2025--2026学年山东省临沂市临沭第一中学高一下册4月阶段检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东省临沂市临沭第一中学高一下册4月阶段检测数学试题 [含答案]，共2页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，，则与向量方向相反的单位向量为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的定义运算，结合相反向量和单位向量的概念即可求解.
【详解】由，，可得向量，
则与向量方向相反的单位向量为，
故选：C.
2. 复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算出即可.
【详解】因为
所以其共轭复数是
故选：A
【点睛】本题考查的是复数的计算及其概念，较简单.
3. 如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量对应的复数分别为，则（ ）
A. 9B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由图可知，
所以.
故选：B.
4. 在中，在上且，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算来求得正确答案.
【详解】如图，在中，在上且，所以.
则
.
又因为，所以.
故选：B
5. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将三角形的面积，及，代入条件计算即可.
【详解】将代入已知条件，得到，
则，则，则.
故选：B
6. 已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
7. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求解即得.
【详解】在中，，，则，
由正弦定理得，则，
在中，，所以.
故选：D
8. 如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的线性运算得，取数量积运算得到，且，方向相反，设，将所求式子化为，用二次函数求最值即可.
【详解】由平行四边形法则得，故，，且，方向相反，
设，则．
因为，所以当时，取得最小值，最小值为．
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的值为-2B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量共线和垂直的坐标表示，向量数量积和向量的模的坐标表示及向量夹角的坐标表示一一判断即可．
【详解】由题意，
对于A，因为，所以，解得，故A正确；
对于B，因为，所以使得，即，
解得，故B正确；
对于C，若与夹角为锐角，则且与不共线，
则，解得且，
所以时满足，则与的夹角为锐角，故C错误；
对于D，因为，所以，
即，解得，
当时，
则，则；
当时，，
则，故D错误.
故选：AB.
10. 已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数，则
B.
C. 若，则为纯虚数
D. 若，则在复平面中复数所对应的点的集合构成的图形面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复数的除法运算及乘方即可判断A；根据复数的模及复数的乘法运算即可判断B；举出反例即可判断C；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，即可判断D.
【详解】对于A，，
所以，故A正确；
对于B，设，
则，所以，故B正确；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，设，
由，得，即，
所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环，
其中小圆的半径为，大圆的半径为，
其面积为，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线.已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线，甬路的宽度忽略不计），则（ ）

A.
B. 当时，
C. 面积的最大值为
D. 游览路线最长为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，在中利用余弦定理求解即可；对于B，在中利用正弦定理求解即可；对于C，在中利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值即可；对于D，在中利用余弦定理和基本不等式求解最大值即可.
【详解】对于A，在中，由余弦定理得，
所以，故A正确；
对于B，在中，由正弦定理得，故B错误；
对于C，在中，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，
所以，则的面积为，故C正确；
对于D，由上可得，所以，
当且仅当时等号成立，所以，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量满足，则在方向上投影向量的坐标为________．.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量公式计算求解.
【详解】，
在方向上投影向量的坐标为．
13. 已知复数满足，则的最小值为_____.
【答案】2
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出最小值.
【详解】在复平面内，复数对应的点，表示点与点的距离为1，
因此点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，又表示点与点的距离，
，所以的最小值.
故答案为：2
14. 已知是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的周长的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分为钝角，为钝角两种情况，结合余弦定理和三角形三边关系得到不等式，求出的取值范围，进而求出周长的取值范围.
【详解】显然，所以，
因为为钝角三角形，故为钝角，或为钝角，
当为钝角时，，
故，解得，
又，故，故，故，
此时的周长取值范围是，即，
当为钝角时，，
故，故，
又，故，
此时的周长取值范围是，
综上，的周长取值范围是，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设复数．
（1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
（2）若是纯虚数，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数是实数，求，再根据复数的乘法运算公式，即可求解；
（2）首先利用复数除法运算公式化简复数，再根据复数的特征，即可求解，最后代入模的计算公式.
【小问1详解】
由，得，
而由已知是实数，
于是，解得，
所以；
【小问2详解】
依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以，.
16. 在中，已知，，．
（1）求；
（2）如为的中点，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的内角和公式以及正弦定理即可求出角；
（2）利用余弦定理与已知的长度和角度即可求解.
【小问1详解】
因为，且，，
根据正弦定理可得，
解得；
又 ，且，
故.
【小问2详解】
由（1）可知，，
由可得.
因为D为AC的中点，所以，
在中， 由余弦定理可得，
则，
从而.
17. 在等边中，分别是和的中点，，设．
（1）用向量表示，并求；
（2）求向量与的夹角的余弦值．
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量基本定理即可将向量表示出来，然后根据求模公式和数量积的定义可求出.
（2）利用向量数量积的定义求解即可.
【小问1详解】
如图所示，
.
所以.
【小问2详解】
如图，因为.
由（1）知，.
所以.
而，
所以.
18. 记的内角所对的边分别为，若，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长；
（3）求边上的中线长度的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，得到，结合余弦定理，求得，即可求解；
（2）根据题意，由正弦定理求得，得到，进而求得的周长；
（3）根据题意，由余弦定理和基本不等式，求得，再由，根据向量的数量积的运算律，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，由正弦定理得，
又由余弦定理，可得，
因为，所以.
【小问2详解】
解：因为，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
又因为，所以，则，
由，可得，所以，
所以的周长为.
【小问3详解】
解：因为，由余弦定理得，即，
又因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，
因为为边上的中线，可得，
所以，
所以，则，
所以边上的中线长度的最小值为.
19. 如图，在四边形中，，，是等边三角形．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的面积；
（3）求的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）.
（3）．
【解析】
【分析】（1）通过余弦定理建立方程，求出等边的边长.从而得到面积.，
（2）在中用余弦定理得到得余弦及正弦值，从而得到的余弦值，进而求出的面积.
（3）由（2）知，可设出，通过正余弦定理在表示出，表示出，最终通过辅助角公式求最值得出第（3）问.
【小问1详解】
在中，由余弦定理可得:
，则．
因为是等边三角形，所以的面积．
【小问2详解】
在中，由余弦定理可得，
则，故，
因为是等边三角形，所以，
所以
，
则的面积为，
【小问3详解】
设，，
在中，由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得，
，
则，
所以的面积：
，
因为，，
所以，
当时，取得最大值，即的面积的最大值为．