专题26 多解问题（3压轴题型14难点，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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题型一：点在线段（直线）上的不同位置
【中考母题溯源·学方法】
难点01：结合矩形
【例1-1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形的面积是90，对角线交于点O，点E是边的三等分点，连接，点P是的中点，，连接，则的值为______．
【答案】13或
【详解】解：当时，如图，
∵矩形，
∴点O是的中点，
∵点P是的中点，
∴，，
∵点E是边的三等分点，
∴，，
∵矩形的面积是90，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
∵矩形，
∴点O是的中点，
∵点P是的中点，
∴，，
∵点E是边的三等分点，
∴，，
∵矩形的面积是90，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：13或．
难点02：结合正方形
【例1-2】（2025·河南·一模）如图，在正方形中，，将线段绕点A旋转得到线段，连接，过点D作于点E，当E是线段的三等分点时，的长为__________．
【答案】或
【详解】解：如图，连接，．
∵在正方形中，，
∴，
∴，
当E是的三等分点时，分以下两种情况讨论：
①如图1，当时，
设，
根据旋转可得，
，
，
∴．
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
设，则．
在中，，即，
解得：，
．
②如图2，当时，
设，
根据旋转可得，
，
，
∴．
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
设，则．
在中，，
即，
解得：，
则．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
难点03：结合三角形
【例1-3】（2024·新疆·中考真题）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为_____________．

【答案】6或12
【详解】解：∵，，，
∴，，
①点D在线段时，

∵，，
∴，
∴，
∴；
②点D在线段延长线上时，

∵，，
∴，
∴，
∴；
③点D在线段延长线上时，

此时，即，故不符合题意，舍去，
综上，的长为6或12．
难点04：结合菱形
【例1-4】（2025·河南驻马店·三模）如图，菱形中，点P为对角线上一动点，作关于的对称图形，得到，点D的对应点为点Q，射线与菱形的边交于点M．若，，则当点P为的三等分点时，的长为_________．（温馨提示：）
【答案】或
【详解】解：如图，连接，交于点，
四边形为菱形，
，，
，
分两种情况：①当时，，
如图，连接，，与交于点，
由对称性可知，，，，
，
，
设，则，
，
在中，，
即，
解得： （舍去），，
，
，，
，
，
；
②当时，连接，，
由对称性可知，，，，，
过点作于点，如图，
，，
，
，
设，则，
在和中，
，
，
，
，，
在中，，
即，
解得： （舍，，
，
综上，的长为或．
故答案为：或．
【中考模拟闯关·练提分】
1.（2025·上海·模拟预测）如图，中，，，．点在边上；点分别在边与上．当四边形为矩形，且其宽为长的一半时，的长为_________．
【答案】或
【详解】解：，，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
同理，
，
，
当为矩形的宽时，，
，，
，
，
；
当为矩形的长时，，
，，
，
，
综上，的长为或．
故答案为：或．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，矩形中，，点M为对角线的三等分点，连接并延长交矩形一边于点E，若，则边的长为______．
【答案】4或6
【详解】解：当时，如图，
，
∴，
在矩形中， ，， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
即，
当时，如图，
，
∴，
在矩形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上可知，的长为或.
故答案为：或
3．（2025·河南许昌·一模）如图，在中，，点D为斜边上一动点，点B关于直线的对称点为点E，连接，，当时，的值为________．
【答案】或
【详解】解：①如图，当点D在斜边的中点时，
根据轴对称可得，
∵在中，，
∴，，
∴，即为等边三角形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，符合题意，
此时；
②如图，当点E在斜边上时，
则，
设，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，符合题意，
此时；
故答案为：或．
4．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，D，E两点分别在直线和直线上运动（点E不与点C重合）．若与全等，则线段的长为_____．
【答案】或或
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
如答图1所示，当时，，
∴，
∴；
如答图2所示，当且E在B的右边时，，
∴，
∴．
如答图3所示，当且E在B的左边时，．
∴．
∴．
综上所述，的长为或或．
故答案为：或或．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，等边三角形的边长为6，点D在上，，于点E，点F为的中点， 点M为边的三等分点，连接，则的长为_______．
【答案】3或
【详解】解：设是边的三等分点，连接，
∵等边三角形的边长为6，点D在上，，于点E，点F为的中点， 点M为边的三等分点，
∴，，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
取的中点P，则，
连接，
则是的中位线，，
∴，，
延长交于点，
∴，
∴
∴，
∴点N是的一个三等分点，
∴点M与点N重合，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，的长为3或，
故答案为：3或．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，D是直线上一点，，直线l与直线关于直线对称，过点D作直线于点F，交直线l于点E，，则线段的长为______．
【答案】5或3
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当点D在线段上时，如图所示：
∵直线l与直线关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
当点D在线段延长线上时，如图所示：
∵直线l与直线关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
综上分析可知：的长为5或3．
故答案为：5或3．
7．（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，点为斜边上一动点，点关于直线的对称点为点，连接，当时，的长为_______．
【答案】1或
【详解】解：∵中，，，，
∴，；
∵点B关于直线的对称点为点E，
∴点E在以C为圆心，1为半径的圆上，
∵，
∴点E在的垂直平分线上，
如图所示，当点E位于位置时，
∴，，
则四边形为菱形，
则；
当点E位于位置，
∵，，
∴点为中点，
∵点B关于直线的对称点为点，
∴，
故答案为：1或．
8．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，，，过点的直线，点是直线上一点，连接．若中有一个的内角，则点到直线的距离为___________．
【答案】0或4或8
【详解】解：（1）当时，如图1，当点在点处时，过点作于E，过点A作于D，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即此时到的距离为4，
当点在点处时，即点在延长线上时，此时到的距离为0；
（2）当时，如图2，当点在点处时，则，
∴，
在中，，即此时到的距离为8；
当点在点处时，过点作交延长线于M，
∵，
∴，，
∴，
∴，即此时到的距离为4；
综上所述，点P到的距离为0或4或8．
故答案为：0或4或8．
9．（2026·陕西西安·二模）如图，点是边长为4的正方形的对称中心，点、分别是边、上的动点，且，连接、、，点是的中点，连接、，当最大时，的面积为_________．
【答案】4或8
【详解】解：如图1所示，过点O作于点M，于点N，连接，
∵点是边长为4的正方形的对称中心，
∴，，，，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵点是的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴矩形是正方形，
∴；
∵，
∴四点共圆，
∴，
∴N、G、M三点共线，
∴点G在线段上运动；
如图1所示，设交于点T，则，，，
∴，
∵（点G不与点T重合时），
∴越大，越大，
∴当点G与点M重合或点G与点N重合时，有最大值；
如图2所示，当点G与点M重合时，；
如图3所示，当点G与点N重合时，
∵，
∴，
∴，
综上所述，当最大时，的面积为4或8．
题型二：作图或变换引起顶点位置不确定
【中考母题溯源·学方法】
难点05：作正方形
【例2-1】（2025·江西南昌·三模）如图， 在等边中，， 点D为上一点，， 点E是边上的动点，连接，以为边作正方形，当的长为整数时，正方形的面积为______．
【答案】1或4或9
【详解】解：如图：过点D作于点H，连接，
∵在等边中，，，
，，
∵
∴，
，，
，
，
当点E在点H处时，的长最小，当点E在点B处时，的长最大，
，
，的长为整数，
的长为1或2或3，
∴正方形的面积为1或4或9．
故答案为：1或4或9．
难点06：结合平移
【例2-2】（2025·河南驻马店·二模）如图所示，在矩形中，，，将沿射线平移得，连接，，当是直角三角形时，平移的距离的长度为____．
【答案】或
【详解】解：①如图1所示，
当，延长交于M，过点F作，交的延长线于N．
∴．
∵，
∴．
设，
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，即．
∴．
∴；
②如图2所示，
，由邻补角定义可得．
在中，．
综上所述，BE的长度是或．
难点07：结合旋转
【例2-3】（2025·江西·模拟预测）如图，在中，是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转角度得到点，若点落在中位线所在直线上，则点到的距离为___________．
【答案】1或或
【详解】解：如图，取中点，中点，过点D作于点G，连接，
∵点是斜边的中点，
∴都是的中位线，
∴，
∵在中，是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
当点在直线上时，
则，
由旋转的性质得：，
∴；
当和点在直线上时，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当点在直线上时，过点F作于点H，
则（平行线间距离相等），
∵，
∴；
综上，点落在中位线所在直线上，则点到的距离为1或或，
故答案为：1或或．
难点08：结合折叠
【例2-4】（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为______．
【答案】或
【详解】解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
由折叠可得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴即，
解得，
如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，
同理可得：，，，，
，，
∴即，
解得，
综上，的长为或，
故答案为：或．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______．
【答案】或
【详解】解：在正方形中，，
∴，，
∵点B落在边上的三等分点M处，
∴和，
设，则，
由折叠的性质得，
当时，则，
在中，，即，
解得；
当时，则，
在中，，即，
解得；
综上，线段的长为或．
2．（2025·江苏淮安·一模）如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对角线上时，则到的距离为_______．
【答案】或
【详解】解：当点落在线段上，如图所示；连接，过点作于点F．
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点落在线段上，过点作于点G，如图所示，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
由折叠的性质可知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当点的对应点刚好落在矩形的对角线上时，则到的距离为或；
故答案为或．
3．（2025·山东潍坊·二模）如图，正方形的边长为2，为边的中点，为边上的一个动点，连接、、，将沿所在直线翻折，若点的对应点恰好落在的边上，则线段的长为______．
【答案】或
【详解】解：正方形的边长为2，为边的中点，
∴，，
∴
如图，当的对应点落在上时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当落在上时，如图，，
∴，
∴
设，则，
在中，
在中，
∴
解得：
即
综上所述，的长为或
故答案为：或．
4．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在中，，点D为的中点，点E为上一点，把沿翻折得到，若与的直角边垂直，则的长为______．
【答案】或3或
【详解】解：如图1，若，且点F与点C在直线异侧，设交于点G，
∵，点D为的中点，
∴，
∴，
∴，
由翻折得：，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图2，若，
∵，
，
∴，
，
∴，
；
如图3，若，且点F与点C在直线同侧，设交于点H，
∵，
，
∴，
，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，BE的长为或3或，
故答案为：或3或．
5．（2025·河南信阳·三模）如图，在中，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，连接．若为直角三角形，则的长为___________．
【答案】或
【详解】解：由为直角三角形，分两种情况：
①，如图所示：
在中，，，，
设，，
在中，，，，则，
解得，即；
②，过点作交的延长线与点，如图所示：
由折叠的性质可知，，
，
，
，
设，
∴在中，，，
在和中，
，
，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
解得，即；
综上所述，的长是或，
故答案为：或．
6．（2025·山东淄博·一模）如图，在矩形中，，点E是射线上一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，交的延长线于点M，则________．
【答案】或
【知识点】解直角三角形的相关计算、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定
【分析】①如图当点E在线段上时，设交于G．②如图当点E在线段的延长线上时，设交于G．分别求解即可解决问题；
【详解】解：情形①如图当点E在线段上时，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
设，
在中，，
，
，
，
，
，
；
情形②如图当点E在线段的延长线上时，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，设，
在中，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
7．（2025·河南驻马店·一模）如图，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿折叠，使得点A落在点F处，点F到的距离分别记为，若，则的长为______．
【答案】或
【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题属于中考填空题的压轴题，考查的是矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，掌握矩形的性质和翻折的性质是解题的关键．
根据题意分两种情况画图：①如图1，当点F在矩形内，过点F作于点N，交于点M，②如图2，当点F在矩形外，过点F作于点N，交于点M，然后分别根据矩形和翻折的性质即可解决问题．
【详解】解：①如图1，当点F在矩形内，
过点F作于点N，交于点M，
则，
∴四边形是矩形，
，
，
，
由折叠可知：，
，
设，由折叠可知：，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
解得；
②如图2，当点F在矩形外，
过点F作于点N，交于点M，
则，
∴四边形是矩形，
，
，
，
由折叠可知：，
，
设，
则，
由折叠可知：，
在中，根据勾股定理得：
，
解得；
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
8．（2025·河南平顶山·一模）如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为___________．
【答案】5或
【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，
∴点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，
∴当与相切时，最大
如图1，当点P在左侧时，
根据题意得，，，
∵
过点P作，交的延长线于点H，
∴
∴，
又∵
，即
，，
∴在中，；
如图2，当点P在右侧时，
同理，可得，，
∴
∴在中，．
综上所述，的长为5或．
故答案为：5或．
9．（2025·河南新乡·三模）如图，在中，，，若点、、分别为线段、、的中点，为线段上一动点，若将沿折叠，得到点的对应点，当点刚好落在直线上时，线段的长度为___________．
【答案】或
【详解】解：连接交于点，如图1所示：
在中，，，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
点是的中点，
，，
是等腰直角三角形，
点是的中点，
，，
是等腰直角三角形，
，
由折叠性质得：，，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
根据平行线等分线段定理得：，
当点刚好落在直线上时，有以下两种情况：
①当点落在的延长线时，点在线段上，如图2所示：
在中，，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
；
②当点落在的延长线上时，点在线段上，连接，如图3所示：
同①得：，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
点是的中点，，
，，
又，
是等腰直角三角形，
，，
，
在中，，
，
，
综上所述：当点刚好落在直线上时，线段的长度为或，
故答案为：或．
10．（2025·辽宁抚顺·二模）如图，在等腰直角三角形中，，是直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点的位置随点的位置变化而变化，连接．若，，则的面积为__________．
【答案】或
【详解】如图1，构造正方形，连接与交于点P，连接．
，，，
由旋转可得：，，
，
，
，即，
又，
，
，
点在直线上，
在中，，则，
分以下两种情况：①如图2，当点在的延长线上时，，
此时点与点重合．
的面积为；
②如图3，当点在的延长线上时，，
，
，
的面积为，
故答案为：或．
11．（2025·江苏泰州·三模）已知，在中，，，，是直线上一点，将点绕点逆时针旋转得其对应点，当时，则长为_______．
【答案】或
【详解】解：连接、，取的中点，作直线．
∵将点绕点逆时针旋转得对应点，
∴，，为等边三角形．
∵，，，
∴．
∵是中点，，，
∴，．
∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∴，点在直线上运动．
情况一：点在的延长线上．
∵，是中点，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
情况二：点在线段上．
同理，，
∴．
故答案为：或．
12．（2025·江西景德镇·一模）如图，在中，，，，是边上的点，将绕点逆时针旋转，使得点落在直线上的点处．若的垂直平分线经过一边的中点，则的长为________．
【答案】或或
【详解】解：在中，，，，
，，
由旋转可知，，，
，
①当的垂直平分线经过的中点时，连接，
，，
，
，
，，
；
②当的垂直平分线经过的中点时，，令垂直平分线与交于点，连接，
由垂直平分线的性质可知，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
过点作于点，则四边形是矩形，
，
，
，
；
③当的垂直平分线经过的中点时，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
综上所述，的长为或或，
故答案为：或或．
13．（2025·上海·模拟预测）中，，．点D在边上，取射线上一点P，将沿直线翻折至的位置，延长交边于点F，射线交边于点E．若，且点C在边上，则线段与线段长度的比值为_________．
【答案】或
【详解】解：连接，
在中，，
设，则，
，
由翻折的性质得，，
，，
点P在射线上，
，
又，
，
，
点C在边上，，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，，
，
；
①若在点左侧，则，
如图，过点作交于点，过点作交于点，交于点，
，
，，
，，
，，
，
，
解得：，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
解得：，
，
，
，，
，
，
，
，
；
②若在点右侧，则，
如图，过点作交于点，过点作交于点，交于点，

同理①中的方法可得：，，
；
综上所述，线段与线段长度的比值为或．
故答案为：或．
14．（2025·上海·二模）定义：一三角形中有两角与，若角的两倍与角的和为，则此三角形叫作准直角三角形，其中叫作二倍角．已知在准直角三角形中， ，是二倍角，且．连接中点D与中点E，将绕点B旋转，点D落在点处，点E落在直线上，则___________．
【答案】或或或
【详解】解：⑴当时，
∵是准直角三角形，是二倍角，
∴，
∵三角形内角和为，即，
∴，
根据新定义：，且，
作，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
中，，，
即，
解得（负值已舍），
，
中，，
将绕点B旋转，点E落在直线上，
设E′为E旋转后的点，
根据旋转的性质，，，
分以下两种情况：
①当E′在上时，
在中，，
，
，
，
，
，
，
；
②当E′在延长线上时，
在中，同理可求，
，
同理可证明，
，
，
；
（2）当时，
∵是准直角三角形，是二倍角，
∴，
∵三角形内角和为，即，
∴，
根据新定义：，且，
作，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
,
,
，
中，,
中，，
将绕点B旋转，点E落在直线上，
设E′为E旋转后的点，
根据旋转的性质，，，
分以下两种情况：
①当E′在上时，
作于，
,即，
,
在中，，
,
,
，
，
，
，
，
，
；
②当E′在延长线上时，
在中，同理可求，
，
同理可证明，
，
，
；
综上所述，或或或．
故答案为：或或或．
15．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知矩形中，点是的中点，连结和交于点，过作的垂线交于点，延长交于点．若，在上取一点（不与和重合），使得直线刚好经过四边形某一条边的中点，则的值为_______．
【答案】或或
【详解】解：设，
∵为中点，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，，，，，，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
①如图，当为中点时，即平分，
∴，
∴，
∴；
②如图，当平分时，设中点为，过作交于，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
③如图，当平分时，设的中点为，过作从于，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵为中点，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为或或．
故答案为：或或．
16．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知矩形中，点是的中点，连结和交于点，过作的垂线交于点，延长交于点．若，在上取一点（不与和重合），使得直线刚好经过四边形某一条边的中点，则的值为_______．
【答案】或或
【详解】解：设，
∵为中点，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，，，，，，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
①如图，当为中点时，即平分，
∴，
∴，
∴；
②如图，当平分时，设中点为，过作交于，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
③如图，当平分时，设的中点为，过作从于，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵为中点，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为或或．
故答案为：或或．
17．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】
小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习．
【探究感悟】
如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ；
【深入探究】
小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长；
【拓展延伸】
如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长．
【答案】（1）（2）或（3）
【详解】解：（1）∵正方形，边长为4，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）当时，如图，作于点，延长交于点，
则：四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵折叠，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴；
②当时，如图：作于点，延长交于点，作于点，则：，四边形为矩形，四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴；
综上：或；
（3）连接，，交于点，作，则：四边形为矩形，
∴，，
∵折叠，
∴，，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，，
∴，
∴当点在上时，即点与点重合时，，值最小；
如图：
∵，，，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴．
题型三：特殊图形存在时顶点位置不确定
【中考母题溯源·学方法】
难点09：等腰三角形存在性问题
【典例3-1】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，为的中点，为边上一动点，连接．过点作，交线段于点．在点的移动过程中，当为等腰三角形时，的长是________；当经过点时，的长是________．
【答案】 或
【详解】解：（1）当为等腰三角形时，且为直角，
只有．如图1，过点作，
，
，，
，
，
．
，
四边形为矩形，
．
在中，，
．
故答案为：；
（2）当经过点时，如图2所示，
∵，
∴．
，
．
设，则，
∴ ，
解得，．
的长为或．
故答案为：或
难点10：直角三角形存在性问题
【典例3-2】（2025·河南洛阳·一模）如图，为等边三角形，，D为边上一动点，过点D作交于点E，作交于点F，连接．当为直角三角形时，线段的长为________．
【答案】1或
【详解】解：∵为等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵为直角三角形，
∴或，
如图，当时，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
难点11：菱形存在性问题
【典例3-3】（2025·青海·二模）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，直线的解析式为．将矩形沿直线折叠，点落在点处，与轴交于点．点是轴负半轴上一个动点，点在坐标平面内，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，且为该菱形的一条边，则点的坐标为___________．
【答案】或．
【详解】解：对于直线，
当时，，解得，即，
当时，，即，
∴，
∵，
∴，
根据题意：，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵为直角三角形，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
当运动到，作边，为对角线时，
∵C，D，F，P为顶点的四边形是菱形，
∵，，
∴，
当运动到，作边时，
，
∴，
当运动到时
∵点F是y轴负半轴上一个动点
∴不符合题意；
故答案为：或．
难点12：矩形形存在性问题
【典例3-4】（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．
(1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在；，
【详解】（1）解：∵点A的坐标是，
∴，
∵以原点为中心，把点A顺时针旋转，
∴，
此时点在轴正半轴上，
∴；
∵，
∴对称轴为直线；
（2）∵，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴当，有最大值为，
∴，
∴；
（3）存在；
∵，
∴当时，，
∴，
设，，
由（1）知：；
当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况：
①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，，
∴轴，
∴轴，
∴，；
②当以为对角线时，则：，解得，
∴，，
∵，
∴，解得；
∴；
③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在；
综上：或．
难点13：正方形存在性问题
【典例3-5】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标；
(3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，正方形的边长为或
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
∴，
∴；
（2）当时，解得：，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
作轴，垂足为点，设，则：，
∴，
∵与的面积相等，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴；
（3）存在点，使四边形为正方形，
如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，，
由（2）可知，直线的解析式为，
设，直线解析式为，
联立得：，
消去得：，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵四边形为正方形，
∴，
，
整理得：，
解得：或，
正方形边长为，
或．即正方形的边长为或．
难点14：相似三角形存在性问题
【典例3-6】（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，点D是边上的动点，过点D作，垂足为E，将沿直线折叠得到，点G，H分别是和上的点，连接，将沿直线折叠使得点B和F重合，连接，当和相似时，的长为______．
【答案】或
【详解】解：由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴，
当和相似时，分以下两种情况：
如解图①，当时，，
∵，
∴，
∵由翻折得，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴；
如解图②，当时，，
∵，，
∴，，
设，则，，
∴，
∵，
∴,
解得，
∴，
综上所述，当和相似时，的长为或，
故答案为：或．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·河南郑州·二模）如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一个动点（点不与点重合），连接，把沿折叠，使点的对应点总落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则的长为______．
【答案】或
【详解】解：如图， ， 连接交于点，
∵四边形是矩形，，，
∴， ，，，
∵把沿折叠，点的对应点落在边上，
∴， 点与点关于直线对称，
∴， 且， 垂直平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
，且，，
，
，
，
解得或，
∵当时， 则 ，
∴， 则点与点重合，
∴不符合题意，舍去；
如图，， 作于点， 则，
∴
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
解得
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，，，且，当为等腰三角形时，的长为___________．
【答案】或
【分析】由已知可得，即得点在以为直径的圆上，再分，和三种情况解答即可求解，
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
∵为等腰三角形，
当时，点为正方形对角线的中点，如图，
∵ ，
∴；
当时，如图，过点作于，则，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，仅当点和点重合时，
∵点为正方形内部一点，
∴此种情况不符合；
综上，的长为或，
故答案为：或．
3．（2025·河南许昌·二模）如图，正方形的边长为4，点为边上的动点（不与点重合），将沿折叠，点的对应点为点，连接，若为等腰三角形，则的长为______
【答案】或．
【详解】解：∵正方形中，边长，
∴，，
过点作，垂足为，交于，过点作，垂足为，
∴四边形、、是矩形，
∴，，，，
①当时，
∵，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得；
②当时，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，在中，，
∴，
解得；
③当时，H和C，不符题意，舍去，
综上，或
故答案为：或．
4．（2025·江西宜春·三模）如图，在矩形中，，，点E为的中点，点P在下方矩形的边上，当为直角三角形，且点P为直角顶点时，的长为______．
【答案】或或
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．当点P在边上时，可证明四边形是矩形，求得的长，再根据勾股定理求解即可；当点P在边上时，先证明，可得，设，列出方程求解即可．
【详解】解：当点P在边上时，
四边形是矩形，
，，，
点E为的中点，
，
为直角三角形，点P为直角顶点，
，
四边形是矩形，
，
；
当点P在边上时，
为直角三角形，点P为直角顶点，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，或，
或；
综上所述，的长为或或．
故答案为：或或．
5．（2025·陕西咸阳·三模）如图，在中，，为边上一点，以为直径的与相切于点，连接，，是上的动点，且在的左侧．当为等腰三角形时，以为边的正方形的面积为______．
【答案】或或
【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
连接，由切线的性质可得，则，由勾股定理得，证明，则，即，得出，，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可．
【详解】解：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵
∴
在中，，，
∴，即，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
如图，当时，，
∴；
如图，当时，
设与交于点，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，过点作于点，
∴经过圆心，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，当为等腰三角形时，以为边的正方形的面积为或或，
故答案为：或或．
6．（2025·山西长治·三模）如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，点在边上从点往点运动（点不与点，重合），将沿所在直线翻折到的位置，交或于点．当为等腰三角形时，______．
【答案】或
【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、二次根式的乘除混合运算
【详解】解：如图，当时，连接，过点作于点，过点作于点，
∵等腰直角三角形中，，，点是的中点，
∴，，
∴，
∴
在中，
∴
∴
∵折叠，
∴
又∵
∴
∵，
∴
设，则
∴，
∴
解得：
∴
当在上时，，如图，过点，分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，
∵是的边上的中线，
∴平分
∴
∵
∴
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
在中，
∴
∴
∵折叠，
∴
又∵
∴
∴
∴，
∴，
设，则
∴，
∴
解得：
∴
综上所述，或
故答案为：或．
7．（2025·河南郑州·三模）已知如图，菱形的边长为6，，点E是直线上的一个动点（不与B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，在平面内存在一点G，若以点C、F、D、G为顶点的四边形也是菱形，则此时线段的长为_______．
【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】分①如图，当时，②如图，当时，③如图，当时三种情况分析，通过菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质进行求解即可．
【详解】解：由以点C、F、D、G为顶点的四边形也是菱形，则可分：
①如图，当时，过D作于点M，则，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②如图，当时，过D作于点M，则，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
③如图，当时，过F作于点N，过D作于点M，
∴，，
∴，
由旋转性质可知，，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上可知：线段的长为或或，
故答案为：或或．
8．（2025·江西吉安·一模）如图，平行四边形在平面直角坐标系中， ， ，．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为__________．
【答案】或或
【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查的是平行四边形的性质、坐标与图形及菱形的判定，分情况：①是邻边，点F在射线上时；②是邻边，点F在射线上时；③是对角线时，作垂直平分线交射线于点；④是对角线时，的垂直平分线经过点，分别求出即可．
【详解】解：连接，
在中，，
， ，，
，
，
设直线的解析式为，把， 代入，
，
解得：，
直线的解析式为，
①是邻边，点F在射线上时，，
所以点F与B重合，
即，由题意舍去
②是邻边，点F在射线上时，
∴M在射线上，且垂直平分，
∴，
∴；
③是对角线时，作垂直平分线交射线于点，
设
的中点
在中，
，
解得：，
④是对角线时，的垂直平分线经过点，
设
的中点
在中，
，
解得：或（不合题意舍去）
综上所述，所有符合条件的点F的坐标为或或或．
故答案为：或或
9．（2025·河南周口·二模）如图，在中，．D是射线上的一个动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段（E，F分别是A，B的对应点）．连接，当是以为腰的等腰三角形时，的长为______．
【答案】或
【详解】解：当是以为腰的等腰三角形时，有或两种情况．但是从点D运动轨迹和图形来看，若，则，
而当D是线段的中点时，点E和点B重合，不存在；
当点D在线段的延长线上时，，不存在，故只需讨论即可．
①当点D在线段上时，如解图1所示，记与交于点P．
由旋转的性质，可知．，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
同理可得，
∴．
∴．
∴E，B，F三点共线．
设，则，．
∵，
∴，
解得．即．
②当点D在延长线上时，如解图2所示．
同理①，可得，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴B，E，F三点共线．
设 ，则，．
∵，
∴，
解得，即．
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
10．（2025·黑龙江牡丹江·二模）在矩形中，，，点为射线上一点，将沿折叠得到，连接，．若是以为腰的等腰三角形时，的长为____________．
【答案】或或
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠可得，，，
当，且点在线段上时，如图，过作交，于，，则，四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴即，
∴
∵，
∴即
解得或（不符合题意舍去），
当，且点在线段的延长线上时，如图，过作交，于，，则，四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴即，
∴
∵，
∴即
解得（不符合题意舍去）或，
当时，如图，过作交，于，，则，四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即，
解得，
故答案为：或或．
11．（2025·江西·模拟预测）如图，在边长为8的正方形中，，G是对角线上一点， 点P是上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为________．
【答案】或 或
【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，分类讨论等知识，正确分类是解题的关键；由正方形的性质及勾股定理可求得的长，再分；；三种情况，利用等腰三角形的判定及勾股定理即可求解．
【详解】解：在正方形中，，
，
∴，
，
，．
①如图1，当时，过点 P作 于点 H，
，
，
，
；
②如图2，当 时，过点 E作 于点 M，
，
∴，
，
；
③如图3，当时，过点 F 作 于点 N，
，
∴，
，
；
综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或．
【点睛】
12．（2025·江西宜春·二模）如图，在矩形中，，点E在直线上移动，连接，将沿着翻折得到，连接．当是等腰三角形时，的度数为_______．

【答案】或或
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠得：，，
当时，则过点作于点，作于点，如图：


则，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∴或，
当时，

则，
∴，
∴点在上，
∴；
综上：的度数为或或，
故答案为：或或．
13．（2025·江西新余·三模）在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，斜边交于点．若是等腰三角形，则的长为______．
【答案】或或
【详解】解：，，
．
①如图1，当时，为等腰三角形，
此时，，
；
②如图2，当点与点重合时，点与点重合，
则为等腰三角形，
此时可得；
③如图3，当时，为等腰三角形，
此时，，
过点作的垂线，垂足为，可得，
又，
，
，
．
综上所述，的长为或或．
14．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，，，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿直线折叠，点落到点处，连接，．当为等腰三角形时，的长为_______．

【答案】或
【详解】解：当为等腰三角形时，分三种情况：
①当时，如图1所示：作于，

则，
设，
由折叠的性质得：垂直平分，
，
，
，
∴，即，
解得：，
在中，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，或（不合题意舍去），
；
②当时，如图2所示：

由折叠的性质得：，
，，
，
，
，
即，
解得：；
③当时，连接，如图3所示：

由折叠的性质得：垂直平分，
，
，
∴点E与C重合，不符合题意；
综上所述，当为等腰三角形时，的长为或；
故答案为：或．
15．（2025·江西吉安·二模）矩形的边，，点E是边上一点，将沿折叠得到，点D恰好落在边上点F处，如图，将线段沿着射线方向平移得到对应线段，连接，当是等腰三角形时，平移的距离为______________．
【答案】4或6或
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，
由折叠对称性：，，
在中，，
如图，由平移可知：，，
∴四边形是平行四边形，
，，
，
如图，过点作于H，
，
∴四边形是矩形，
，
分三种情况讨论：
若，
，
，
即平移的距离为4；
若，
，，
，
即平移的距离为6；
若，
在中，，
设，
，
，
，
解得：，
即平移的距离为；
综上所述，当是等腰三角形时，平移的距离为4或6或．
故答案为：4或6或．
16．（2025·上海·二模）如图，中，，，．点在边上，将沿着翻折至的位置，射线交线段于点．当是等腰三角形时，的面积为_________．
【答案】或
【详解】解：如图1所示，当时，过点E作于F，过点D作于G，
∵在中，，，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
设，，则；
在中，，
∴，；
由折叠的性质可得，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
在中，，
∴；
如图2所示，当时，过点D作于H，设，
∴；
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
由折叠的性质可得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴
；
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的面积为或．
故答案为：或 ．
17．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒．
(1)求点坐标；
(2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式；
(3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点的坐标为；
(2)的面积S关于运动时间t的函数解析式为；
(3)当时，在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形，，，．
【详解】（1）解：由解得，，，
∵的长是一元二次方程的根，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴平分，
∴，
∴，
∴
答：点的坐标为．
（2）解：根据题意可知，，，
如图，作于点，则，
∵，，，
∴，
作轴于点，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴的面积，
当时，，
∴的面积，
综上所述，，
答：的面积关于运动时间t的函数解析式为．
（3）解：如图，当时，，点和点重合，，，，
假设在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形，
当为顶角时，点与点重合，，
当为顶角时，点与点重合，，
当为顶角时，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：当时，在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形，，，．
18．（2025·四川眉山·中考真题）综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点，的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、．
【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系．创新小组经过探究，发现，证明过程如下：由折叠可知，．由矩形的性质，可知，．①________．．智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为②________．经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一：
方法一：证明，得到，再由可得结论．
方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．
【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程．
【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接．当为直角三角形时，求出的长．
【答案】（1），（2）见解析（3）或4
【详解】解：（1）由折叠可知，．
由矩形的性质，可知，
．
．
．
智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为；
（2）法一：∵矩形，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∴，即：，，
由（1）知：
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
法二：作交于点G，则：，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作交于点G，则：，
由（2）可知：，，，
∴，
设，则：，，
∴，
如图，当，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，，
∴，即：，
∴，
解得：或（舍去）；
故．
当时，
∵，
∴，
∴三点共线，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，即，解得：，
∴
题型一：点在线段（直线）上的不同位置
难点01：结合矩形
难点02：结合正方形
难点03：结合三角形
难点04：结合菱形
题型二：作图或变换引起顶点位置不确定
难点05：作正方形
难点06：结合平移
难点07：结合旋转
难点08：结合折叠
题型三：特殊图形存在时顶点位置不确定
难点09：等腰三角形存在性问题
难点10：直角三角形存在性问题
难点11：菱形存在性问题
难点12：矩形形存在性问题
难点13：正方形的存在性问题
难点14：相似三角形存在性问题