专题8.5 抛物线（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析13
【课程标准】13
【考情分析】14
【2026考向预测】14
三、知识点•逐点夯实14
知识点1、抛物线的定义14
知识点2、抛物线的方程、图形与性质14
知识点3、与抛物线有关的常用结论15
四、重点难点•分类突破16
考点1 抛物线的方程与几何性质16
考点2 抛物线的定义及应用-求轨迹方程20
考点3 抛物线的定义及应用-最值问题27
考点4 直线与抛物线的位置关系32
考点5 定点与定值问题36
考点6 探索性问题45
五、必考题型•分层训练52
A、基础保分52
B、综合提升61
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一、5年高考•真题感悟
1．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2B．5C．D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，
则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，∴，即离心率为2.
故选：

2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式
【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解.
【详解】对，令，则，
所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，
故，则，代入抛物线得.
所以.
故选：C
3．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】抛物线定义的理解
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
4．（2025·全国一卷·高考真题）（多选题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【难度】0.4
【知识点】抛物线定义的理解、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D.
【详解】法一：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，易知直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
联立，得，
易知，则，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
又
，
，
所以，
则，故D正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，当直线的斜率不存在时，；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消去，得，
易知，则，
所以
，
综上，，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
当直线的斜率不存在时，，；
所以，即；
当直线的斜率存在时，，
，
所以，
则；
综上，，故D正确.
故选：ACD.
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】切线长、根据抛物线方程求焦点或准线、直线与抛物线交点相关问题
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求直线与抛物线的交点坐标、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

7．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】根据抛物线的几何性质可求的值.
【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故，
故答案为：.
8．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.
故答案为：.
9．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.
【详解】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即，
故原点到直线的距离为，
故答案为：
10．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
11．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a．
(1)若A到准线距离为3，求a；
(2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离；
(3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.4
【知识点】抛物线定义的理解、求直线与椭圆的交点坐标、抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）代入求出，利用抛物线定义即可求出值；
（2）代入值求出，设，则得到的中点坐标，再代入抛物线方程则得值，则得到直线的方程，利用点到直线的距离即可；
（3）设，写出直线的方程，求出点坐标，则，分和讨论即可.
【详解】（1）令，解得，即，而抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义有，解得，因为为第一象限的点，则.
（2）由代入抛物线方程有，解得，则，
设，则的中点为,
代入抛物线方程有，解得，
直线的斜率为，其方程为，即,
坐标原点到的距离为.
（3）设，根据，
则，则直线方程为，
化简得，
令，则，又，，
化简得 ①对任意的 恒成立.
则, 结合，，
当时，，则，则①也成立.
综上所述:.

【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是设，从而写出直线的方程，再得到，再转化为恒成立问题，分类讨论即可.
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．
（2）掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．
（3）了解抛物线的简单应用．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁．抛物线是圆雉曲线的重要内容，新高考主要考查抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用．
三、知识点•逐点夯实
知识点一、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．
知识点二、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
知识点三、与抛物线有关的常用结论
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
7、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
四、重点难点•分类突破
考点1 抛物线的方程与几何性质
例1、（2025·甘肃武威·模拟预测）已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 .
【答案】6
【难度】0.65
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】分析抛物线的焦点和准线，确定点为焦点，利用抛物线定义，将转化为到准线的距离，分析的最小值，结合的定值，得到周长的最小值表达式，即可得解.
【详解】根据题意，则，所以抛物线的焦点坐标为，即定点，准线为，如图所示.
故的周长为，其中为定值，又根据抛物线的定义，
所以当三点共线时取得最小值，
此时，解得.
故答案为：6.

例2、（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求平面轨迹方程、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】设出点M的坐标，利用已知条件列出方程化简即得.
【详解】设，依题意得，
动点到的距离比点到轴的距离的大2，
则，即，
所以的轨迹方程是或，
故选：C
【变式训练1】、（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（ ）
A．1B．9C．1或9D．9或18
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式
【分析】由题意根据抛物线的定义得到，根据的位置分两种情况分别求得的坐标即可得结果.
【详解】

分别过点M，N作，垂足为，则
由抛物线的定义，得
由，得，
则，
由图1，，，
∵M，O，B三点共线，∴
,
.
由图2，，
，
,
，
∵M，O，B三点共线，∴
综上，或9.
故选：C.
【变式训练2】、（2025·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，直线l与抛物线的准线相交于点N，若，则与的面积之比为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】分别过作准线的垂线，，由，可得点的坐标，进而可得直线的方程，与抛物线联立可得点坐标，利用即可得解.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
设，
∵,∴，
∴，不妨取点，
又∵，∴直线的斜率，
∴直线的方程为.
由，得，则
∴，，.
∴，
过，两点分别作准线的垂线，垂足分别为，，
由∽，所以，

∴与的面积之比为.
故答案为：.
考点2 抛物线的定义及应用-求轨迹方程
例3、（2023·吉林·三模）已知点，动点M在直线上，过点M且垂直于x轴的直线与线段的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知圆的一条直径为，延长分别交曲线C于两点，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)36
【难度】0.4
【知识点】直线与抛物线交点相关问题、利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】（1）法一：设点，由题意可知，将该式转化为方程，化简可得答案；
法二：利用抛物线的定义即可求得答案.
（2）法一：设直线方程为，分别联立抛物线方程和圆的方程，求得交点坐标，即可求得的表达式，同理得的表达式，即可求得四边形面积的表达式，结合函数的单调性，即可求得答案；
法二：设直线方程为，下面方法和法一相同.
【详解】（1）法一：设点，则．
由题意知，即，
整理得：，
则曲线C的方程为．
法二：由题意知，点P到点的距离等于其到直线的距离相等，
则点P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线C的方程为.
（2）法一：由题意知，为圆的直径，则．
由题意知直线存在斜率，设为k，且，则直线的斜率为．
又OA所在直线为，
联立，解得：或，则不妨取S点横坐标为，
联立，解得：或，则不妨取A点横坐标为，
所以．
同理可得，
四边形的面积
,
令，,则,
因为S在上单调递增，所以当时，S有最小值36．
即当时，四边形面积的最小值为36
法二：设方程为，
由,得．
由,得,
∴,
同理可得：．
令,
则在上单调递增．
∴，
当即时，四边形面积的最小值为36
即四边形面积的最小值为36．
【点睛】方法点睛：解决直线和圆锥曲线的位置关系中的面积问题，一般方法要通过联立直线和圆锥曲线方程，求得交点坐标，进而求得线段长或弦长，表示出面积的表达式，进而求解.
例4、（2023·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，动点C到点的距离与到直线的距离相等.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)若直线与动点C的轨迹交于P，Q两点，当的面积为2时，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或或.
【难度】0.65
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】（1）结合抛物线的定义即可求解；（2）联立直线与抛物线，结合韦达定理及弦长公式和三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由题知，动点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线.
动点C的轨迹方程为.
（2）设，
由消去x，得.
由，得.
，.
由的面积，
.
，即.
，
或.
直线l的方程为或或.
【变式训练3】、已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离大1.
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线交于，两点，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.85
【知识点】直线与抛物线交点相关问题、利用抛物线定义求动点轨迹
【分析】（1）设动点，根据动点到点的距离比它到直线的距离大，可得动点到点的距离等于它到直线的距离，由此建立方程，即可求得曲线的方程；
（2）设、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而得证.
【详解】（1）设动点，动点到点的距离比它到直线的距离大，
即动点到点的距离等于它到直线的距离，
，两边平方，
化简可得.
（2）设、，由，消去得，
则，所以，，
所以，
所以，即.
【变式训练4】、（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是轴上的动点，是平面内的动点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程
(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点，设线段的中点为，求证：点在曲线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数、利用抛物线定义求动点轨迹
【分析】（1）解法一：设，，则．易知不符合题意，当时利用垂直直线斜率之积为-1计算即可求解；
解法二：在射线上另取一点使，根据全等三角形的性质可得，结合抛物线的定义即可求解；
（2）解法一：设l方程，联立抛物线方程，设，，，，利用韦达定理表示，进而对化简计算求出G，即可证明.
解法二：设l方程，联立抛物线方程得，则，是该方程的两根，从而，即可求解.
【详解】（1）解法一 设，，则．
由点在轴上，得，则，，
因为，若，则，点，重合，不合题意；
若，则，即．
所以曲线的方程是．
解法二 在射线上另取一点，使，连接，
又，所以点在直线上，
易知≌，所以垂直于直线，
连接，则，显然点不能在轴上，即，
故由抛物线的定义知，曲线的方程是．
（2）解法一 设，与联立，消去，
得，则，得，
设，，则，，
设直线，的方程分别为，，，，
则
，
所以点的纵坐标为，故点的坐标为，
显然点的坐标满足方程，故点在曲线上.
解法二 设，因为直线过点，所以，
由，得．
设，，直线，的方程分别为，，，，
则，是上面关于的方程的两根，
即直线，的斜率，是关于的方程的两根，
所以，从而，
所以点的纵坐标为，故点的坐标为，
显然点的坐标满足方程，故点在曲线上．
【点睛】易错点点睛：本题考查了抛物线方程的求法以及直线和抛物线位置关系的应用，易错点在于运算基本都是字母参数的运算，要特别注意，很容易出现计算错误.
考点3 抛物线的定义及应用-最值问题
例5、（2025·湖南郴州·一模）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值.
【详解】把代入，得，
所以点在抛物线里面，
圆的圆心记为，
因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点，
过点作抛物线准线的垂线垂足为，
则根据抛物线的定义得，
所以的最小值等于求的最小值，
当三点共线时最小，最小值为，
故的最小值为，
故选：B
例6、（2024·山东泰安·模拟预测）已知点，为抛物线上的动点，点在直线上的射影为，为曲线上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【难度】0.15
【知识点】抛物线定义的理解、定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、基本（均值）不等式的应用
【分析】求出抛物线焦点坐标为，由抛物线定义得到，数形结合当三点共线时，取得最小值，最小值为，的最小值即为的最小值，将图形整体向上平移两个单位，等价于在圆上找到点，使得取得最小值，结合三角换元即可求解.
【详解】的焦点坐标为，为抛物线的准线，
故，则，
连接，与交于点，即当三点共线时，
取得最小值，最小值为，
的最小值即为的最小值，
为了计算的简便，先将图形整体向上平移两个单位，如下图，
其中，，
原问题等价于在圆上找到点，使得取得最小值，
根据圆的对称性，不妨设在第一象限，
设，，
，
设，
则，
令，则，
而，
故，当时，当时，，
故在为减函数，在上为增函数，
故， 则的最小值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
【变式训练5】（2025·云南昆明·二模）过曲线上一点作直线的垂线，垂足为，将点绕逆时针旋转得到点，，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】设，得到，进而确定点的轨迹方程为，设其焦点为，得到，即可求解.
【详解】由得：，
平方可得：，
设，由题意可知：，
点绕逆时针旋转得到点，得与轴垂直，且，
可得：，
所以点的轨迹方程为：，焦点坐标为
所以，
即，当三点共线时取等号，

故选：C
【变式训练6】、（2024·广东梅州·一模）已知点P，Q分别是拋物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为
【答案】
【难度】0.65
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】根据题意，将转化为的形式，寻求定点，使得恒成立，再通过转化求的最小值.
【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，
又由圆，可化为，
可得圆心坐标为，半径，
设定点，满足成立，且，
即恒成立，
其中，代入两边平方可得：
，解得：，，
所以定点满足恒成立，
可得，
如图所示，当且仅当在一条直线上时，
此时取得最小值，
即，
设，满足，
所以，
，
当时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是转化距离，再转化求得点M的坐标.
考点4 直线与抛物线的位置关系
例7、（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆心为点的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过轴上点的直线与相切于点，过且垂直于的直线交于两点，为线段的中点，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】抛物线中的直线过定点问题、利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线的中点弦
【分析】（1）由抛物线的定义求解即可；
（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由与相切可得可求出，再由“点差法”求出，分类讨论直线的斜率不存在和存在可求出直线的方程，即可求出直线过的定点.
【详解】（1）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为．
（2）设直线的方程为，
与的方程联立，得，
当与相切时，，则，
代入可得：，故．
直线的方程为，与的方程联立得．
设，则，
，
所以，
所以．
当直线的斜率不存在时，，解得，
此时直线的方程为．
当直线的斜率存在时，的方程为，
由抛物线的对称性，可知定点在轴上，
令，则，
所以，所以直线过定点．
综上，直线过定点．

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
【变式训练7】、（2025·云南昆明·模拟预测）已知抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，，AB的中垂线经过点.
(1)若过点且垂直于轴的直线与交于M，N两点，求；
(2)求的方程；
(3)记，AB的中点为，外接圆上有一点，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【难度】0.4
【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、求直线与抛物线相交所得弦的弦长
【分析】（1）求出过且垂直于轴的直线，此直线与抛物线联立方程组求出的值，即可得到的值，根据题中条件求出，从而得到的值；
（2）设，，易知，的斜率存在且不为0.设的方程为，则的中垂线斜率为.联立 ，消去，得到关于的一元二次方程，由判别式大于0，得到的范围，根据根与系数的关系得到和，求出，从而得到的中点坐标，利用点斜式得到的中垂线方程，将代入直线计算得到的值，利用弦长公式求出，利用已知条件得到，从而得到的方程.
（3）写出，，的坐标，，得到的外接圆圆心为的中点，从而得到圆心坐标，利用两点间的距离公式求出半径和圆心到的距离，从而得到的取值范围.
【详解】（1）联立，得，，故，
而，故.
（2）

设，，易知，的斜率存在且不为0.
设的方程为，则的中垂线斜率为.
联立，可得，
故，即，
且，，则，
故的中点为，
的中垂线方程为，
代入可得，即，
故，
可得，故的方程为.
（3）依题意，，又，则，
故的外接圆圆心为的中点，即，
其半径，
而圆心到的距离.
故的取值范围为.

考点5 定点与定值问题
例8、（2025·海南·模拟预测）直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，．
(1)求；
(2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值；
(3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线中的定值问题、由弦长求参数、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】（1）设，，根据中点坐标公式可得，利用抛物线的定义求焦点弦，列式求解即可；
（2）易知直线斜率必存在，设为，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合两点式斜率公式即可证明；
（3）利用焦半径公式及（2）的韦达定理求出点的坐标，利用焦半径求出，利用导数法求得在点处的切线方程，利用点到直线的距离求出的高，即可求解面积.
【详解】（1）设，，线段中点设为，则，
由题意，抛物线的焦点为，
根据抛物线的定义得，所以；
（2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意.
所以直线斜率必存在，设为，
与抛物线联立得：，所以，得，
所以直线的斜率之积为，所以直线的斜率之积为定值，该定值为；
（3）由（1）知，，由题意，所以，
所以或，当时，，此时，，由得，
所以过点A的切线方程为，即，
过点B的切线方程为，即，
联立得，
又的斜率，即，即，
所以到的距离，因为，
所以的面积为；
当时，，
此时，，由得，
所以过点A的切线方程为，即，
过点B的切线方程为，即，
联立得，
又的斜率，即，即，
所以到的距离，因为，
所以的面积为；
综上，的面积为
例9、（2025·云南昭通·模拟预测）过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16．
(1)求抛物线的方程；
(2)当时，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】（1）由题意设，因为，不妨设．表示出的坐标，由三角形的面积求解即可；
（2）设，，，由，则，求出的方程为，联立求得，从而证得直线所过的定点即可.
【详解】（1）已知当时，，，关于轴对称且．
设，因为，不妨设．
由斜率公式，即，解得，所以，．
面积，解得，抛物线方程为．
（2）

证明：设，，，
则，．
因为，则，所以，
则，，
所以直线的方程为，整理得．
把代入直线方程，得，
所以直线过定点．
【变式训练8】、（2025·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点.
(1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点；
(2)若上存在点，使得，证明：为定值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、数量积的坐标表示
【分析】（1）通过联立直线和抛物线方程得到交点纵坐标的关系，再根据直线方程求出特定点的纵坐标，最后通过坐标关系判断中点.
（2）方法1通过对两个向量数量积等式进行变形和运算，消去从而得到的值；方法2则是利用向量数量积的关系以及等式之间的运算，结合一些代数恒等式来求解的值.
【详解】（1）设.
设，与抛物线联立，得，
则，即，同理可得.
又因为，令，得，同理，
将代入得，所以为的中点.
（2）方法1：设，因为，得①，
由，得，
①②，
得，
即，
即.
因为，所以，
则，即为定值-4.
方法2：设，因为，所以，
即，同理得，
所以，
由，得①，
同理②，③，
由①-②，得④，
由①+②+③，得，
即，
而
故结合④可得，
则
，
所以为定值-4.
【变式训练9】、（2025·江西九江·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为，在上，．
(1)求的方程；
(2)过的直线交于另一点（异于），与轴交于点，直线与交于点，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、抛物线中的直线过定点问题
【分析】（1）结合题设可得，，求出即可求解；
（2）解法一：设直线的方程为，直线的方程为，联立方程组可得，，进而得到，可得直线的方程，进而求证即可；
解法二：同解法一得到，设直线过定点，通过求证即可；
解法三：分直线斜率存在与直线斜率不存在两种情况，求出的坐标，得到直线的方程，进而求证即可.
【详解】（1）∵在上，∴．①
∵，∴，
∴，②
由①②解得，故的方程为．
（2）解法一：设直线的方程为，直线的方程为．
联立得．
联立消去，整理得，
∴，即．
∴直线的斜率为，∴直线的方程为．
令，得，即．
∴直线的斜率为，∴直线的方程为，
即．
由解得，
故直线过定点．
解法二：同法一，得，
设直线过定点，则．
又∵，
∴，
整理得．
由解得．故直线过定点．
解法三：①当直线斜率存在时，设的方程为，则．
由直线的斜率为得.
联立消去，整理得，
∴，∴，
∴直线的斜率为，∴直线的方程为．
联立得．
∴直线的斜率为，∴直线的方程为，
即．由得．
②当直线斜率不存在时，，直线的方程为，显然过点．
综上所述，直线过定点．

考点6 探索性问题
例10、（2025·湖南·三模）已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点.
(1)求的方程；
(2)比较与的大小，并说明理由；
(3)过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)是，
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的直线过定点问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）利用已知点坐标代入抛物线方程求参数.
（2）通过导数求切线方程确定点G，结合抛物线的几何性质或代数计算比较距离平方与乘积.
（3）参数化过焦点的直线，利用抛物线的对称性或代数运算判断直线是否过定点.
【详解】（1）（1）已知点在上，
所以，即，解得，
所以的方程为.
（2）抛物线方程可化为，则，当时，切线斜率，
由点斜式可得过点的切线方程为，即，
令，可得，所以.
由，可得，所以.
如图（1），设直线的方程为，
联立得得，
所以.
因为，
所以，
所以.
（3）易知.由题意知直线的斜率必存在，故设直线，
联立得消去得，所以.
直线的方程为，将代入，得，
由，所以，
同理可得.
所以直线的斜率，
由直线的点斜式方程可得直线，
将代入，
得，
所以直线过定点.
例11、（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中存在定点满足某条件问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据点斜式求解直线方程，即可求解焦点坐标，进而可得，
（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合向量垂直的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）由题意过点且斜率为1的直线方程为，即，令，则，
∴点F的坐标为，∴，
∴．抛物线C的方程为．
（2）由（1）得抛物线C：，假设存在定点，
设直线AB的方程为（），，，
由，得，
∴，，，
∵，∴，
∴
，
∴或（舍去），
当时，点M的坐标为，满足，，
∴存在定点．
【变式训练10】、设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的定值问题、由弦长求参数、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积，即可求解；
（2）联立直线与抛物线的方程，结合弦长公式，求出，由已知建立关系推理，即可说明理由.
【详解】（1）物线的焦点为，
直线的方程，
由，得，
设，
所以，
所以，
所以，且
所以，
所以抛物线的方程为．
（2）存在，使得为定值，
由题意可得直线的方程，直线的方程为，
联立，得，
设，
所以，
，
所以，
设，
同理可得，
所以，
由，得，
即，而，
所以，
所以存在，使得为定值0．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用坐标表示弦长，并结合韦达定理，即可求解.
【变式训练11】、（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值0.
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程
【分析】（1）先设点，然后求出切线解析式，根据即可求出结果.
（2）设直线的方程,通过和抛物线联立求出韦达定理，同理求出和抛物线联立的韦达定理，然后代入即可.
【详解】（1）设切点，则在点处切线斜率为，
所以以为切点的切线方程为.
因为切线过点，所以，同理，
所以是方程的两个根，则.
又因为，
所以，即.
又因为，所以，
所以抛物线的方程为.
（2）
由题意，斜率都存在且不为0，设直线的方程为.
联立直线和抛物线的方程，得，所以.
设，则，同理，
所以
所以，
所以等于定值0.
五、分层训练
一、单选题
1．（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过作抛物线C的切线，切点为B，，则抛物线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求抛物线的切线方程
【分析】不妨设，由抛物线定义得，即解得，利用导数得在点处的斜率，由两点的斜率公式即可求解.
【详解】不妨设，由抛物线定义知，，
，，
当时，，
，解得，
抛物线C的方程为．
故选：C．
2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知点在曲线上，，其中点的坐标为，则（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】抛物线的焦半径公式
【分析】根据题意可知为抛物线的焦点，再由焦半径等于，列等式即可得到的值，进而确定曲线方程，再讲点的横坐标代入，即可得到纵坐标的绝对值.
【详解】因为，所以为抛物线的焦点，且，则，得，
则抛物线方程为.点在曲线上，所以，则.
故选：C.
3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，点为抛物线上一动点，且点在直线上的投影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】根据题干的条件即可求得满足的轨迹方程为圆，再利用距离最小即四点共线时，即可求得最小值.
【详解】
因为，动点满足，
设，则，两边同时平方整理得：，
即点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆；
因为点在直线上的投影为，
又抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故,
故
当且仅当四点共线时，取得最小值，
最小值为,
故.
故选：D
二、填空题
4．（24-25高三上·湖南·开学考试）设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则 .
【答案】14
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】设，根据抛物线的定义，得，又根据中点坐标公式，可得，代入即可得到的值．
【详解】由题意可得，
设，抛物线的准线：，
过分别作准线的垂线，垂足分别为，
根据抛物线的定义，得，
故，
因为的中点为，
所以，可得，
所以.
故答案为：.

三、解答题
5．（2025·全国·模拟预测）设抛物线的焦点为，为上位于第一象限的一点，当轴时，．
(1)求的方程；
(2)设为上不与重合的两动点，且直线的斜率之和为0．
（ⅰ）设的纵坐标为，求直线的斜率；
（ⅱ）设外接圆的圆心为，圆在点处的切线为，证明：与有且仅有一个公共点．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、判断直线与圆的位置关系
【分析】（1）根据题意，得到，将将点代入抛物线的方程，求得，即可抛物线的方程；
（2）（i）设，则，不妨设在的左侧，根据斜率公式，分别求得，结合，得到，进而求得直线的斜率；
（ii）设为抛物线在点处的切线，转化为证明与圆相切，利用导数的几何意义，求得，取上点左侧一点，结合圆的性质，即证，利用两角差的正切公式，化简，即可得证，得到答案.
【详解】（1）解：由抛物线，可得焦点，
因为为上位于第一象限的一点，且，所以，
将点代入抛物线的方程，可得，解得或（舍去），
所以抛物线的方程为.
（2）解：（i）设，则，不妨设在的左侧，
根据题意，可得，同理可得，
因为直线的斜率之和为，所以，
即，整理得，
所以.
（ii）设为抛物线在点处的切线，要证明即为，即与圆相切，
由函数，可得，所以，
要证与圆相切，取上点左侧一点，
结合圆的弦切角定理的逆定理，即证，只需证，
即证，即证，
即证，
由（i）知，即证，
即证，即，成立，
所以即为圆的切线，所以直线与圆有且只有一个公共点.
6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线：，为坐标原点.
(1)过上与不重合的任意一点作的切线，与轴、轴分别交于，两点，证明：；
(2)若直线与交于，为两点，且以线段为直径的圆过点.
（i）求的方程；
（ii）若，是上与不重合的两点，且的内切圆的圆心为，求内切圆的半径.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据韦达定理求参数、求抛物线的切线方程、平面向量线性运算的坐标表示
【分析】（1）设，利用导数求出点的切线方程，得出，两点坐标，结合向量坐标运算即可得证；
（2）（i）设，，直线与抛物线联立方程组由韦达定理可得，，根据题意由，计算即可求解；（ii）设，，由点在的平分线上得，计算得直线，直线的方程，根据内切圆性质建立等式可得，进而可得内切圆半径.
【详解】（1）设，由，得，，
所以在点处的切线方程为，
即，
令，得，令，得，
所以；

（2）（i）设，，
与联立得，
所以，，
因为以线段为直径的圆过点，
所以
，
所以，故的方程为；

（ii）设，，
则线段的斜率为，直线的斜率为，
由内切圆性质可得，点在的平分线上，所以，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
由点到直线，距离相等得，
设，则，，
所以，化简得，
即，
因为，故，
所以，解得（不符合题意舍去）或，
所以，所以.
故内切圆的半径.

7．（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆心在轴上移动的圆过点，且与轴、轴分别交于动点，．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点作直线交曲线于两点．为坐标原点，分别过点作曲线的切线，设两切线交于点．
①求证：点在定直线上；
②设直线分别交直线于点，求证：．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【难度】0.4
【知识点】抛物线中的定直线、求平面轨迹方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）根据题意可知圆的直径为，利用向量垂直的坐标表示即可求得轨迹方程；
（2）①由题意设，，联立直线和抛物线方程由韦达定理可得，求导分别求出曲线在点和点处的切线方程，可得，即点在定直线上.
②易知，，易求得，，又可得，因此可得平行于轴，同理平行于轴，再由三角形相似以及三角形面积公式可证明.
【详解】（1）由已知动圆的直径为，
因为该圆过动点，所以，
又，即可得，
所以点的轨迹的方程为；
（2）如下图所示：
①由题意可知，直线的斜率一定存在，设，，
联立可得，此时，
则，
由可知，
所以曲线在点处的切线方程为：，即；
同理可得曲线在点处的切线方程为，
联立两切线方程可得点坐标为，即；
因此可知点在定直线上.
②易知，，
联立与可得，
联立与可得，
又可得，因此可得平行于轴，
同理可知：平行于轴，
所以，即，
所以，
所以，又，
因此得证.
8．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交.
(1)求C的方程；
(2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率；
(3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)0或
(3)证明见解析，
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程、求抛物线的切线方程
【分析】（1）由抛物线的定义可得，再将点的坐标代入抛物线方程，即可得到结果；
（2）联立直线与抛物线方程，分与讨论，即可得到结果；
（3）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由抛物线的定义可知，
又，则.
即.所以.
又在抛物线上.
所以.且.
解得.则C的方程为.
（2）设直线l的斜率为k，则.
联立，
可得，
当时，，符合题意；
当时，则有，解得.
综上，直线l的斜率为0或.
（3）由题得l的斜率存在且不为零.
设l的方程为.，，
联立，可得，
.即.
可得，.
故，.
则，
所以为定值.
9．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线，点在抛物线上，且在轴上方，和在轴下方（在左侧），关于轴对称，直线交轴于点，延长线段交轴于点，连接.
(1)证明：为定值（为坐标原点）；
(2)若点的横坐标为，且，求的内切圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；
（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.
【详解】（1）设直线的方程为，则，
由，消去，得，
，
所以，
直线的方程为，化简得，
令，得，所以
因此.
（2）因为点的横坐标为，由（1）可知，，
设交抛物线于，，如图所示
又由（1）知，，同理可得，得，
又，
，
又，
则，
故结合，得.
所以直线的方程为
又，
则，
所以直线的方程为，
设圆心,
因为为的平分线，故点到直线和直线的距离相等，
所以，因为，解得，
故圆的半径，
因此圆的方程为.
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2025年新I卷，第1题,5分
复数的四则运算及概念
简单
2025年新Ⅱ卷，第2题,5分
复数的四则运算
简单
2024年新I卷，第2题，5分
复数的四则运算
简单
2024年新Ⅱ卷，第1题，5分
复数的模
简单
2023年新I卷，第2题，5分
复数的四则运算、共轭复数
简单
2023年新Ⅱ卷，第1题，5分
复数的四则运算、复数的几何意义
简单
2024年新I卷，第2题，5分
复数的四则运算
简单
图形
标准
方程
顶点
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径