2025--2026学年山东省临沂市临沭第一中学高一下册4月阶段检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东省临沂市临沭第一中学高一下册4月阶段检测数学试题 [含答案]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知A(2,1)，B(−1,5)，则与向量AB方向相反的单位向量为( )
A. (−35,45)B. (−45,35)C. (35,−45)D. (45,−35)
2.复数2+i1−i的共轭复数是( )
A. 12−32iB. 12+32iC. −12−32iD. −12+32i
3.如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量OA，BC对应的复数分别为z1，z2，则|z1+2z2|=( )
A. 9B. 3 5C. 5D. 5+2 2
4.在△ABC中，D在BC上且DC=3BD，设AB=a,AC=b，AC=b，则AD=( )
A. 14a+34bB. 34a+14bC. 23a+13bD. 13a+23b
5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若满足4S=a2+b2−c2，则角C=( )
A. π4B. 34πC. π3D. π6
6.已知向量a，b满足：|a|=1，|a+2b|=2，且(b−2a)⊥b，则|b|=( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
7.如图，为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D，测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD长a米，并在C处测得塔顶A的仰角为γ，则塔高AB=( )米．
A. a⋅sin(α+β)tanγsinβB. a⋅sinγsin(α+β)tanγC. a⋅sin(α+β)sinβtanγD. a⋅sinβtanγsin(α+β)
8.如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA+PB.)⋅PC.的最小值等于( )
A. 2B. −1C. −2D. 0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−2,1)，b=(−1,t)，其中t∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若a⊥b，则t的值为−2
B. 若a//b，则t的值为12
C. 若t>−2，则a与b的夹角为锐角
D. 若(a+b)⊥(a−b)，则|a+b|=|a−b|
10.已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 若复数z=1+i1−i，则z30=−1
B. |z|2=z⋅z−
C. 若|z+1|=|z−1|，则z为纯虚数
D. 若1≤|z|≤ 2，则在复平面中复数z所对应的点的集合构成的图形面积为π
11.如图，某旅游部门计划在湖中心Q处建一游览亭，打造一条三角形DEQ游览路线.已知AB，BC是湖岸上的两条雨路，∠ABC=120°，BD=0.3km，BE=0.5km，∠DQE=60°(观光亭Q视为一点，游览路线、雨路的宽度忽略不计)，则( )
A. DE=0.7kmB. 当∠DEQ=45°时，DQ=7 620km
C. △DEQ面积的最大值为49 3400km2D. 游览路线DQ+QE最长为1.6km
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a,b满足a⋅b=4,b=(2,2)，则a在b方向上投影向量的坐标为 ..
13.已知复数z满足|z+ 5−i|=1，则|z+i|的最小值为 ．
14.已知△ABC是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，则△ABC的周长的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设复数z1=1−ai(a∈R)，z2=3−4i．
(1)在复平面内，复数z1+z2对应的点在实轴上，求z1z2；
(2)若z1z2是纯虚数，求|z1|.
16.(本小题15分)
在△ABC中，已知A=120°，a=6，c=2 3．
(1)求C；
(2)如D为AC的中点，求BD的长．
17.(本小题15分)
在等边△ABC中，AB=1，D，E分别是AB和BC的中点，AC=3AF，设AB=a，AC=b．
(1)用向量a，b表示DF，并求|DF|；
(2)求向量AE与DF的夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2 6，sin2C−sin2A−sin2B=sinA⋅sinB．
(1)求角C的大小；
(2)若 3bsinA=asin2B，求△ABC的周长；
(3)求AB边上的中线CD长度的最小值．
19.(本小题17分)
如图，在四边形ABCD中，AD=2，CD=3，△ABC是等边三角形．
(1)若∠ADC=60°，求△ABC的面积；
(2)若BC=2，求△BCD的面积；
(3)求△BCD的面积的最大值．
1.【正确答案】C
解：已知A(2,1)，B(−1,5)，所以AB=(−3,4)，
与向量AB方向相反的单位向量−AB|AB|=−(−3,4)5=(35,−45)．
故选：C．
首先求出AB，进一步求出向量的单位向量．
本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的单位向量，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2.【正确答案】A
解：∵2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+32i，
∴复数2+i1−i的共轭复数是12−32i．
故选：A．
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案，再由共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【正确答案】B
解：由图可知z1=−1+2i，z2=2+2i，
所以|z1+2z2|=|3+6i|= 32+62=3 5．
故选：B．
4.【正确答案】B
解：由已知可得BD=14BC，
则AD=AB+BD=AB+14BC=AB+14(AC−AB)，
即AD=AB+14AC−14AB=34AB+14AC，
又因为AB=a,AC=b，
所以AD=34a+14b．
故选：B．
作出图形，再根据平面向量的线性运算来求得正确答案．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
5.【正确答案】A
解：∵S=12absinC，csC=a2+b2−c22ab，且4S=a2+b2−c2，
∴2absinC=2abcsC，
整理得：sinC=csC，即tanC=1，
∴C=π4．
故选：A．
利用三角形面积公式表示出S，利用余弦定理表示出csC，变形后代入已知等式求出tanC的值，即可确定出C的度数．
此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
6.【正确答案】B
解：向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b−2a)⊥b，
可得a2+4a⋅b+4b2=4，b2−2a⋅b=0，
可得6b2=3，
所以|b|= 22．
故选：B．
利用向量的模，以及向量的垂直关系，转化求解即可．
本题考查平面向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基础题．
7.【正确答案】D
解：因为∠BCD=α，∠BDC=β，CD长a米，可得∠CBD=π−(α+β)，
所以sin∠CBD=sin[π−(α+β)]=sin(α+β)，
在△BCD中，由正弦定理可得：BCsin∠BDC=CDsin∠CBD，
所以BC=sinβsin(α+β)⋅a，
在Rt△ABC中，AB=CD⋅tanγ=a⋅sinβtanγsin(α+β)(米)．
故选：D．
由题意及正弦定理可得BC的值，再在Rt△ABC中，可得AB的值．
本题考查正弦定理及直角三角形的性质的应用，属于基础题．
8.【正确答案】C
解：因为O为AB的中点，
所以PA+PB=2PO，
从而(PA+PB)⋅PC=2PO⋅PC；
又|PO|+|PC|=2为定值，
所以当且仅当|PO|=|PC|=1，
即P为OC的中点时，(PA+PB)⋅PC取得最小值是−2．
故选：C．
由O为AB的中点，得出PA+PB=2PO，求出(PA+PB)⋅PC=2PO⋅PC；由|PO|+|PC|=2为定值，求出(PA+PB)⋅PC的最小值．
本题考查了平面向量的数量积运算和基本不等式的应用问题，是基础题目．
9.【正确答案】AB
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若a⊥b，则a⋅b=2+t=0，解可得t=−2，A正确；
对于B，若a//b，则(−2)t=(−1)×1，解可得t=12，B正确；
对于C，当t=12时，a//b，两个向量夹角不是锐角，C错误；
对于D，若(a+b)⊥(a−b)，则有(a+b)⋅(a−b)=a2−b2=0，
必有(−2)2+1=(−1)2+t2，解可得t=±2，
当t=2时，a+b=(−3,3)，a−b=(−1,−1)，|a+b|≠|a+b|，
当t=−2时，a+b=(−3,−1)，a−b=(−1,3)，|a+b|=|a+b|= 10，D错误．
故选：AB．
根据题意，由向量垂直的判断方法分析A，由向量平行的判断方法分析B，举出反例可得C错误，由数量积的运算性质分析D，综合可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行、垂直的判断，属于基础题．
10.【正确答案】ABD
解：对于A，z=1+i1−i=(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=i，
所以z30=(i2)15=−1，故A正确；
对于B，设z=a+bi(a,b∈R)，
则|z|2=a2+b2,z⋅z−=a2+b2，所以|z|2=z⋅z−，故B正确；
对于C，当z=0时，|z+1|=|z−1|=1，故C错误；
对于D，设z=x+yi(x,y∈R)，
由1≤|z|≤ 2，得1≤ x2+y2≤ 2，即1≤x2+y2≤2，
所以复数z在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环，
其中大圆的半径为 2，小圆的半径为1，
复数z在复平面内对应的点围成的面积为π×( 2)2−π×12=π，故D正确．
故选：ABD．
根据复数的除法运算及乘方即可判断A；根据复数的模及复数的乘法运算即可判断B；举出反例即可判断C；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，即可判断D．
本题主要考查复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题．
11.【正确答案】AC
解：对于A，在△DBE中，由余弦定理得DE2=BD2+BE2−2BD⋅BE⋅cs120°=0.49，所以DE=0.7km，故A正确；
对于B，在△DEQ中，由正弦定理得DQsin∠DEQ=DEsin∠DQE，
则DQ=DEsin∠DEQsin∠DQE=0.7× 22 32=7 630(km)，故B错误；
对于C，在△DEQ中，由余弦定理，得0.72=DQ2+QE2−2DQ⋅QE⋅12≥2DQ⋅QE−DQ⋅QE=DQ⋅QE，
当且仅当DQ=QE时等号成立，所以DQ⋅QE≤49100，
则△DEQ的面积为12DQ⋅QEsin60°≤12⋅49100⋅sin60°=49 3400(km2)，故C正确；
对于D，由上可得0.72=DQ2+QE2−2DQ⋅QE⋅12=(DQ+QE)2−3DQ⋅QE，
所以0.72≥(DQ+QE)2−3(DQ+QE2)2=14(DQ+QE)2，当且仅当DQ=QE时等号成立，
所以DQ+QE≤2×0.7=1.4(km)，故D错误．
故选：AC．
12.【正确答案】(1,1)
解：∵a⋅b=4,b=(2,2)，
|b|= 4+4=2 2，
∴a在b方向上投影向量的坐标为a⋅b|b|×b|b|=4b8=12b=12(2,2)=(1,1)．
故(1,1)．
根据投影向量公式计算求解．
本题主要考查了投影向量的求解，属于基础题．
13.【正确答案】2
解：设z=a+bi，a，b∈R，
则|z+ 5−i|=1表示以(− 5,1)为圆心，1为半径的圆，
|z+i|表示圆上的点到(0,−1)的距离，
故|z+i|的最小值为 (− 5−0)2+(1+1)2−1=2．
故2．
结合复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，是基础题．
14.【正确答案】(1, 3)∪( 5,3)
解：因为△ABC是钝角三角形，且a