山东省青岛五十八中高新学校2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份山东省青岛五十八中高新学校2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题（含答案解析），共53页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
2. 已知集合，则（ ）
3. 已知数列为等比数列，，，则（ ）
4. 已知事件相互独立，且，则（ ）
5. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ）
6. 已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ）
7. 已知函数，则“”是“”的（ ）
8. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（ ）
二、多选题
9. 一组数据的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（ ）
10. 定义平面向量的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，下列说法中正确的是（ ）．
11. 已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ ）
三、填空题
12. 已知椭圆和双曲线的焦点相同，则______.
13. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法有_________种．
14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________.
四、解答题
15. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中，点P的坐标为，点Q是图象上的最低点且坐标为，点R是图象上的最高点.

(1)求函数的解析式；
(2)记，（α，β均为锐角），求的值.
16. 如图，在三棱台中，平面平面，，，．

(1)求三棱台的高；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求．
17. 设为实数，函数．
(1)求的单调区间与极值；
(2)求证：当且时，．
18. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球．
(1)当盒中的白球数时有放回地依次取出3个球，求恰有一次取到黑球的概率．
(2)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求与，并判断事件A与B是否独立．
(3)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n．
19. 双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为和．
（i）设点的横坐标为，求的取值范围；
（ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上．
（附：双曲线以点为切点的切线方程为）
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．4
D．6
A．0.8
B．0.7
C．0.5
D．0.3
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．6
D．4
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．是极大值点
C．
D．