专题02 中点模型（5大模型清单+模型大招）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

这是一份专题02 中点模型（5大模型清单+模型大招）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版），共28页。

模型一：等腰三角形的三线合一
【典例1】（2024•云南）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（ ）
A．32B．2C．3D．72
【变式1-1】（2025·湖南·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AD=5，CD=3，则△ABC的面积为 ．
【变式1-2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，∠B=70°，点D是边BC的中点，则∠BAD的度数为 度．
【典例2】（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为 度．
【变式2-1】（2025•阎良区一模）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点P在AD上，连接PB、PC，若PB＝13，PD＝5，则CD的长为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【变式2-2】（2025•婺城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在BD上，连结AD，AE，AE＝BE．
（1）若∠B＝40°，求∠DAE的度数．
（2）若CA＝CE，求∠B的度数．
题型二：直角三角形斜边上的中线
【典例1】（2025•陕西）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-1】（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cmB．3cmC．4.5cmD．6cm
【变式1-2】（2025•德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD＝1，则GE＝（ ）
A．3B．2C．1D．12
【典例2】（2025•浙江）如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB＝2，则DE的长为（ ）
A．19πB．29πC．1136πD．718π
【变式2-1】（2025•绥中县二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，过点A，B分别作AE∥BD，BE∥AC．若AB＝5，BC＝12，则四边形AEBD的面积为（ ）
A．15B．30C．45D．60
【变式2-2】（2025•山阳县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝3∠C，AM为△ABC的一条中线，AN为△ABC的一条高，则图中的等腰三角形共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
模型三：倍长中线构造全等三角形
【典例1】（2025•南山区校级三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，BE＝3，DE⊥DF，CF=7，则EF＝ ．
【变式1-1】（香坊区校级四模）如图，点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝BD＝CF，连接DE、DF，若DE＝72，DF＝10，则线段BE的长为 ．
【变式1-2】（2024•邢台模拟）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．
【典例2】（沙坪坝区校级模拟）如图，△ABC中，D在AB上，E在BC上，∠AED＝∠ABC，F在AE上，EF＝DE．
（1）如图1，若CE＝BD，求证：BE＝CF；
（2）如图2，若CE＝AD，G在DE上，∠EFG＝∠EFC，求证：CF＝2GF；
（3）如图3，若CE＝AD，EF＝2，∠ABC＝30°，当△CEF周长最小时，请直接写出△BCF的面积．
【变式2-1】（2024•兴宁区校级模拟）【模型启迪】
（1）如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为 ，位置关系为 ；
【模型探索】
（2）如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交AD于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF；
【模型应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长AC至点N，使AN＝AB，连接BN，交AD的延长线于点M．若AB＝7，AC＝5，DM=23，求线段AD的长．
【变式2-2】（2024•二道区校级模拟）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得，DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【解决问题】如图②，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE，交边AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF．
（2）若∠A＝90°，则线段BE、CF、EF之间的等量关系为 ．
（3）【应用拓展】如图③，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，点E和点F分别在边AB、BC上，点M为线段EF的中点．若AE＝2，CF＝5，则DM的长为 ．
模型四：中位线
【典例1】（2025•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．12B．1C．2D．3
【变式1-1】（2025•广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝（ ）
A．20°B．40°C．70°D．110°
【变式1-2】（2025•内蒙古）如图，ABCD是一个矩形草坪．对角线AC、BD相交于点O，H是BC边的中点，连接OH，且OH＝20m，AD＝30m，则该草坪的面积为（ ）
A．2400m2B．1800m2C．1200m2D．600m2
【典例2】（2025•碑林区校级二模）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式2-1】（2025•潢川县一模）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC＝12，DE＝10，则BG的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式2-2】（2024•凉州区二模）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G．求证：OG＝OH．
模型五：圆中垂径定理
【典例1】（2024•通辽）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（ ）
A．1.25mB．1.3mC．1.4mD．1.45m
【变式1-1】（陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为（ ）
A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm
【变式1-2】（2025•莆田模拟）如图，将⊙O沿AB折叠，半径OC长12，且OC⊥AB，AB恰好经过OC的中点D，则折痕AB长为（ ）
A．315B．615C．12D．63
【典例2】（2025•海珠区校级二模）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，AC与OB交于点D，点D是AC的中点，OC∥AB，则AC＝ ．
【变式2-1】（2025•武汉模拟）如图，在⊙O中，点C是AB的中点，CD垂直平分半径OA，BD=27，则该圆的半径为（ ）
A．4B．2C．437D．7
【变式2-2】（2025•雁塔区校级四模）如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（ ）
A．23B．3C．32D．33
1．（2025•中山市校级模拟）如图，P是线段AB所在直线上的一动点，点C，D在AB的两侧，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，连接PC，PD，分别取PC，PD的中点M，N，连接MN．随着点P的运动，线段MN的长（ ）
A．随着点P的位置变化而变化
B．保持不变，长为52
C．保持不变，长为2
D．保持不变，长为412
2．（2025•榆阳区校级三模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度AB为24米，AB所在圆的半径为20米，则这个弧形石拱桥的拱高（AB的中点C到弦AB的距离）CD为（ ）
A．8米B．6米C．4米D．2米
3．（2024•石泉县模拟）如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧AB（AB 所在圆的圆心为O），弓弦部分AB的长为4dm，点D是弓臂 AB 的中点，OD交AB于点C，D、C两点之间的距离为1dm，则弓臂 AB 所在圆的半径为（ ）
A．2dmB．2.5dmC．3dmD．4dm
4．（2025•赤峰模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一点，点E为AB边上的动点，点F，G分别为CD，DE的中点，则FG的最小值为（ ）
A．1B．1.2C．1.5D．1.8
5．（2024•喀喇沁旗模拟）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为 m．
6．（2025•通辽三模）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，CF=12BC，若CF＝3，则EF的长为 ．
7．（2025•济源一模）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝ ．
8．（2024•大渡口区模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DCB＝120°，连接AC，BD，点E，F分别是线段AC，BD的中点，若EF＝1，则BD的长为 ．
9．（2024•马鞍山校级一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC边上一点，∠C＝2∠CBD，E，F分别是BC，BD上的点，且∠BEF＝2∠CAE，AB＝BE．
（1）设∠CBD＝α，则∠BEF＝ （用含α的式子表示）；
（2）若EF＝2，CE＝1，则BE的长为 ．
10．（2024•大埔县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．
11．（2025•宣恩县校级模拟）如图是某单位拟建大门的示意图，上部是一段直径为10m的圆弧形，下部是矩形ABCD，其中点O为弧AD所在圆的圆心，AB＝4.8m，BC＝8m，求弧AD的中点到BC的距离．
12．（路北区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AD＝11，BC＝CD＝13，对角线AC＝20，点E是AB边上一点，连接CE．
（1）若AB＞AD且AC平分∠DAB，
①当AE＝AD时，求证：CE＝BC；
②求线段CE的最小值；
（2）当点E是AB边的中点，且CE=12BC时，直接写出△ABC的面积．
模型大招
在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：
已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.
模型大招
在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：
（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.
（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.
【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角.
模型大招
将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：
（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.
（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.
模型大招
有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：
如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，，.
模型大招
当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：
（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.
（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.