2026江苏省海门中学高一上学期1月学情调研试题数学含解析

这是一份2026江苏省海门中学高一上学期1月学情调研试题数学含解析，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集为，，，则 （ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，且，，则的值是（ ）
A．B．C．或D．或
4．幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．若函数的定义域为，值域为，则等于（ ）
A．B．C．5D．6
7．某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数在上只有一个零点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．以下结果正确的有（ ）
A．B．若，则
C．D．
10．下列命题正确的是（ ）
A．不存在函数、满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同
B．命题“，”的否定是“，
C．已知，是第一象限角，则“”是“”的充要条件
D．三个内角A，B，C满足
11．对于，下列正确的有（ ）
A．若，则关于直线对称
B．若，则关于点中心对称
C．若在上有且仅有4个根，则
D．若在上单调，则
三、填空题
12．已知函数，，则 .
13．已知函数，其中，若，且的相邻两条对称轴间的距离大于，则 ．
14．已知锐角，满足，则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知函数，，集合
(1)求 ；
(2)若，求p，q的值；
(3)若，求
16．已知定义在上的函数图象关于原点对称，且
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式
17．记函数的最小正周期为，已知，且．
(1)求的值；
(2)已知是函数在上的两个零点．
①求实数的取值范围；
②若，求的值．
18．为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设立优惠政策.现有应届毕业大学生甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供48万元无息贷款作为启动资金，同时提供贷款120万元（年利率为）.已知该企业每月运行成本为44000元，该节能板的进价为每件140元，该店月销售量（百件）与销售价格（元）的关系如下图（每段图象为直线段，，，）.
(1)请写出月利润L关于P的函数关系式；
(2)当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大?并求最大余额；
(3)该企业把所有利润积累起来，准备一次性还清所有贷款.假设该企业每月销售情况不变，则该企业还清贷款至少需要几年
参考数据：，，，
19．一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成的形式.比如：函数的反函数求法为：第一步：反解：， ；第二步：互换字母： ；第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为记函数的反函数为，且有函数满足其中e为自然对数的底数
(1)求函数， ；
(2)若关于x的不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(3)若关于x的方程有两根，，求的最小值.
1．B
先根据补集的定义求出，，再由集合交集的定义求解即可.
【详解】因为全集 ， ，，
所以，，
所以
故选：
2．C
利用诱导公式得出的值，再利用二倍角公式和弦化切可得出的值.
【详解】由，得，
，
故选：C.
3．A
由题设条件分别求出和的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得.
【详解】因则.又，则，
可得.
又则
由，可得
由
.
因则 .
故选：A.
4．C
设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可.
【详解】设，
代入点得
，
则，令，
函数的值域是.
故选：C.
5．B
先根据函数的奇偶性排除部分选项，再由，排除部分选项求解.
【详解】函数的定义域为且关于原点对称，
因为，所以为奇函数，即可排除A，
当时，，排除，
故选：B．
6．A
由题意知，确定函数在上的单调性和值域，列式求解即可得的值.
【详解】，，
∴则函数为常数，且在单调递增，
又∵函数的定义域为，
函数的值域为，
，
.
故选：A.
7．D
根据公式列出调整前后的生物丰富度指数表达式，对①②式进行变形，根据对数运算得出答案.
【详解】由题意得①，②，
则，
即，即，
所以，
故选：D
8．D
分别作出函数与函数的图象，分，讨论即可．
【详解】由，得，
在同一坐标系内作出函数与函数的大致图象，
当时，，如图，
当时，与的图象有一个交点，符合题意；
当时，，如图，
当时，要与的图象有一个交点，当且仅当，
即，而，解得，
综上，正实数m的取值范围为．
故选：D
9．ACD
【详解】对于A选项，
，故A正确；
对于B选项，因为，两边平方，得，
解得，两边平方，得，
所以，故B错误；
对于C选项，，故C正确.
对于D选项，
，故D正确.
故选：ACD.
10．AD
【详解】对于A，由函数的定义可知，当两个函数的定义域相同，对应关系相同，
则值域一定相同，故A正确；
对于B，命题"，"的否定是"，"，故B错误；
对于C，若取，，满足，是第一象限角，且，但，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：AD.
11．ACD
对于A，令，求解即可；对于B，令，即可求得对称中心为，；对于C，由条件得，求解即可；对于D，由条件得，求解即可.
【详解】对于AB，若，则，
令，得，，所以关于直线对称，故A正确；
令，得，，所以关于，中心对称，故B错误；
对于CD，当时，，
若在上有且仅有4个根，所以，解得，故C正确；
若在上单调，则，解得，故D正确；
故选：ACD.
12．7
令，证明为奇函数求解.
【详解】令，定义域为，
且，
所以为奇函数，
所以，
即，
所以.
故答案为：7
13．
跟可得，易得，进而可求出，再利用待定系数法求出即可.
【详解】由，可知，
解得，
又的相邻两条对称轴间的距离大于，所以，
所以，故，满足题意，
由，即，
解得，又，所以，
故．
故答案为：.
14．/
计算出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值．
【详解】解：，，
即，
，均为锐角，则，，
，
当且仅当时，即当时，故，时等号成立.
因此，的最小值为．
故答案为：．
15．(1)
(2)
(3)解析见详解
（1）解分式不等式即可；
（2）根据集合相等，利用函数的零点和方程根的关系结合韦达定理求解；
（3）先由得到p，q的关系，代入后求解含参的一元二次不等式即可.
【详解】（1）由得，，解得，即.
（2）由，知，
，
即，；
（3）因为，所以，
所以，即，
当，即时，，此时
当，即时，，解集为，此时；
当，即时，，此时
16．(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
（1）由关于原点对称可得，，再结合代入计算即可得；
（2）借助单调性的定义证明即可；
（3）结合奇函数性质及函数单调性，列不等式求解即可.
【详解】（1）定义在上的函数图象关于原点对称，
为上的奇函数，，解得；
，
又，故，，
其满足，故为奇函数，图象关于原点对称，
即；
（2）在上单调递增；
证明如下：令，

，
由，
则，，，
，
即在上单调递增；
（3）由题意可得为奇函数，
故由，得，，
又在上单调递增，
则有，解得，
故不等式的解集为
17．(1)
(2)①；②
（1）先利用三角恒等变换化一，再根据，求出的范围，根据可得出函数的对称轴，进而可求出答案；
（2）①利用换元法，将问题转化为在上有两个交点，从而结合函数图象即可求出的范围；
②易得，不妨设，先求出，再利用二倍角的余弦公式即可得解.
【详解】（1）
，
由，得，所以，
又因为，，所以函数关于对称，
所以，所以，
又，所以；
（2）①由（1）得，
令，则，
令，因为，所以，
因为函数在上的两个零点，
所以函数在上有两个交点，
作出函数的图象，
由图可知；
②时，，
由（1）可得，
不妨设，则，
又，
所以，
所以，
即，所以，所以，
又，，所以，
所以.
18．(1)
(2)当元时，月利润余额最大为20000元
(3)最早可望在11年后还清
【详解】（1）设该店月利润余额为L，
则由题设得，
由图可得线段的方程为：，，
即；
线段的方程为：，，
即；
所以，
所以.
即.
（2）当时，，
所以当元时，（元），
当时，，
当元时，（元），
故当元时，月利润余额最大为20000元；
（3）设可在第年还清，依题意有，
即，
的图象与的图象至多有两个点，
又当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
可知函数有两个零点，，
当时，，
又，所以最早可望在11年后还清.
19．(1)，
(2)或
(3)
（1）根据求反函数的步骤仔细计算即可求函数，的解析式 ；
（2）令，则，原不等式等价于在上恒成立，分三种情况讨论，分别利用函数单调性求最值，求出实数的取值范围，综合三种情况可得答案；
（3）先通过换元结合韦达定理，可得满足，，
则可化为，再利用二次函数的性质可得答案.
【详解】（1）因为，
所以，，
所以，
所以，所以，
所以函数的反函数是，
可知，.
（2）由（1）可证且，
因此，
令，可知，
即在上恒成立，
令，
当，可知在上单调递增，
，可知，
当时，易知不符合，
当时，可知，
只需要且，
即且，
可知，
综上：或
（3）由可知：，
即有两根，，
令，，，
则有两根，，
满足，，
可知，，
因此
=，
令，再令，
则，，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
B
A
D
D
ACD
AD
题号
11









答案
ACD