2025-2026学年下学期黑龙江哈三中高一数学3月底月考试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期黑龙江哈三中高一数学3月底月考试卷含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(2)第 I 卷，第 II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第 I 卷 (选择题, 共 58 分)
一、单选题: 共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 下列命题正确的是( )
A. 模相等的两个共线向量是相等向量
B. 若 a//b,b//c ,则 a//c
C. 零向量没有方向
D. 若 a=b ,则 a//b
2. △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 c=4,a=6,b=5 ,则 csC 为( )
A. 18 B. 34 C. 916 D. 74
3. △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,下列条件中能确定三角形有唯一解的有 ( )个
(1) a=4,A=30∘,b=2 (2) a=4,A=30∘,b=5
(3) a=4,C=30∘,b=5 (4) a=2,c=3,b=4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑, 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体, 极具对称之美. 某同学为了估算索菲亚教堂的高度,在教堂的正东方找到一座建筑物 AB , 高为 36 m ,在它们之间的地面上的点 MB,M,D 三点共线) 处测得楼顶 A 、教堂塔尖 C 的仰角分别是 45∘ 和 60∘ ,在楼顶 A 处测得教堂塔尖 C 的仰角为 15∘ ,则该同学计算索菲亚教堂的高度 CD 为( )


A. 52 m B. 54m C. 56 m D. 58 m
5. △ABC 中, E、F 分别为 AB、AC 的中点, G 为 CE 与 BF 交点,且 AG=xAB+yAC , 则 x+y= ( )
A. 1 B. 13 C. 23 D. 43
6. 已知平面内两个不共线的向量 a 和 b,a=2b=2 ,且 a 和 b 的夹角为 π3 ,若 a+b 与 2kb−a 的夹角为钝角，则实数 k 的取值范围为( )
A. −∞,−12 B. −12,54 C. 54,+∞ D. −∞,−12∪−12,54
7. 已知 a 和 b 是单位向量，且 a⋅b=0 ，若 c 满足 c−a−b≤1 ，则 c 的取值范围为( )
A. 2−1,2+1 B. 1,3 C. 3−1,3+1 D. 0,2
8. 已知 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 a2+b2−c2=23ab ,若 E 为 AB 的中点,边 AB 上的中线 CE 长为 263 ,则 △ABC 面积的最大值为( )
A. 223 B. 423 C. 2 D. 823
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知向量 a=2,−3,b=m−1,m ，则()
A. 若 a//b ，则 m=−35
B. 若 a⊥b ,则 m=−2
C. 若 a=b ，则 m=−2 或 3
D. 若 m=1 ，则 a+b 与 b 的夹角为 135∘
10. △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，则能够判定 △ABC 一定是等腰三角形的为( )
A. acsA=bcsB B. acsB=bcsA
C. a−b=ccsB−csA
D. csBcsC=sin2A2
11. 已知 H 为 △ABC 的垂心，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且 sinA−sinC2=sinBcsC ， BH⋅BC=8 ，则一定有( )
A. B=60∘ B. b≥4
C. BH=13BC+BA D. 若 sin2A+sin2B=2sinAsinBsinC+π6 ,则 c=4
第II卷 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 将答案填在答题卡相应的位置上.
12. △ABC 中, D 为线段 BC 上一点,且 AD=25AB+λAC ,则 λ= _____.
13. 已知 a=2,3,b=−1,1 ，则向量 a 在向量 b 上投影向量的坐标为_____.
14. 若正方形 ABCD 边长为 2,E、F 分别为 BC、CD 的中点, P 为线段 EF 上动点 (含端点),则 PB⋅PD 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知 a=2,b=4 ，且 a+b⊥5a−2b .
(1)求 a⋅b ；
(2)求 2a+b .
16. (15 分)
△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 cs2A−3csB+C=1 .
(1)求角 A ；
(2)若 a=7,b−c=3 ，求 b 和 c .
17. (15 分)
△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 2a−2bcsC=c,b=3 .
(1)求角 B ；
(2)求 △ABC 周长的最大值.
18. (17 分)
已知四边形 ABCD 中， AD=CD=2 ， AB=3 ， BC=3 ， BD=7 .
(1)求 ∠BAD ；
(2)求 AC 的长；
(3) M 为线段 AC 上的动点，设 SΔBCM 为 ΔBCM 的面积，求 32BM−SΔBCM 的最小值.

19. (17 分)
已知平面四边形 ABCD 的两条对角线交于内部一点 O ,且 AB+AD⋅DB=4 , CD2−CB2=8 .
(1)若 ∠BAD=45∘ ，且 AD2−12AB2+2AB⋅AD=2BA⋅BDtan∠ABD ，求 △ABD 的周长:

(2)判断 AC⋅DB 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
(3)若 AC=32 ， BD=22 ，求四边形 ABCD 的面积.
参考答案
1-8 DBCBCDAB
9. BCD 10. BD 11. ABD
12. 35 13. −12,12 14. −32
15. (1)4 (2)4√3
16. 1π3 (2) b=8,c=5
17. (1) π3 (2) 33
18. (1) π3 (2) 23
(3)过 B 作 AC 垂线 BP ，则 BP=32 ，过 M 作 AB 垂线 MH
则 32BM−S△BCM=32BM−12MC⋅BP=32BM−34AC−AM
=32BM+12AM−34AC=32BM+MH−34AC
即求 BM+MH 最小值
法一:
设 MH=x,BM=x2+3−3x2
BM+MH=x+4x2−63x+9
令 t=x+4x2−63x+9 ,则 t−x=4x2−63x+9
两边平方得 t2−2tx+x2=4x2−63x+9 ,即 3x2+2t−63x+9−t2=0
Δ=2t−632−4×39−t2=16t2−243t≥0,
得 t≥332 或 t≤0 (舍),经检验 t≥332 成立
∴32BM−S△BCM≥32×332−34×23=334
法二:
∵∠BAC=∠CAD=30∘ 过 M 作 AD 垂线 MN
∴MH=MN ,则 BM+MH=BM+MN
则当 B、M、H 三点共线且 BN⊥AD 时 BM+MH 最小,最小值为 332
∴32BM−SΔBCMmin=32×332−34×23=334
19.
(1) AB+AD⋅DB=AB+AD⋅AB−AD=AB2−AD2=4 ,①
△ABD 中,由余弦定理可得:
BD2=AB2+AD2−2ABAD∣cs45∘=AB2+AD2−2ABAD ,②
△ABD 中由正弦定理可得: BDsin45∘=ADsin∠ABD ,
则 BDsin∠ABD=ADsin45∘ ，
故 2BA⋅BDtan∠ABD=2BABD∣cs∠ABDtan∠ABD=2BABD∣sin∠ABD =2BAAD∣sin45∘=2ABAD∣ ,
将 ②③ 代 入 原 式 得
AD2−12AB2+2ABAD=2ABAD,
则 AB2=2AD2 ，④
由①④解得 AD=2,AB=22 ，
△ABD 中,由余弦定理可得: BD2=AB2+AD2−2ABADcs45∘=4 , 即 BD=2 ,
故 △ABD 的周长为 4+22 .
(2) AC⋅DB=AC⋅AB−AD=AC⋅AB−AC⋅AD
=ACAB cs∠BAC−ACAD∣cs∠CAD
=ACAB AB2+AC2−BC22ACAB−ACADAC2+AD2−CD22ACAD
=AB2+AC2−BC22−AC2+AD2−CD22
=AB2−AD2+CD2−BC22=4+82=6.
(3) S△ABD=12BDAOsin∠AOD ，
S△CBD=12BDCOsin∠COB,∠AOD=∠COB,
故 S四边形ABCD=SΔABD+SΔCBD=12BDACsin∠AOD ,
向量 CA,BD 的夹角即为 ∠AOD ,
则 cs∠AOD=CA⋅BDCABD=632×22=12 ,
则 sin∠AOD=32 ，
故 S四边形ABCD=12BDACsin∠AOD=12×22×32×32=33 .