重庆一中2025年七年级（下）期中数学试卷（含答案解析）

这是一份重庆一中2025年七年级（下）期中数学试卷（含答案解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）一个三角形的两条边长分别为5和1，那么第三条边长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．测得某天最高气温为90℃
B．某人过马路时遇到红灯
C．太阳从东边升起
D．抛一枚硬币，正面朝上
4．（3分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，BE＝CF，AB＝DE，那么添加下列选项中的条件后．仍然不能判定出△ACB≌△DFE的是（ ）
A．AC＝DFB．∠ACB＝∠DFE＝90°
C．∠B＝∠DEFD．∠A＝∠D
5．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．三角形的三条高交于一点
C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离
6．（3分）下列图形是由相同大小的“■”组成，其中第①个图形共有3个“■”，第②个图形共有7个“■”，第③个图形共有11个“■”，……，按照这一规律，第8个图形中“■”的个数为（ ）
A．27B．31C．32D．35
7．（3分）如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，G是直线l上一点，连接AG，DG，CG，FG，下列说法错误的是（ ）
A．∠ACB＝∠DFB
B．线段AD，BE，CF被直线l垂直平分
C．△AGC≌△DGF
D．AB∥DF
8．（3分）某工厂计划生产某种零件，每个零件需要5个螺丝和3个螺母配套，已知车间每天可以生产150个这样的螺丝或90个这样的螺母，现在要求12天生产的螺丝和螺母刚好完全配套，设安排x天生产螺母，则可列方程为（ ）
A．5×90x＝3×150（12﹣x）B．5×90（12﹣x）＝3×150x
C．90x＝150（12﹣x）D．3×90x＝5×150（12﹣x）
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D是边BC上一点，连接AD，线段AD的垂直平分线交AB于点E，交AD于点F，连接DE，若∠CAD＝α，则∠BDE＝（ ）
A．30°+αB．45°+12αC．2αD．90°﹣α
10．（3分）已知整式A＝a4x4﹣a3x3+a2x2﹣a1x+a0，其中a0，a1，a2，a3，a4都是正整数．且满足a0+a1+a2+a3+a4＝10和a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝6，下列说法：
①由题可知a0的最大值为8；
②若|a0﹣a1|+a2＝6，则满足条件的整式A共有5个；
③存在a0，a1，a2，a3，a4使得A可以写成（x2+px+q）2的形式，其中p，q均为有理数．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
11．（3分）2025年5月1日，全社会跨区域人员流动量约为33000万人次，将33000用科学记数法表示应为 ．
12．（3分）如图，AB∥CD，CF交AB于点E，若∠AEF＝130°，则∠C＝ ．
13．（3分）已知x+y＝4，x2+y2＝6，那么xy＝ ．
14．（3分）如图，△ABC≌△BED，若DE＝8，AC＝6，则CD＝ ．
15．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，以点B为圆心，AB长为半径画弧，与BC交于点D，若一个小球在△ABC内自由滚动，并随机停在某个位置，那么小球最终停留在阴影部分的概率是 ．
16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，F是线段AD上一点，若AD＝6，则CF+EF的最小值为 ．
17．（3分）若关于x的方程m3x+1=n2+x3有无数个解，则m+n的值为 ．
18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，D为AC上一点，连接BD，E为△ABC外一点，且AE＝BD，延长BD交AE的延长线于点F，连接CE，若∠FDA＝∠BAF，CE＝5.5，则CD＝ ．
19．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，且CD＝2BD，4BC＝3AC，CF为∠ACB的角平分线，交AD于点E，交AB于点F，若△CDE的面积为7，则图中阴影部分的面积为 ．
20．（3分）我们规定：一个四位数M=abcd，各个数位上的数字是不完全相同的正整数，若满足（a+d）2﹣（b+c）2＝10a+d，则称这样的数M为“平方奥秘数”．例如：对于3214，（3+4）2﹣（2+1）2＝49﹣9＝40≠34，所以3214不是“平方奥秘数”；对于4515，（4+5）2﹣（5+1）2＝81﹣36＝45，所以4515是“平方奥秘数”．根据上述定义，满足个位与千位相同的最大“平方奥秘数”是 ；M是一个“平方奥秘数”，设H(M)=a+b+c+d4，G（M）＝10a+d﹣（a+d﹣b﹣c）2，若H（M）是一个完全平方数，且G（M）能被8整除，则满足条件的所有M中，M的最大值是 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，第21题20分，其余小题各10分，共90分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
21．（20分）计算：
（1）(−1)2025−23×(−13)−2+(2−π)0；
（2）a4•（﹣3a）2+（a3）4÷a6；
（3）（a+b）（2a﹣3b）+a（b﹣2a）；
（4）（a+2b）（﹣2b+a）﹣（2b﹣a）2．
22．（10分）如图，已知AB＝AC，BC＝CD，∠ACB＝∠BCD，CE⊥BD．请完成下面的作图和填空．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）
（2）在（1）问的条件下，试说明BF∥CE．请将下列解题过程补充完整．
解：∵AB＝AC（已知），
∴∠ABC＝∠ACB（① ），
∵∠ACB＝∠BCD（已知），
∴∠ABC＝② （等量代换），
∵BF平分∠ABC（已知），
∴∠CBF=12③ （角平分线的定义），
在△BCD中，∵BC＝CD，④ （已知），
∴∠BCE=12∠BCD（⑤ ），
∴∠CBF＝∠BCE（等量代换），
∴BF∥CE（⑥ ）．
23．（10分）先化简，再求值：
[（2x+3y）（2x﹣3y）+（y﹣4x）（x+3y）+5xy]÷（﹣3y），其中x2+y2﹣4x+2y+5＝0．
24．（10分）重庆一中是“全国最美校园书屋”，在“尊重自由，激发自觉”的办学理念下，大力推动书香校园建设．为了统计初一年级同学每周的阅读时长，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查，并绘制了如下不完整的统计图．（数据共分为4组：A组：0≤x＜3，B组：3≤x＜6，C组：6≤x＜9，D组：x≥9，其中x表示每周阅读时长，单位为小时）
已知在所调查的学生中随机选取一人，所选学生每周阅读时间不低于9小时的概率为110，请根据图中信息回答下列问题：
（1）参与此次调查的学生有 人，请补全条形统计图；
（2）m＝ ，扇形统计图中C组对应的扇形的圆心角度数为 °；
（3）若初一年级学生共有2400人，根据本次调查结果，估计初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的共有多少人？
25．（10分）如图，在△ABC中，点D，F分别为BC，AC边上的点，连接AD，BF，线段AD，BF交于点G，且AD＝BD＝CD．点E为BD边上一点，连接AE，使得∠AED＝∠BGD．
（1）求证：AG＝BE；
（2）若BF＝CF，∠AED＝69°，求∠C的度数．
26．（10分）列方程解决下列问题：
2025年，新能源汽车市场竞争异常激烈，某新能源汽车品牌生产厂为抢占市场份额，提高销售量，对经销商采取销售奖励活动．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出该品牌汽车的A型和B型共650台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共900台，其中A型汽车和B型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长25%和60%．
（1）在新办法出台后的第一个月，该经销商销售的A型汽车和B型汽车分别为多少台？
（2）若A型汽车每台售价为12万元，B型汽车每台售价为15万元．新奖励办法是：每销售一台A型汽车按每台汽车售价的3%给予奖励，每销售一台B型汽车按每台汽车售价的2%给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，A型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了5m%；而B型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减小了4m%，新奖励办法出台后的第二个月，该经销商共获得的奖励金额321万元，求m的值．
27．（10分）如图，点D是△ABC所在平面内一点，连接BD．点E是线段BD上一点，连接AE，CE．其中AB＝AC，AE＝AD．
（1）如图1，当点D在线段AC上时，若FE垂直平分线段AB，且AB⊥AC，∠DBC＝15°，EF＝3，求DE的长；
（2）如图2，当点D在△ABC外时，连接AD，若点H为线段BD的中点，且∠ACB+∠D＝90°，求证：EC＝2AH．
28．（10分）如图，△ABC为等边三角形，点D为AB边上一点，点E为射线CB上一点，连接DE，CD，且DE＝DC．
（1）如图1，已知AC＝8，当CD⊥AB时，求BE的长；
（2）如图2，当点D在BA的延长线上时，将线段CD绕点C顺时针旋转60°到CF，连接AF．探究AF、AC、BE之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，当∠BCD＝35°时，将△BCD沿着DC翻折，得到△GCD，过点G作GH⊥BC交BC于点H，点M是线段GH上一动点，连接CM，把CM绕点C逆时针旋转∠BCG的度数．得到CP，连接PH．设∠GCM＝α，在点M运动的过程中，存在一点M，使PH+CP的值最小，请直接写出此时∠CHP的度数（用含α的代数式表示）．
2024-2025学年重庆一中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（3分）下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都能找到一条直线，使剪纸图案沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到一条直线，剪纸图案沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）一个三角形的两条边长分别为5和1，那么第三条边长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形第三边长是x，由此得到4＜x＜6，即可得到答案．
【解答】解：设三角形第三边长是x，
由三角形三边关系定理得：5﹣1＜x＜5+1，
∴4＜x＜6，
∴第三边长可能是5．
一故选：C．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
3．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．测得某天最高气温为90℃
B．某人过马路时遇到红灯
C．太阳从东边升起
D．抛一枚硬币，正面朝上
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、测得某天最高气温为90℃是不可能事件，不符合题意；
B、某人过马路时遇到红灯是随机事件，不符合题意；
C、太阳从东边升起是必然事件，符合题意；
D、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，BE＝CF，AB＝DE，那么添加下列选项中的条件后．仍然不能判定出△ACB≌△DFE的是（ ）
A．AC＝DFB．∠ACB＝∠DFE＝90°
C．∠B＝∠DEFD．∠A＝∠D
【分析】首先根据等式的性质可得BC＝EF，结合AB＝DE，再分别添加四个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
另有AB＝DE，
A、添加AC＝DF，利用SSS能判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
B、添加∠ACB＝∠DFE＝90°，利用HL能判定Rt△ABC≌Rt△DEF，不符合题意；
C、添加∠B＝∠DEF，利用SAS能判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
D、添加∠A＝∠D，利用SSA不能判定△ABC≌△DEF，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟知判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）是解题的关键．
5．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．三角形的三条高交于一点
C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离
【分析】根据三角形的角平分线，中线和高，点到直线的距离，对顶角的性质即可得到结论．
【解答】解：A．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故本选项错误，不符合题意；
B．三角形的三条高不一定交于一点，故本选项错误，不符合题意；
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误，不符合题意；
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，点到直线的距离，对顶角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
6．（3分）下列图形是由相同大小的“■”组成，其中第①个图形共有3个“■”，第②个图形共有7个“■”，第③个图形共有11个“■”，……，按照这一规律，第8个图形中“■”的个数为（ ）
A．27B．31C．32D．35
【分析】根据所给图形，依次求出图形中“■”的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图形中“■”的个数为：3＝1×4﹣1；
第2个图形中“■”的个数为：7＝2×4﹣1；
第3个图形中“■”的个数为：11＝3×4﹣1；
…，
所以第n个图形中“■”的个数为（4n﹣1）个．
当n＝8时，
4n﹣1＝4×8﹣1＝31（个），
即第8个图形中“■”的个数为31个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现“■”个数的变化规律是解题的关键．
7．（3分）如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，G是直线l上一点，连接AG，DG，CG，FG，下列说法错误的是（ ）
A．∠ACB＝∠DFB
B．线段AD，BE，CF被直线l垂直平分
C．△AGC≌△DGF
D．AB∥DF
【分析】根据轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC和△DEF关于直线l对称，
∴∠ACB＝∠DFB，故选项A说法正确，不符合题意；
线段AD，BE，CF被直线l垂直平分，故选项B说法正确，不符合题意；
△AGC≌△DG（SSS），故选项C说法正确，不符合题意；
AB与DF不一定平行，故选项C说法错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．
8．（3分）某工厂计划生产某种零件，每个零件需要5个螺丝和3个螺母配套，已知车间每天可以生产150个这样的螺丝或90个这样的螺母，现在要求12天生产的螺丝和螺母刚好完全配套，设安排x天生产螺母，则可列方程为（ ）
A．5×90x＝3×150（12﹣x）B．5×90（12﹣x）＝3×150x
C．90x＝150（12﹣x）D．3×90x＝5×150（12﹣x）
【分析】设安排x天生产螺母，则安排（12﹣x）天生产螺丝，根据每个零件需要5个螺丝和3个螺母配套，列出一元一次方程即可．
【解答】解：设安排x天生产螺母，则安排（12﹣x）天生产螺丝，
根据题意得：5×90x＝3×150（12﹣x），
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D是边BC上一点，连接AD，线段AD的垂直平分线交AB于点E，交AD于点F，连接DE，若∠CAD＝α，则∠BDE＝（ ）
A．30°+αB．45°+12αC．2αD．90°﹣α
【分析】由等腰三角形的性质推出∠C＝∠BAC，由线段垂直平分线的性质得到EA＝ED，因此∠EAF＝∠EDF，由三角形的外角性质得到∠BDE＝2∠CAD＝2α．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC，
∵EF垂直平分AD，
∴EA＝ED，
∴∠EAF＝∠EDF，
∵∠BDE+∠EDF＝∠C+∠CAD，
∴∠BDE+∠EDF＝∠EAF+∠CAD+∠CAD，
∴∠BDE＝2∠CAD＝2α．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，关键是由等腰三角形的性质推出∠C＝∠BAC，由线段垂直平分线的性质得到EA＝ED，由三角形的外角性质推出∠BDE＝2∠CAD．
10．（3分）已知整式A＝a4x4﹣a3x3+a2x2﹣a1x+a0，其中a0，a1，a2，a3，a4都是正整数．且满足a0+a1+a2+a3+a4＝10和a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝6，下列说法：
①由题可知a0的最大值为8；
②若|a0﹣a1|+a2＝6，则满足条件的整式A共有5个；
③存在a0，a1，a2，a3，a4使得A可以写成（x2+px+q）2的形式，其中p，q均为有理数．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】先根据两式求出a1＝a3＝1，然后得到a0+a2+a4＝8，即可得到a0的最大值判断①；
去绝对值得到a0+a2＝7，即可得到a0，a2正整数解的个数判断②；
根据x＝1和x＝﹣1的值得到关于p，q的等式判断③解答即可．
【解答】解：两式相减得2a1+2a3＝4即a1+a3＝2，
又∵a0，a1，a2，a3，a4都是正整数，
∴a1＝a3＝1，
代入第一个等式得a0+a2+a4＝8，
又∵a2，a4都是正整数，
∴a0≤6，故①错误；
∵a0≥a1
∴|a0﹣a1|+a2＝a0﹣1+a2＝6，即a0+a2＝7，
解得a0=1a2=6，a0=2a2=5，a0=3a2=4，a0=4a2=3，a0=5a2=2，a0=6a2=1，
∴a0，a2共有6对不同的正整数解，故②错误；
当x＝1时，A=a0−a1+a2−a3+a4=(1+p+q)2=6，即1+p+q=±6，
当x＝﹣l时，A=a0+a1+a2+a3+a4=(1−p+q)2=10，即1−p+q=±10，
∴p，q不能同时为有理数，故③错误；
故选：A．
【点评】本题考查规律﹣数字的变化类，整式的混合运算，正确找到规律是解题的关键．
二、填空题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
11．（3分）2025年5月1日，全社会跨区域人员流动量约为33000万人次，将33000用科学记数法表示应为 3.3×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：33000＝3.3×104．
故答案为：3.3×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）如图，AB∥CD，CF交AB于点E，若∠AEF＝130°，则∠C＝ 50° ．
【分析】首先根据邻补角互补可得∠FEB＝180°﹣130°＝50°，再根据两直线平行，同位角相等可得∠C＝∠FEB＝50°．
【解答】解：∵∠AEF＝130°，
∴∠FEB＝180°﹣130°＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠FEB＝50°，
故答案为：50°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
13．（3分）已知x+y＝4，x2+y2＝6，那么xy＝ 5 ．
【分析】将x+y＝4两边同时平方并利用完全平方公式展开，再将已知数值代入解得xy的值即可．
【解答】解：∵x+y＝4，
∴（x+y）2＝16，
∴x2+2xy+y2＝16，
∵x2+y2＝6，
∴6+2xy＝16，
∴xy＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．
14．（3分）如图，△ABC≌△BED，若DE＝8，AC＝6，则CD＝ 2 ．
【分析】根据全等三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵△ABC≌△BED，DE＝8，AC＝6，
∴BC＝DE＝8，AC＝BD＝6，
∴CD＝BC﹣BD＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．
15．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，以点B为圆心，AB长为半径画弧，与BC交于点D，若一个小球在△ABC内自由滚动，并随机停在某个位置，那么小球最终停留在阴影部分的概率是 14π ．
【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝45°，再利用扇形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后用阴影部分的面积除以三角形的面积得到小球最终停留在阴影部分的概率．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝45°，
∴阴影部分的面积=45×π×22360=12π，
∴小球最终停留在阴影部分的概率=12π12×2×2=14π．
故答案为：14π．
【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率＝某事件所占有的面积与总面积之比．也考查了等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式．
16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，F是线段AD上一点，若AD＝6，则CF+EF的最小值为 6 ．
【分析】连接BF，则CF＝BF，则CF+EF＝BF+EF≥BE，即CF+EF的最小值为BE，证△ADC≌△BEC得BE＝AD＝6，即CF+EF的最小值为6．
【解答】解：连接BF，则CF＝BF，
∴CF+EF＝BF+EF≥BE，
即CF+EF的最小值为BE，
∵等边△ABC中，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，
∴AB＝BC＝AC，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
∴BE＝AD＝6，
即CF+EF的最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．
17．（3分）若关于x的方程m3x+1=n2+x3有无数个解，则m+n的值为 3 ．
【分析】将方程移项，合并同类项后根据题意求得m，n的值，将其代入m+n中计算即可．
【解答】解：已知关于x的方程m3x+1=n2+x3，
移项得：m3x−x3=n2−1，
合并同类项得：13x（m﹣1）=n2−1，
∵该方程有无数个解，
∴m﹣1＝0，n2−1＝0，
解得：m＝1，n＝2，
则m+n＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其实际意义是解题的关键．
18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，D为AC上一点，连接BD，E为△ABC外一点，且AE＝BD，延长BD交AE的延长线于点F，连接CE，若∠FDA＝∠BAF，CE＝5.5，则CD＝ 2.5 ．
【分析】由三角形内角和定理得到∠ABD＝∠CAE，判定△BAD≌△ACE（SAS），推出AD＝CE＝5.5，即可求出CD当的长．
【解答】解：∵∠FDA＝∠BAF，∠AFD＝∠AFB，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，BD＝AE，
∴△BAD≌△ACE（SAS），
∴AD＝CE＝5.5，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣5.5＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形当性质，关键是判定△BAD≌△ACE（SAS），得到AD＝CE．
19．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，且CD＝2BD，4BC＝3AC，CF为∠ACB的角平分线，交AD于点E，交AB于点F，若△CDE的面积为7，则图中阴影部分的面积为 14 ．
【分析】过点E作EG⊥AC于点G，设BD＝a，分别把CD、AC用含a的代数式表示出来，根据角平分线的性质得DE＝EG（设为h），利用三角形面积公式将△CDE的面积用含a和h的等式表示出来，得到a和h的数量关系，利用三角形面积公式将阴影部分的面积表示出来并将a和h的数量关系代入计算即可．
【解答】解：如图，过点E作EG⊥AC于点G，
设BD＝a，则CD＝2a，
∴BC＝BD+CD＝a+2a＝3a，
∵4BC＝3AC，
∴4×3a＝3AC，
∴AC＝4a，
∵CF为∠ACB的角平分线，AD⊥BC，EG⊥AC，
∴DE＝EG（设为h），
∵12CD•DE＝7，即12×2ah＝7，
∴ah＝7，
∴S阴影=12AC•EG=12×4ah=12×4×7＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查三角形的面积、角平分线的性质，掌握角平分线的性质和三角形面积计算公式是解题的关键．
20．（3分）我们规定：一个四位数M=abcd，各个数位上的数字是不完全相同的正整数，若满足（a+d）2﹣（b+c）2＝10a+d，则称这样的数M为“平方奥秘数”．例如：对于3214，（3+4）2﹣（2+1）2＝49﹣9＝40≠34，所以3214不是“平方奥秘数”；对于4515，（4+5）2﹣（5+1）2＝81﹣36＝45，所以4515是“平方奥秘数”．根据上述定义，满足个位与千位相同的最大“平方奥秘数”是 9969 ；M是一个“平方奥秘数”，设H(M)=a+b+c+d4，G（M）＝10a+d﹣（a+d﹣b﹣c）2，若H（M）是一个完全平方数，且G（M）能被8整除，则满足条件的所有M中，M的最大值是 6514 ．
【分析】设满足个位与千位相同的“平方奥秘数”为abca，由题意得（a+a）2﹣（b+c）2＝10a+a根据最大“平方奥秘数”，当a＝9时，求得b+c＝15，由此可确定b与c的值，从而确定“平方奥秘数”；当a取小于9的正整数时，若存在“平方奥秘数”，它也是小于上面求得的“平方奥秘数”，故可得最大“平方奥秘数”；由H（M）是一个完全平方数可求得a+d+b+c＝16，由G（M）及（a+d）2﹣（b+c）2＝10a+d得 4（b+c）[8﹣（b+c）]，可得b+c为偶数，进而得a+d的值，根据“平方奥秘数”的意义可得a、d的取值，从而得b、c的取值，最后可得“平方奥秘数”中的最大数．
【解答】解：设满足个位与千位相同的“平方奥秘数”为abca→，
由题意得：（a+a）2﹣（b+c）2＝10a+a，即4a2﹣11a＝（b+c）2；
当abca为最大“平方奥秘数”时，若a＝9，则（b+c）2＝225，
∴b+c＝15；要满足abca→为最大“平方奥秘数”，则b＝9，c＝6，
∵“平方奥秘数”为9969；
∴当a取小于9的正整数时，若存在“平方奥秘数”，它也不是最大“平方奥秘数”，故最大“平方奥秘数”为9969；
∵“平方奥秘数”各个数位上的数字是不完全相同的正整数，
∴a，b，c，a四个数中最多三个取9，另一个取8时，四个数的和最大为35，四个数中最多三个取1，另一个取2，四个数的和最小为5，即5≤a+b+c+d≤35，
∴54≤H(M)≤354，
∵H（M）是一个完全平方数，
∴H（M）＝4，
∴a+d+b+c＝16，a+d＝16﹣（b+c）；
∵（a+d）2﹣（b+c）2＝10a+d，
∴10a+d＝（a+d﹣b﹣c）（a+d+b+c）；
∴G（M）＝10a+d﹣（a+d﹣b﹣c）2 ＝（a+d﹣b﹣c）（a+d+b+c）﹣（a+d﹣b﹣c）2 ＝（a+d﹣b﹣c）（2b+2c） ＝4（b+c）[8﹣（b+c）]，
∵G（M）是8的倍数，
∴b+c必为偶数，
∴b，c同奇或同偶；
∵10a+d＝（a+d﹣b﹣c）（a+d+b+c）＞0，
∴a+d﹣b﹣c＝16﹣2（b+c）＞0，
∴b+c＜8，
∴b+c＝2或4或6；对应地，a+d＝14或12或10；
当b+c＝2，a+d＝14时，由（a+d）2﹣（b+c）2＝10a+d＝9a+（a+d）得a=1789不合题意；
当b+c＝4，a+d＝12时，由（a+d）2﹣（b+c）2＝10a+d＝9a+（a+d）得a=1169不合题意；
当b+c＝6，a+d＝10时，由（a+d）2﹣（b+c）2＝10a+d＝9a+（a+d）得a＝6，合题意；
∴d＝10﹣6＝4；此时b＝5，4，3，2，1，c＝1，2，3，4，5，对应地，“平方奥秘数”为6514，6424，6334，6244，6154，“平方奥秘数”中的最大数为6514．
故答案为：9969，6514．
【点评】本题考查了整式的加减运算，因式分解的应用等知识，理解题中新定义，熟练进行整式的运算是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，第21题20分，其余小题各10分，共90分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
21．（20分）计算：
（1）(−1)2025−23×(−13)−2+(2−π)0；
（2）a4•（﹣3a）2+（a3）4÷a6；
（3）（a+b）（2a﹣3b）+a（b﹣2a）；
（4）（a+2b）（﹣2b+a）﹣（2b﹣a）2．
【分析】（1）先化简，然后计算乘法，再算加减法即可；
（2）先算乘方，再算单项式的乘除法，然后合并同类项即可；
（3）根据多项式乘多项式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
（4）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）(−1)2025−23×(−13)−2+(2−π)0
＝（﹣1）−23×9+1
＝（﹣1）﹣6+1
＝﹣6；
（2）a4•（﹣3a）2+（a3）4÷a6
＝a4•9a2+a12÷a6
＝9a6+a6
＝10a6；
（3）（a+b）（2a﹣3b）+a（b﹣2a）
＝2a2﹣3ab+2ab﹣3b2+ab﹣2a2
＝﹣3b2；
（4）（a+2b）（﹣2b+a）﹣（2b﹣a）2
＝a2﹣4b2﹣4b2+4ab﹣a2
＝﹣8b2+4ab．
【点评】本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
22．（10分）如图，已知AB＝AC，BC＝CD，∠ACB＝∠BCD，CE⊥BD．请完成下面的作图和填空．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）
（2）在（1）问的条件下，试说明BF∥CE．请将下列解题过程补充完整．
解：∵AB＝AC（已知），
∴∠ABC＝∠ACB（① 等边对等角 ），
∵∠ACB＝∠BCD（已知），
∴∠ABC＝② ∠BCD （等量代换），
∵BF平分∠ABC（已知），
∴∠CBF=12③ ∠ABC （角平分线的定义），
在△BCD中，∵BC＝CD，④CE⊥BD （已知），
∴∠BCE=12∠BCD（⑤ 等腰三角形三线合一 ），
∴∠CBF＝∠BCE（等量代换），
∴BF∥CE（⑥ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定填空即可．
【解答】解：（1）如图，射线BF即为所求．
（2）∵AB＝AC（已知），
∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），
∵∠ACB＝∠BCD（已知），
∴∠ABC＝∠BCD（等量代换），
∵BF平分∠ABC（已知），
∴∠CBF=12∠ABC（角平分线的定义），
在△BCD中，∵BC＝CD，CE⊥BD（已知），
∴∠BCE=12∠BCD（等腰三角形三线合一），
∴∠CBF＝∠BCE（等量代换），
∴BF∥CE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①等边对等角；②∠BCD；③∠ABC；④CE⊥BD；⑤等腰三角形三线合一；⑥内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行线的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（10分）先化简，再求值：
[（2x+3y）（2x﹣3y）+（y﹣4x）（x+3y）+5xy]÷（﹣3y），其中x2+y2﹣4x+2y+5＝0．
【分析】根据平方差公式、多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再算多项式除以单项式，根据完全平方公式和题目中的式子可以求得x、y的值，最后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：[（2x+3y）（2x﹣3y）+（y﹣4x）（x+3y）+5xy]÷（﹣3y）
＝（4x2﹣9y2+xy+3y2﹣4x2﹣12xy+5xy）÷（﹣3y）
＝（﹣6y2﹣6xy）÷（﹣3y）
＝2y+2x，
∵x2+y2﹣4x+2y+5＝0，
∴（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，
∴（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
∴x﹣2＝0或y+1＝0，
∴x＝2，y＝﹣1，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×（﹣1）+2×2＝2．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
24．（10分）重庆一中是“全国最美校园书屋”，在“尊重自由，激发自觉”的办学理念下，大力推动书香校园建设．为了统计初一年级同学每周的阅读时长，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查，并绘制了如下不完整的统计图．（数据共分为4组：A组：0≤x＜3，B组：3≤x＜6，C组：6≤x＜9，D组：x≥9，其中x表示每周阅读时长，单位为小时）
已知在所调查的学生中随机选取一人，所选学生每周阅读时间不低于9小时的概率为110，请根据图中信息回答下列问题：
（1）参与此次调查的学生有 400 人，请补全条形统计图；
（2）m＝ 20 ，扇形统计图中C组对应的扇形的圆心角度数为 108 °；
（3）若初一年级学生共有2400人，根据本次调查结果，估计初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的共有多少人？
【分析】（1）由条形统计图可知，D组的人数为40人，结合概率公式可得参与此次调查的学生人数；求出B组的人数，补全条形统计图即可．
（2）用条形统计图中A的人数除以参与此次调查的学生人数再乘以100%可得m%，即可得m的值；用360°乘以C的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）根据用样本估计总体，用2400乘以B，C，D的人数所占的百分比之和，即可得出答案．
【解答】解：（1）由条形统计图可知，D组的人数为40人，
设参与此次调查的学生有m人，
∵所选学生每周阅读时间不低于9小时的概率为110，
∴40x=110，
解得x＝400，
经检验，x＝400是原方程的解且符合题意，
∴参与此次调查的学生有400人．
∴B组的人数为400﹣80﹣120﹣40＝160（人）．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：400．
（2）m%＝80÷400×100%＝20%，
∴m＝20．
扇形统计图中C组对应的扇形的圆心角度数为360°×120400=108°．
故答案为：20；108．
（3）2400×400−80400=1920（人）．
∴估计初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的共约1920人．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键．
25．（10分）如图，在△ABC中，点D，F分别为BC，AC边上的点，连接AD，BF，线段AD，BF交于点G，且AD＝BD＝CD．点E为BD边上一点，连接AE，使得∠AED＝∠BGD．
（1）求证：AG＝BE；
（2）若BF＝CF，∠AED＝69°，求∠C的度数．
【分析】（1）由∠AED＝∠BGD，∠ADE＝∠BDG，AD＝BD，根据“AAS”证明△AED≌△BGD，得DE＝DG，即可由AD﹣DG＝BD﹣DE，证明AG＝BE；
（2）由BF＝CF得∠GBD＝∠C，由全等三角形的性质得∠EAD＝∠GBD，所以∠EAD＝∠C，由AD＝CD，得∠DAC＝∠C，则∠EAC＝2∠C，而∠AED＝69°，则69°+2∠C+∠C＝180°，求得∠C＝37°．
【解答】（1）证明：在△AED和△BGD中，
∠AED=∠BGD∠ADE=∠BDGAD=BD，
∴△AED≌△BGD（AAS），
∴DE＝DG，
∴AD﹣DG＝BD﹣DE，
∴AG＝BE．
（2）解：∵点D，F分别为BC，AC边上的点，AD，BF交于点G，BF＝CF，
∴∠GBD＝∠C，
由（1）得△AED≌△BGD，
∴∠EAD＝∠GBD，
∴∠EAD＝∠C，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝2∠C，
∵∠AED+∠EAC+∠C＝180°，且∠AED＝69°，
∴69°+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝37°，
∴∠C的度数是37°．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明△AED≌△BGD是解题的关键．
26．（10分）列方程解决下列问题：
2025年，新能源汽车市场竞争异常激烈，某新能源汽车品牌生产厂为抢占市场份额，提高销售量，对经销商采取销售奖励活动．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出该品牌汽车的A型和B型共650台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共900台，其中A型汽车和B型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长25%和60%．
（1）在新办法出台后的第一个月，该经销商销售的A型汽车和B型汽车分别为多少台？
（2）若A型汽车每台售价为12万元，B型汽车每台售价为15万元．新奖励办法是：每销售一台A型汽车按每台汽车售价的3%给予奖励，每销售一台B型汽车按每台汽车售价的2%给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，A型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了5m%；而B型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减小了4m%，新奖励办法出台后的第二个月，该经销商共获得的奖励金额321万元，求m的值．
【分析】（1）设在新办法出台前一个月，该经销商销售x台A型汽车，y台B型汽车，则在新办法出台后的第一个月，该经销商销售（1+25%）x台A型汽车，（1+60%）y台B型汽车，根据经销商在新奖励办法出台前、后一个月售出这两种型号的汽车的数量之和，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入（1+25%）x及（1+60%）y中，即可求出结论；
（2）利用该经销商获得的总奖励＝12×3%×新奖励办法出台后的第二个月销售A型汽车的数量+15×2%×新奖励办法出台后的第二个月销售B型汽车的数量，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设在新办法出台前一个月，该经销商销售x台A型汽车，y台B型汽车，则在新办法出台后的第一个月，该经销商销售（1+25%）x台A型汽车，（1+60%）y台B型汽车，
根据题意得：x+y=650(1+25%)x+(1+60%)y=900，
解得：x=400y=250，
∴（1+25%）x＝（1+25%）×400＝500（台），
（1+60%）y＝（1+60%）×250＝400（台）．
答：在新办法出台后的第一个月，该经销商销售500台A型汽车，400台B型汽车；
（2）根据题意得：12×3%×500（1+5m%）+15×2%×400（1﹣4m%）＝321，
解得：m＝5．
答：m的值为5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
27．（10分）如图，点D是△ABC所在平面内一点，连接BD．点E是线段BD上一点，连接AE，CE．其中AB＝AC，AE＝AD．
（1）如图1，当点D在线段AC上时，若FE垂直平分线段AB，且AB⊥AC，∠DBC＝15°，EF＝3，求DE的长；
（2）如图2，当点D在△ABC外时，连接AD，若点H为线段BD的中点，且∠ACB+∠D＝90°，求证：EC＝2AH．
【分析】（1）求得∠ABD＝30°，利用垂直平分线的性质结合直角三角形的性质求得AE＝BE＝6，∠BAE＝∠ABE＝30°，再求得△AED是等边三角形，据此求解即可；
（2）延长AH至F，使HF＝AH，连接BF，作AG⊥BC于点G，设∠AED＝∠D＝α，证明△AHD≌△FHB，推出∠DBF＝∠D＝α，BF＝AD＝AE，利用等腰三角形的性质结合已知求得∠CAG＝∠BAG＝∠D＝α，再利用三角形的外角性质求得∠2＝∠3，∠ABF＝∠CAE＝α+∠3，利用SAS证明△ABF≌△CAE，推出AF＝CE，据此即可证明结论成立．
【解答】（1）解：∵AB⊥AC，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DBC＝15°，
∴∠ABD＝45°﹣15°＝30°，
∵FE垂直平分线段AB，
∴AE＝BE，EF⊥BF，
∵EF＝3，
∴AE＝BE＝2EF＝6，∠BAE＝∠ABE＝30°，
∴∠AED＝∠BAE+∠ABE＝60°，∠EAD＝90°﹣∠BAE＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴DE＝AE＝6；
（2）证明：延长AH至F，使HF＝AH，连接BF，作AG⊥BC于点G，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠D，
设∠AED＝∠D＝α，
∵点H为线段BD的中点，
∴BH＝DH，
又∵∠AHD＝∠FHB，
∴△AHD≌△FHB（SAS），
∴∠DBF＝∠D＝α，BF＝AD＝AE，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴∠ACB+∠CAG＝90°，∠CAG＝∠BAG，
∵∠ACB+∠D＝90°，
∴∠CAG＝∠BAG＝∠D＝α，
∴∠CAE＝∠CAG+∠3＝α+∠3，
∵∠BAG＝∠1+∠3＝α，∠AED＝∠1+∠2＝α，
∴∠2＝∠3，
∴∠ABF＝∠DBF+∠2＝α+∠3．
∴∠ABF＝∠CAE，
∵AB＝AC，BF＝AE，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE，
∴EC＝2AH．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，第2问证明△ABF≌△CAE是解题的关键．
28．（10分）如图，△ABC为等边三角形，点D为AB边上一点，点E为射线CB上一点，连接DE，CD，且DE＝DC．
（1）如图1，已知AC＝8，当CD⊥AB时，求BE的长；
（2）如图2，当点D在BA的延长线上时，将线段CD绕点C顺时针旋转60°到CF，连接AF．探究AF、AC、BE之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，当∠BCD＝35°时，将△BCD沿着DC翻折，得到△GCD，过点G作GH⊥BC交BC于点H，点M是线段GH上一动点，连接CM，把CM绕点C逆时针旋转∠BCG的度数．得到CP，连接PH．设∠GCM＝α，在点M运动的过程中，存在一点M，使PH+CP的值最小，请直接写出此时∠CHP的度数（用含α的代数式表示）．
【分析】（1）根据△ABC为等边三角形，CD⊥AB，三线合一得AD＝DB，再证EB＝BD，最后根据直角三角形中30°角关系，可证BE；
（2）连接DF，可证△ACF≌△BCD，再证△BDE≌△AFD，最后可得AF＝AC+BE；
（3）将CH逆时针旋转70°到点H′，连接BH′，可证△BCH′≌△GCH，根据对称可得PH+CP＝HC′的值最小，则∠CC′H＝∠PCH′＝70°﹣α，最后在△HC′C可证∠CHP．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，AC＝8，CD⊥AB，
∴AD=DB=AB2=4，
∴∠DEB＝∠DCE＝30°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BED＝∠EDB＝30°，
∴EB＝BD，
在Rt△DBC中，∠DCB＝30°，
∴BD=12BC=12×8=4，
∴BD＝BE＝4；
（2）连接DF，由旋转得到△CDF为等边三角形，
∵∠ACF＝∠BCD＝60°+∠ACD，AC＝BC，DC＝CF，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴AF＝BD，∠FAC＝∠DBC＝60°，
∵∠FDC＝∠FAC＝60°，
∴∠DFA＝∠DCA，
∵DE＝DC，
∴∠DCB＝∠DEC，ED＝DC＝DF，
∵∠BDA+∠DBE＝∠DEC，∠DCA+∠ACB＝∠DCB，∠DBE＝∠ACB＝60°，
∴∠BDE＝∠AFD，
在△BDE和△AFD中，
AF=BD∠BDE=∠AFDDE=FD，
∴△BDE≌△AFD（SAS），
∴AD＝BE，
∴AF＝BD＝AB+AD＝AC+BE，
∴AF＝AC+BE；
（3）如图：将CH逆时针旋转70°到点H′，连接BH′，则CH＝CH′，
∵△BDC 延CD 翻折，∠BCD＝35°，
∴BC＝GC，∠BCG＝2∠BCD＝2∠GCD＝2×35°＝70°，
在△BCH′和△GCH中，
BC=GC∠BCH′=∠GCHCH′=CH，
∴△BCH′≌△GCH（SAS），
∵GH⊥BC，
∴∠GHC＝∠BH′C＝90°，
∵∠BCG＝∠PCM＝70°，∠GCM＝α，
∴∠PCH+∠MCH＝∠GCM+∠MCH＝70°，
∴∠GCM＝∠PCH＝α，
∵使PH+CP的值最小，
∴如图，以BH′为对称轴，作C点对称点C′，PH+CP＝HC′最小，
∴∠CC′H＝∠PCH′＝70°﹣α，
∴∠CHP＝180°﹣∠HCH′﹣∠HC′C＝180°﹣70°﹣（70°﹣α）＝40°+α，
∴∠CHP＝40°+α．
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