2026年高考数学一轮专题训练：抛物线2 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：抛物线2 [含答案]，共15页。
A．x2=112yB．x2=112y或x2=−136y
C．x2=−136yD．x2＝12或x2＝﹣36y
2．（2025春•闵行区期末）抛物线y2＝4x的焦点为F，点P是抛物线上任意一点，则|PF|的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
3．（2025•环县校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F和准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且FA→=−2FB→，则|AB|＝（ ）
A．3B．6C．9D．12
4．（2025•延安模拟）已知点P（2，y0）在曲线C：y2＝2px（p＞0）上，|PF|＝3，其中F点的坐标为(p2，0)，则|y0|＝（ ）
A．2B．5C．22D．3
5．（2025春•廊坊月考）已知点P和点Q是曲线y＝x2+ax+b上的不同两点，割线PQ的斜率为3，点P的横坐标为2，点Q的横坐标为4，则a＝（ ）
A．3B．﹣3C．13D．−13
6．（2025•沧县校级模拟）已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点到直线y＝x﹣1的距离为2，则p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2025•江西模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，|AB|＝8，点D（3，y0）在C上，则|DF|＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（2025•河南校级三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x﹣y﹣3＝0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋•宣城期末）抛物线y2＝4x的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为θ的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（ ）
A．当θ＝90°时，|AB|＝4
B．当θ＝60°时，|AF|＝2|BF|
C．三角形ABC面积的最小值为4
D．|AA1|+2|BB1|的最小值为3+22
（多选）10．（2025•喀什市模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P（x0，y0）在C上，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为x＝2
B．F的坐标为（1，0）
C．若y0＝2，则|PF|＝2
D．|PF|≥2
（多选）11．（2025•嘉峪关校级模拟）将抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°、180°、270°后所得的三条曲线与C围成的图形称作花瓣曲线（如图阴影区域），A、B为C与其中两条曲线的交点，若p＝2，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为y＝4x2
B．|AB|＝8
C．直线x+y＝t截花瓣曲线第一象限部分的弦长最大值为2
D．阴影区域的面积不大于10π
（多选）12．（2025春•随州月考）顶点在原点，且过点P（﹣2，3）的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2=−92xB．y2=92xC．x2=43yD．x2=−43y
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•杨浦区校级月考）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点到焦点的距离为2，则p＝ ．
14．（2025•云南模拟）已知点A（1，4）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的焦点的距离为 ．
15．（2025•惠城区校级模拟）若直线y＝k（x+2）与抛物线y2＝4x相切于第一象限点P，则k＝ ．
16．（2025•龙文区校级模拟）过点P（2，1）作直线与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•普陀区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与椭圆E：x24+y23=1有一个相同的焦点，过抛物线C焦点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线l的方程．
18．（2025•甘肃模拟）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线的距离为4，过点F作直线l1，l2，其中l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，记O为坐标原点．
（1）证明：△AOB是钝角三角形；
（2）若以AB为直径的圆与y轴交于M，N两点，且|MN|=45|AB|，求直线l1的斜率；
（3）若l1⊥l2，求|AB|+18|CD|的最小值．
19．（2025•黄浦区校级三模）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a＞0）．
（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；
（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；
（3）直线l：x＝﹣3，抛物线上有一异于点A的动点P，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．
20．（2025•达州校级模拟）过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点作平行于x轴的直线被抛物线C截得的弦长为4，已知点P（0，﹣2），Q（4，2），设过点P的直线l与抛物线C交于点A，B，且直线QA交抛物线C于点M（点M与点A不重合）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线MB交以PQ为直径的圆于点D，E，求|DE|的最小值．
高考数学一轮复习 抛物线
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025•海淀区校级三模）点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A．x2=112yB．x2=112y或x2=−136y
C．x2=−136yD．x2＝12或x2＝﹣36y
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【正确答案】D
【分析】抛物线y＝ax2的标准方程为：x2=1ay，其准线方程为：y=−14a，若点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，则3+14a=6，或−14a−3＝6，解得答案．
解：抛物线y＝ax2的标准方程为：x2=1ay，
其准线方程为：y=−14a，
∵点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，
∴3+14a=6，或−14a−3＝6，
解得：a=112，或a=−136，
故抛物线的标准方程是x2＝12y或x2＝﹣36y，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，分类讨论思想，难度中档．
2．（2025春•闵行区期末）抛物线y2＝4x的焦点为F，点P是抛物线上任意一点，则|PF|的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】A
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线上的所有点中顶点到焦点的距离最小得答案．
解：由抛物线y2＝4x，得F（1，0），
又点P是抛物线上任意一点，
则当P为坐标原点时，|PF|取得最小值为p2=1．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，是基础题．
3．（2025•环县校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F和准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且FA→=−2FB→，则|AB|＝（ ）
A．3B．6C．9D．12
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【正确答案】C
【分析】利用FA→=−2FB→，求解AB坐标，利用两点间距离公式求得|AB|．
解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0）和准线l：x＝﹣1，
设A（﹣1，a），B（m，n），
∵FA→=−2FB→，可得|FA|：|AB|＝2：3，|FD|：|BC|＝2：3，|BC|＝3，
∴m＝2，n2＝4×2，n＝22，a＝﹣42，AB=32+(62)2=9，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
4．（2025•延安模拟）已知点P（2，y0）在曲线C：y2＝2px（p＞0）上，|PF|＝3，其中F点的坐标为(p2，0)，则|y0|＝（ ）
A．2B．5C．22D．3
【考点】抛物线的弦及弦长．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】C
【分析】由抛物线的焦半径公式求解p，可得抛物线方程，再把点P代入抛物线方程求解即可．
解：由点P（2，y0）在曲线C：y2＝2px（p＞0）上，|PF|＝3，
得2+p2=3，则p＝2，可得抛物线方程为y2＝4x，
把P（2，y0）代入抛物线方程，可得y02=8，则|y0|＝22．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的焦半径公式的应用，是基础题．
5．（2025春•廊坊月考）已知点P和点Q是曲线y＝x2+ax+b上的不同两点，割线PQ的斜率为3，点P的横坐标为2，点Q的横坐标为4，则a＝（ ）
A．3B．﹣3C．13D．−13
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】B
【分析】求出点P、Q的坐标，利用斜率公式可求得割线PQ的斜率，构造等式求解即可．
解：当x＝2时，y＝22+a×2+b＝4+2a+b，
即点P（2，4+2a+b），
当x＝4时，y＝42+4a+b＝16+4a+b，
即点Q（4，16+4a+b），
因为割线PQ的斜率为3，
所以(16+4a+b)−(4+2a+b)4−2=12+2a2=−3，
解得a＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查斜率公式的应用，属于基础题．
6．（2025•沧县校级模拟）已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点到直线y＝x﹣1的距离为2，则p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的弦及弦长．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】B
【分析】利用抛物线标准方程形式得焦点坐标为(0，p2)，再结合题设条件，即可求解．
解：因为抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点(0，p2)到直线y＝x﹣1的距离为2，
所以|p2+1|2=2，
即|p2+1|＝2，
又p＞0，
解得p＝2．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
7．（2025•江西模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，|AB|＝8，点D（3，y0）在C上，则|DF|＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】B
【分析】由已知先求出点A，B的坐标，由|AB|＝8即可求得p，利用抛物线的定义即可求解．
解：因为过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，
将x=p2代入抛物线的方程中，
解得y＝±p，
即A(p2，p)，B(p2，−p)，
所以|AB|＝2p＝8，
解得p＝4，
又D（3，y0），
所以|DF|=3+p2=5．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
8．（2025•河南校级三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x﹣y﹣3＝0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】D
【分析】根据点差法，即可求解．
解：因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x﹣y﹣3＝0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y12=2px1，y22=2px2，，
两式相减可得y1−y2x1−x2=2py1+y2=1，
又线段AB中点的横坐标为7，且中点在直线l：x﹣y﹣3＝0上，
所以线段AB中点的纵坐标为4，所以y1+y2＝8，
所以2p8=1，所以p＝4．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，点差法的应用，属基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋•宣城期末）抛物线y2＝4x的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为θ的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（ ）
A．当θ＝90°时，|AB|＝4
B．当θ＝60°时，|AF|＝2|BF|
C．三角形ABC面积的最小值为4
D．|AA1|+2|BB1|的最小值为3+22
【考点】直线与抛物线的综合．
【正确答案】ACD
【分析】求出两点的坐标可判断A；根据焦半径公式可判断B；根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式判断C；利用焦半径公式结合基本不等式以及韦达定理可判断D．
解：如图，
由y2＝4x可得p＝2，所以抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
对于A，当θ＝90°时，可得A（1，2），B（1，﹣2），|AB|＝2﹣（﹣2）＝4，故A正确；
对于B，当θ＝60°时，直线l的方程为y=3(x−1)，联立抛物线方程y2＝4x与直线l方程，
y2=4xy=3(x−1)，得3x2﹣10x+3＝0，解得xA＝3或xB=13，
所以|AF|＝xA+1＝4，|BF|=xB+1=43，所以|AF|＝3|BF|，故B错误；
对于C，设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由y2=4xx=my+1，得y2﹣4my﹣4＝0，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以|AB|=1+m2⋅(y1+y2)2−4y1y2
=1+m2⋅(4m)2−4×(−4)=4（1+m2），
又点C到直线l的距离d=|1+m×0+1|1+m2=21+m2，
所以S△ABC=12×4(1+m2)×21+m2=41+m2≥4，
当且仅当m＝0时，等号成立，所以当m＝0时，三角形ABC面积的最小值为4，故C正确；
对于D，由抛物线的定义，得|AA1|+2|BB1|＝|AF|+2|BF|＝x1+1+2（x2+1）
=y124+y222+3≥2(y1y2)28+3=22+3，当且仅当y124=y222，即y1=−2y2时等号成立，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查抛物线与直线的综合，
（多选）10．（2025•喀什市模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P（x0，y0）在C上，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为x＝2
B．F的坐标为（1，0）
C．若y0＝2，则|PF|＝2
D．|PF|≥2
【考点】抛物线的定义；求抛物线的准线方程．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】BC
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义、性质，即可求解．
解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F，
则2p＝4，解得p＝2，
则抛物线C的准线方程为x＝﹣1，F的坐标为（1，0），故A错误，B正确；
若y0＝2，
则x0＝1，
故|PF|=x0+p2=1+1=2，故C正确，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查抛物线的应用，属于基础题．
（多选）11．（2025•嘉峪关校级模拟）将抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°、180°、270°后所得的三条曲线与C围成的图形称作花瓣曲线（如图阴影区域），A、B为C与其中两条曲线的交点，若p＝2，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为y＝4x2
B．|AB|＝8
C．直线x+y＝t截花瓣曲线第一象限部分的弦长最大值为2
D．阴影区域的面积不大于10π
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数；根据定义求抛物线的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解；新定义类．
【正确答案】BCD
【分析】由题意可得C：y2＝4x，可求得逆时针旋转90°的抛物线方程判断A；联立交点抛物线方程解出交点坐标再由两点间距离公式可判断B；分别求出抛物线x2＝4y与抛物线y2＝4x斜率为1的切线方程，再求出它们的距离即可判断C；求出抛物线y=14x2在点A（4，4）处的切线，再求出与OA平行且与抛物线相切的直线方程，分别求出两三角形的面积，再结合对称性即可推理得到D正确．
解：因为p＝2，所以抛物线C：y2＝4x，
所以可得抛物线方程为x2＝4y，所以A选项错误；
从而可得其余抛物线方程为y2＝﹣4x，x2＝﹣4y，
由y2=4xx2=4y，解得x=0y=0或x=4y=4，则A（4，4），由对称性可得B（4，﹣4），
所以|AB|=(4−4)2+(−4−4)2=8，所以B选项正确；
设直线y＝x+m1与抛物线C：y2＝4x相切于点M，
联立y=x+m1y2=4x，得y2﹣4y+4m1＝0，由Δ＝16﹣16m1＝0，
得m1＝1，y＝2，切点M（1，2），
设直线y＝x+m2与抛物线x2＝4y相切于点N，
由x2=4yy=x+m2，消去x得x2﹣4x﹣4m2＝0，由Δ′＝16+16m2＝0，
得m1＝﹣1，x＝2，切点N（2，1），
直线MN的斜率为1−22−1=−1，即直线MN与直线x+y＝t平行或重合，
所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为|MN|=(2−1)2+(1−2)2=2，所以C选项正确；
对抛物线y=14x2，求导得y′=12x，
则抛物线在点A（4，4）处的切线斜率为12×4=2，
抛物线y=14x2在点A（4，4）处的切线方程为y﹣4＝2（x﹣4），即y＝2x﹣4，
该切线交x轴于点E（2，0），因此S△AOE=12×2×4=4，
作FG∥OA且与y=14x2相切，设切点为（x1，y1），
因为切线的斜率为1，
所以12x1=1⇒x1=2，代入曲线可得y1＝1，
所以切点为（2，1），切线方程为y﹣1＝x﹣2，
所以其与横轴的交点为F（1，0），与AE交于点G，
由面积比为相似比的平方可得小三角形EFG的面积为1，
所以四边形OAGF面积为S△AOFE﹣S△EFG＝4﹣1＝3，
所以四叶图的面积小于3×8＝24＜31＜10π，所以D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属难题．
（多选）12．（2025春•随州月考）顶点在原点，且过点P（﹣2，3）的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2=−92xB．y2=92xC．x2=43yD．x2=−43y
【考点】根据抛物线上的点求抛物线的标准方程．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】AC
【分析】根据点的坐标，确定抛物线的开口方向，有两种情况，设出抛物线方程，代入点的坐标即可求解．
解：因为点P（﹣2，3）在第二象限，所以抛物线有开口向左或开口向上两种情况，
若抛物线开口向上，设抛物线方程为x2＝2py，P（﹣2，3）代入抛物线方程，
有4＝6p，解得p=23，所以抛物线方程为x2=43y，所以C正确；
若抛物线开口向左，设抛物线方程为y2＝﹣2px，P（﹣2，3）代入抛物线方程，
有9＝4p，解得p=94，所以抛物线方程为y2=−92x，所以A正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查抛物线的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•杨浦区校级月考）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点到焦点的距离为2，则p＝ 4 ．
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】4．
【分析】结合抛物线的性质求解即可．
解：已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点到焦点的距离为2，
则p2=2，
则p＝4．
故4．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属基础题．
14．（2025•云南模拟）已知点A（1，4）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的焦点的距离为 5 ．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】5．
【分析】根据点在抛物线上得出p＝8，再应用抛物线定义得出焦半径公式得出距离．
解：因为点A（1，4）在抛物线上，所以16＝2p，即p＝8，
所以A到C的焦点的距离为1+4＝5．
故5．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
15．（2025•惠城区校级模拟）若直线y＝k（x+2）与抛物线y2＝4x相切于第一象限点P，则k＝ 22 ．
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】22．
【分析】联立直线与抛物线，根据判别式可得解．
解：联立y2=4xy=k(x+2)，消去x并整理得ky2﹣4y+8k＝0，
此时Δ＝（﹣4）2﹣4•k•8k＝0，
解得k=±22，
因为切点P位于第一象限，
所以−−42k＞0，k＞0，
解得k=22．
故22．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
16．（2025•龙文区校级模拟）过点P（2，1）作直线与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是 4． ．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】4．
【分析】根据题目所给信息，利用点差法求解即可．
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为点P（2，1）是线段AB的中点，
所以x1+x2＝4，y1+y2＝2，
因为A，B为抛物线y2＝8x上的点，
所以y12=8x1，y22=8x2，
两式相减得（y1﹣y2）（y1+y2）＝8（x1﹣x2），
所以y1−y2x1−x2=4，
可得kAB＝2，
则直线AB的斜率为4．
故4．
【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•普陀区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与椭圆E：x24+y23=1有一个相同的焦点，过抛物线C焦点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线l的方程．
【考点】抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】（1）y2＝4x；
（2）y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，可得出p的值，由此可得出抛物线的标准方程；
（2）设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1）、B（x2，y2），将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦点弦长公式可得出m的值，即可得出直线l的方程．
解：（1）由已知可得椭圆的焦点坐标为（±1，0），
∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）开口向右，∴焦点坐标为（1，0），∴p2=1，即p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x；
（2）
易知直线l不与x轴重合，又直线l过焦点（1，0），
设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立y2=4xx=my+1，消去x并整理得y2﹣4my﹣4＝0，则Δ＝16m2+16＞0，
∴y1+y2＝4m，∴x1+x2=(my1+1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=4m2+2，
∴|AB|=x1+x2+p=4m2+4=8，解得m＝±1，
∴直线l的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，焦点弦，属于基础题．
18．（2025•甘肃模拟）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线的距离为4，过点F作直线l1，l2，其中l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，记O为坐标原点．
（1）证明：△AOB是钝角三角形；
（2）若以AB为直径的圆与y轴交于M，N两点，且|MN|=45|AB|，求直线l1的斜率；
（3）若l1⊥l2，求|AB|+18|CD|的最小值．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）证明过程见解析；
（2）±2；
（3）42+9．
【分析】（1）由已知得出E：y2＝8x，F（2，0），设x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组得出x1x2，y1y2，根据向量数量积的坐标运算得出OA→⋅OB→＜0，即可证明；
（2）设AB中点为D（x0，y0），结合（1）得出圆的方程，再分别表示出|MN|，|AB|，根据|MN|=45|AB|列出方程即可求解；
（3）结合（2）及基本不等式即可求解．
解：（1）证明：因为抛物线E的焦点F到准线的距离为4，
所以p＝4，
此时抛物线E的方程为y2＝8x，焦点F（2，0），
已知直线l1的斜率不为0，
设直线l1的方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立y2=8xx=my+2，消去x并整理得y2﹣8my﹣16＝0，
由韦达定理得y1+y2＝8m，y1y2＝﹣16，
此时x1x2=y128⋅y228=4，
此时OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=4−16=−12＜0，
即OA→，OB→＞π2，
则△AOB是钝角三角形；
（2）设AB中点为D（x0，y0），
此时y0=y1+y22=4m，x0=my0+2=4m2+2，
又x1+x2=m(y1+y2)+4=8m2+4，
|AB|=x1+x2+4=8m2+8，
所以以AB为直径的圆的半径r=|AB|2=4m2+4，
所以圆D方程为(x−x0)2+(y−y0)2=(x−4m2−2)2+(y−4m)2=(4m2+4)2，
令x＝0，
解得y−4m=±16m2+12，
取yM=4m+16m2+12，yN=4m−16m2+12，
此时|MN|=|yM−yN|=216m2+12，
因为|MN|=45|AB|，
所以216m2+12=45×(8m2+8)，
设t＝m2≥0，
此时216t+12=45(8t+8)，
整理得64t2+28t﹣11＝0，
解得t=14或t=−1116（舍去），
即m2=14，
解得m＝±12，
则直线l1的斜率为±2；
（3）由（2）得，|AB|＝8m2+8，
因为l1⊥l2，
设直线l2方程x=−1my+2，
此时|CD|=8m2+8，
所以|AB|+18|CD|=8m2+8+18(8m2+8)=8m2+1m2+9≥28+9=42+9，
当且仅当8m2=1m2，即m2=±422时．等号成立．
所以|AB|+18|CD|的最小值为42+9．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19．（2025•黄浦区校级三模）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a＞0）．
（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；
（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；
（3）直线l：x＝﹣3，抛物线上有一异于点A的动点P，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数；根据定义求抛物线的标准方程．
【专题】数形结合；方程思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【正确答案】（1）a=22；
（2）41313；
（3）（0，2]．
【分析】（1）先求出点A的横坐标，代入抛物线方程即可求解；
（2）先通过中点在抛物线上求出点B的坐标，进一步求出直线AB方程，利用点到直线距离公式求解即可；
（3）设P(t24，t)，A(a24，a)，H(−3，t)(t≠a＞0)，联立方程求出点Q的坐标，根据|HQ|＞4恒成立，结合基本不等式即可求解．
解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝﹣1，
由于A到抛物线Γ准线的距离为3，
则点A的横坐标为2，则a2＝4×2＝8（a＞0），
解得a=22；
（2）当a＝4时，点A的横坐标为424=4，则A（4，4），
设B（b，0），则AB的中点为(b+42，2)，
因为AB的中点在抛物线Γ上，所以22=4×b+42，解得b＝﹣2，
所以B（﹣2，0），则kAB=4−04+2=23，
所以直线AB的方程为y=23(x+2)，即2x﹣3y+4＝0，
所以原点O到直线AB的距离为422+32=41313；
（3）如图，设P(t24，t)，A(a24，a)，H(−3，t)(t≠a＞0)，
则kAP=t−at24−a24=4t+a，
故直线AP的方程为y−a=4t+a(x−a24)，
令x＝﹣3，可得y=a−(a24+3)⋅4t+a，即Q(−3，a−(a24+3)⋅4t+a)，
则|HQ|=|t−a+(a24+3)⋅4t+a|，
又t−a+(a24+3)⋅4t+a=t+a+(a24+3)⋅4t+a−2a≥4a24+3−2a＞0，
依题意，|t−a+(a24+3)⋅4t+a|＞4恒成立，
则最小值为4a24+3−2a＞4，
即2a24+3＞2+a，即a2+12＞2+a，
则a2+12＞a2+4a+4，解得0＜a＜2，
又当a＝2时，t+2+16t+2−4≥2(t+2)⋅16t+2−4=4，当且仅当t＝2时等号成立，
而a≠t，所以(t+2)+16t+2−4＞4恒成立，
即当a＝2时，也符合题意．
故实数a的取值范围为（0，2]．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，考查了数形结合思想及方程思想，属于难题．
20．（2025•达州校级模拟）过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点作平行于x轴的直线被抛物线C截得的弦长为4，已知点P（0，﹣2），Q（4，2），设过点P的直线l与抛物线C交于点A，B，且直线QA交抛物线C于点M（点M与点A不重合）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线MB交以PQ为直径的圆于点D，E，求|DE|的最小值．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）x2＝4y；
（2）4．
【分析】（1）写出焦点坐标即可求出过焦点且平行于x轴的直线与抛物线交点的横坐标，数形结合利用弦长列方程求解；
（2）设直线l的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），与抛物线方程联立，结合根与系数的关系及斜率公式设出直线QA的方程并与抛物线联立，利用韦达定理可得2（x2+x3）＝8+x2x3，写出直线MB的方程并利用点在抛物线上进行化简，即可求出直线MB的定点N，数形结合知当且仅当O1N⊥DE时（此时点A，B重合）|DE|最小，代入相应数值结算即可．
解：（1）易知抛物线C的焦点为(0，p2)，
将y=p2代入抛物线C的方程中，
解得x＝±p，
则2p＝4，
故抛物线C的方程为x2＝4y；
（2）设直线l的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），
联立y=kx−2x2=4y，消去y并整理得x2﹣4kx+8＝0，
此时Δ＞0，
由韦达定理得x1+x2＝4k，x1x2＝8，
因为x1≠4，
所以直线QA：y−2=2−y14−x1(x−4)，
联立y=2−y14−x1(x−4)+2x2=4y，消去y并整理得x2−8−x124−x1x+32−4x124−x1−8=0，
由韦达定理得x1+x3=8−x124−x1，x1x3=32−4x124−x1−8，
所以8x2+x3=8−(8x2)24−8x2，8x3x2=32−4⋅64x224−8x2−8，
所以2(x22−8)x2−2=8+x2x3，x2+x3=x22−8x2−2，
则2（x2+x3）＝8+x2x3，
直线MB：y−y3=y2−y3x2−x3(x−x3)，
因为y2=x224，y3=x324，
所以4y＝（x2+x3）x﹣x2x3，
又2（x2+x3）＝8+x2x3，
所以4y＝（x2+x3）（x﹣2）+8，
所以直线MB恒过定点N（2，2）．
以PQ为直径的圆的方程是（x﹣2）2+y2＝8，该圆的圆心为O1（2，0），
当且仅当O1N⊥DE时（此时点A，B重合）|DE|最小，
此时|DE|min=2|O1D|2−|O1N|2=28−22=4，
故|DE|最小值为4．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．