 7；
3?−1
（2
5?−7
）解：
4 −1 =6
去分母，3(3?−1)−12 = 2(5?−7)
去括号，9?−3−12 = 10?−14
移项，9?−10? = −14 + 3 + 12
合并同类项，−? = 1
化系数为 1，? = −1．
【变式 03】解方程：
(1)2?−3(2? + 1) = ? + 6；
(2)
?−1
3 −1 =
4−?
2 ．
【答案】(1)? = −9
5
(2)? = 4
【分析】本题考查了解一元一次方程．
根据去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 求解即可；
根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 求解即可．
【详解】（1）解：2?−3(2? + 1) = ? + 6 2?−6?−3 = ? + 6
2?−6?−? = 6 + 3
−5? = 9
9
? = − 5
（2
?−1
4−?
）解：
3 −1 = 2
2(?−1)−6 = 3(4−?)
2?−2−6 = 12−3?
2? + 3? = 12 + 2 + 6
5? = 20
? = 4
【变式 04】解方程
(1)3(2?−1) = 2(? + 2)−(1−?)
(2)
?+1
4 −1 =
2?+1
6
【答案】(1)? = 2
(2)? = −11
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤．
按照去括号，移项、合并同类项，系数化为 1 的步骤求解即可；
按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为 1 的步骤求解即可．
【详解】（1）解：3(2?−1) = 2(? + 2)−(1−?)，去括号，得 6?−3 = 2? + 4−1 + ?，
移项、合并同类项，得 3? = 6
系数化为 1，得 ? = 2；
?+1
（2）解： 4 −1 =
2?+1
6 ，
去分母，得 3(? + 1)−12 = 2(2? + 1)，去括号，得 3? + 3−12 = 4? + 2，
移项、合并同类项，得 −? = 11，系数化为 1，得 ? = −11．
【变式 05】解方程 (1)4?−3(20−?) = 3．
(2)2?+1 5?−1
3
−= 1．
6
【答案】(1)? = 9
(2)? = −3
【分析】（1）利用去括号法解方程即可．
（2）利用去分母法解方程即可．
本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：4?−3(20−?) = 3，去括号，得4?−60 + 3? = 3
移项，得4? + 3? = 3 + 60，合并同类项，得7? = 63． 系数化为 1，得? = 9．
2?+1
（2
5?−1
）解： 3 − 6= 1
去分母，得2(2? + 1)−(5?−1) = 6，去括号，得4? + 2−5? + 1 = 6，
整理，得−? + 3 = 6
移项，得−? = 6−3，
合并同类项，得−? = 3．系数化为 1，得? = −3．
题型二 二元一次方程组的解法
?−2? = 3①
【典例 01】（2025·山西·一模）解方程组： 3? + 2? = 5② ．
? = 2
【答案】
? = − 1
2
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】
?−2? = 3①
解： 3? + 2? = 5② ，
① + ②，得4? = 8，解得? = 2，
1
把? = 2代入①，得? = −2，
? = 2
所以方程组的解是
? = − 1 ．
2
【变式 01】（2025·江苏苏州·二模）解方程组：
3?−2?−7 = 0
5? + 2? = 1 ．
? = 1
【答案】 ? = −2
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键．首先用加减消元法消去 y 求出 x，然后代入原方程求出 y 即可．
【详解】解：
3?−2?−7 = 0①
5? + 2? = 1② ，
由①+②得：8? = 8，解得：? = 1，
将? = 1代入①，得：3−2?−7 = 0，解得：? = −2，
? = 1
∴原方程组的解为 ? = −2 ．
【变式 02】（2025·浙江绍兴·三模）解方程组：
2? + ? = 23
4?−? = 19 ．
? = 7
【答案】 ? = 9
【分析】此题考查了解二元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法消去一个未知数．方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】由题知，
2? + ? = 23①
4?−? = 19② ，
① + ②得：6? = 42，解得：? = 7，
将? = 7代入①得：14 + ? = 23，解得：? = 9，
? = 7
故原方程组的解为 ? = 9 ．
2? + 3? = 7①
【变式 03】（2025·福建龙岩·模拟预测）解二元一次方程组： 3? + 2? = 8② ．
? = 2
【答案】 ? = 1
【分析】本题考查解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．运用加减消元法进行解方程组，即可作答．
【详解】解：∵
2? + 3? = 7①
3? + 2? = 8②
∴由① × 3−② × 2得：9?−4? = 21−16，即5? = 5，
解得：? = 1．
把? = 1代入①得2? + 3 × 1 = 7
解得? = 2．
? = 2
∴ 原方程组的解为： ? = 1 ．
【变式 04】（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：
? = 3
【答案】 ? = 2
?− ? = 2
2
2? + 3? = 12
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
?− ? = 2①
【详解】解：
2
2? + 3? = 12②
②−① × 2得：3? + ? = 12−4，解得? = 2，
把? = 2代入②得：? = 3，
? = 3
∴方程的解为 ? = 2 ．
? − ?+1 = 1
【变式 05】（2005·江苏苏州·中考真题）解方程组： 23．
【答案】
? = 3
? = 1
2
3? + 2? = 10
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．先化简，再利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】解：原方程组可化为
3?−2(? + 1) = 6
3? + 2? = 10 ，
3?−2? = 8①
即 3? + 2? = 10② ，
① + ②得，6? = 18，解得：? = 3．
①−②得，−4? = −2，
1
解得：? = 2．
所以原方程组的解为
? = 3
? = 1 ． 2
题型三 一元二次方程的解法
【典例 01】（2026·广西柳州·一模）解方程
?2−4?−2 = 0．
?2 = 5?
6
【答案】(1)?1 = 2 + 6,?2 = 2−
(2)?1 = 0,?2 = 5
【分析】（1）直接运用公式法解一元二次方程即可；
（2）先移项、然后运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：?2−4?−2 = 0，这里? = 1,? = −4,? = −2，
∴Δ = (−4)2−4 × 1 × (−2) = 24 > 0，
∴? = −(−4)± 24 = 4± 24 = 4±2 6 = 2 ± 6，
2×122
?1 = 2 + 6,?2 = 2− 6．
（2）解：?2 = 5?，
?2−5? = 0，
?(?−5) = 0，
? = 0,?−5 = 0，
∴?1 = 0,?2 = 5．
【点睛】常见的解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．
【变式 01】（2026·四川成都·一模）解方程：
(1)?2−2?−1 = 0；
(2)?(2?−3) = 3−2?．
2
【答案】(1)?1 = 1 + 2，?2 = 1−
3
(2)? = ，? = −1
122
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．
利用公式法解方程即可；
利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：?2−2?−1 = 0
? = 1,? = −2,? = −1
?2−4?? = (−2)2−4 × 1 × (−1) = 8 > 0
? = −?± ?2−4?? = 2± 8 = 2±2 2 = 1 ± 2，
2?22
2
∴?1 = 1 + 2，?2 = 1−
（2）解：?(2?−3) = 3−2?
?(2?−3) + 2?−3 = 0 (2?−3) (? + 1) = 0
2?−3 = 0或? + 1 = 0
? = 3，? = −1
122
【变式 02】（2025·辽宁鞍山·一模）解方程
?2−?−12 = 1；
?2−4?−3 = 0．
【答案】(1)? = 1+ 53，?2 = 1− 53
122
7
(2)?1 = 2 + 7，?2 = 2−
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
利用公式法求解；
利用公式法求解．
【详解】（1）解：?2−?−12 = 1，移项，得：?2−?−13 = 0，
其中? = 1，? = −1，? = −13，
∴ Δ = ?2−4?? = (−1)2−4 × 1 × (−13) = 53 > 0，
∴ ? = −?± ?2−4?? = −(−1)± 53 = 1± 53，
2?
2×12
1+ 531− 53
∴ ? =，?2 =；
122
（2）解：?2−4?−3 = 0，
其中? = 1，? = −4，? = −3，
∴ Δ = ?2−4?? = (−4)2−4 × 1 × (−3) = 28 > 0，
∴ ? = −?± ?2−4?? = −(−4)± 28 = 2 ± 7，
2?2×1
∴ ?1 = 2 + 7，?2 = 2− 7．
【变式 03】（2025·四川广元·一模）选择适当的方法解方程；
(1)?2−3?−4 = 0
(2)3?−5−?(3?−5) = 0
【答案】(1)?1 = 4,?2 = −1
?
(2)? = 5,= 1
13 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
利用因式分解法解答即可；
利用因式分解法解答即可．
【详解】（1）解：?2−3?−4 = 0 (?−4)(? + 1) = 0，
?−4 = 0或? + 1 = 0，解得：?1 = 4,?2 = −1；
（2）解：3?−5−?(3?−5) = 0， (3?−5)(1−?) = 0，
3?−5 = 0或1−? = 0，
= ,
解得：?15 ? = 1．
3 2
【变式 04】解方程：
?2−2?−1 = 0；
(2)3?(?−1) = 2?−2．
2
【答案】(1)?1 = 1 + 2，?2 = 1−
?1
= 1，?2 = 2
3
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：?2−2?−1 = 0，
?2−2? = 1，
?2−2? + 1 = 2， (?−1)2 = 2，
∴?−1 =± 2，
解得?1 = 1 + 2，?2 = 1− 2；
（2）解：3?(?−1) = 2?−2，
3?(?−1)−2(?−1) = 0， (?−1)(3?−2) = 0，
∴?−1 = 0或3?−2 = 0，
解得?1
= 1，?2
2
= 3．
【变式 05】（2025·辽宁抚顺·一模）解方程
?2−4?−2 = 0（配方法）；
?2−5?−4 = 0（公式法）
6
【答案】(1)?1 = 2 + 6，?2 = 2−
(2)? = 5+ 41，?2 = 5− 41
122
【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．
将常数项移至等号的右边，然后配方解方程即可；
2?
（2）一元二次方程的求根公式为? =
【详解】（1）解：?2−4?−2 = 0
?2−4? = 2
?2−4? + 4 = 2 + 4
(?−2)2 = 6
6
?−2 =±
6
?1 = 2 + 6，?2 = 2−
解：?2−5?−4 = 0
−?± ?2−4??，代入计算即可．
? = 1，? = −5，? = −4，
? = ?2−4?? = (−5)2−4 × 1 × (−4) = 41 > 0，
? =
−(−5) ±
41
2 × 1=
5 ± 41
2
? = 5+ 41，?2 = 5− 41．
122
题型四 分式方程的解法（含验根）
4?
【典例 01】（2026·陕西西安·二模）解方程：?2−1 +1 = ?−1．
【答案】? = 3
4 ?
【详解】解：+1 =
?2−1
?−1
方程两边同时乘(? + 1)(?−1)，得：4 + (? + 1)(?−1) = ?(? + 1)，解得：? = 3．
检验：当? = 3时，(? + 1)(?−1) ≠ 0，
∴ ? = 3是原分式方程的解．
3?
【变式 01】（2025·宁夏银川·二模）解分式方程：2?−2−2 = ?−1．
【答案】
7
? = 6
【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．根据解分式方程的步骤求解即可；
【详解】解：原方程两边都乘以2(?−1)得3−4(?−1) = 2?，
去括号得3−4? + 4 = 2?，移项合并同类项得7 = 6?，
7
解得? = 6，
检验：当? = 7时，2(?−1) = 2 × 7 −11，
66= 3 ≠ 0
7
所以原分式方程的解为? = 6．
2?
【变式 02】（2026·陕西西安·一模）解方程：?2−9
?
+ ?+3
= 1．
【答案】? = 9
【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
先方程两边同乘(?−3)(? + 3)，去分母转化为整式方程，求解并检验即可．
2? ?
【详解】解：+
= 1，
?2−9?+3
方程两边同乘(?−3)(? + 3)，得2? + ?(?−3) = (?−3)(? + 3)，解得? = 9．
检验：当? = 9时，(? + 3)(?−3) ≠ 0，所以原分式方程的解是? = 9．
8
【变式 03】（2025·福建漳州·三模）解方程：
= ? −1．
?2−4
?−2
【答案】无解
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可．
8 ?
【详解】解：=−1，
?2−4?−2
方程两边同乘以(? + 2)(?−2)得： 8 = ?(? + 2)−(?2−4)，
解得：? = 2，
经检验，? = 2是分式方程的增根，
∴ 原方程无解．
【变式 04】（2025·山西·一模）解方程：3−? = 1− 3 ．
?−44−?
【答案】? = 2
【分析】本题考查了解分式方程．
根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出 x 的值，然后检验即可．
3−?3
【详解】解：?−4 = 1−4−?，
方程两边同时乘以(?−4)，得3−? = ?−4 + 3，解得：? = 2，
检验：当? = 2时，?−4 = 2−4 = −2 ≠ 0，
∴分式方程的解为? = 2．
?2−4−
【变式 05】（2025·陕西·模拟预测）解分式方程： ?2
? = 2．
【答案】? = −4
2−?
【分析】本题考查了分式方程的解法，解分式方程时注意检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
2−
= 2
【详解】解： ?2?
? −4
?2
2−?
?
(? + 2)(?−2) + ?−2 = 2
方程两边都乘(? + 2)(?−2)，得?2 +?(? + 2) = 2(? + 2)(?−2)，解得：? = −4，
检验：当? = −4时，(? + 2)(?−2) ≠ 0，所以分式方程的解是? = −4．
题型五 一元一次不等式的解法（含数轴表示）
【典例 01】（2025·陕西·中考真题）解不等式3(2?−1) ≤ 4? + 1，把它的解集表示在如图所示的数轴上．
【答案】? ≤ 2，见解析
【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键．将原不等式去括号得到，6?−3 ≤ 4? + 1，通过移项、合并同类项得到2? ≤ 4，最后将系数化为 1 得到
? ≤ 2，将解集? ≤ 2画在数轴上即可．
【详解】解：3(2?−1) ≤ 4? + 1去括号得：6?−3 ≤ 4? + 1， 移项、合并同类项得：2? ≤ 4 系数化为 1 得：? ≤ 2
原不等式的解集在数轴上表示如解图．
【变式 01】（2025·广西·一模）解不等式：3?−(4? + 1) ≤ 6
【答案】? ≥ −7
【分析】本题考查了求不等式的解集，根据去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤求解即可．
【详解】解：3?−4?−1 ≤ 6， 3?−4? ≤ 6 + 1，
−? ≤ 7，
? ≥ −7．
【变式 02】（2025·广西·一模）解不等式：1−? < 2?+1−1．
33
【答案】? > 1
【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法；先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为 1 即可．
1−?
2?+1
【详解】解： 3 1
1
2
【变式 03】（2025·江苏·一模）解不等式：2(? + 2) ≤ 4 ?−，并把解集在数轴上表示出来；
【答案】? ≥ 3，数轴见解析
1
2
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．按照解一元一次不等式的步骤，进行计算得出不等式的解集为? ≥ 3，再把? ≥ 3在数轴上表示出来，即可作答．
【详解】解： 2(? + 2) ≤ 4 ?−
去括号得：2? + 4 ≤ 4?−2，移项得：2?−4? ≤ −2−4，合并同类项得：−2? ≤ −6，化系数为 1 得：? ≥ 3；
数轴上表示如图：
【变式 04】（2025·江苏镇江·一模）解不等式：2?+3 ≥ ?−2 +1并把解集在数轴上表示出来．
35
6
【答案】? ≥ −7，解集见解析
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 可得．
【详解】解：去分母得：5(2? + 3) ≥ 3(?−2) +15，去括号得：10? + 15 ≥ 3?−6 + 15，
移项得：10?−3? ≥ −6 + 15−15，合并同类项得：7? ≥ −6，
6
系数化为 1：? ≥ −7，
把解集表示在数轴上如图所示
【变式 05】（2025·江苏苏州·模拟预测）解不等式：? + 1−4? > 1，并把它的解集在数轴上表示出来．
36
5
【答案】? < −2，数轴见详解
【分析】本题主要考查了不等式的解法，解决此题的关键是正确的计算；根据解不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 即可得到答案
【详解】解：? + 1−4? > 1，
36
去分母，得：2? + (1−4?) > 6，去括号，得：2? + 1−4? > 6，
移项和合并同类项，得：−2? > 5，
5
系数化为 1，得:? < −2，
把解集表示在数轴上如下：
题型六 一元一次不等式组的解法（含整数解）
2? ≥ 1
【典例 01】（2025·广东广州·中考真题）解不等式组 4?−3 < ? + 9 ，并在数轴上表示解集．
1
【答案】2 ≤ ? < 4，画图见解析
【分析】本题考查解不等式组和用数轴表示不等式组的解集，需要注意用数轴表示解集的时候实心点和空心点的区别．分别求出每一个不等式的解集，根据数轴，确定不等式组的解集即可．
2? ≥ 1①
【详解】解： 4?−3 < ? + 9② ，
1
由①得：? ≥ 2，
由②得：? < 4，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
1
则不等式组解集为2 ≤ ? < 4．
【变式 01】（2026·甘肃·模拟预测）解不等式组：
3(?−1) < 2? + 1
2?+3 ≥ ?−1并把解集在数轴上表示出来．
3
【答案】? < 4，数轴表示见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集然后在数轴上表示即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3(?−1) < 2? + 1①
【详解】解：
2?+3 ≥ ?−1②
3
解不等式①得，? < 4
解不等式②得，? ≤ 6
∴不等式组的解集为：? < 4．数轴表示如下：
【变式 02】（2026·陕西西安·一模）解不等式组：1 + ? ≤ 4
3?−1 > 2(?−1)
【答案】−1 < ? ≤ 3．见解析
并把解集表示在如图所示的数轴上．
【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集．分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可．
1 + ? ≤ 4
【详解】解： 3?−1 > 2(?−1) ，
解不等式1 + ? ≤ 4得：? ≤ 3，
解不等式3?−1 > 2(?−1)得：? > −1，故原不等式组的解集为−1 < ? ≤ 3． 解集在数轴上表示如下图所示．
【变式 03】（2025·山西·一模）解不等式组
．
3? < ? + 4
?−3 ≤ 2?−1 −1 ，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
23
【答案】−1 ≤ ? < 2，见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，正确求得不等式组的解集是解答的关键．
先分别求解各个不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集即可．
【详解】解：
3? < ? + 4①
?−3 ≤ 2?−1 −1② ，
23
解不等式①得，? < 2，解不等式②得，? ≥ −1，
∴ 不等式组的解集为−1 ≤ ? < 2， 不等式组的解集在数轴上表示如图：
【变式 03】（2025·山东青岛·模拟预测）求不等式组
【答案】−2，−1，0，1，2
4? > 3(?−1)
2?− ?−3 < 6 的整数解．
2
【分析】本题主要考查不等式组的解法，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先求出不等式组的解集，再求整数解即可．
【详解】解：先解4? > 3(?−1)，解得? > −3，
2?−?−3 < 6，即4?−(?−3) < 12，解得? < 3，
2
所以不等式组的解集为−3 < ? < 3，
则整数解为−2，−1，0，1，2．
【变式 04】（2026·山东潍坊·二模）解不等式组
3(?−1) < 5? + 1
?−1 ≥ 2?−4，并指出它的所有非负整数解．
2
7
【答案】−2 < ? ≤ 3，0，1，2
【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可．
3(?−1) < 5? + 1①
【详解】解：
?−1 ≥ 2?−4②
2
解不等式①得：? > −2，
7
解不等式②得：? ≤ 3，
7
∴不等式组的解集为−2 < ? ≤ 3，
∴不等式组的非负整数解为 0，1，2．
?+2 −1 < ? + 1
【变式 05】（2026·重庆·模拟预测）求不等式组 326 所有整数解的积．
2(?−3) ≤ ?−5
【答案】0
?+2 −1 < ? + 1 ①
【详解】解： 3
26，
2(?−3) ≤ ?−5②
解不等式①得，? > −3，解不等式②得，? ≤ 1，
∴不等式组的解集是−3 < ? ≤ 1，
∴不等式组的整数解是：−2,−1,0,1，
∴(−2) × (−1) × 0 × 1 = 0，
∴不等式组的所有整数解的积为 0．
题型七 含参数的一元一次方程（组）求解
【典例 01】（2025·广东中山·模拟预测）已知方程组
3? + 2? = 7
?−? = −1 的解也是关于?,?的方程?−?? = 5的一个
解，求?的值．
【答案】? = −2
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及方程的解的应用，解题的关键是先求出方程组的解，再代入含参方程求解．
先通过代入消元法解已知方程组，得到?、?的值，再将其代入方程?−?? = 5，进而求出?的值．
【详解】解：
3? + 2? = 7①
?−? = −1② ，
由②得? = ?−1代入①，得3(?−1) + 2? = 7，解得? = 2．
把? = 2代入②，得? = 1．
代入方程?−?? = 5，得1−2? = 5，解得? = −2．
2? + 3? = 2?
【变式 01】已知关于 x，y 的方程组 3? + 2? = ? + 2 的解满足? + ? = 4，求 a 的值．
【答案】6
【分析】本题考查了加减消元法．
两方程相加得到5? + 5? = 3? + 2，把? + ? = 4代入得到3? + 2 = 20，即? = 6．
【详解】解：
3? + 2? = ? + 2①
2? + 3? = 2?② ，
① + ②得，5? + 5? = 3? + 2，即5(? + ?) = 3? + 2
把? + ? = 4代入，得20 = 3? + 2，
∴? = 6．
【变式 02】是否存在一个数?，使关于 x，y 的方程组
? + ? = 2? + 1
2? + 3? = 5? 的解满足?−2? + 1 = 0？若存在，求?
的值；若不存在，说明理由．
【答案】存在，? = 8
? = ? + 3? = ? + 3
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出 ? = ?−2 ，再把 ? = ?−2 ，代入
?−2? + 1 = 0中得到关于 a 的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：解方程组
? + ? = 2? + 1 2? + 3? = 5? 得
? = ? + 3
? = ?−2 ，
? = ? + 3
将 ? = ?−2 代入?−2? + 1 = 0，得? + 3−2(?−2) +1 = 0
解得? = 8，
∴当? = 8时，方程组的解满足?−2? + 1 = 0．
【变式 03】二元一次方程组
3? + 2? = ? + 3
2?−? = 2?−1 的解互为相反数，求 m 的值．
【答案】? = −10
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据方程组的解互为相反数，得到? = −?，代入方程组计算即可求出 m 的值．
【详解】解：根据题意得：? + ? = 0，即? = −?，
代入方程组得：
3? + 2(−?) = ? + 3
2?−(−?) = 2?−1 ，
? = ? + 3
整理得 3? = 2?−1 ，
可得3? + 9 = 2?−1，解得：? = −10．
【变式 04】已知关于?，?的方程组
2? + ? = 3
?−?? = 4 与
3?−2? = 1
??−? = 2 的解相同，求??的值．
【答案】?? = −9
【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组解的定义是解决问题的关键．根据方程组解的相同，可得新的方程组，求出?、?，再把?、?的值代入含有?、?的方程中求出?、?，即可解决问题.
【详解】解： ∵ 关于?，?的方程组
2? + ? = 3
?−?? = 4 与
3?−2? = 1
??−? = 2 的解相同，
2? + ? = 3①
∴ 联立 3?−2? = 1② ，
① × 2 + ②得：2(2? + ?) +3?−2? = 3 × 2 + 1，解得：? = 1，
将? = 1代入2? + ? = 3中，得到? = 1，
把? = 1，? = 1分别代入?−?? = 4，??−? = 2，解得：? = −3，? = 3，
∴ ?? = −3 × 3 = −9．
【变式 05】甲、乙两人共同解方程组
?? + 5? = 15①
4?−?? = −2② ，由于甲看错了方程①中的?，得到方程组的解为：
? = −3
? = 5
2024
12024
−
? = −1 乙看错了方程②中的?，得到方程组解为 ? = 4 ；试计算：?10 ?
【答案】0
的值．
? = −3
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，代数式求值，根据题意可得 ? = −1 满足方程②，
? = 5
? = 4 满足方程①，据此求出 a、b 的值，最后代值计算即可．
? = −3
【详解】解：将 ? = −1 代入4?−?? = −2，得−12 + ? = −2，
解得? = 10，
? = 5
将 ? = 4 代入?? + 5? = 15，得5? + 20 = 15，
解得? = −1，
∴原式 = ?2024
−
2024
1
10
?
= 1−1 = 0
题型八 含参数的一元一次不等式（组）求解
−? ≥ −2
【典例 01】（2025·河南·模拟预测）关于?的一元一次不等式组 ? + ? > 1 的解集在数轴上的表示如图所示，
则?的值为（ ）
A．−2B．2C．−1D．3
【答案】B
【分析】本题考查解不等式，在数轴上表示不等式组的解集，根据不等式组的解集求参数，能根据数轴求出不等式组的解集是解此题的关键．
先求不等式组中每一个不等式的解集，再根据数轴得出不等式组的解集，由解集建立源于 m 的方程求解即
可．
−? ≥ −2①
【详解】解： ? + ? > 1② ，
解不等式①，得? ≤ 2；
解不等式②，得? > 1−?．
由数轴上的解集可得−1 < ? ≤ 2，
∴ 1−? = −1，
∴ ? = 2，故选：B．
? < ? + 2
【变式 01】（2025·广东深圳·三模）若关于?的不等式组3?−1 < 8 的解集为? < 3，则?的取值范围是
（ ）
A．? ≥ 3B．? ≤ 3C．? ≥ 1D．? ≤ 1
【答案】C
【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集，得到关于?的不等式，进行求解即可．
3?−1 < 8? < 3
【详解】解：解 ? < ? + 2 ，得： ? < ? + 2 ，
3?−1 < 8
∵不等式组 ? < ? + 2 的解集为? < 3，
∴? + 2 ≥ 3，
∴? ≥ 1；故选 C．
?−? > 2
【变式 02】若关于?的不等式组 ?−2? < −1 无解，则?的取值范围是（ ）
A．? < 3B．? > −3C．? ≤ 3D．? ≥ −3
【答案】C
【分析】本题考查的是不等式组含参数问题．首先分别解两个不等式，然后根据不等式组无解得到
2 + ? ≥ 2?−1，进而求解即可．
?−? > 2①
【详解】解： ?−2? < −1②
解不等式①得? > 2 + ?， 解不等式②得，? < 2?−1，
?−? > 2
∵ 不等式组 ?−2? < −1 无解，
∴ 2 + ? ≥ 2?−1，解得? ≤ 3，
故选：C．
?−? ≥ ??
【变式 03】已知关于 x 的不等式组 2?−? ≤ 2? + 1 的解集是3 ≤ ? ≤ 5，则?的值是（ ）
A．−2B． 1
C．−4D．2
−
2
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和二元一次方程组的解法，先分别解不等式，再根据“同 大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”求出不等式组的解集，因为题目告知不等式组解集，即可求出答案．
?−? ≥ ?
【详解】解： 2?−? ≤ 2? + 1 ，
由①得：? ≥ ? + ?，
由②得：2? ≤ 2? + 1 + ?，
? ≤
2?+1+?
2，
∴此不等式组的解集为：? + ? ≤ ? ≤
2?+1+?
2，
由题可知：此不等式组的解集为：3 ≤ ? ≤ 5，
? + ? = 3
2?+1+? = 5
2
∴，
解得：
? = −3
? = 6 ，
∴?
?
= −2．
故选：A
? < 1
【变式 04】（2026·河南周口·一模）关于?的不等式组 ? ≥ ? ，恰好有两个整数解，则?的取值范围是．
【答案】−2 < ? ≤ −1
? < 1
【详解】解：关于?的不等式组 ? ≥ ? 的解集为? ≤ ? < 1，
∵ 不等式组恰好有两个整数解，
∴ 这两个整数解为0、−1，
∴ −2 < ? ≤ −1
【变式 05】（2025·四川绵阳·二模）不等式组 3? > 2?−1 的整数解均满足不等式组?−6 < ? ≤ ?，则?的取
2? + 3 ≤ 55
值范围是．
【答案】1 ≤ ? < 6
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于 a 的不等式组即可解决问题．
【详解】解：解不等式3? > 2?−1得，? > −1；解不等式2? + 3 ≤ 5得，? ≤ 1，
所以不等式组的解集为：−1 < ? ≤ 1，则此不等式组的整数解为 0，1．
?−6
又因为此不等式组的整数解均满足不等式组 5 < ? ≤ ?，
?−6 −5
C．? > −5且? ≠ 1D．? > −2且? ≠ 0
【答案】C
【分析】先解分式方程得到 x 关于 m 的表达式，再根据解为正数且分母不为零列不等式求解即可．
? 2?−3
【详解】解：方程为+= 1，
?
变形得
2?−3
?−2
2−?
?−2− ?−2 = 1，
去分母得，?−(2?−3) = ?−2，
解得：? =
?+5
3 ，
∵分式方程的分母不能为 0，
?+5
∴? ≠ 2，即 3 ≠ 2，解得? ≠ 1，
∵方程的解是正数，
?+5
∴? > 0，即 3 > 0，解得? > −5，
综上，实数 m 的取值范围是? > −5且? ≠ 1．
2? + 5? = 3?
【变式 01】（2025·广东广州·二模）若关于 x、y 的方程组 ?−3? = 2 + ? 的解满足3? + 2? > 7，则整数 m
的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得3? + 2? = 4? + 2，再根据方程组解的情况得到关于?的不等式，求最小整数解即可．
2? + 5? = 3?①
【详解】解： ?−3? = 2 + ?② ，
由① + ②得：3? + 2? = 4? + 2，
∵ 方程组的解满足3? + 2? > 7，
∴ 4? + 2 > 7，
5
解得：? > 4，
∴ 整数 m 的最小值为 2，
故选：B．
【变式 02】（2025·四川泸州·二模）若关于 x 的分式方程 3 = ? −2的解为正数，且关于 x 的一元一次不
?−1?−1
等式组 ?−4 ≤ 0
2?−3 ≥ ?
有解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（ ）
A．6B．9C．11D．14
【答案】C
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，根据不等式组的解集的情况求参数的值：首先解分式方程，得到解的条件为? > 1且? ≠ 3；再解不等式组，得到? ≤ 5．综合条件得?的取值范围为1 < ? ≤ 5且
? ≠ 3的整数，求和即可．
3 ?
【详解】解：=−2
?−1?−1
2 ．
两边同乘(?−1)得：3 = ?−2(?−1)，整理得? = ?−1
∵分式方程的解为正数：
∴?−1 > 0，
2
∴? > 1，
∵分母不为零，
∴?−1 ≠ 1，
2
∴? ≠ 3；
?−4 ≤ 0
解 2?−3 ≥ ? ，得：
?−4 ≤ 0
? ≤ 4
? ≥ ?+3
2
∵不等式组 2?−3 ≥ ? 有解，
∴?+3 ≤ 4，
2
∴? ≤ 5，
综上：1 < ? ≤ 5且? ≠ 3，
∴整数?为2,4,5，2 + 4 + 5 = 11；故选 C
? < 3?
? −4
【变式 03】（2025·甘肃酒泉·二模）若?是不等式组 5? > ? + 4 的整数解，解关于?的分式方程 2+1 =
?
?−2．
【答案】? = −1
【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
由不等式组有解，确定出 m 的范围，继而求出? = 2，将? = 2代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出 x 的值并检验即可．
【详解】解：不等式组整理得
? < 3
? > 1 ，
解得
1 < ? < 3，
∵m 为整数，
∴? = 2，
?
? −4
将? = 2代入 2
?
+1 = ?−2，得
2?
?2−4 +1 = ?−2，
去分母得
2 + ?2−4 = ?2 +2?，解得
? = −1，
经检验，? = −1是分式方程的解．
【变式 04】（2024·湖北荆州·三模）已知二元一次方程组
? + ? = 3? + 9
?−? = 5? + 1 的解?、?均是非负数，求?的取值
范围．
【答案】 5
− ≤ ? ≤ 4
4
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式组的应用，解题的能求出关于 a 的不等式组．把 a 当作已知数求出方程组的解，根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
? + ? = 3? + 9①
?−? = 5? + 1②
① + ②得：2? = 8? + 10，
? = 4? + 5，
①−②得：2? = −2? + 8，
? = −? + 4，
∵关于 x、y 的方程组
? + ? = 3? + 9
?−? = 5? + 1 的解?、?均是非负数，
4? + 5 ≥ 0
∴ −? + 4 ≥ 0 ，
−
解得： 5
4
≤ ? ≤ 4．
2? + ? = ?−4
【变式 05】（24-25 七年级下·安徽亳州·月考）已知方程组 ?−? = 2? + 1 的解满足−4 < ? + 2? ≤ 0，求 a
的取值范围．
【答案】−5 ≤ ? < −1
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，熟练掌握相关解法是解题的关键．由二元一次方程组可知? + 2? = −?−5，进而根据−4 < ? + 2? ≤ 0求解即可．
2? + ? = ?−4①
【详解】解： ?−? = 2? + 1②
①−②得? + 2? = −?−5，
∵−4 < ? + 2? ≤ 0，
∴−4 < −?−5 ≤ 0，解得−5 ≤ ? < −1．
题型十 方程与不等式计算过程的辨析、找错与改错
【典例 01】（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程 ? −?−3 = 1过程如下：
?−2 2−?
你认为小丁的解法，小迪的解法；（均选填“正确”或“错误”）
请写出你的解答过程．
【答案】(1)错误，错误
(2)? = 1，过程见解析
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．
根据解分式方程的步骤进行判断即可；
根据解分式方程的步骤进行求解即可．
【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误，故答案为：错误，错误；
（2）解： ? −?−3 = 1
?−2 2−?
? + (?−3) = ?−2
? + ?−3 = ?−2
? = 1
小丁：
小迪：
解：去分母，得?−(?−3)
= ?−2
去括号，得?−? + 3 = ?−2合并同类项，得3 = ?−2 解得? = 5
∴ 原方程的解是? = 5
解：去分母，得? + (?−3) = 1
去括号得? + ?−3 = 1
合并同类项得2?−3 = 1
解得? = 2
经检验，? = 2是方程的增根，原方程无解
经检验，当? = 1时，?−2 = −1 ≠ 0，
∴? = 1是分式方程的解．
【变式 01】（2025·贵州毕节·一模）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
4?−13
6 −? < −2．
解：4?−1−? < −9，第一步
4?−? < −9 + 1，第二步
3? < −8，第三步
8
? < −3．第四步
任务：以上解题过程中，从第步开始出错，请写出正确的解题过程．
【答案】一；见解析
【分析】小明同学的错误在于去分母时，不等式左边的−?这一项没有乘以分母6，正确的做法是先去分母，再移项、合并同类项，最后将系数化为1来求解不等式．
【详解】解：任务：解题过程中，从第一步开始出错，故答案为：一；
正确的解题过程如下：解：4?−1−6? < −9， 4?−6? < −9 + 1，
−2? < −8，
? > 4．
【变式 02】（2025 广东·中考真题）在解分式方程1−? = 1 −2 时，小李的解法如下：
第一步：•（x﹣2） = −•（x﹣2）﹣2，
1−?
1
?−2?−2
第二步：1﹣x＝﹣1﹣2， 第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1，第四步：x＝4．
第五步：检验：当 x＝4 时，x﹣2≠0．
第六步：∴原分式方程的解为 x＝4．
?−22−?
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
【分析】先判断去分母是那步，说明依据，再解分式方程得结论．
【解答】解：小李的解法中，第一步是去分母；去分母的依据是：等式的基本性质；
小李的解答过程不正确；正确的解答过程：
1−?
=
?−2
1
2−?
−2，
1−?
去分母，得
1
（x﹣2） = −
（x﹣2）﹣2（x﹣2），整理，得 1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
?−2
移项并合并，得 x＝2．
检验：当 x＝2 时，x﹣2＝0．
∴原分式方程无解．
?−2
【点评】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
?−? = 4①
【变式 03】下面是两位同学解方程组 3? + 2? = 7② 的做法，
请认真阅读并完成下面的问题．
(1)芊芊的消元方法是；浩浩的消元方法是．
(2)判断（选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答．
【答案】(1)代入消元法；加减消元法
? = 3
(2)浩浩； ? = −1 ，见解析
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
由加减消元法和代入消元法的步骤判断即可；
浩浩的做法中，由① × 2 得2?−2? = 4③，错了．由加减消元法和代入消元法的步骤分别求解即可．
芊芊的做法如下：
由方程①得? = ?−4③
将方程③代入②得3? + 2
(?−4) = 7
解得? = 3
把? = 3代入③? = −1
? = 3
∴方程组的解为 ? = −1
浩浩的做法如下：
由①×2 得2?−2? = 4③
由②＋③得5? = 11
解得? = 11
5
把? = 11①得? =9
5 代入−
5
? = 11
∴方程组的解为59
? = −
5
【详解】（1）解：芊芊的消元方法是代入消元法；浩浩的消元方法是加减消元法．故答案为：代入消元法，加减消元法．
（2）解：浩浩.正确解答如下：
由① × 2 得2?−2? = 8③．由② + ③得5? = 15．
解得? = 3．
把? = 3代入①得? = −1．
? = 3
∴ 方程组的解为 ? = −1 ．
【变式 05】（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程?+1−?−3 = 1的解答过程．
23
解：去分母，得3(? + 1)−2(?−3) = 1
去括号，得3? + 1−2? + 3 = 1
移项，合并同类项，得? = −3．
(1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程；
(2)
?+1
?−3
请尝试解方程 0.2 − 0.3 = 1．
【答案】(1)有错误，见解析
(2)? = −42
5
【分析】（1）去分母的时候方程的右边没有乘上 6，去括号后，两个括号的后一项漏乘，更正后再根据解一元一次方程的基本步骤进行解题，即可作答．
（2）根据解一元一次方程的基本步骤可得答案．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
【详解】（1）解：圆圆的解答过程错误，正确的解答过程如下：
?+1 ?−3
2 − 3 = 1，
去分母，得3(? + 1)−2(?−3) = 6，去括号，得3? + 3−2? + 6 = 6， 移项，合并同类项，得? = −3；
?+1
（2
?−3
）解： 0.2 − 0.3 = 1，
5(? + 1)−
10(?−3)
3
= 1，
去分母得15(? + 1)−10(?−3) = 3，去括号得15? + 15−10? + 30 = 3，移项得15?−10? = 3−15−30，
合并同类项得5? = −42，
42
系数化 1 得? = − 5 ．
【变式 04】（2025 广东深圳模拟预测）已知关于 x 的方程3−2? + 2+?? = −1无解，求 m 的值．浩浩求 m 的
?−3
3−?
值的过程如下：
解：方程两边同乘(?−3)，得(3−2?)−(2 + ??) = 3−?，第一步
整理，得(? + 1)? = −2第二步
当? = 3时，原方程无解，此时，(? + 1) × 3 = −2，
5，因此，? = −5．第三步
? = −33
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
【答案】第三步错误，见解析
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到(? + 1)? = −2，分式方程无解有两种情况，第一种情况? + 1 = 0，第二种情况? + 1 ≠ 0，则此时原方程有增根，据此求解即可．
3−2?
【详解】解： ?−3 +
2+?? = −1
3−?
方程两边同乘(?−3)，得(3−2?)−(2 + ??) = 3−?，第一步，整理，得(? + 1)? = −2，第二步，
?+1
当? + 1 = 0，即? = −1时，此时满足原方程无解，当? + 1 ≠ 0时，? = −2 ，
∵原方程无解，
∴原方程有增根，
∴?−3 = 0，
∴? = 3，
∴3(? + 1) = −2，
5
∴? = −3；
3
综上所述，? = −1或? = −5，
∴第三步出现错误．
题型十二 一元二次方程根的判别式与根与系数关系
【典例 01】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于 x 的一元二次方程?2 + (?−4)?−4? = 0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)当? = −2时，直接写出该方程的根．
【答案】(1)见解析；
(2)?1 = 2,?2 = 4．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）计算该一元二次方程根的判别式，并结合完全平方公式进行整理，即可解题；
（2）将? = −2代入一元二次方程进行整理，再结合因式分解法解整理后的一元二次方程即可．
【详解】（1）证明：由题知，Δ = ?2−4?? = (?−4)2−4 × 1 × (−4?)
= ?2−8? + 16 + 16?
= ?2 + 8? + 16
= (? + 4)2 ≥ 0，
∴ 该方程总有两个实数根；
（2）解：当? = −2时，关于 x 的一元二次方程为?2−6? + 8 = 0，整理得(?−2)(?−4) = 0，
则?−2 = 0或?−4 = 0，解得?1 = 2，?2 = 4．
【变式 01】（2026·安徽阜阳·一模）已知关于?的一元二次方程2?2−4? + ? = 0有两个不相等的实数根，则
?的取值范围是（ ）
A．? ≠ 0B．? < 2C．? > −2D．? < 2且? ≠ 0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式解题．
【详解】解：∵关于?的一元二次方程2?2−4? + ? = 0有两个不相等的实数根，
∴Δ = (−4)2−4 × 2·? = 16−8? > 0，
解得? < 2．
【变式 01】（2026·河北沧州·一模）已知关于?的一元二次方程(?−1)?2−2? + 2 = 0有实数根，则?的取值
范围是（ ）
A．? < 3
B．? ≤ 3
33
C．? < 且? ≠ 1D．? ≤ 且? ≠ 1
2222
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的性质，根据题意可得二次项系数不为 0 且判别式大于等于 0．
【详解】解：∵方程(?−1)?2−2? + 2 = 0是一元二次方程
∴?−1 ≠ 0
∴? ≠ 1
∵方程有实数根
∴Δ = ?2−4?? ≥ 0
其中? = ?−1，? = −2，? = 2
Δ = (−2)2−4 × (?−1) × 2 = 4−8(?−1) = 12−8? ≥ 0
解得? ≤ 3
2
3
综上，?的取值范围是? ≤ 2且? ≠ 1．
故选：D．
【变式 03】已知关于 x 的一元二次方程?2 +2?? + 2?−3 = 0．
(1)求证：无论 k 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若?1,?2为该方程的两个根，求?2 + ?2（用含 k 的代数式表示）．
12
【答案】(1)见解析
(2)4?2−4? + 6
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系．
根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案；
根据一元二次方程的根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可求出答案．
【详解】（1）证明：Δ = (2?)2−4 × 1 × (2?−3)
= 4?2−8? + 12
= 4(?−1)2 +8，
∵(?−1)2 ≥ 0，
∴4(?−1)2 +8 > 0，即Δ > 0，
∴无论 k 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
1
（2）解：∵? ,?2是关于 x 的一元二次方程?2 +2?? + 2?−3 = 0的两个根，
∴?1 + ?2 = −2?,?1?2 = 2?−3，
∴?2 + ?2 = (?1 + ?2)2−2?1?2 = (−2?)2−2(2?−3) = 4?2−4? + 6．
12
【变式 04】（2026·湖北黄石·一模）已知一元二次方程?2−2? + ? = 0有两个实数根?1，?2．
求?的取值范围．
是否存在 m 的值，使得?1 + ?2−?1?2 = 3，若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)? ≤ 1
(2)存在，? = −1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．
利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得?1 + ?2 = 2，?1?2 = ?，再由?1 + ?2−?1?2 = 3，可得关于 m
的方程，即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程?2−2? + ? = 0有两个实数根?1、?2，
∴? ≥ 0
∴(−2)2−4? ≥ 0
∴? ≤ 1；
解：存在．
∵一元二次方程?2−2? + ? = 0有两个根?1，?2，
∴?1 + ?2 = 2，?1?2 = ?，
∵?1 + ?2−?1?2 = 3，
∴2−? = 3，解得? = −1，
∵? ≤ 1，
∴? = −1．
【变式 5】（2025·四川绵阳·一模）已知关于 x 的一元二次方程?2−(2?−1)? + ?−3 = 0．
求证：无论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
的两个不相等的实数根，且满足
若? ,? 是方程?2−(2?−1)? + ?−3 = 0 1 + 1 = 3，求 k 的值．
1 2?1
?2
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
求出判别式的符号，即可得出结论；
根据根与系数之间的关系，得到?
+ ? = 2?−1,? ?
1 1
= ?−3，结合 + = 3，得到关于?的方程进行
121 2
?1?2
求解即可．
【详解】（1）证明：∵?2−(2?−1)? + ?−3 = 0，
∴Δ = (2?−1)2−4(?−3) = 4?2−8? + 13 = 4(?−1)2 +9 > 0；
∴ 无论?取何值，方程总有两个不等实根；
（2）解：由题意，?1 + ?2 = 2?−1，?1?2 = ?−3，
∴ 1
?1
1
+ ?2
= ?1+?2
?1?2
= 3，
∴?1 + ?2 = 3?1?2，
∴2?−1 = 3?−9，
∴ ? = 8．
（限时训练：25 分钟）
1．（2025·广东深圳·模拟预测）解方程：
(1)2?−19 = 7? + 6
(2)2 =6
?2?+1
【答案】(1)? = −5
(2)? = 1
【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次方程，熟知相关计算方法是解题的关键．
按照移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤求解即可；
先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可．
【详解】（1）解；2?−19 = 7? + 6
移项得：2?−7? = 19 + 6，合并同类项得：−5? = 25，系数化为 1 得：? = −5；
（2）解：2 = 6
?2?+1
两边同乘?(2? + 1)，得2(2? + 1) = 6?，整理，得4? + 2 = 6?，
移项、合并同类项，得−2? = −2，
解得? = 1．
3
?+1
2．（2025·山东滨州·一模）先化简，再求值：
−? + 1
?2−4?+4，其中
是方程
2?+1
1+?
的解．
÷?+1
?2− 3= 2
?+2
【答案】−?−2，3
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次方程，先计算分式括号里面的，然后再计算分式乘法，然后解一元一次方程求出 x，最后将 x 的值代入化简后的分式计算即可．
3
?+1
【详解】解：原式=
=−?2+4 ⋅ ?+1
−
?+1
?2−1
?+1
⋅ (?−2)2
?+1(?−2)2
=−(?+2)(?−2) ⋅ ?+1
?+1
(?−2)2
?+2
=−?−2；
由方程2−2?+1 = 1+?
? = 1．
32 ，得：
∴原式 = −
?+2
?−2
1+2
= −1−2
= 3．
3．（2025·山东滨州·一模）解方程：
(1)
?+1
2 −3 =
5?−1
4 ；
(2)?2 +7?−8 = 0．
【答案】(1)? = −3
(2)?1 = −8，?2 = 1
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题的关键；
根据去分母，取括号移项合并同类项，化系数为 1 的步骤解一元一次方程，即可求解．
根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：?+1−3 = 5?−1
24
去分母：方程两边同乘 4，得2(? + 1)−12 = 5?−1
去括号得：2? + 2−12 = 5?−1
移项：2?−5? = −1 + 10
−3? = 9
化系数为 1，? = −3
（2）解：?2 +7?−8 = 0
∴(? + 8)(?−1) = 0
? + 8 = 0或 ?−1 = 0
解得：?1 = −8，?2 = 1
4．（2026 九年级上·江苏·专题练习）按要求完成下列各题：
(1)解方程：?2−6?−2 = 0；
? > ?−2
(2)解不等式组：
2
4?−3 < 6 + ?
，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)?1 = 3 + 11，?2 = 3− 11；
(2)−2 < ? < 3，数轴见解析
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，正确掌握求解方法是解题关键．
利用配方法求解即可；
先求出各个不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：?2−6?−2 = 0
?2−6? = 2
?2−6? + 9 = 2 + 9，
(?−3)2 = 11，
∴?−3 =± 11，
∴?1 = 3 + 11，?2 = 3− 11；
? > ?−2 ①
，
（2）解：
2
4?−3 < 6 + ?②
解不等式①得：? > −2，解不等式②得：? < 3，
∴不等式组的解集为：−2 < ? < 3，在数轴上表示如下：
5．（2025·江苏常州·模拟预测）解方程组和不等式组：
(1)
?−? = 4 4? + 2? = −1
−3(?−2) ≥ 4−?
(2)
1+2? > ?−1
3
6
? = 7
【答案】(1) ? = − 17
6
(2)? ≤ 1
【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组；
解二元一次方程组的指导思想是消元即减少未知数的个数，根据不同的情况选择合适的消元方法，一般采用加减消元法；
解一元一次不等式组时，先求出每个不等式的解集，然后找到解集的公共部分，即为不等式组的解集.
?−? = 4①
【详解】（1）解： 4? + 2? = −1 ②，
① × 2 + ②，得：6? = 7，
7
解得：? = 6，
77
将? = 6代入①，得：6−? = 4，
17
解得：? = − 6 ，
? = 7
6
故方程组的解为： ? = − 17 .
6
−3(?−2) ≥ 4−?①
（2）解：
1+2? > ?−1② ，
3
解不等式①，去括号：−3? + 6 ≥ 4−?
移项合并：−2? ≥ −2
系数化为 1：? ≤ 1；
解不等式②，去分母：1 + 2? > 3?−3
移项合并：−? > −4系数化为 1：? < 4；同小取小
故不等式组的解集为：? ≤ 1．
6．（2025·浙江·模拟预测）解方程或方程组：
?+1
(1)2?−1 = 1；
(2)
? + ? = −1
?−? = 5
【答案】(1)? = 2
(2)
? = 2
? = −3
【分析】本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，掌握解分式方程的方法，解二元一次方程组的方法是解题的关键．
先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出 x 的值，然后检验即可；
利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：方程两边同时乘(? + 1)，得2?−1 = ? + 1，解得：? = 2，
检验：把? = 2代入? + 1 ≠ 0，
∴ 分式方程的解为? = 2；
（2）
? + ? = −1①
?−? = 5② ，
① + ②，得2? = 4，解得：? = 2，
把? = 2代入①，得2 + ? = −1，解得：? = −3，
? = 2
∴ 方程组的解为 ? = −3 ．
7．（2025·福建泉州·三模）（1）解不等式组：
2? > 3?−2
2?−1 ≥ 1 ?− 2 ；
（2?
2?
）解方程：+
= 2．
323
2?−1
?−2
【答案】（1）−2 ≤ ? < 2；（2）? = 4
5
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
先求出不等式组中每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可：
先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
2? > 3?−2①
【详解】解：（1） 2?−1 ≥ 1 ?− 2 ② ，
323
∵ 解不等式①得：? < 2，解不等式②得：? ≥ −2，
∴ 不等式组的解集为−2 ≤ ? < 2：
（2）方程两边都乘以(2?−1)(?−2)得2?(?−2) +?(2?−1) = 2(?−2)(2?−1)，
4
解得：? = 5，
5
检验：把? = 4代入(2?−1)(?−2) ≠ 0，
4
所以? = 5是原方程的解，
4
即原方程的解是? = 5．
8．（2026·江苏南京·一模）解方程：
(1)4?2−1 = 0
(2)?(?−7) = 8(7−?)
(3)3?2 = 4?−2
【答案】(1)?
= 1，? = −1；
1222
(2)?1 = −8，?2 = 7；
(3)无实数解
【分析】本题考查解一元二次方程．
先移项，再系数化为 1，最后直接开平方即可．
先移项，再利用因式分解法即可求解．
利用根的判别式可确定该方程无实数解．
【详解】（1）解：4?2−1 = 0， 4?2 = 1，
4
?2 = 1，
11
∴? = ?；
12， 2 = −2
（2）解：?(?−7) = 8(7−?)，整理得?(?−7) + 8(?−7) = 0，因式分解得(? + 8)(?−7) = 0，
∴? + 8 = 0，?−7 = 0，
∴?1 = −8，?2 = 7；
（3）解：3?2 = 4?−2，整理得3?2−4? + 2 = 0，
? = 3，? = −4，? = 2，
∵Δ = ?2−4?? = (−4)2−4 × 3 × 2 = −8 < 0，
∴该方程无实数解．
?+1
9．（2025·河北唐山·二模）在解关于?的方程 2 −2? = ?时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的 m
2
乘公分母，求出方程的解为? = 3．
求出 m 的值；
写出正确的求解过程．
【答案】(1)? = −1
(2)? = 1，见解析
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键．
将错就错，把 x 的值代入小亮去分母出错的方程求出 m 的值即可；
由题意直接把 m 的值代入方程计算即可求出解．
【详解】（1）解：由题可知，? + 1−4? = ?，即1−3? = ?，
2
∵? = 3，
∴? = −1；
?+1
（2）由（1）可知，原方程为 2 −2? = −1，
去分母，得? + 1−4? = −2，
移项、合并同类项，得−3? = −3，系数化为 1，得? = 1．
10．（2025·四川南充·一模）关于 x 的一元二次方程?2 +2?? + 2?−1 = 0．
(1)判断方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程有一个根不小于 3，求 k 的取值范围．
【答案】(1)方程总有两个实数根，理由见解析
(2)? ≤ −1
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和性质．结合二次函数的单调性，求解参数的取值范围是解题关键
计算判别式Δ，据此判断方程实数根个数；
先求出方程的根，再结合“根不小于 3”的条件，确定参数的范围．
【详解】（1）解： ∵ Δ = (2?)2−4 × 1 × (2?−1) = 4?2−8? + 4 = 4(?−1)2 ≥ 0，
∴ 方程总有两个实数根．
−2?± 4(?−1)2，
2×1
（2）解：
∵ ? =
∴ ?1 = −1，?2 = −2? + 1，
∵ 方程有一个根不小于 3，
∴ −2? + 1 ≥ 3，
∴ ? ≤ −1．
答：k 的取值范围为? ≤ −1．
11．（2026·河北张家口·一模）已知关于 x 的一元二次方程?2 + (?−3)?−7 = 0．
(1)当? = 9时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下：
当? = 9时，?2 +6?−7 = 0．第一步
移项，得?2 +6? = −7，第二步
配方，得?2 +6? + 32 = −7 + 32，即(? + 3)2 = 2，第三步
由此可得，? + 3 =± 2，第四步
∴?1 = −3 + 2，?2 = −3− 2．第五步
请指出嘉嘉在第步出现了错误，并写出正确的解答过程；
(2)若方程的两个实数根分别是?1和?2，且?1 + ?2−2?1?2 = 20，求?的值．
【答案】(1)二，见解析
(2)−3
【分析】（1）根据配方法计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系解题即可．
【详解】（1）解：在第二步出现了错误；正确的解答过程如下：当? = 9时，?2 +6?−7 = 0，
移项，得?2 +6? = 7，
配方，得?2 +6? + 32 = 7 + 32，即(? + 3)2 = 16，由此可得，? + 3 =± 4，
∴?1 = 1，?2 = −7；
（2）解：由题意知，? = (?−3)2−4 × 1 × (−7) = ?2−6? + 37 > 0，
∵?1 + ?2 = −(?−3) = −? + 3，?1?2 = −7，
∴−? + 3−2 × (−7) = 20，
解得? = −3，
代入判别式? = ?2−6? + 37 = 64 > 0成立，
∴? = −3．
12．（2025·山东淄博·一模）已知关于?，?的二元一次方程组
(1)若5?＋3? = 4，求?的值；
若?，?均为非负数，求?的取值范围；
3? + 2? = ? + 1
2? + ? = ?−1 ．
(3)已知? = ?−? + ?，在（2）的条件下，求?的最大值和最小值．
【答案】(1)2
(2)3 ≤ ? ≤ 5
?的最大值7，?的最小值1
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，整式的加减及一次函数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先求出5? + 3? = 2?，得到2? = 4，求解即可；
? = ?−3
（2）解方程组得到 ? = 5−? ，得到?−3 ≥ 0，且5−? ≥ 0，计算即可得到答案；
（3）求出? = ?−? + ? = ?−3 + ?−5 + ? = 3?−8，根据一次函数的性质求得?的最大值
= 3 × 5−8 = 7，?的最小值 = 3 × 3−8 = 1．
【详解】（1）解：关于?，?的二元一次方程组
3? + 2? = ? + 1①
2? + ? = ?−1② ，
将①＋②，得5? + 3? = 2?，
∵ 5?＋3? = 4，
∴ 2? = 4，
∴ ? = 2；
3? + 2? = ? + 1? = ?−3
解：解关于?，?的二元一次方程组
∵ ?，?均为非负数，
∴ ?−3 ≥ 0，且5−? ≥ 0，
∴ ?的取值范围为3 ≤ ? ≤ 5；
2? + ? = ?−1 ，得 ? = 5−?
? = ?−3
解： ? = 5−? ，
∴ ? = ?−? + ? = ?−3 + ?−5 + ? = 3?−8，
∵3 > 0，
∴ ?随着?的增大而增大，
∵ 3 ≤ ? ≤ 5，
∴ ?的最大值 = 3 × 5−8 = 7，?的最小值 = 3 × 3−8 = 1．