北京市第三十五中学2025-2026学年第二学期期中测试高二数学

这是一份北京市第三十五中学2025-2026学年第二学期期中测试高二数学，共33页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数中，求导错误的是（）
A. B. C. D.
2.下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（）
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（ ）
A. 和是函数的两个零点
B. 函数的单调递增区间为
C. 函数在处取得极小值，在处取得极大值
D. 函数的最大值为，最小值为
4.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，下面说法正确的是（ ）
A. 在上的平均变化率为1B.
C. 是的一个极大值点D. 在处的瞬时变化率为2
6.在曲线上一点处的切线平行于直线，则点坐标是（ ）
A. B. C. D.
7.位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动次后位于点的概率为．( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则“”是“函数在上是单调函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数在其定义域内可导，且满足，则对任意的实数，，若，则（ ）
A. B. C. D.
10.对于函数，若存在区间[a，b]，当x[a，b]时的值域为[ka，kb](k＞0)，则称为k倍值函数．若是k倍值函数，则实数k的取值范围是( )
A. (e＋1，)B. (e＋2，)C. (，)D. (，)
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设函数，则 .
12.抛掷甲､乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为 .
13.李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．则李明入选的概率为 ．
14.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕 万千克.
15.对于偶函数，下列结论中正确的是 ．
①函数在处的切线斜率为：
②，使得；
③若，则；
④若，都有成立，则的最大值为．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间及极值.
17.(本小题12分)
某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位同学每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率，乙同学午餐选择A餐厅就餐的概率；
（2）记X为乙同学在未来4天中选择A餐厅进行午餐的天数，求X的分布列和数学期望E（X）.
18.(本小题12分)
已知函数f（x）=（x+a）ex．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，4]上的最小值．
19.(本小题12分)
为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率；
(2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明）
20.(本小题14分)
已知函数.
(1)若，求的极值
(2)若恒成立，求的取值范围
(3)判断函数的零点个数.（直接写出结论）
21.(本小题15分)
已知函数的定义域为，如果存在，使得，则称为的一阶不动点；如果存在，使得，且，则称为的二阶周期点.
(1)分别写出函数的一阶不动点及二阶周期点；
(2)若函数在上单调递增，求证：不存在二阶周期点；
(3)求的二阶周期点的个数.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】 /0.5
13.【答案】
14.【答案】5
15.【答案】①②④
16.【答案】解：（1）由，有，
则，，
故切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为，即；
（2）由（1）知，，令，解得或，
故当时，，当时，，当时，
故函数在和上单调递增，在上单调递减；
故函数的极大值为，极小值为.

17.【答案】解：（1）设事件C表示“一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，事件D表示“乙同学午餐选择A餐厅就餐”，
因为30天中，甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的有3天，乙同学午餐选择A餐厅就餐的有6+6=12天，
所以P（C）==，P（D）==；
（2）由题意可知，X～B（4，），X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，
所以X的分布列为：
所以E（X）=0×=．
18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x+a）ex．
函数f′（x）=ex+（x+a）ex=（x+a+1）ex，
由f′（x）＞0，解得：x＞-a-1；
由f′（x）＜0，解得：x＜-a-1．
所以：函数f（x）的单调减区间为：（-∞，-a-1），单调增区间为：（-a-1，+∞）．
（Ⅱ）①当-a-1≥4，即a≤-5时，
f（x）在[0，4]上单调递减，
所以：f（x）min=f（4）=（a+4）e4；
②当-a-1≤0，即：a≥-1时，
f（x）在[0，4]上单调递增，
所以：f（x）min=f（0）=a；
③当-5＜a＜-1时，
所以：f（x）min=f（-a-1）=-e-a-1=-；
综上：当a≤-5时，f（x）min=（a+4）e4；
当a≥-1时，f（x）min=a；
当-5＜a＜-1时，f（x）min=-；
故答案为：（Ⅰ）函数f（x）的单调减区间为：（-∞，-a-1），单调增区间为：（-a-1，+∞）．
（Ⅱ）当a≤-5时，f（x）min=（a+4）e4；
当a≥-1时，f（x）min=a；
当-5＜a＜-1时，f（x）min=-；
19.【答案】解：（1）由题设可得如下数据：
设 为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”，
为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则 ，
而 ，故 .
​​​​​​​故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，
该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为.
（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所， 的所有可能取值为 ,
所以 ， ， ，
所以 的分布列如下表：
所以 .
（3）记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件 ，则 ，
由题意，李华同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布 ，
由题意列式，得，
因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试.

20.【答案】解：（1）当时，，其定义域为，
所以，令，得，令，得.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，的极大值为，无极小值.
（2）由题意知在恒成立，即在恒成立，
所以在恒成立，即，，
令，，
则，令，解得.
当在内变化时，，的变化情况如下表：
由表知，当时，函数有最大值，且最大值为，
所以，即实数的取值范围为.
（3）解：函数的零点即为的实数根，即方程的实数根，
由（2）知，当时，；当时，；当时，；
又因为当时，，当时，，
所以，当时，方程无实数根，即函数的零点个数为0个；
当或时，方程有1个实数根，即函数的零点个数为1个；
当时，方程有2个实数根，即函数的零点个数为2个；
综上，当时，函数的零点个数为0个；当或时，函数的零点个数为1个；当时，函数的零点个数为2个.

21.【答案】解：（1）设是函数的一阶不动点，则，
解得，即函数的一阶不动点为.
设为函数的二阶周期点，则，
解得或，又，所以，
即函数的二阶周期点为.
（2）假设是函数的二阶周期点，则，
若，由在上单调递增，则，
若，由在上单调递增，则，
综上，，假设不成立.
所以，若函数在上单调递增，则不存在二阶周期点.
（3）由，
当时，，所以，
设，，恒成立，
所以在上单调递减，且，，
所以在上只有一个零点，即在上只有一个解，记为，
则，若，则，解得，
所以，即在上只有一个二阶周期点；
当时，，且，
所以时，，，
令，解得成立，
所以方程在上只有一个解，
又，所以不是的二阶周期点；
当时，，，
设，恒成立，
所以在上单调递减，且，，
所以在只有一个零点，即在上只有一个解，记为，
则，若，则，
所以，所以是的一个二阶周期点；
综上所述，的二阶周期点的个数为.
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
（A，A）
（A，B）
（B，A）
（B，B）
甲同学
9天
6天
12天
3天
乙同学
6天
6天
6天
12天
X
0
1
2
3
4
P




x
（0，-a-1）
-a-1
（-a-1，4）
f′（x）
-
0
+
f（x）
减
极小值
增
自由
单板
0
1
2
0
单调递增
单调递减