2025-2026学年山东省青岛市市北区七年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年山东省青岛市市北区七年级（下）期中数学试卷（含答案+解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算中，正确的是( )
A. (a3)3=a6B. a3+a3=a6C. a3⋅a3=a9D. (ab)3=a3b3
2.如图，AB⊥CD于O，直线EF经过点O，则∠1与∠2的关系是( )
A. 互余
B. 互补
C. 对顶角
D. 相等
3.事件甲：地球绕着太阳转；事件乙：购买彩票中奖.下列说法正确的是( )
A. 事件甲，乙都是随机事件B. 事件甲是随机事件，事件乙是必然事件
C. 事件甲，乙都是必然事件D. 事件甲是必然事件，事件乙是随机事件
4.如图，已知∠1=∠2，那么下列结论正确的是( )
A. ∠A=∠C
B. AD//BC
C. AB//CD
D. ∠3=∠4
5.下列说法合理的是( )
A. 小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是23
B. 某彩票的中奖概率是5%，因此买100张彩票一定会有5张中奖
C. 某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是12
D. 小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是12
6.《淮南万毕术》记载了古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法.如图是一口深井的平面示意图，∠ABE=∠GBF，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC=42∘时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面(即∠CBG=90∘)射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC等于( )
A. 66∘
B. 61∘
C. 54∘
D. 48∘
7.乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为( )
A. (3a+b)(3a−b)=9a2−b2
B. (3a−b)2=9a2−6ab+b2
C. (3a+b)2=9a2+6ab+b2
D. (3a−b)2=9a2+6ab+b2
8.观察下列各式：
(x−1)(x+1)=x2−1；
(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
…
根据以上规律计算：2100+299+…+23+22+2=( )
A. 2101B. 2102C. 2101−1D. 2101−2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板上)，击中阴影部分的概率为______.
10.若am=3，an=2，则a2m+n= .
11.已知，如图，AB//CD，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在AB和CD上，则∠AEF的度数为 .
12.我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达0.5μm(1μm=10−6m).用科学记数法表示这一测量的精度是 m.蜂鸟是世界上最小的鸟，最大的蜂鸟从头到尾的长度大约仅为4.5cm，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的 倍.
13.如图，两个边长分别为a和b的正方形如图(1)放置，其未叠合部分(阴影)面积为S1；若再在图(1)中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形(如图(2))，两个小正方形叠合部分(阴影)面积为S2.若a+b=9，ab=12，则S1+S2= .
14.任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数.重复这个过程，直到出现重复的数(与输入过的数字相同).根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 .
三、解答题：本题共9小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题4分)
尺规作图：已知△ABC，求作：直线MN，使MN经过点A，且MN//BC.(保留作图痕迹，不写作法)
16.(本小题6分)
如图，网格中每个小格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D都在网格的格点上.
(1)过点B画直线AC的垂线，垂足为点E；
(2)比较大小：BA______ BE，理由是：______；
(3)若线段BC=5，则点D到直线BC的距离为______.
17.(本小题16分)
计算下列各式：
(1)|−2|+(12)−1−(3−π)0；
(2)(−4x2y3)⋅(18xyz)÷(12xy2)2；
(3)[(x+y)2−(x−y)2]÷3xy；
(4)20262−2022×2030(用简便方法计算).
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(x+2)(x−3)−3x(x−1)+(2x−1)2，其中x=12.
19.(本小题6分)
如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？
20.(本小题8分)
植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表：
(1)完成上述表格：a=______，b=______；
(2)这种树苗成活的概率估计值为______；
(3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？
21.(本小题8分)
完成下面的说明，并在括号里注明依据.
如图，已知点O，E在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，过点E作OD的平行线EF交OC于点F.说明：∠1=∠2.
说明：
因为EF//OD，
所以∠3=∠______(依据：______).
∠4=∠______(依据：______).
因为OD是∠BOC的平分线，
所以∠3=∠4(依据：______).
所以∠5=∠6(依据：______).
因为∠5+∠1=180∘，∠6+∠2=180∘(依据：______)，
所以∠1=∠2(依据：______).
22.(本小题12分)
【问题提出】
在数学课上，老师提出如下问题：
个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？
【举例观察】
亮亮同学列出下列算式进行观察：
15×15=225=1×2×100+25；
25×25=625=2×3×100+25；
35×35=1225=3×4×100+25，
通过观察，亮亮发现“个位数字是5的两位数的平方，似乎都可以写成类似的形式!”
【猜想验证】
亮亮猜想：
个位数字是5的两位数的平方，结果末尾的两个数字是25；去掉末尾的两个数字25，前面的数等于原数的十位数字乘以“十位数字加1”的积.
为了确认猜想，亮亮又写出了一个算式进行验证：
55×55=3025=5×(5+1)×100+25
【字母说明】
如何用字母说明上述猜想成立呢？
(1)下面是亮亮的说明过程，请你补充完整.
说明：设该两位数的十位数字是n(1≤n≤9,且n是整数)，个位数字是5.
…
【回顾反思】
数学兴趣小组的同学又列举了一些类似的算式进行探究：
11×91=1001=(1×9+1)×100+1
21×81=1701=(2×8+1)×100+1
31×71=2201=(3×7+1)×100+1
通过观察，发现上述算式似乎也有某种规律.
(2)请你利用上述规律计算：61×41=______=______.
(3)兴趣小组的同学归纳了上面三组式子的一般规律并用字母说明，请你补充完整.
一般规律是______.
说明：设这两个两位数的十位数字分别是a、b(a、b是小于10的正整数且满足a+b=10)，个位数字都为1.
…
23.(本小题12分)
今天我们来探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线.
如图1，长方形纸条ABCD中，AB//CD，AD//BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90∘.E，F分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点(AE>DF)，将长形纸条沿直线EF折叠，点A落在A′处，点D落在D′处，A′E交CD于点G.
(1)①若∠AEF=40∘，则∠A′GC=______.
②若∠AEF=α，则∠A′GC=______(用含α的式子表示).
(2)如图2，在图1的基础上将∠CGE对折，点C落在直线GE上的C处，点B落在B′处，得到折痕GH，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由.
(3)如图3，在图1的基础上，继续沿GE进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点B′，C′，若∠1=∠2，则∠CGE的度数为______.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A. (a3)3=a9，因此选项A不符合题意；
B.a3+a3=2a3，因此选项B不符合题意；
⋅a3=a3+3=a6，因此选项C不符合题意；
D. (ab)3=a3b3，因此选项D符合题意；
故选：D.
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项逐项进行判断即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项，掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法的计算方法以及合并同类项法则是正确解答的关键．
2.【答案】A
【解析】解：图中，∠2=∠COE(对顶角相等)，
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE=90∘，
∴∠1+∠2=90∘.
故选：A.
根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余，从而求解．
本题考查了余角和补角，垂线的定义以及对顶角相等的性质，灵活运用这些知识是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：依题意，事件甲：地球绕着太阳转是必然事件，
事件乙：购买彩票中奖是随机事件，
故D符合题意，其他选项不符合题意，
故选：D.
必然事件是在一定的条件下一定会发生的事件；随机事件是在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，据此分析判断即可．
本题考查对随机事件和必然事件概念的理解，熟知相关概念是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴AB//CD.(内错角相等，两直线平行)
故选：C.
∠1和∠2是直线AB、CD被直线DB所截的内错角，若∠1=∠2，则AB//CD.
此题考查平行线的判定和性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两直线平行．
5.【答案】D
【解析】解：A、小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是23，是错误的，3次试验不能总结出概率，故A不符合题意；
B、某彩票的中奖概率是5%，因此买100张彩票不一定会有5张中奖，故B不符合题意；
C、某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是12，是错误的，“中靶”与“不中靶”不是等可能事件，故C不符合题意；
D、小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是12，故D符合题意；
故选：D.
根据概率的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图，
∵BG⊥CD，
∴∠CBG=90∘，
由条件可知∠ABE+∠FBG=180∘−90∘−42∘=48∘，
∴∠ABE=∠FBG=24∘，
∴∠EBC=24∘+42∘=66∘.
故选：A.
根据BM⊥CD，得∠CBG=90∘，所以∠ABE+∠FBG=48∘，再根据∠ABE=∠FBG，得∠ABE=∠FBG=24∘，即可得∠EBC=24∘+42∘=66∘.
本题主要考查了垂线和角的计算，熟练掌握该知识点是关键．
7.【答案】B
【解析】解：阴影部分可以看作是边长为(3a−b)的正方形，
所以阴影部分的面积表示为：(3a−b)2，
阴影部分的面积还可以表示为：(3a)2−3a×b×2+b2=9a2−6ab+b2，
故验证的公式为：(3a−b)2=9a2−6ab+b2.
故选：B.
用两种方式表示出阴影部分的面积，即可求解．
本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键．
8.【答案】D
【解析】解：发现规律：(x−1)(xn+xn−1+xn−2+⋯+x+1)=xn+1−1，
当x=2，n=100时，
原式=(2−1)(2100+299+298+⋯+23+22+2+1)−1
=2101−1−1
=2101−2.
故选：D.
观察等式得出(x−1)(xn+xn−1+xn−2+⋯+x+1)=xn+1−1，利用归纳总结的规律求解即可．
本题考查多项式乘法规律探究，找出规律是解题的关键．
9.【答案】13
【解析】解：∵游戏板的总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积，
∴飞镖落在阴影部分的概率是：39=13，
故答案为：13.
根据题意得游戏版的总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积，进行计算即可得．
本题考查了概率，能正确求出游戏板的面积和阴影部分所占的面积是解题的关键．
10.【答案】18
【解析】解：a2m+n=a2m⋅an=9×2=18.
故答案为：18.
根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则求解．
本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，掌握运算法则是解答本题的关键．
11.【答案】15∘
【解析】解：在图中标上点M，N，如图所示.
∵AB//CD，
∴∠AEN=180∘−∠CNE
=180∘−∠MNF−∠ENF
=180∘−30∘−45∘
=105∘，
∴∠AEF=∠AEN−∠FEN
=105∘−90∘
=15∘.
故答案为：15∘.
在图中标上点M，N，由AB//CD，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可求出∠AEN的度数，再将其代入∠AEF=∠AEN−∠FEN中，即可求出∠AEF的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
12.【答案】5×10−5
900

【解析】解：0.5μm=5×10−5m.
4.5×10−2÷(5×10−5)=900，故答案为：5×10−5；900.
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|;垂线段最短 125
【解析】解：(1)如图，直线BE即为所求；
(2)BA>BE(垂线段最短).
故答案为：>，垂线段最短；
(3)连接DB，DC，过点D作DH⊥BC于点H.
∵12⋅DB⋅CD=12⋅BC⋅DH，
∴DH=125.
故答案为：125.
(1)根据垂线的定义画出图形；
(2)利用垂线段最短判断即可；
(3)利用面积法求解．
本题考查作图-应用与设计作图，点到直线的距离，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
17.【答案】3 −2xz 43 16
【解析】解：(1)|−2|+(12)−1−(3−π)0
=2+2−1
=3；
(2)(−4x2y3)⋅(18xyz)÷(12xy2)2
=−12x3y4z÷14x2y4
=−2xz；
(3)[(x+y)2−(x−y)2]÷3xy
=(x2+2xy+y2−x2+2xy−y2)÷3xy
=4xy÷3xy
=43；
(4)20262−2022×2030
=20262−(2026−4)×(2026+4)
=20262−(20262−16)
=16.
(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘除，即可解答；
(3)先利用完全平方差公式计算括号里，再算括号外，即可解答；
(4)利用平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(x+2)(x−3)−3x(x−1)+(2x−1)2
=x2+2x−3x−6−(3x2−3x)+(4x2−4x+1)
=2x2−2x−5，
当x=12时，
原式=2×(12)2−2×12−5=−512.
【解析】首先根据整式的混合运算法则将原式化简，然后把x=12代入求解即可求得答案．
此题考查了整式的化简求值问题．此题难度不大，解题的关键是准确应用整式的混合运算法则将原式化简．
19.【答案】解：根据几何概率的意义可得：
P(红色区域)=120∘360∘=13，
P(白色区域)=360∘−120∘360∘=240∘360∘=23，
答：指针落在白色区域的概率是23，指针落在红色区域的概率是13.
【解析】用红色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在红色区域的概率；用白色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在白色区域的概率．
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．
20.【答案】解：(1)由题意得，a=150×0.78=117，b=800÷1000=0.80，
故答案为：117，0.80；
(2)这种树苗成活的概率估计值为0.80；
故答案为：0.80；
(3)600÷0.80=750(棵)，
答：在相同条件下至少需要买750棵树苗．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】.
21.【答案】5 两直线平行，内错角相等 6 两直线平行，同位角相等 角平分线的定义 角的等量代换 邻补角的定义 等角的补角相等
【解析】证明：因为EF//OD，
所以∠3=∠5(依据：两直线平行，内错角相等).
∠4=∠6(依据：两直线平行，同位角相等).
因为OD是∠BOC的平分线，
所以∠3=∠4(依据：角平分线的定义).
所以∠5=∠6(依据：角的等量代换).
因为∠5+∠1=180∘，∠6+∠2=180∘(依据：邻补角的定义)，
所以∠1=∠2(依据：等角的补角相等).
故答案为：5；两直线平行，内错角相等；6；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；角的等量代换；邻补角的定义；等角的补角相等．
根据平行线的性质及角平分线的定义即可得证．
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，补角及邻补角的定义，掌握以上知识点是解题的关键．
22.【答案】设该两位数的十位数字是n(1≤n≤9,且n是整数)，个位数字是5.
则这个两位数可表示为10n+5，
所以(10n+5)2=100n2+100n+25=n×(n+1)×100+25 2501;(6×4+1)×100+1 两个十位数字之和为10，个位数字都为1的两位数相乘，结果等于两个十位数字相乘再加上1的和乘以100，再加上1
【解析】解：(1)由题知，
设该两位数的十位数字是n(1≤n≤9,且n是整数)，个位数字是5.
则这个两位数可表示为10n+5，
所以(10n+5)2=100n2+100n+25=n×(n+1)×100+25；
(2)由题知，
因为11×91=1001=(1×9+1)×100+1，
21×81=1701=(2×8+1)×100+1，
31×71=2201=(3×7+1)×100+1，
所以61×41=2501=(6×4+1)×100+1.
故答案为：2501；(6×4+1)×100+1；
(3)一般规律是：两个十位数字之和为10，个位数字都为1的两位数相乘，结果等于两个十位数字相乘再加上1的和乘以100，再加上1.
证明如下：设这两个两位数的十位数字分别是a、b(a、b是小于10的正整数且满足a+b=10)，个位数字都为1.
则这个两位数分别为10a+1和10b+1，
所以(10a+1)(10b+1)=100ab+10a+10b+1=100ab+10(a+b)+1.
因为a+b=10，
所以(10a+1)(10b+1)=100ab+100+1=(ab+1)×100+1.
故答案为：两个十位数字之和为10，个位数字都为1的两位数相乘，结果等于两个十位数字相乘再加上1的和乘以100，再加上1.
(1)根据题意，将亮亮的说明过程补充完整即可；
(2)观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题；
(3)结合(2)中发现的规律进行证明即可．
本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能根据所给等式发现各部分变化的规律是解题的关键．
23.【答案】100∘;180∘−α EF//GH，理由如下：
由题意得：∠AEF=∠A′EF=12∠AEG，∠CGH=∠C′GH=12∠CGE，
∵AB//CD，
∴∠CGE=∠AEG，
∴∠C′GH=∠A′EF，
∴EF//GH 72∘
【解析】解：(1)①由题意得：∠A′EF=∠AEF=40∘，
∴∠AEG=∠A′EF+∠AEF=40∘+40∘=80∘，
∵AB//CD，
∴∠CGE=∠AEG=80∘，
∴∠A′GC=180∘−∠CGE=180∘−80∘=100∘；
故答案为：100∘；
②由题意得：∠A′EF=∠AEF=α，
∴∠AEG=∠A′EF+∠AEF=α+α=2α，
∵AB//CD，
∴∠CGE=∠AEG=2α，
∴∠A′GC=180∘−∠CGE=180∘−2α，
故答案为：180∘−2α；
(2)EF//GH，理由如下：
由题意得：∠AEF=∠A′EF=12∠AEG，∠CGH=∠C′GH=12∠CGE，
∵AB//CD，
∴∠CGE=∠AEG，
∴∠C′GH=∠A′EF，
∴EF//GH；
(3)如图，即GC′交AB于点Q，
由折叠的性质得到：∠GEF=∠AEF，∠CGE=∠C′GE，
∵CD//AB，
∴∠AEF=∠1，∠FGQ=∠GQE，∠CGE=∠GEA，
∴∠GEA=2∠1，
∴∠C′GE=∠CGE=∠GEA=2∠1，
∵GC′//EB′，
∴∠2=∠GQE=∠FGQ，
∵∠2=∠1，
∴∠FGQ=∠1，
在平角FGC上，则有∠1+2∠1+2∠1=180∘，
∴∠1=36∘，
∴∠CGE=2∠1=72∘.
故答案为：72∘.
(1)①由题意得∠A′EF=∠AEF=40∘，则∠AEG=∠A′EF+∠AEF=80∘，由平行线的性质得∠CGE=∠AEG=80∘，由平角的定义即可得出结果；
②由题意得∠A′EF=∠AEF=α，则∠AEG=∠A′EF+∠AEF=2α，由平行线的性质得∠CGE=∠AEG=2α，由平角的定义即可得出结果；
(2)由题意得∠AEF=∠A′EF=∠AEG，∠CGH=∠C′GH=∠CGE，由平行线的性质得∠CGE=∠AEG，推出∠C′GH=∠A′EF，即可得出EF//GH；
(3)易得∠C′GE=∠CGE=∠GEA=2∠1，再证∠2=∠GQE=∠FGQ=∠1，最后根据平角可得∠1度数，即可得解．
本题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键．每批棵数n
50
100
150
400
800
1000
成活的棵数m
37
77
a
316
640
800
成活的频率mn
0.74
0.77
0.78
0.79
0.80
b