专题01 正方形和矩形的内十字架模型（几何模型讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列+答案

这是一份专题01 正方形和矩形的内十字架模型（几何模型讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列+答案，共24页。学案主要包含了问题情境，活动猜想，探索发现，问题探究，初步运用，问题解决，类比迁移，初识图形等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321768" 模型运用6
\l "_Tc18836" 24
“十字架模型”是一个跨领域概念，数学中的十字架模型起源于平面几何中的全等三角形和相似三角形理论.基本特征是在正方形或矩形中，两条互相垂直的线段相交形成"十"字形状，名称直接来源于图形酷似基督教的十字架.
核心原理：在正方形中，若两条连接对边的线段互相垂直，则这两条线段长度相等；反之，若两条线段相等且连接对边，则它们互相垂直("垂直即相等，相等即垂直“)
1.（2024·江苏南京·中考真题）（1）如图（1），点分别在正方形边上，连接．求作，使点分别在边上（均不与顶点重合），且．
（2）已知点的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点的边所在的直线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【分析】本题考查了尺规作图，正方形的性质，圆的基本性质等，掌握尺规作图是解题的关键．
（1）与FE垂直的直线有无数条，作的中垂线即可，所作图形实则为正方形内“十字架”图形；
（2）如图，连接，过点作，取，连接，作，则为正方形点的边所在的直线，过点作垂线，过点作垂线，所得的四边形为所在的正方形，本2小问实则是“十字架”原理的逆运用，QS⊥PF且QS=PF，则F、R均为正方形同一边上的两点．
【详解】解：（1）如图，分别以点为圆心，大于为半径画弧，连接交点，交于点，交于点，点即为所求；
（2）如图，连接，过点作，取，连接，作，则为正方形点的边所在的直线，过点作的垂线，过点作的垂线，所得的四边形为所在的正方形；
2.（2025·江苏连云港·中考真题）
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点．
【活动猜想】
（1）与的数量关系是_______，位置关系是_______；
【探索发现】
证明（1）中的结论；
【分析】（1）根据图形进行猜想即可；
（2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，明，得出，，再利用，得出，即可证明；
【详解】解：（1）相等，垂直；
（2）过点作于，过点作分别交、于、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
1.基本模型（如图1）条件：正方形ABCD中，①若AE=BF，则有结论：AE⊥BF；
②若AE⊥BF，则有结论：AE=BF.
【分析】证明图中△ABE≌△BCF即可证得结论.
2.进阶模型（如图2）条件：正方形ABCD中，①若EF=MN，则有结论：EF⊥MN；
②若EF⊥MN，则有结论：EF=MN.
【分析】方法一：如图2-2将线段MN向左平移使M点到达A点，将线段EF向下平移使E点到达B点，则图形变化成图（1）的模型，结论即可获证；
方法二：如图2-3分别过点M、E向对边作垂线，构造三角形全等也可证得结论.
3.模型演变（如图3）条件：正方形ABCD中AE⊥MN,且垂足G在对角线BD上，结论：AG⊥NG；
【分析】方法一：如图3-2，过点G作GH⊥AB于点H，作GQ⊥BC于点Q，证△AHG≌NQG结论即可获证；
方法二：如图3-2，证△APG≌GQN结论也可获证.
右图“十字架”模型演变成了“K字模型”。
4.模型拓展（如图4）条件：矩形ABCD中AE⊥DF,垂足为G，结论：AEDF=ADAB；
【分析】①如图4-1，证明△ADE∼△DCF即可证得结论；
②如图4-2，当DE左移至MN的位置，有结论：AEMN=ADAB；
③如图4-3，当AE与EC垂直相交于CD上一点E时，“十字架”模型演变成了“K字相似模型”。
5.模型总结：
①正方形中的“十字架”模型——在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段①若垂直，则相等②若相等，则垂直.
②矩形中的“十字架”模型——在矩形的对边分别取点并相连，所得两条线段①若垂直，则两条线段与矩形的两边成比例②若成比例，则垂直.
正方形中的“十字架”模型也可理解成是矩形中“十字架”的特例，正方形是特殊的矩形，两条邻边的比值为1.
③“K字型”是“十字架”模型的特例——无论是“十字架”模型还是“K字型”解题思路都是把线段的问题转化为三角形全等或相似的问题。
例1（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，与交于点，为的中点，连接，若，，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质．证明后可得，，由已知及正方形的性质可求，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结果．
【详解】解：正方形，
，，
，分别为，边上的点，，
，，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
故答案为：．
例2（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，在正方形中．点E，F，G分别在边，，上，．若，，则的度数为 （用含的式子表示）．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，过点G作于点H，证明，得出，根据三角形外角的性质，即可求出结果．
【详解】解：过点G作于点H，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
例3（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点，点分别是边，边上的动点，且与相交于点 ，若点为边的中点，点为边上任意一点，则的最小值等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，轴对称的性质，首先证明，可得出；作M关于的对称点Q，取的中点H，连接，连接，，得，根据勾股定理，当H、P、N、Q四点共线时，的值最小，最小值为，从而得出的最小值为，即可得出结论．
【详解】解：作M关于的对称点Q，取的中点H，连接与交于点N，连接，，则；
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
∴点在以点为圆心，为直径的半圆上，
∵M点是的中点,
∴,
∵，
∴当H、P、N、Q四点共线时，的值最小，最小值为，
∵
∴的最小值为，
∵，
∴的最小值为，
∵
∴的最小值为，
故答案为：．
例4（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务：
任务：根据上面小论文的点拨过程，解决下列问题：
(1)画横线部分的“依据”是______．
(2)在小论文的点拨过程中，主要运用的数学思想有______．（从下面选项中选出两项）
A．转化思想 B．方程思想
C．由特殊到一般的思想 D．函数思想
(3)请根据小论文提供的思路，补全图②剩余的证明过程；
(4)如图③，将边长为4的正方形纸片折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长为______．
【答案】(1)同角的余角相等
(2)A、C
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据证明过程分析即可；
（2）在小论文的点拨过程中，体现了转化思想和由特殊到一般的思想；
（3）通过等量代换和全等三角形的判定得到，即可得到．
（4）连接，先由勾股定理求出，由折叠可知，，而在正方形的对边上，则由上可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴ ，
根据同角的余角相等即可得到，
故答案为：同角的余角相等；
（2）解：在小论文的点拨过程中，体现了转化思想和由特殊到一般的思想，
故答案为：A、C；
（3）解：补全如下，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵为中点，
∴，而，
∴，
由折叠可知，，
∵在正方形的对边上，
∴由上可得．
例5（19-20九年级上·广东深圳·期中）如图，正方形中，E为的中点，于G，延长交于点F，延长交于点H，交于N下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤；
其中正确结论的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
根据正方形的性质证明可判定①正确；根据正方形的性质证明，得到，从而可判定②正确；过H点作，根据得到，从而得到，
根据，，可判定③正确；过点B作于点P，交的延长线上于点Q，证明四边形是正方形即可判断④正确；如图所示，连接，设，则，利用勾股定理，三角形面积计算即可判断⑤正确．
【详解】解：①∵在正方形中，，
，，
，
，
，
，
，
故①正确；
②∵在正方形中，，
，
，
，E为的中点，四边形是正方形，
，
，
故②正确；
③如下图所示，过H点作，
，
，
，
，
，
，
故③正确；
④过点B作于点P，交的延长线上于点Q，
，
四边形是矩形，
，
，
，
由①得，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
．
故④正确；
⑤如图所示，连接，
设，则，，
，，
，
，
由面积得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故⑤正确；
故选：D．
例6（24-25九年级下·山东济宁·阶段练习）
【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，求的值．
（1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】
（2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值．
【答案】（1），理由见解析（2）
【分析】（1）根据矩形的性质，证明，列出比例式解答即可．
（2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，利用三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质解答即可．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，且，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，如图：
则四边形为矩形，为的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
由（1）知：，
．
例7（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．

【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3
【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证；
（2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证；
（3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键．
例8（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点．
(1)如图①，在探究线段与之间的数量关系时，小亮的方法是：过点分别作，，垂足分别为M，N．请你补全小亮的解题思路：先证明四边形是____________；再证明____________；即可得出线段与之间的数量关系是____________；
(2)如图②，延长交的延长线于点，且，连接，若，，求EF的长；
(3)如图③，过点的直线分别交于点M、N，且平分，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)正方形，，．
(2)13
(3)，理由见解析
【分析】（1）由正方形的性质以及角平分线的性质可得，可证四边形是正方形，再证明可得．
（2）由已知求得，则；由勾股定理可求得，进而得,，再由勾股定理即可求得；
（3）如图：过点C作交于Q，连接；先证明四边形为平行四边形，再证明可得，即，再说明是等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，为对角线，
∴，，
∵，，
∴，四边形是矩形，
∴是正方形，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
在与中，
，
∴，
∴．
故答案为：正方形，，．
（2）解：∵四边形是正方形，为对角线，
∴，
∵，
∴，
∴
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，，
由（1）知，,
∵
∴．
（3）解：，理由如下：
如图：过点C作交于Q，连接；
∵四边形为正方形，
∴，，；
∵，
∴四边形是平行四边形；
∴；
∵平分，，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
1.（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，点分别是正方形四条边上的点，相交于点，且，，，，则四边形与四边形的面积之和为（ ）

A．4B．C．8D．16
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，证明出四边形、是正方形，再结合勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵，，
∴，，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴四边形、、均为矩形，
∴，，
∵，
∴四边形是正方形，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴四边形与四边形的面积之和为，
故选：D．
2.（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在矩形中，M是边的中点，，垂足为N，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
先证明可得得到可证①④正确；由平行线性质可得、，可证可判定②；通过证明可得，可求，即可得可判定③．
【详解】解：∵在矩形中，，
∴，
∴，
∴M是边的中点，
，
∴，
，故①正确；
∴，故④正确；
∵四边形是矩形，
∴，，，
，，
∴，故②正确；
∵，
，
∵，
∴，且，
，且，
∴，
∴，即，
∴，
，
∴，故③错误．
综上的有①②④．
故选：B．
3.（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，，，是高，是中线，AH交BM于点N、于点E，交于点D，连接，则下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，作CG⊥CA,BG⊥BA，延长AD交CG于点K．通过“十字架模型”可知△ABM≌△CAK，AM=CK；通过角的等量代换，得出，再通过证明，最后证明，即可解决问题；
【详解】解：如图，作CG⊥CA,BG⊥BA，延长AD交CG于点K．

，，
∴是等腰直角三角形，
∵是高，是中线，
∴平分，，，
，
，
，
，
∴
，
∵，
，
，，，故②③正确，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，故①④正确，
故选：D．
4.（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以、为邻边作矩形，连接．在下列结论中：矩形是正方形；；平分；．其中正确的结论有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，过作于点, 过作于点，根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故正确；根据正方形的性质得到，，推出，得到，求得，故错误；当时，点与点重合，所以不一定等于，故错误；掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于点, 过作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形为正方形，故正确；
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴平分，故正确；
∴，故错误；
当时，点与点重合，
∴不一定等于，故错误；
综上可得：正确；
故选：．
5.（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
过点D作，交于点H，连接，证明，得到，，再根据得到．证明四边形是平行四边形，得到，证明，得到，，则，，进而得到，根据得到，最后由即可解答．
【详解】解：过点D作，交于点H，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
6.（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ．
【答案】
【分析】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S，证明四边形的面积正方形的面积，，得到，四边形的面积正方形的面积，，则，则四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即可得到答案．
【详解】解：过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S，
∵P是正方形对角线上的一点，
∴，，
∴四边形、都是矩形，，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴
∵直线m，n经过点P且，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴四边形的面积正方形的面积
∴，
同理可证，是正方形，，
则四边形的面积正方形的面积，，
∴四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即四边形与四边形的面积之和
故答案为：
7.（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．若正方形边长是5，，求的长．
【答案】
【分析】先证明，得到，于是，利用勾股定理解答即可．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质和定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，正方形边长是5，
∴，
∵，
∴
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8.（21-22九年级下·辽宁鞍山·期中）已知：如图1，点、分别是正方形的边、上点，且，连接、交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接对角线、交于点，且、与、分别交于点、点，连接，若平分，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，请直接写出正方形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由可证，得，由余角的性质可证；
（2）由正方形的性质和等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，由可证，可得，可得结论；
（3）利用勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
又，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，
平分，，
，
，
，
又，
，
又，
，
，，，
，
，
；
（3）解：，
，
设，则，
，
，
，
正方形的面积．
9.（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图1，正方形中，，点为边上的点，为的垂直平分线，垂足为，交边于点，交边于点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)四边形的形状为___________；
(2)若四边形为菱形时，求的长；
【答案】(1)平行四边形；
(2)；
【分析】（1）先证明，则，由旋转得，，故，由得到，即可证明；
（2）连接，证明，则，设，则，在中，，在中，，即可建立方程求解；
【详解】（1）解：过点F作于点T，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：连接，
为的垂直平分线，
，
又四边形为菱形，
，
，
又四边形为正方形，
，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
（舍），
；
10.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，．
(1)求证：；
(2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形．
【答案】(1)见解析
(2)正方形，说明见解析
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．
（1）过点作于点，根据正方形的性质得到，，再结合已知条件得到，即可利用“”证明全等；
（2）由（1）可知，，从而得出，，再根据三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明正方形即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，，
，
，
，
，
如图，连接、、、的中点P、Q、R、S，
、、、分别是、、、的中位线，
，，，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是正方形．
11.（2025·宁夏银川·三模）【初识图形】
(1)如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ；
(2)如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值；
【类比探究】
(3)如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．直接写出的长为 ．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解；
（2）过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解；
（3）过点作于点，运用勾股定理可得,，设，可证，得到，，再证，求出，则，由此即可求解；
【详解】（1）解：四边形为正方形，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
故答案为：1．
（2）如图，过点作于点，
四边形为正方形，，，
，
，，
四边形为矩形，，
，
于点，
，
，
，
，
即，
，
．
（3）如图所示，过点作于点，
是直角三角形，，
，
点是的中点，
，
在中，，
，
设，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形与折叠的性质等知识的综合，掌握矩形的性质，构造相似三角形，数形结合分析是解题的关键．
12.（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架”
某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ．
【模型建立】如何证明这个猜想呢？
在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示．
（1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？
（2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？
【模型应用】
（3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）．
【拓广延伸】
（4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果）
【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4）
【分析】（1）结合矩形的性质，以及直角三角形两个锐角互余得，证明，把，代入，即可作答．
（2）分别过作，结合矩形的性质证明四边形是矩形，四边形是矩形，再根据直角三角形两个锐角互余，证明，把，代入，即可作答．
（3）先结合正方形的性质得，，再根据角的等量代换得，故证明，结合，则，运用勾股定理列式计算，即可作答．
（4）先过点C作，延长，与交于一点，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是矩形，运用两个对应角相等的三角形是相似三角形，得，再进行列式代入数值计算，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：（1）能，过程如下：
如图所示：
∵四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
（2）分别过作，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴
∵
∴
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：1
（4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示：
∵在直角梯形中，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
过点N作，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
在中，，
∴．
故答案为：
“十字架模型”的拓展研究有这样一道习题：如图①，四边形是一个正方形花园，，是它的两个门，要修建两条路和，且使得，那么这两条路等长吗？为什么？
对于上面的问题，我是这样思考的：
四边形是正方形，
，．
又，
．
．（依据）
，
．
有趣的是，对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，这两条线段是否仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究：
如图②，在正方形中，若点，，，分别是，，，上的任意一点，且，垂足为，则仍然与相等，证明如下：
过点作，垂足为，过点作，垂足为，
则容易证明四边形和四边形均为矩形，
，，
，
．
在四边形中，
，
……