黑龙江省哈尔滨市第三中学2025-2026学年度下学期高一学年3月月考数学试卷含答案

这是一份黑龙江省哈尔滨市第三中学2025-2026学年度下学期高一学年3月月考数学试卷含答案，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试说明：（1）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分．
考试时间为 120 分钟；
（2）第 I 卷，第 II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第 I 卷 (选择题, 共 58 分)
一、单选题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列命题正确的是 ( )
A ．模相等的两个共线向量是相等向量
B ．若a//b ，b //c ，则 a//c
C ．零向量没有方向
D ．若a = b ，则 a//b
2. ΔABC中，角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，若c = 4 ，a = 6 ，b = 5，则csC 为( )
A. B. C. D.
3. ΔABC中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，下列条件中能确定三角形有唯一解的有( ) 个
（1）a = 4, A = 30 , b = 2 （2）a = 4, A = 30 , b = 5
（3）a = 4, C = 30 , b = 5 （4）a = 2, c = 3, b = 4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美. 某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物AB ，高为36m，在它们之间的地面上的点M （ B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 、教堂塔尖C 的仰角分别是45 和60 ，在楼顶 A 处测得教堂塔尖C 的仰角为15 ，则该同学计算索菲亚教堂的高度CD 为( )
A ．52m B ．54m C ．56m D ．58m
5. ΔABC中，E、F 分别为AB、AC 的中点，G 为 CE 与BF 交点，且AG = xAB + yAC ，则x + y = ( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 4
3 3 3
6. 已知平面内两个不共线的向量a 和b ， ，且 a 和b 的夹角为 ，若a + b
与2kb _ a 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知a 和b 是单位向量，且a .b = 0 ，若c 满足c _ a _bl ≤1，则lc 的取值范围为 ( ) A. 2 _1,2 +1 B. [ \l "bkmark1" 1, \l "bkmark2" 3] C. 3 _1，3 +1 D. [ \l "bkmark3" 0, \l "bkmark4" 2]
8. 已知 ΔABC中，角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，且 a2 + b2 _ cab，若 E 为AB的中点，边 AB 上的中线 CE 长为 ，则 ΔABC面积的最大值为 ( )
A. B. C. 2 D.
二、多选题： 本题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知向量a = (2,__3) ，b = (m__1, m) ，则 ( )
A ．若a //b ，则 m
B ．若a 丄 b，则 m = _2
C ．若| a |=| b |，则m = _2 或 3
D ．若m = 1，则a + b 与b 的夹角为135
10． ABC 中，角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，则能够判定ABC 一定是等腰三角形的为 ( )
A ．a csA = bcs B B ．acsB = b csA
C ．a _b = c(cs B _ csA) D ．cs Bcs C = sin
11. 已知H 为ABC 的垂心，角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，且sinA sin Bcs C ，
BH . BC = 8，则一定有 ( )
A. B = 60O B. b ≥ 4
C. D．若sin2 A + sin2 B = 2sinAsinBsin ，则 c = 4
第Ⅱ卷 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12. ABC 中，D 为线段BC 上一点，且 ，则 λ = ．
13. 已知a = (2,3) ，b = (_1,1) ，则向量a 在向量b 上投影向量的坐标为 ．
14. 若正方形ABCD 边长为2，E、F 分别为BC、CD 的中点，P 为线段EF上动点（含端点），则PB . PD 的最小值为 ．
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13 分）
已知 a = 2 ， b = 4 ，且(a + b) 丄 (5a _ 2b) .
（1）求 a .b ;
（2）求 .
16. （15 分）
ΔABC 中，角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，且cs 2A _ 3cs(B + C) = 1 .
（1）求角A ；
（2）若 a = 7 ，b__c = 3 ，求b 和c .
17. （15 分）
ABC 中，角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，且 2a - 2bcsC = c ，b = 3 .
（1）求角B ；
（2）求 ABC 周长的最大值.
18. （17 分）
已知四边形ABCD中， AD = CD = 2 ，AB = 3 ，BC = 3 ，BD = 7 .
（1）求 LBAD ；
（2）求 AC 的长；
（3）M 为线段AC 上的动点，设SΔBCM 为 ΔBCM 的面积，求 3 BM - SΔBCM 的最2
小值.
A
D C
B
19．(17 分)
已知平面四边形ABCD的两条对角线交于内部一点O ，且
2 2
CD _ CB = 8.
（1）若 LBAD = 45O ，且 AD2 _ 1 AB2 + 2AB . AD = 2BA . BD tan LABD ，求△ ABD 2
的周长；
（2）判断AC . DB 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； A
（3）若AC = 32 ， ，求四边形ABCD的面积.
D
B
O
C
高一 3 月月考数学答案
1-8 DBCBCDAB
9. BCD 10. BD 11. ABD 12. 13. 14. _
15. （1）4 （2）4 3
π
16. （1） （2）b = 8 ，c = 5 3
π
17. （1） （2）33
3
π
18. （1） （2）2 3 3
（3）过 B 作 AC 垂线 BP，则 BP ，过 M 作 AB 垂线 MH 则 BM _ SΔBCM BM MC . BP BM
AC AC即求BM+ MH 最小值
法一：
设MH = x ，BM
令t = x 则t _ x
两边平方得t2 _ 2tx + x2 = 4x2 _ 63x + 9 ，即3x2 + x +9 _t2 = 0
得t 或t ≤ 0 （舍），经检验t 成立
法二：
LBAC = LCAD = 30O 过 M 作 AD 垂线 MN
：MH = MN ，则 BM+ MH = BM + MN
则当 B 、M 、H 三点共线且BN 丄 AD时BM+ MH 最小，最小值为
19.
△ ABD 中，由余弦定理可得：
△ ABD 中由正弦定理可得：
则 sin LABD sin 45O，
故 tan LABD csLABDtanLABD sin LABD = 2BAADsin 45O = ·2 ABAD ，③
将 ②③ 代 入 原 式 得 ：
则AB2 = 2AD2 ，④
由①④解得
2 2 2
△ ABD 中，由余弦定理可得： BD = AB + AD _ 2ABADcs 45O = 4 ，
即
故△ ABD 的周长为4 + 22 .
1
（3）SΔABD = sin LAOD ,
AO
BD
2
故S四 SΔABD + SΔCBD sin LAOD ，向量CA，BD 的夹角即为LAOD ，
则cs LAOD
则sin LAOD
故S四边形ABCD sin LAOD