2026年中考数学二轮复习 高频考点04 方程(组)和不等式(组)含参问题专练14大题型

这是一份2026年中考数学二轮复习 高频考点04 方程(组)和不等式(组)含参问题专练14大题型，共7页。试卷主要包含了二元一次方程含参问题，一元一次不等式含参数问题，分式方程含参数问题，一元二次方程含参数问题等内容，欢迎下载使用。
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考点一 二元一次方程（组）含参问题
考点二 一元一次不等式（组）含参数问题
命题 1 构造二元一次方程求参数
命题 2 已知二元一次方程组解的情况求参数
命题 3 二元一次方程组同解问题
命题 4 已知二元一次方程的解求参数
命题 1 已知不等式组整数解的个数求参数取值范围
命题 2 已知不等式的解集求参数的值
命题 3 已知不等式有（无）解求参数取值范围
命题 4 不等式组与方程组综合
命题 5 不等式组与分式方程综合
考点三 分式方程含参数问题
考点四 一元二次方程含参数问题
命题 1 已知分式方程解的正负求参数的取值范围
命题 2 已知分式方程增根或无解求参数取值范围
命题 1 根与系数的关系综合求解
命题 2 利用根与系数的关系求参数
命题 3 根的判别式求参数的取值范围
考点
考向
命题特征
二元一次方程组含参数问题
已知方程组的解满足特定条件（如解为正数/非负数、解相等、解互为相反数），求参数的取值范围；
已知方程组的解满足某一不等式/方程，求参数的值；
含参数方程组的整数解问题，求参数的整数值；
含参数方程组的解的个数问题（无解、无数解、唯一解），求参数的值；
含参数方程组与不等式（组）结合，
求参数的取值范围。
全国中考核心中档考点，以选择题、填空题、解答题形式考查，分值 4~10 分，属基础区分/中档拉分题；
常结合不等式（组）、整数解等知识点综合命题，侧重代数运算与逻辑推理；
重点考查消元法解方程组、不等式（组）求解、参数范围的分类讨论与取舍；
渗透转化思想、分类讨论思想，是全国中考代数综合的高频基础题型。
一元一次不等式
已知不等式（组）的解集，求参数的值；
已知不等式（组）有解/无解/有特
全国中考核心中档/压轴考点，以选择题、填空题、解答题形式考查，分值 4~12 分，属区分度较高的题型；
常结合数轴、整数解、方程（组）等知识点综合命
（组）含参数问题
定整数解，求参数的取值范围；3. 已知不等式（组）的解集满足特定条件
（如解集为某一范围、所有解都满足另一不等式），求参数的取值范围；
含参数不等式（组）与方程（组）结合，求参数的取值范围；
含参数不等式（组）的最值问题，
求参数的取值。
题，侧重数形结合与分类讨论；
重点考查不等式（组）的求解、解集的公共部分分析、参数端点值的取舍判断；
渗透数形结合思想、分类讨论思想，是全国中考代数综合的高频压轴题型，易错点集中在端点等号的取舍。
分式方程含参数问题
已知分式方程的解为正数/非负数
/特定值，求参数的取值范围；
已知分式方程无解/有增根，求参数的值；
已知分式方程的解满足某一不等式，求参数的取值范围；
含参数分式方程与不等式（组）结合，求参数的取值范围；
含参数分式方程的整数解问题，求
参数的整数值。
全国中考核心中档考点，以选择题、填空题、解答题形式考查，分值 4~10 分，属基础区分/中档拉分题；
常结合增根、无解、整数解、不等式（组）等知识点综合命题，侧重代数运算与逻辑推理；
重点考查分式方程去分母化整式方程、增根的检验、参数范围的分类讨论与取舍；
渗透转化思想、分类讨论思想，是全国中考代数综合的高频易错题型，核心易错点为漏验增根。
一元二次方程含参数问题
已知方程根的情况（有两个实数根、无实数根、有两个相等/不等实数根），求参数的取值范围；
已知方程的根满足特定条件（如根为正数/非负数、两根互为相反数/倒数、两根之和/之积满足某一关系），求参数的取值范围；
含参数一元二次方程的整数根问题，求参数的整数值；
含参数一元二次方程与不等式
（组）、函数结合，求参数的取值范围；
已知方程的一个根，求参数的值及
另一个根
全国中考核心中档/压轴考点，以选择题、填空题、解答题形式考查，分值 4~14 分，属区分度较高的题型；
常结合根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）、不等式（组）、函数等知识点综合命题，侧重代数运算与逻辑推理；
重点考查根的判别式计算、韦达定理的应用、参数范围的分类讨论与取舍；
渗透转化思想、分类讨论思想、数形结合思想，是全国中考代数综合的高频压轴题型，易错点集中在忽略二次项系数不为 0 的隐含条件。
考点一 二元一次方程（组）含参问题
《解题指南》
步骤 1：审题建模，梳理条件关系
通读题目，圈画核心关键词(如“解为正数/非负数、整数解、无解/无数解、解满足某不等式”等)，明确参数(通常设为 m、k)与未知数 x，y 的关系，梳理出题目对解的限制条件，判断属于哪类含参模型(解的正负性、整数解、解的个数等)。
步骤 2：规范消元，用参数表示解
①消元求解：用加减消元法(优先，系数成倍数时)或代入消元法(系数为 1 时),将二元一次方程组转化为一元
一次方程，把 x,y 用含参数的代数式表示，即 ? = ?(?) ;
? = ?(?)
②检验消元：将含参的解代回原方程组，验证等式成立，避免消元时符号、计算错误；
③明确隐含条件：若涉及分式、分母，需标注参数的取值限制(如分母不为 0)。步骤 3：结合条件，列方程/不等式求解（下面是常见题型）
①已知解的正负/非负性求参数的取值范围
②已知整数解求参数的取值范围
③已知解的个数(无解/无数解/唯一解)求参数
④解满足某一方程/不等式求参数取值步骤 4：双重检验，规范作答
①条件检验：将求出的参数值/范围，代回原方程组，验证解是否满足题目所有限制条件（如整数、正数、无解等）；
实际检验：检查参数取值是否符合实际意义（如参数为整数、系数不为 0 等），舍去不符合的解；
规范作答：完整写出参数的取值范围/整数值，标注清晰，带必要的说明。
命题点 01 构造二元一次方程求参数
【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若2? = 4?+1，27? = 3?+1，则?−?的值为（ ）
A．1B．−1C．5D．−5
【答案】C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据幂的乘方运算法则，将2? = 4?+1，27? = 3?+1分别变形为2? = 22?+2，33? = 3?+1，从而得出二元一次方
程组： ? = 2? + 2 ，解二元一次方程组，得出 m、n 的值，最后代入代数式，求出结果即可．
【详解】解： ∵ 2? = 4?+1，27? = 3?+1，
3? = ? + 1
∴ 2? = (22)?+1 = 22?+2，(33)? = 33? = 3?+1，
3? = ? + 1
∴ ? = 2? + 2 ，
? = 8
解得： ? = 3 ，
∴ ?−? = 8−3 = 5．故选：C．
【变式 1】（2025·湖南株洲·模拟预测）对?、?定义一种新运算?，规定：?(?,?) = ??? + ??−4(其中?、?均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算．例如：?(0,1) = ? × 0 × 1 + ? × 0−4 = −4，若?(3,1)
= 11，?(−1,3) = −13，则下列结论错误的是（ ）
A．? = 2，? = 3
B．若无论?取何值时，?(??,?)的值均不变，则3
? = −
2
C．若?(?,?) = 0，则?、?有且仅有2组整数解
D．若?(??,?) = ?(??,?)对任意有理数?、?都成立，则? = 0
【答案】B
【分析】根据新定义，运用二元一次方程组和有理数的运算计算即可．
本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、由题意，得 −3?−?−4 = −13 ，
3? + 3?−4 = 11
解得： ? = 3 ，故选项 A 正确；
B、?(??,?) = 2??? + 3??−4 = ??(2? + 3)−4，
? = 2
∵ 若?(??,?)始终不变，则有2种情况：
①2? + 3 = 0，则? = −2，
②? = 0，?少考虑一种情况，故选项 B 错误；
3
C． ∵ ?(?,?) = 0，
∴ 2?? + 3?−4 = 0，
∴ ? = 2?+3，
当?为整数时，2? + 3 =± 1， ± 2， ± 4，
4
当2? + 3 = −1时，
D．当?(??,?) = ?(??,?)时，则2??? + 3??−4 = 2??? + 3??−4，
∴ 2??? + 3??−4−2???−3?? + 4 = 0，
∴ 3??−3?? = 0，即3?(?−?) = 0，
∵ ?(??,?) = ?(??,?)对任意有理数?，?都成立，
∴ ? = 0，故选项 D 正确．故选：B．
1
解得：? = 2，不符合题意，
综上所述，?，?有且仅有2组整数解，故选项 C 正确；
7
解得：? = −2，不符合题意；
当2? + 3 = 4时，
1
解得：? = −2，不符合题意；
当2? + 3 = −4时，
5
解得：? = −2，不符合题意；
当2? + 3 = 2时，
当2? + 3 = −2时，
= 4，符合题意；
4
2×(−1)+3
∴ ? =
当2? + 3 = 1时，
解得：? = −1，
= −4，符合题意；
4
2×(−2)+3
∴ ? =
解得：? = −2，
【变式 2】（2025·河北邯郸·一模）已知?，?都是实数，观察表中的运算，则?的值为（ ）
A．21B．−21C．40D．−56
【答案】D
【分析】本题考查解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值．根据题意先得出? = 2，? = −5，后将
?,?的运算
? + ?
?−?
?2 + ??−2?2
运算的结果
−3
7
?
代入?2 +??−2?2中即可得到本题答案．
【详解】解：∵?−? = 7，? + ? = −3，
∴? = 2，? = −5，
∴将? = 2，? = −5代入?2 +??−2?2得? = −56，故选：D．
【答案】−15
【分析】本题考查代数式求值，解方程组，当? = 1时，得到? + ? + ? + ? + ? = 1①，当? = −1时，得到
?−? + ?−? + ? = 31②，然后①−②求解即可．
【详解】解：当? = 1时，0 = ? + ? + ? + ? + ? + ?，
∵? = −1，
∴? + ? + ? + ? + ? = 1①，
当? = −1时，−32 = −? + ?−? + ?−?−1，
∴?−? + ?−? + ? = 31②，
①−②，得：2? + 2? = −30，
∴? + ? = −15．故答案为：−15．
【变式 3】（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知(?−1)5 = ??5 +??4 +??3 +??2 +?? + ?，若赋值? = 0．得到(−1)5 = −1 = ?，尝试给 x 赋不同的值，可得? + ?的值为 ．
命题点 02 已知二元一次方程组解的情况求参数
【典例】（2026·山东枣庄·一模）若关于x，y 的方程组
3? + 2? = 2?−5
2? + 3? = 3? 的解满足? + ? = 3，则k 的值为．
【答案】4
【分析】将两个方程相加，可得5? + 5? = 5?−5，结合? + ? = 3列出关于 k 的方程，即可求解．
3? + 2? = 2?−5①
【详解】解： 2? + 3? = 3?②
① + ②得，5? + 5? = 5?−5，
∴ ? + ? = ?−1，
∵ ? + ? = 3，
∴ ?−1 = 3，
∴ ? = 4．
? + ? = 3−?
【变式 1】（2026·河南商丘·一模）若关于?，?的二元一次方程组 ?−? = 1−3? 的解都为正数，则?的取值
范围为．
【答案】−1 < ? < 1
【分析】先解二元一次方程组，得出? = 2−2?，? = 1 + ?，根据方程组的解都为正数，得出关于?的不等式组，解不等式组即可求解．
? + ? = 3−?①
【详解】解： ?−? = 1−3?②
① + ②得：2? = 4−4?，解得 ? = 2−2?
①−②得：2? = 2 + 2?，解得 ? = 1 + ?
因为?、?都为正数，所以： 2−2? > 0
1 + ? > 0
解得：−1 < ? < 1
【答案】? = −2
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及方程的解的应用，解题的关键是先求出方程组的解，再代入含参方程求解．
先通过代入消元法解已知方程组，得到?、?的值，再将其代入方程?−?? = 5，进而求出?的值．
3? + 2? = 7①
【详解】解： ?−? = −1② ，
由②得? = ?−1代入①，得3(?−1) + 2? = 7，解得? = 2．
把? = 2代入②，得? = 1．
代入方程?−?? = 5，得1−2? = 5，解得? = −2．
【变式 2】（2025·广东中山·模拟预测）已知方程组求?的值．
3? + 2? = 7
?−? = −1 的解也是关于?,?的方程?−?? = 5的一个解，
命题点 03 二元一次方程组同解问题
? = 2
? = 1
【典例】（2025·贵州铜仁·三模）若关于 x，y 的方程组 ?? + ?? = 1 与 ?? + ?? = −7 有相同的解，则? + ?
的值为（ ）
A．−5B．−1C．3D．−2
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为? = 2和? = 1，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于?和?的方程组，通过加减消元法直接求解? + ?的值．
? = 2
【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为 ? = 1 ，
将? = 2,? = 1代入第一个方程组的?? + ?? = 1，得：2? + ? = 1①，代入第二个方程组的?? + ?? = −7，得：2? + ? = −7②，
将①和②相加：(2? + ?) + (2? + ?) = 1 + (−7)，整理得：3? + 3? = −6，
则? + ? = −2．
故选：D．
4? + ? = 32? = 5 + 3?
【变式 1】（2024·广东·模拟预测）若关于?，?的方程组 ??−3? = −1 与 2? + 1 = ?? 有相同的解．
(1)求? + ?的值．
(2)阅读理解：我们把|? ?|称作二阶行列式，规定它的运算法则为|? ?| = ??−??．例如|2 3|
??
?2?
= 2 × 5−3 × 4 = −2，求|? + ?? |的值．
??4 5
【答案】(1)−7
(2)18
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及二阶行列式的运算，熟练掌握方程组同解问题的处理方法和二阶行列式的运算法则是解题的关键．
（1）先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含?、?的方程，求出?、?的值，进而计算? + ?．
（2）根据二阶行列式的运算法则，将? + ?、?、?、2?的值代入计算．
【详解】（1）解：∵关于?，?的方程组 ??−3? = −1 与 2? + 1 = ?? 有相同的解．
4? + ? = 3
∴ 2? = 5 + 3? ，
? = 1
解该方程组得 ? = −1 ，
∴? + 3 = −1，2 + 1 = −?，
4? + ? = 32? = 5 + 3?
解得：? = −4，? = −3
∴? + ? = −4 + (−3) = −7．
（2）解：将? = 1，? = −1，? = −4，? = −3代入
|
? + ?
?
?
2?
|，
∴
|
? + ?
?
?
2?
| =
|
−7
1
−4
−2
| = (−7) × (−2)−(−4) × 1 = 18．
2?−? = 7?−? = ?
【变式 2】（2024·湖南长沙·一模）已知方程组 ? + ? = ? 和方程组 3? + ? = 8 有相同的解，求?，?的值．
【答案】? = 2，? = 4
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用
2?−? = 7
加减消元法解方程组 3? + ? = 8 得到?、?的值，再把?、?的值代入方程组求解即可得到答案．
2?−? = 7①
【详解】解：根据题意，可有 3? + ? = 8② ，
① + ②，可得 5? = 15，解得 ? = 3，
? = 3把代入①，可得2 × 3−? = 7，解得? = −1，
? = 3
∴该方程组的解为 ? = −1 ，
∵方程组 ? + ? = ? 和方程组 3? + ? = 8 有相同的解，
∴? = 3 + (−1) = 2，? = 3−(−1) = 4．
2?−? = 7
?−? = ?
5?−2? = 3?−4? = −3
【变式 3】（2024·广东江门·一模）已知方程组 ?? + 5? = 4 与 5? + ?? = 1 有相同的解．
求 m 和 n 值，
【答案】(1) ? = −1
? = −4
(2)?△??? = 6
【分析】本题主要考查了同解方程组，解一元二次方程，解二元一次方程组，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握同解方程组的定义，求出 m、n 的值．
（1）解方程组 ?−4? = −3 得 ? = 1 ，根据同解方程组，得出方程组 5? + ?? = 1 的解为 ? = 1 ，代入求
出 m、n 的值即可；
5?−2? = 3? = 1
?? + 5? = 4
? = 1
（2）把 ? = −4 代入?2|?|−7?−3? = 0得出?2−7? + 12 = 0，解一元二次方程得出△ ???的两边长分别为
3，4，根据勾股定理逆定理得出△ ???为直角三角形，求出结果即可．
? = −1
【详解】（1）解：由方程组 ?−4? = −3 得： ? = 1 ，
5?−2? = 3
? = 1
已知 △ ???的两边??，??的长是关于 x 的一元二次方程?2|?|−7?−3? = 0的两个实数根，第三边??的长为 5，求△ ???的面积．
5?−2? = 3?−4? = −3
∵方程组 ?? + 5? = 4 与 5? + ?? = 1 有相同的解，
∴方程组 5? + ?? = 1 的解为 ? = 1 ，
? + 5 = 4
∴ 5 + ? = 1 ，
? = −1
解得： ? = −4 ；
?? + 5? = 4
? = 1
（2）解：把 ? = −4 代入关于 x 的一元二次方程?2|?|−7?−3? = 0得：?2−7? + 12 = 0，
解得：?1 = 3，?2 = 4，
? = −1
∴ △ ???的两边长分别为 3，4，
∵第三边??的长为 5，又∵32 + 42 = 52，
∴ △ ???为直角三角形，
∴?△??? = 2 × 3 × 4 = 6．
1
命题点 04 已知二元一次方程的解求参数
? = 2
【典例】（2025·广东广州·二模）若 ? = 2 是关于 x，y 的二元一次方程?−?? = 4的一组解，则 a 的值为
（ ）
−2B．−1C．1D．2
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的解．
? = 2
直接将 ? = 2 代入?−?? = 4求解即可．
? = 2
【详解】解：将 ? = 2 代入?−?? = 4得：
2−2? = 4，
解得：? = −1．故选：B．
【变式 1】（2025·安徽淮南·模拟预测）若
? = −2
? = 1 是方程2?? + ? = 5的解，则?的值为（ ）
B．−1C．2D．−2
【答案】B
【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，解题关键是理解二元一次方程的解的概念.将解代入方程，转化为关于待定字母的方程求解即可.
? = −2
【详解】解：将 ? = 1 代入2?? + ? = 5，
2? × (−2) +1 = 5，解得：? = −1，故选 B
? = 4
【变式 2】（2025·云南临沧·模拟预测）已知 ? = 3 是关于?，?的二元一次方程??−?? = 5的解，则代数式
7 + 8?−6?的值是（）
A．19B．17C．−5D．−1
【答案】B
【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．把二元一次方程的解代入方程，再利用整体代入求值即可．熟练掌握整体代入法是解题的关键．
? = 4
【详解】解：把 ? = 3 代入方程??−?? = 5，
得：4?−3? = 5，
8?−6? = 2 × （4?−3?） = 2 × 5 = 10，
∴ 7 + 8?−6? = 17．故选：B．
中考预测题
? + 2? = ? + 1
1．已知关于 x、y 的方程组 2? + ? = 2? + 5 ，若? + ? = 4，则 m 的值为（ ）
510
A．3B．2C．3D． 3
【答案】B
【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得? + ? = ? + 2，结合? + ? = 4，即可求解．
【详解】解：方程组的两个方程相加，得3? + 3? = 3? + 6，
∴? + ? = ? + 2，
∵? + ? = 4，
∴? + 2 = 4，
∴? = 2．故选：B．
2．已知满足?−2? = ?−4和3? + 2? = 3?的 x，y 也满足? + 4? = 2? + 3，那么? = （）
A．1B．2C．−1D．−2
【答案】B
【分析】本题考查了已知方程的解求参数，先解 3? + 2? = 3?② 即可用含 m 的代数式表示出 x，将 x 的值
代入方程①中便可用 m 的代数式表示出 y，把 x、y 的值代入方程? + 4? = 2? + 3中进行计算即可求出 m
?−2? = ?−4①
的值．
?−2? = ?−4①
【详解】解： 3? + 2? = 3?② ，
① + ②得：4? = 4?−4，
∴ ? = ?−1，
把? = ?−1代入①得：?−1−2? = ?−4，
解得：? = 2．
3
把? = ?−1和? = 2代入? + 4? = 2? + 3得：
?−1 + 6 = 2? + 3，
3
解得? = 2．
故选：B．
? + ? = 2?
3．已知? = ?是关于?的方程|? + 1| + |?−3| = 8的一个解，且关于?，?的二元一次方程组 2?−? = 2? + 1
的解为整数，则?的值为．
【答案】5
【分析】根据方程|? + 1| + |?−3| = 8，对?的取值范围进行分类讨论，求解出可能的?值，
? + ? = 2?
再结合 2?−? = 2? + 1 ，得出? =
4?+1
3
，将?的值代入，取使?为整数所对应的?的值即可．
【详解】解：∵? = ?是关于?的方程|? + 1| + |?−3| = 8，
由绝对值的几何意义，
|? + 1| + |?−3| = 8表示的是?所代表的数到−1和3的距离为8，当? < −1时，得−(? + 1)−(?−3) = 8，
解得? = −3，即? = −3；
当−1 ≤ ? < 3时，此时|? + 1| + |?−3| = 4，故不存在对应的?值；当3 ≤ ?时，得(? + 1) + (?−3) = 8，
解得? = 5，即? = 5；
故?的值为−3或5，
? + ? = 2? 2?−? = 2? + 1 ，
上下相加得3? = 4? + 1，
即? =，
4?+1
3
? + ? = 2?
∵方程组 2?−? = 2? + 1 的解为整数，
当? = −3时，? = 4×(−3)+1 = − ，不满足题意要求，
3
11
3
当? = 5时，? = 4×5+1 = 7，满足题意要求，
3
故?的值为5．
考点二 一元一次不等式（组）含参数问题
《解题指南》
步骤 1：审题建模，梳理条件关系
通读题目，圈画核心关键词(如“解集为? > ?、有解/无解、整数解个数、所有解满足某不等式”等),明确参数(通常设为 m、k)与未知的关系，梳理出题目对解集/整数解的限制条件，判断属于哪类含参模型(解集对应、有解无解、整数解、最值等)。
步骤 2：规范求解，用参数表示解集
①解不等式/组：
一元一次不等式：按「去分母→去括号→移项变号→合并同类项→系数化为 1」步骤求解，若系数含参数，必须分正负讨论不等号方向；
一元一次不等式组：分别解出每个不等式的解集(用参数表示)，再用数轴找公共部分，写出最终解集；
②标注隐含条件：若涉及分母、根号，需标注参数的取值限制(如分母不为 0、被开方数非负);
③检验求解：将参数的特殊值代入，验证解集的正确性，避免符号、计算错误。
步骤 3：结合条件，反推参数取值
①若已知解集对应：将参数表示的解集与题目给出的解集(如 x>3)对应，列等式求解参数，重点验证端点等号的取舍；
②若已知有解/无解：根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀，结合数轴分析公共部分，列不等式/等式求解参数；
③若已知整数解个数：先写出含参数的解集，再根据整数解的个数，确定参数的取值范围，必须验证端点
是否包含整数解；
④若解满足某一不等式：将解集的端点/范围代入目标不等式，列不等式求解参数，验证所有解均满足条件。
步骤 4：双重检验，规范作答
①条件检验：将求出的参数值/范围，代回原不等式(组),验证解集、整数解是否满足题目所有限制条件；
②实际检验：检查参数取值是否符合实际意义(如参数为整数、系数不为 0 等),舍去不符合的解；
③规范作答：完整写出参数的取值范围/整数值，标注清晰，带必要的说明(如端点是否取等)。
命题点 01 已知不等式组整数解的个数求参数取值范围
? + ? < 1
【典例】（2026·黑龙江·一模）若关于?的不等式组 1−2? ≤ 5 有 4 个整数解，则 a 的取值范围为．
【答案】−
1
≤ ? < 0
2
【分析】本题考查解一元一次不等式（组)，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一
次不等式的方法．
4−2? ≥ 0
先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组 1 ?−? > 0 恰有 3 个整数解，即可得到关于?的不
2
等式组，然后求解即可．
【详解】解：由4−2? ≥ 0，得：? ≤ 2，
由2?−? > 0，得：? > 2?，
4−2? ≥ 0
1
∵ 不等式组 1 ?−? > 0 恰有 3 个整数解，
2
∴ 这 3 个整数解是 0，1，2，
∴ −1 ≤ 2? < 0，
【变式 1】（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）关于 x 的不等式组范围是．
4−2? ≥ 0
【答案】−1 ≤ ? < 0
【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组有 4 个整数解，得到关于?的不等式组，进行求解即可.
? + ? < 1
【详解】解：解不等式组 1−2? ≤ 5 ，得
? < 1−?
? ≥ −2 ，
∵关于?的不等式组 1−2? ≤ 5 有 4 个整数解，
∴不等式组的解集为−2 ≤ ? < 1−?，整数解为−2,−1,0,1，
? + ? < 1
∴1 < 1−? ≤ 2，
∴−1 ≤ ? < 0.
1 ?−? > 0 恰有 3 个整数解，则 a 的取值
2
解得−
1
≤ ? < 0，
2
故答案为：−
1
≤ ? < 0．
2
【变式 2】（2025·云南丽江·模拟预测）若关于?的一元一次不等式组
?的取值范围是．
2? + 3 > 12
?−2? ≤ 0 恰有 2 个整数解，则实数
【答案】3 ≤ ? < 3.5
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于 a 的不等式组是解答此题的关键．
分别对于不等式组进行求解，然后根据题意确定实数 a 所满足的条件，求解即可．
【详解】解：∵ 2? + 3 > 12
?−2? ≤ 0
∴解2? + 3 > 12得：? > 4.5，
解?−2? ≤ 0得：? ≤ 2?，
∵ 原不等式组恰有 2 个整数解，
∴ 这 2 个整数解必然是 5，6，
2? ≥ 6
∴ 2? < 7 ，
解得：3 ≤ ? < 3.5，
故答案为：3 ≤ ? < 3.5．
4?−1 < 2? + 2
【变式 3】（2025·四川绵阳·三模）若关于 x 的不等式组 2(?−1) ≥ −? + ? 共有 4 个整数解，则 a 的取值范
围是．
【答案】−11 < ? ≤ −8
【分析】本题考查了不等式组的整数解问题，正确求出不等式组的解集，进而得出其整数解是解题关键．先解每个不等式确定不等式组的解集，然后再根据不等式组只有 4 个整数解，得到关于?的不等式组，即可求得 a 的范围即可．
4?−1 < 2? + 2①
【详解】解： 2(?−1) ≥ −? + ?②
解不等式①得? < 3
2
解不等式②得? ≥ ?+2
3
则不等式组的解集为 3 ≤ ? < 2
?+2
3
∵不等式组只有 4 个整数解
∴整数解是−2，−1，0，1．
∴ −3 1，
∴ ? < 0, = 1，
?
?
∵ ?(?−5)−? ≥ 0，
∴ ?−5 ≤ ?，
∴ ? ≤ 6，
?
故答案为：? ≤ 6．
【典例】（2025·江苏扬州·三模）关于?的不等式?? < ?的解集是? > 1，则关于?的不等式?(?−5)−? ≥ 0的解集是．
? ≤ ?
【变式 1】（2025·山东威海·二模）若不等式组 3?−2