2026年哈三中高一下学期期中数学试卷和答案

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一、单选题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
设复数 z  1  3i ， z 是 z 的共轭复数，则复平面内 z 对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
向量 a，b 的夹角为，并且 a，b 是单位向量，向量 c 满足 c  ab，那么向量 a
3
与 c 的夹角为
B.
6
C.
3
2D. 5
36
已知 AB   3， 4 ，则向量 a  1,1在向量 AB 上的投影向量为
 7
A. 
 25
7 
， 
25 

B. 

7 ，

25
7 

25 
 21
C. 
 25
28 
， 
25 

D. 

21，

25
28 

25 
已知 a ， b 为两条不同的直线，， 为两个不同的平面，那么下列结论正确的是
若 a ， b  ，且  l ，则 a 与b 为异面直线
若 a ， b  ，且// ，则 a // b
若 a ， b // ，且  l ，则 a 与b 为异面直线
若 a //， b // ，且// ，则 a // b
如图， AB 是底部 B 不可达到的一座建筑， A 是建筑的最高点. 测量建筑 AB 高度时选择了一条水平基线 HG ，使 H ， G ， B 在同一条直线上，在G ， H 两点用测角
仪器测得 A 的仰角分别是75 ，30 ，HG  a ，测角仪器的高是 h . 那么测得建筑 AB
A
D
30
C75
的高度为
3  1 a  h
4
3  1 a  h
2
6 2
4
a  h
6 
2
2 a  h
HGB
在ABC 中， BAC  60 ， AB  4 , AC  6 ，点 D 为 AC 的中点， M 为 BD 上点，
并且 AM  x AB  3 AC ，则 AM  AC 的值为
8
10B.
39C. 15D. 33
42
正三棱柱 ABC  A1 B1C1 的底面边长为 3，高为 2， E 为 A1 B1 上的点， A1 E  2EB1 ，平面 ACE 将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为
11B. 12
1213
C. 13D. 14
1415
A1C1
E
B1
AC
B
在ABC 中，三个内角分别为 A ，B ，C ，所对的三边长分别为 a ，b ，c ，若 A  80 ,
并且 a 2  b 2  bc ，则
B  60
C. B  50
C  50
D. C  60
二、多选题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知复数 z, z1, z2 ， z 是 z 的共轭复数，则下列说法正确的是
z1  z2  z1  z2
z1  z2
 z1  z2
z 2  z 2
若 z  1  2 i  1，则 z  2  6 i 的最大值为6
已知一个圆锥 SO 的底面半径为1，高为2 ，则下列对该圆锥的表述正确的是
侧面积为 2 5
过两条母线的截面面积的最大值为 2
5 1
圆锥的内切球半径为
2
设 AB 是圆锥的底面圆直径，M 是底面圆周上一点，若 MA  MB ，则 SA 与 MB
10
所成角的余弦值为
10
已知点 P 在VABC 所在的平面内，则下列命题正确的是
设 AP  x AB  y AC ，若 P 是ABC 的重心，则 x  y  2
3
若 PA  PB  3PC  0，则ABC 的面积与ABP 的面积之比为5 :1
若 P 是ABC 的内心，满足 2PA  3PB  4PC  0，则sin B  sin C 的值为 7
sin A2
2
若 PA 
222
BC
 PB  CA 
2  AB 2 且 AB  AC  1，则 AP  AB  1
PC
2
第Ⅱ卷（非选择题, 共 92 分）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．将答案填在答题卡相应的位置上．
已知1 2i 是关于 x 的方程2x2  px  q  0的一个根，其中 p, q 为实数，则
p  q =．
3
若底面边长为 2，高为 2 的正三棱柱 ABC  A1B1C1 所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为．
ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为a,b, c ，其面积为 S ，若点M 满足
4 1 2S
AM  3 AB  3 AC ，且CM  3 AM ，则11a2 13c2 sin A 的最大值为．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
(本题 13 分)如图，在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， O 是底面 ABCD 的中心，点 E 是
CC1 的中点．
求证： OE // 平面 ABC1D1 ;
求异面直线 AD1 与OE 所成角的余弦值.
C1
D1
B1
A1E
DC
O
AB
(本题 15 分)已知向量a  1, 1, b   x, 1  ， c  3, 1 ．
x 

若a / / b  c  ，求( a  c ) ( b  c )；
设 f  x   a  b ， x   1 , 2 ，求函数 f  x  的值域．
 2
(本题 15 分)如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， BAD  60 ，
2
AB  PB  4 ， PA  PD  2
求证： BC  平面 PBM ；
求四棱锥 P  ABCD 的体积.
， M 为 AD 的中点．
D
M
P
C
AB
(本题 17 分)在ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，且
2a  ccs B  b cs C ．
求 B 的大小；
若ABC 为锐角三角形，且 a  4 ，求ABC 面积的取值范围；
若 D 为边 AC 上一点（不包含端点），且满足ADB  3ACB , 求 AD 的取值
CD
范围．
(本题 17 分)若点O 是直线 PQ 外一点，点 M , N 在线段 PQ 上（ M , N 异于 P, Q ），
OP sin POM
OQ sin MOQ
我们则称以下操作：P, Q; M  
为“由O 点对 PQ 施以张角运算”；

并且，记P, Q; M , N   P, Q; M  ．如图，四个有序点 A, B, C, D ，由O 点对 AD
P, Q; N
施以张角运算，得( A, D; B)  1．
在OA, OD 上分别取点 E, F （异于端点）,连 EF 交OB 于点G ，证明： B 为 AD 的中点，且 OA  OD  2OB ；
OEOFOG
3
已知A, D;C, B  3 ， AC .O
①若AOC  60 ，求OB 的最大值；
②若OB  1， sin ACO  3 ，求tanA 的值．
sin AOB2
ABCD
2026 年高一下期中考试数学试题答案
一、单选题
1~8 ABCBADCD
二、多选题
9.AD 10. BCD 11. AC
三、填空题
12．613． 2014． 2
56
四、解答题
15. （1）连接 AC , AC1 ,在ACC1 中，O, E 分别为 AC, CC1 的中点，
OE // AC1 又 AC1  平面 ABC1D1 ,
OE  平面 ABC1D1 ,OE // 平面 ABC1D1.
（2）由（1）知OE // AC1 ， D1 AC1 或其补角即为所求，在 AC1D1 中，设C1D1  1，
2
3
则 AD , AC , cs D AC 6 .
11
 
113
11
16．(1)
a  1, 1, b  c   x  3, 1 且a / /(b  c)  x  2 x  1
xx


(a
b =(1,1), a  c  (4, 2), b  c=(2, 2),    c)  (b  c)  12 ;
(2)
f  x  

(x  1)2  ( 1 1)2
x
(x  1)2  2(x  1)  4
x
x
a  b =
 x   1 , 2 x  1   3 , 3  f (x) 的值域为 3 37 
 2
x 2 2 
， .
2
17.（1）证明：因为底面 ABCD 为菱形， BAD  60 ，所以ABD 是等边三角形，又因为 M 是 AD 的中点，所以 BM  AD ，又因为 BC // AD ，所以
BC  BM ． 因为 PA  AD ， M 为 AD 中点， 所以 PM  AD ， 又因为
BC // AD ，所以 PM  BC ，又因为 MP  MB  M ，所以 BC  平面PMB .
3
（2）经计算 PM  2, BM  2，又 PB  4 ，所以 PM 2  BM 2  PB2 ，所以
PM  MB ，又因为 PM  AD ，MB  AD  M ，所以 PM  平面ABCD ，所以 PM 是四棱锥 P  ABCD 的高，所以
V  1 S PM  1  4  4 3  2  163 .
3 ABCD323
18. （1）
2 sin A cs B  sin C cs B  sin B cs C
2 sin A cs B  sin C cs B  sin B cs C  sin(B  C)  sin A
sin A  0 cs B  1  B  
23
a4c, c  4
sin C
sin( A  
)
 43
2 3
 2 
sin A
sin A
sin C
sin A

sin A
tan A
ABC 为锐角三角形，
6
 A 
, tan A 
2
， 2  c  8
3
3
SABC
 1 ac sin B 3c 2
3
3
 2 SABC  8

设ACB ,则ADB  3, DBC  2, ABD 
 2, 3
在ABD 中，AD

BD

sin(
3
 2)
sin() 3

 CD
BD
AD  sin  sin( 3  2)
在 BCD 中，,作商得
sin 2sinCD
sin( 
)
3
sin 2

sin(  2)
3
)
2 sin(   cs
3

sin(2   3
32
)
sin(  2) 3

，设t   2，
3
  0 t  0, ， AD 
sin t1
 ， 
6 

3 CD

3 (1 cs t)  1 sin t
3 cs t 1  1
 t  0, tan t (0,
22
3 ) cs t 1 1
2sin t2

26 2
3sin t
tan t
3
2
 AD 
CD
(0, 1 )
2
1 OB OA sin AOM
OA sin AOM
OD sin MOB
19.（1）A, D; B 
 2  SAOB
 AB  1,
1
2
OB OD sin MOBSBODBD
 B 为 AD 中点.
 SOEF  SOEG  SOGF  SOEG  SOGF  OE OG  OGOF  OG (OE  OF )
SOAD
SOAD
2SOAB
2SOBD
2OAOB
2OBOD
2OB OAOD
又 SOEF  OE  OF ,  OG (OE  OF )  OE  OF ，
SOAD
OA  OD

2OB OAOD
OA  OD
(OE  OF ) OA  OD  2OB ， OA  OD  2OB

OAOD OE  OFOGOEOFOG .
（2）由（1）知，（A, D; B)  1,( A, D;C)  3, AC  3CD, AB  2BC .
OB  1 OA  2 OC, 设OA  m, OC  n ，
33
① AC 3, AOC  60, m2  n2  mn  3 ,
3
又9OB2  m2  4n2  2mn ，9OB2  3(mn  n2 )  3 .
m
sin( A  60)
n
sin A
 sin 60
 2 ， 将m  2 sin( A  60), n  2 sin A 代入，
mn n2 


4 sin Asin(A

 sin22

A  6sin A  2
)
3
3 sin Acs A  3 2
3 sin(2A 
)
3
9OB2  （3
n2  mn） 3  （3 3  2
3） 3  12  6，
3
当 A  5时， OB 取最大值13 .
123
2 3
②m3,n
1, sin ABO  sin OBC .
sin ABOsin AOB sin OBC
sin ACO
 m 
3n .
1 4  m2
1 1  n2
又cs ABO  cs CBO  0 ， 3  3  0, m2  2n2  5
4 32 3
33
 m 3n
联立
得， m 
3, n  1,
cs A  5 , tan A  11 .

m2  2n2  565