2026年新高考数学一轮复习考点训练 抛物线（2份，原卷版+教师版）

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知识点一：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
知识点二：抛物线的标准方程和几何性质
知识点三：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
第二部分：高考真题回归
1．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故.故选：D.
2．（多选）（2023·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
【答案】AC
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，到直线的距离为，
所以三角形的面积为，由上述分析可知，
所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.

3．（2023·全国（乙卷文理）·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：抛物线定义理解
【例题1-1】若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】到其准线的距离为，故抛物线方程为，故选：A
【例题1-2】已知抛物线的焦点为,是上一点，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】依题意知，焦点，由定义知：，所以，所以．故选：C.
【变式1-1】抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【详解】由抛物线的准线方程为，焦点，因为抛物线上一点的纵坐标为2，
根据抛物线的定义，可得点与抛物线焦点的距离为.故选：B.
【变式1-2】已知点是抛物线：的焦点，是抛物线上的一点，若，，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设点的坐标为，由题意，得，所以，根据抛物线的定义，知，所以，代入抛物线方程得，，则，故选：C．
高频考点二：利用抛物线定义求轨迹
【例题2-1】已知动圆经过点，且与直线：相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等.∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.故选：A.
【变式2-1】若点满足方程，则点P的轨迹是 ．
【答案】抛物线
【详解】由得，等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离.整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，其轨迹为抛物线.故答案为：抛物线
【变式2-2】与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是 ．
【答案】
【详解】解：由抛物线的定义可得平面内与点和直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，且为焦点，直线为准线，设抛物线的方程为，可知，解得，
所以该抛物线方程是，故答案为：
高频考点三：抛物线中的距离及最值问题
【例题3-1】已知抛物线的焦点为，点在上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【详解】，故,记抛物线的准线为，则：，记点到的距离为，点到的距离为，则.故选：A.

【例题3-2】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，当垂直于抛物线的准线时，最小，此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，半径为，所以的最小值为.故选：C
【例题3-3】设为抛物线：上的动点，关于的对称点为，记到直线的距离分别，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，

因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点，
所以.
当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.故选：A
【变式3-1】已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．10 B．16 C．11 D．26
【答案】C
【详解】记抛物线的准线为，作于，由抛物线的定义知，
所以，当，，三点共线时，有最小值，最小值为．故选：C
【变式3-2】已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，则的最小值为 .
【答案】7
【详解】依题意，如图所示：
其中，准线， 由抛物线的定义知：， 要使取得最小值，只需点移动到点时，三点共线时取得最小值，此时准线，所以的最小值为：.故答案为：7.
高频考点四：抛物线焦点弦（焦半径）
【例题4-1】已知点为抛物线：上一点，为抛物线的焦点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将代入，得，所以抛物线C：，焦点，准线方程为，
由抛物线的定义知.故选：D.
【例题4-2】过抛物线：焦点的直线交抛物线于，两点，若线段的中点到的准线的距离等于9，则 ．
【答案】
【详解】因为抛物线M：，所以记抛物线M的焦点为F，抛物线准线方程为，
设，，，则，所以点P到M的准线的距离为，
所以，由抛物线定义知：，，则
故答案为：．
【变式4-1】已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线C上，，若的面积为，则（ ）
A．4 B．3 C．5 D．2
【答案】A
【详解】由题意知,准线方程为，设．因为，的面积为，
所以，则，所以．故选：A
【变式4-2】已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为3，则 .
【答案】10
【详解】根据抛物线的定义可得，又，所以.
故答案为：10.
综合练习
1．已知抛物线：的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（ ）
A．12B．14C．15D．16
【答案】D
【详解】由题意可得，，则，抛物线方程为，准线方程.由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，其中，，
由，得.∴在点处的切线方程为，化简得，①
同理可得在点处的切线为，②联立①②得，由的横坐标为4，得，
将的方程代入抛物线方程，可得，∴，，得，
∴，则.
故选：D.

2．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，

过点作准线，垂足为点，则，由，得，则，
则，则，根据抛物线的对称性可得直线的斜率为.故选：C
3．南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该杯盏的高度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

依题意可得，设抛物线的标准方程为，则，解得，所以抛物线的标准方程为，可设，代入抛物线方程，可得，所以该杯盏的高度为cm.
故选：C.
4．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，，与相交于点，且，则的面积为 .
【答案】
【详解】由得，又因为为，的中点，所以，所以，所以为的三等分点，且，又因为，所以，且，所以，不妨设，，且在第一象限，，所以，因为点，在抛物线上，所以，所以根据相似关系可得，，
所以，则.故答案为：．

抛物线 随堂检测
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由于抛物线的方程为，所以，，则所以抛物线的焦点坐标是，
故选：A.
2．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为，如图，
因为点在上，且到直线的距离为，可得到直线的距离为，即点到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，所以.故选：B
3．已知抛物线的焦点为在抛物线上，且，则（ ）
A．2B．4C．8D．12
【答案】B
【详解】由题意可得，则．故选：B.
4．为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】抛物线中时可得，且则，取（如图）

，,又对称性可知.故选；C.
5．已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（ ）
A．10B．9C．8D．5
【答案】B
【详解】设，，联立得，则.所以.当且仅当，即，时，上式取等号，故.故选：B
6．已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】由已知抛物线的焦点的坐标为，直线的方程为，联立，消得，设，则，所以，圆的圆心坐标为，半径为1，由已知可得，所以

故选：A.
7．抛物线上的点到焦点的距离为 .
【答案】3
【详解】由得抛物线的准线为，焦点为，因为点在抛物线上，所以，得，所以点到焦点的距离为，故答案为：3
8．已知抛物线的的准线与轴交于点，，是的焦点，是上一点，，则 .
【答案】
【详解】抛物线的准线为，由题意，，设，则，，因为，所以，所以，，
代入得，解得（负值舍），所以.故答案为：
9．已知抛物线：的焦点坐标为．
(1)求的方程；
(2)直线：与交于A，B两点，若（为坐标原点），求实数的值．
【答案】(1)(2)7
【详解】（1）由抛物线的定义可得，所以，所以抛物线的方程为．
（2）设，．联立方程组得消去得，
由，得．所以，．
所以，解得或（舍去）．故实数的值为7．
10．已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
(1)求点到抛物线焦点的距离；
(2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)(2)存在；
【详解】（1）将点代入抛物线方程，则，抛物线焦点，
则点到抛物线焦点的距离等于点到抛物线准线的距离．
（2）存在，证明如下：如图，设，．

把代入得，，由根与系数的关系得，．
，点的坐标为．假设存在实数，使，则．
又是的中点，．由（1）知，
．
轴，，
又．
，两边同时平方得：，
解得，即存在，使．
标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长