2026年河南平顶山市鲁山县第六教研区数学中考一模试卷含答案

这是一份2026年河南平顶山市鲁山县第六教研区数学中考一模试卷含答案，共57页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，数轴上点 P 表示的数可能是（ ）
A．B．C．0D．
2．如图为一个3D打印的实体零件模型，该零件模型的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
3．中原养蚕织绸技艺是河南省平顶山市鲁山县传统丝织技艺，被列入河南省非物质文化遗产名录．某蚕丝的直径大约是，数据“”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线与交于点，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．以点O为圆心的量角器与直角三角尺按如图所示的方式摆放，，点 D在 上，若点 D 所对应的读数为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．已知实数对的偏左数偏右数，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴正半轴上，已知，，将沿翻折得到交于点 F，则点 F的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．学校为防控流感病毒，用过氧乙酸溶液对教室内的空气进行熏蒸，过氧乙酸气体在空气中的浓度必须大于才能达到熏蒸消毒要求．王林为测出教室内过氧乙酸气体的浓度，设计了“过氧乙酸气体浓度检测仪”，图1是其简化的工作电路图，图2为过氧乙酸气体传感器 (Ω)的阻值随过氧乙酸气体浓度（）变化的关系图象，则下面说法错误的是（ ）
A．未进行熏蒸时，传感器的阻值为Ω
B．传感器的阻值随过氧乙酸气体浓度的增大而减小
C．若过氧乙酸气体浓度不低于，则传感器的阻值不低于Ω
D．若过氧乙酸气体浓度从增大到，则传感器的阻值减小Ω
二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则的值可以是______．
12．对甲、乙两名运动员进行12次跑步心率监测，两名运动员的心率平均值均为170次/分，方差分别为 则心率数据更稳定的运动员是____________（填“甲”或“乙”）．
13．若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为______．
14．如图，在中，，，D是上一点，以为直径作，交于点E，过点 E 作的切线，交于点 F．若，，则图中阴影部分的面积为_____________．
15．如图，两张全等的三角形纸片和的顶点B重合，，，将绕点B在平面内旋转，连接．在旋转过程中，当是以为直角边的直角三角形时，线段的长为_____________．
三、解答题
16．计算和化简：
（1）；
（2）．
17．随着人工智能技术的迅猛发展，聊天机器人的智能化水平不断提高，逐渐深入大众生活．有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度的评分调查（评分为整数，满分分，9分及以上为特别满意），并从中各随机抽取份数据，进行整理、描述和分析，部分信息如下．
①甲款聊天机器人评分数据：7，8，7，，7，6，6，8，，9，8，6，8，7，6，8，8，7，8，6．
②乙款聊天机器人评分条形统计图．
③甲、乙两款聊天机器人评分统计表．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中的
（2）你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由．
（3）在此次调查中，各有人对甲、乙两款聊天机器人进行评分，估计此次调查中对两款聊天机器人特别满意的总人数．
18．如图，在四边形中，，，连接．
（1）将四边形翻折，使点A与点C重合，折痕分别与边，交于点E，F，请用无刻度的直尺和圆规作出折痕，连接，（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形．
19．在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树(如图1)的高度，下面是测量该松树高度的实践报告．
请你根据以上实践报告；求出松树的高度 BC（结果保留整数）．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，，反比例函数 的图象经过正方形的中心 Q．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将边上一点E绕点 Q 逆时针旋转，若旋转后的点 恰好落在 的图象上，求点 E 的坐标．
21．2025 年河南文旅市场消费持续火爆，热度领跑全国，龙门石窟、云台山等文创周边冰箱贴深受大家喜爱．某商家计划购进A，B两种类型的冰箱贴共60套进行销售，若购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，若购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元．
（1）求 A，B两种类型冰箱贴的购进单价分别是多少元．
（2）若该商家计划购进这批冰箱贴所花的总费用不超过2600元，且A 型冰箱贴的售价定为50元/套，B型冰箱贴的售价定为65元/套．要使这批冰箱贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润．
22．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点．
（1）求抛物线的函数表达式，并求出抛物线的对称轴．
（2）若，为抛物线上不同的两点，且满足，求证：．
（3）将抛物线向右平移t个单位长度，，是平移后抛物线上不同的两点，且总满足 ，请直接写出t的取值范围．
23．如图，在正方形中，点 P 为线段上一动点，作射线．
（1）【问题解决】如图1，若点 P 与线段的中点重合，则 ，线段 与线段的位置关系是 ．
（2）【问题探究】如图2，点E在线段上，在点 P 运动过程中，当 时，探究线段 与线段 的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】在点 P 运动过程中，E为射线 上一点(不与点B 重合)，且 ，当 时，直接写出的值．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据点的位置，进行判断即可.
【详解】解：设点表示的数为，
由图可知：，
∴数轴上点 P 表示的数可能是.
2．【答案】D
【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形，进行判断即可.
【详解】解：该零件模型的俯视图为：
3．【答案】C
【详解】解：.
4．【答案】B
【分析】根据题意可求得，结合，即可求得答案．
【详解】因为，，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
5．【答案】B
【分析】本题主要考查整式的乘法与除法，根据整式乘除运算的法则逐项判断即可．
【详解】A、，计算错误，该选项不符合题意；
B、，计算正确，该选项符合题意；
C、，计算错误，该选项不符合题意；
D、，计算错误，该选项不符合题意．
故选B
6．【答案】C
【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的结果有2种，
∴恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为．
7．【答案】A
【分析】先根据量角器得到，再确定点C在该量角器所在的圆上，然后根据圆周角定理得到，据此可得答案．
【详解】解：连接，
∵量角器上点D所对应的读数为，
∴，
∴，
∵以点O为圆心的量角器与直角三角尺按如图所示的方式摆放，，
∴点C在该量角器所在的圆上，
∴．
8．【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意可列出一元一次不等式组，求解即可．
【详解】根据题意，得
解不等式，得
．
解不等式，得
．
所以该不等式组的解集为．
故选C．
9．【答案】A
【分析】在中，解直角三角形求出，，结合翻折的性质可求出，过F作于H，并反向延长交于H，根据矩形的判定与性质求出，证明，求出，则，根据待定系数法求出直线解析式为，然后把代入，求出x的值即可．
【详解】解：∵的边在x轴上，，
∴，，
在中，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
过F作于G，并反向延长交于H，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，将代入得，
则，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴．
10．【答案】C
【分析】本题主要考查函数的图象，根据函数的图象逐项分析即可．
【详解】A、未进行熏蒸时，过氧乙酸气体浓度为，传感器的阻值为Ω，说法正确，该选项不符合题意；
B、观察函数图象可知，随着过氧乙酸气体浓度的增大，传感器的阻值逐渐减小，说法正确，该选项不符合题意；
C、若过氧乙酸气体浓度不低于0.3，则传感器的阻值不高于10Ω，说法错误，该选项符合题意；
D、过氧乙酸气体浓度为和时，传感器的阻值分别为Ω和Ω，所以，若过氧乙酸气体浓度从增大到，则传感器的阻值减小Ω，说法正确，该选项不符合题意．
故选C
11．【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴．
∴符合题意.
12．【答案】甲
【分析】根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，数据越稳定，只需比较两名运动员心率方差的大小即可判断.
【详解】由题意可知，两名运动员心率平均值相等，方差，，
，即.
∴心率数据更稳定的运动员是甲.
13．【答案】
【详解】解：方程整理为一般式得，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
14．【答案】
【分析】连接，可得是等边三角形，求出，过点分别作的垂线，垂足分别为，则，则，，根据阴影部分面积，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
又，，
∴
∴
又∵在中，，
∴
∴是等边三角形，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴，则，，
∴阴影部分面积
．
15．【答案】10或
【分析】当时，延长交于点，过点作于点，证明出，由，可设，再证明，求出，在中，由勾股定理得，，则，故；当时，延长交于点，同理可证明：，，得到，再对运用勾股定理求解即可．
【详解】解：当时，延长交于点，过点作于点，
则，，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴；
当时，延长交于点，
由题意得，
同理可证明：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：当是以为直角边的直角三角形时，线段的长为10或．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．【答案】（1）8，7.5，
（2）乙款聊天机器人更受用户喜爱，理由见详解
（3）此次调查中对两款聊天机器人特别满意的总人数是人
【分析】（1）根据众数，中位数的定义分别求出，统计乙款9 分及以上的数据个数，利用求百分比的公式计算即可；
（2）分别从表格所给的四个方面进行比较分析即可；
（3）利用样本中的特别满意的百分比估计总体的百分比，分别求出两款机器人特别满意的人数，然后相加即可．
【详解】（1）解：甲款聊天机器人评分数据中出现次数最多的是 8 分，故 ；
乙款聊天机器人评分数据共个数据，中位数为第个数的平均数，排序后第 个数分别为 7和8，故；
特别满意为 9 分及以上，乙款共人，故；
（2）解：乙款 AI 聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
两款机器人平均数和中位数相同，但乙款的众数高于甲款，说明乙款评分整体更集中在高分段；乙款特别满意所占百分比高于甲款，说明更多用户对乙款给出了极高评价；
（3）解：甲款特别满意人数估计：（人） ，
乙款特别满意人数估计： （人），
总人数：（人）．
答：此次调查中对两款聊天机器人特别满意的总人数是人．
18．【答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】（1）分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧分别交于两侧的两点；过这两点作直线，该直线与交于点，与交于点；连接、，则直线即为所求折痕；
（2）由翻折性质知垂直平分，故，，，．先证，得；再证，得，进而即可证明四边形是菱形．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：由翻折可知，折痕是线段的垂直平分线，
∴，，，，
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∴，
∴四边形是菱形．
19．【答案】23m
【分析】过点A作 ，延长交于点E，利用三角函数得出，利用坡比的概念，进而即可求解．
【详解】解：过点A作 ，延长交于点E，则四边形是矩形，
∵的坡度，，
∴设，
∴，解得：（负值舍去），
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，即，解得：
答：松树 的高度约为．
20．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据正方形的性质求出点C的坐标，根据中点坐标公式求出点Q的坐标，最后根据待定系数法求解即可；
（2）连接，，，，，设，则，证明，可得出，，求出，把代入求出，即可求解．
【详解】（1）解：∵正方形的顶点，，
∴，轴，
∴，
又Q是正方形的中心，
∴，即，
∵反比例函数 的图象经过正方形的中心 Q
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：连接，，，，，
设，则
∵Q是正方形的中心，
∴，，，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∵恰好落在 的图象上，
∴，
∴．
21．【答案】（1）A型冰箱贴购进单价为40元，B型冰箱贴购进单价为45元．
（2）购进A型冰箱贴20套，B型冰箱贴40套时可获得最大利润，最大利润为1000元．
【分析】（1）根据“购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元”列方程组求解；
（2）设A型冰箱贴购进a套（a为整数），根据“总费用不超过2600元”列不等式求出a的取值范围，设销售利润为w元，求出，然后根据一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设A型冰箱贴购进单价为x元，B型冰箱贴购进单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：A型冰箱贴购进单价为40元，B型冰箱贴购进单价为45元；
（2）解：设A型冰箱贴购进a套（a为整数），则B型冰箱贴购进套，
根据题意，得，
解得，
又，
∴，
∴，
设销售利润为w元，
根据题意，得，
∵，
∴w随a的增大而减小，
又，
∴当时，w有最大值，最大值为，此时，
∴购进A型冰箱贴20套，B型冰箱贴40套时可获得最大利润，最大利润为1000元．
22．【答案】（1），直线
（2）见详解
（3）或
【分析】（1）把代入求出a的值即可；把所求表达式转化为顶点式，即可求出抛物线的对称轴；
（2）把代入，得出，，把代入并化简得，结合可求出，则，然后把代入并化简得，即可得证；
（3）先求出平移后抛物线对称轴为直线，然后判断点P在新抛物线的对称轴左侧，再分两种情况讨论：Q在新抛物线的对称轴左侧；Q在新抛物线的对称轴右侧，根据二次函数的增减性和对称轴求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在抛物线上，
∴，
∴，
又，
∴；
（3）解：抛物线向右平移个单位后，新抛物线的解析式为，
∴新抛物线的对称轴为直线，
∵
∴新抛物线开口向上，
∴在新抛物线的对称轴左侧，y随x的增大而减小；在新抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∵，，
∴点P在新抛物线的对称轴左侧，
当Q在新抛物线的对称轴左侧时，
∵，是新抛物线上不同的两点，，
∴，
∴，
又，
∴；
当Q在新抛物线的对称轴右侧时，
关于直线的对称点为，即，
∵，
∴，
∴
综上，或．
23．【答案】（1）45，；
（2），理由见详解；
（3）或
【分析】（1）根据正方形的性质，结合等腰三角形的性质可得答案；
（2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等腰直角三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论；
（3）分两种情况：①记与边交于点，把绕顺时针旋转得到，过点C作，记与的延长线交于点，把绕顺时针旋转得到，过点C作，分别求解即可
【详解】（1）解：∵正方形中，
∴，，
∵点 P 与线段的中点重合，
∴，；
（2）解：，理由如下：
如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵点在线段上，且，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①记与边交于点，把绕顺时针旋转得到，过点C作，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，，
∴ ，
∴，即；
②记与的延长线交于点，把绕顺时针旋转得到，过点C作，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，，
∴ ，
∴，即；
综上：的值为或
平均数
众数
中位数
特别满意所占百分比
甲款

a


乙款

8
b
c
主题
测量松树的高度
测量过程
如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B 的仰角∠BPO，并测得斜坡PA 的坡度i，然后他沿着斜坡PA行走至点A，在坡顶A 处又测量松树顶 B 的仰角． (图中所有点均在同一竖直平面内)
示意图
测量数据
∠BPO=45°，∠BAC=55°，AP=13m，坡度
参考数据