2025-2026学年北京市第三十五中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年北京市第三十五中学高二（下）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数中，求导错误的是（ ）
A. （sin60°）′=0B.
C. （csx）′=-sinxD.
2.下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ）
A. y=x3+xB. C. D. y=x-2
3.已知y=f'（x）是函数y=f（x）的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（ ）
A. x=0和x=2是函数y=f（x）的两个零点
B. 函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1）
C. 函数y=f（x）在x=0处取得极小值，在x=2处取得极大值
D. 函数y=f（x）的最大值为f（2），最小值为f（0）
4.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则P（X=2）=（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数f（x）=sin2x,下面说法正确的是（ ）
A. f（x）在上的平均变化率为1B. f′（x）=cs2x
C. 是f（x）的一个极大值点D. f（x）在x=0处的瞬时变化率为2
6.在曲线上一点P0处的切线平行于直线，则点P0坐标是（ ）
A. B. C. D.
7.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是0.5，质点P移动6次后位于点（2，4）的概率为（ ）.
A. （）6B. C（）6C. C（）2D. CC（）6
8.已知函数f（x）=lnx+ax2，则“a＞0”是“函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.f（x）是定义在R上的可导函数，且满足xf′（x）+f（x）＜0，对任意实数a，b，若a＜b，则必有（ ）
A. af（a）＜bf（b）B. bf（a）＜af（b）
C. af（b）＜bf（a）D. af（a）＞bf（b）
10.对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数若f（x）=ex+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（ ）
A. （e+1，+∞）B. （e+2，+∞）C. （e+，+∞）D. （e+，+∞）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设函数f（x）=e2x-1，则f′（1）= .
12.抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为 .
13.李明参加中央电视台《中国诗词大会》的选拔赛，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，若规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选，则李明入选的概率为 .
14.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕 万千克.
15.对于偶函数，下列结论中正确的是 .
①函数f（x）在处的切线斜率为：
②∃x0∈（0，+∞），使得f（x0）＜1；
③若0＜x1＜x2＜π，则f（x1）＜f（x2）；
④若，都有m＜f（x）成立，则m的最大值为.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知函数f（x）=2x3+3x2-12x+1.
（1）求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数y=f（x）的单调区间及极值.
17.(本小题14分)
某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位同学每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率，乙同学午餐选择A餐厅就餐的概率；
（2）记X为乙同学在未来4天中选择A餐厅进行午餐的天数，求X的分布列和数学期望E（X）.
18.(本小题14分)
已知函数f（x）=（x+a）ex．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，4]上的最小值．
19.(本小题14分)
为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
（Ⅰ）从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率；
（Ⅱ）已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训.并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结论不要求证明）
20.(本小题14分)
已知函数.
（1）若a=0，求f（x）的极值；
（2）若f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；
（3）判断函数f（x）的零点个数.（直接写出结论）
21.(本小题15分)
已知函数f（x）的定义域为D⊆R，如果存在x0∈D，使得f（x0）=x0，则称x0为f（x）的一阶不动点；如果存在x0∈D，使得f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点.
（1）分别写出函数f（x）=-x3的一阶不动点及二阶周期点；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求证：f（x）不存在二阶周期点；
（3）求的二阶周期点的个数.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】2e
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】5
15.【答案】①②④
16.【答案】y=-12x+1 单调增区间：（-∞，-2）和（1，+∞）；单调减区间：（-2，1）；极大值为21，极小值为-6
17.【答案】解：（1）设事件C表示“一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，事件D表示“乙同学午餐选择A餐厅就餐”，
因为30天中，甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的有3天，乙同学午餐选择A餐厅就餐的有6+6=12天，
所以P（C）==，P（D）==；
（2）由题意可知，X～B（4，），X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，
所以X的分布列为：
所以E（X）=0×=．
18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x+a）ex．
函数f′（x）=ex+（x+a）ex=（x+a+1）ex，
由f′（x）＞0，解得：x＞-a-1；
由f′（x）＜0，解得：x＜-a-1．
所以：函数f（x）的单调减区间为：（-∞，-a-1），单调增区间为：（-a-1，+∞）．
（Ⅱ）①当-a-1≥4，即a≤-5时，
f（x）在[0，4]上单调递减，
所以：f（x）min=f（4）=（a+4）e4；
②当-a-1≤0，即：a≥-1时，
f（x）在[0，4]上单调递增，
所以：f（x）min=f（0）=a；
③当-5＜a＜-1时，
所以：f（x）min=f（-a-1）=-e-a-1=-；
综上：当a≤-5时，f（x）min=（a+4）e4；
当a≥-1时，f（x）min=a；
当-5＜a＜-1时，f（x）min=-；
故答案为：（Ⅰ）函数f（x）的单调减区间为：（-∞，-a-1），单调增区间为：（-a-1，+∞）．
（Ⅱ）当a≤-5时，f（x）min=（a+4）e4；
当a≥-1时，f（x）min=a；
当-5＜a＜-1时，f（x）min=-；
19.【答案】解：（Ⅰ）设参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校为事件A，参与“单板滑雪”超过30人的学校为事件B，则P（A）=，P（B）=，，
所以=；
（Ⅱ）由题知，“基地学校”有4个，则x的可能取值为0，1，2，
所以，
，，
所以X的分布列为
所以E（X）=；
（Ⅲ）因为李华同学一次测试达到优秀的概率=，
则设李华同学测试获得优秀的次数为Y，则Y～B（n,），
因为，解得，
因为n∈N+，所以至少要进行12轮测试．
20.【答案】f（x）的极大值为，无极小值 当时，函数f（x）的零点个数为0个；当或a≤0时，函数f（x）的零点个数为1个；当时，函数f（x）的零点个数为2个
21.【答案】一阶不动点为0，二阶周期点为±1 证明：假设x2是函数f（x）的二阶周期点，则f（x2）≠x2，
若f（x2）＞x2，由f（x）在R上单调递增，则f（f（x2））＞f（x2）＞x2，
若f（x2）＜x2，由f（x）在R上单调递增，则f（f（x2））＜f（x2）＜x2，
综上，f（f（x2））≠x2，假设不成立．
因此，若函数f（x）在R上单调递增，则f（x）不存在二阶周期点 2 选择餐厅情况（午餐，晚餐）
（A，A）
（A，B）
（B，A）
（B，B）
甲同学
9天
6天
12天
3天
乙同学
6天
6天
6天
12天
X
0
1
2
3
4
P




x
（0，-a-1）
-a-1
（-a-1，4）
f′（x）
-
0
+
f（x）
减
极小值
增
X
0
1
2
P